Giáo trình Cơ học lượng tử

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT

F 7 G

GIAÙO TRÌNH

CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ

ThS. NGUYEÃN DUY HÖNG

1998

Cô hoïc löôïng töû

- 1 -

MUÏC LUÏC

MUÏC LUÏ C ............................................................................................................- 1 -

LÔØI NOÙI ÑAÀU......................................................................................................- 4 -

BAØI MÔÛ ÑAÀU ......................................................................................................- 5 -

§1 LÖÔÏC ÑOÀ TOÅNG QUAÙT CUÛA VAÄT LYÙ HOÏC...........................................- 5 -

§2 BÖÙC TRANH THEÁ GIÔÙI CUÛA VAÄT LYÙ HOÏC COÅ ÑIEÅN.........................- 5 -

I/ Hai yù töôûng cô baûn cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån :...............................................- 5 -

II/ Hai boä phaän chuû yeáu cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån : ..........................................- 6 -

III/ Hai daïng vaät chaát cô baûn cuûa vaät lyù hoïc coå ñieän :...................................- 7 -

IV/ Nhöõng quan nieäm cô sôû cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån : ....................................- 7 -

§3 NHÖÕNG BEÁ TAÉC CUÛA VAÄT LYÙ HOÏC COÅ ÑIEÅN VAØ NHÖÕNG YÙ TÖÔÛNG

NÖÛA LÖÔÏNG TÖÛ.............................................................................................- 8 -

CHÖÔNG I. CÔ SÔÛ CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖ Û .............................................- 1 0 -

§1 CÔ SÔÛ VAÄT LYÙ CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖ Û ...........................................- 1 0 -

I/ Theá giôùi vi moâ :........................................................................................- 1 0 -

§2 HAI YÙ TÖÔÛNG CÔ BAÛN CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ............................- 1 2 -

1/ YÙ töôûng löôïng töû hoùa. .............................................................................- 1 2 -

2/ YÙ töôûng löôõng soùng haït ...........................................................................- 1 3 -

§3 CÔ SÔÛ TOAÙN HOÏC CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖ Û ....................................- 1 6 -

I/.Toaùn töû tuyeán tính : .................................................................................- 1 6 -

II/ Giao hoaùn töû vaø phaûn giao hoaùn töû : ......................................................- 1 7 -

III/. Baøi toaùn trò rieâng cuûa toaùn töû tuyeán tính : ............................................- 1 8 -

IV/. Moät soá toaùn töû ñaët bieät :.......................................................................- 1 9 -

V/.Toaùn töû lieân hôïp vaø toaùn töû töï lieân hôïp (hecmitic) :...............................- 2 4 -

§4 THÍ NGHIEÄM QUAN TROÏNG TÍNH THOÁNG KEÂ CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG

TÖÛ...................................................................................................................- 2 8 -

I/ Thí nghieäm hai loã : ..................................................................................- 2 8 -

II/ Tính thoáng keâ cuûa CHLT: ......................................................................- 2 9 -

§5 CAÙC BIEÁN ÑOÄNG LÖÏC TRONG CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ .......................- 3 0 -

1/.Caùc toaùn töû toïa ñoä :.................................................................................- 3 0 -

2/.Caùc toaùn töû xung löôïng :.........................................................................- 3 0 -

3/. Caùc toaùn töû Moment xung löôïng L vaø toaùn töû moment xung löôïng bình

phöông L2 ..................................................................................................- 3 1 -

4/.Toaùn töû Hamilton H :...............................................................................- 3 2 -

§6 CAÙC HEÄ THÖÙC BAÁT ÑÒNH.....................................................................- 3 4 -

I/ YÙ Töôûng Löôõng Soùng Haït Vaø caùc Heä Thöùc Baát Ñònh: ...........................- 3 4 -

II/ YÙ nghóa cuûa caùc heä thöùc baát ñònh: ..........................................................- 3 5 -

III/ Moät soá keát quaû thu ñöôïc töø heä thöùc baát ñònh :.......................................- 3 7 -

IV . Xaây döïng heä thöùc baát ñònh Heisenberg: ..............................................- 3 9 -

§7 HAØM SOÙNG . NGUYEÂN LYÙ CHOÀNG CHAÄP TRAÏNG THAÙI .................- 4 4 -

I/. Haøm Soùng:..............................................................................................- 4 4 -

II/. Nguyeân lyù choàng chaäp traïng thaùi: .........................................................- 4 5 -

§8

PHÖÔNG TRÌNH SCHRODINGER...................................................- 4 6 -

I/. Caùch “Thieát laäp” phöông trình :..............................................................- 4 6 -

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 2 -

§9 CAÙC PHÖÔNG TRÌNH CHUYEÅN ÑOÄNG LÖÔÏNG TÖÛ..........................- 4 9 -

I/ Nhaän xeùt chung : .....................................................................................- 4 9 -

II/ Caùc moùc Poisson löôïng töû : ....................................................................- 5 0 -

III/ Ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa caùc toaùn töû :..............................................- 5 2 -

IV/ Caùc phöông trình chuyeån ñoäng löôïng töû . Ñònh lyù Ehrenfest ...............- 5 4 -

§10 SÖÏ LIEÂN HEÄ GIÖÕA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ VÔÙI CÔ HOÏC COÅ ÑIEÅN VAØ

QUANG HOÏC.................................................................................................- 5 6 -

I/ Söï chuyeån töø phöông trình Schrodinger hieän ñaïi veà phöông trình Hamilton –

Jacobi coå ñieån : ...........................................................................................- 5 6 -

II/ Cô hoïc löôïng töû vaø quang hoïc :..............................................................- 6 0 -

§11 CAÙC CAÙCH PHAÙT BIEÅU CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ...................................- 6 1 -

I/ Cô hoïc löôïng töû cuûa Schrodinger: ...........................................................- 6 1 -

II/ Cô hoïc ma traän Heisenberg: ..................................................................- 6 2 -

III/ Cô hoïc löôïng töû cuûa P.Dirac : ...............................................................- 6 2 -

IV/ Cô hoïc löôïng töû cuûa R. Feynman :........................................................- 6 4 -

§12 CAÙC CAÙCH MOÂ TAÛ SÖÏ PHUÏ THUOÄC THÔØI GIAN CUÛA HEÄ VI MO Â .- 6 5 -

1/ Böùc tranh Schrodinger : ..........................................................................- 6 6 -

2/ Böùc tranh Heisenberg :............................................................................- 6 7 -

3/ Böùc tranh töông taùc :...............................................................................- 6 7 -

4/ So saùnh hai böùc tranh cô baûn: (böùc tranh Schrodinger vaø böùc tranh

Heisenberg ) . .............................................................................................- 6 7 -

§13 CAÙC BIEÅU DIEÃN TRONG CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖ Û .............................- 6 8 -

ˆ

F

I/ Cô hoïc löôïng töû trong bieåu dieãn : .......................................................- 6 8 -

II/ Vaøi bieåu dieãn cuï theå:..............................................................................- 7 1 -

CHÖÔNG II. MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN CÔ BAÛN CUÛA PHÖÔNG TRÌNH

SCHRODINGE R ................................................................................................- 7 3 -

§ 1 CHUYEÅN ÑOÄNG TÖÏ DO.........................................................................- 7 3 -

§2 BAØI TOAÙN MOÄT CHIEÀU..........................................................................- 7 5 -

I/ Haït trong hoá theá ( gieáng theá ) saâu voâ haïn :..............................................- 7 5 -

II/ Theá baäc thang: .......................................................................................- 7 6 -

III/ Söï truyeàn qua haøng raøo theá coù beà roäng höõu haïn: ..................................- 7 8 -

IV/ Hoá theá naêng coù caùc thaønh cao höõu haïn .................................................- 7 9 -

§3 DAO ÑOÄNG TÖÛ ÑIEÀU HOØA ....................................................................- 8 2 -

§4 CHUYEÅN ÑOÄNG TRONG TRÖÔØNG XUYEÂN TAÂM. NGUYEÂN TÖÛ

HYDR O ..........................................................................................................- 8 4 -

I/ Momen goùc : (Momen ñoäng löôïng )........................................................- 8 4 -

II/ Haït trong tröôøng ñoái xöùng caàu (chuyeån ñoäng xuyeân taâm)......................- 8 7 -

III/ Nguyeân töû Hydrogen : ..........................................................................- 8 9 -

CHÖÔNG III. LYÙ THUYEÁT SPIN CUÛA PAULI ...............................................- 9 2 -

§1 SPIN CUÛA ELECTRO N ............................................................................- 9 3 -

1/ Caùc toaùn töû spin : ....................................................................................- 9 3 -

2. Caùc tính chaát cuûa caùc toaùn töû Pauli .........................................................- 9 6 -

3. Vecto Spin ..............................................................................................- 9 6 -

§2 PHÖÔNG TRÌNH PAULI........................................................................- 1 00 -

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 3 -

CHÖÔNG IV. PHÖÔNG PHAÙP NHIEÃU LOAÏN ..............................................- 1 02 -

§1 LYÙ THUYEÁT NHIEÃU LOAÏN DÖØNG KHOÂNG SUY BIEÁN . .................- 1 02 -

§2 HIEÄU ÖÙNG ZEEMANN ..........................................................................- 1 05 -

§3 LYÙ THUYEÁT NHIEÃU LOAÏN DÖØNG COÙ SUY BIEÁN HIEÄU ÖÙNG STARK ... -

108 -

I/ Lyù thuyeát nhieãu loaïn döøng coù suy bieán : ...............................................- 1 08 -

II/ Hieäu öùng Stark trong nguyeân töû Hydrogen : ........................................- 1 09 -

CHÖÔNG V. HEÄ CAÙC HAÏT ÑOÀNG NHAÁT ....................................................- 1 15 -

§1 TOAÙN TÖÛ HOAÙN VÒ. NGUYEÂN LYÙ PAULI..........................................- 1 15 -

1/ Toaùn töû hoaùn v ò .....................................................................................- 1 15 -

2/ Caùc haït Bose vaø caùc haït Fermi (caùc boson vaø caùc Fermion) ................- 1 16 -

3/ Haøm soùng cuûa heä ñoàng nhaát khoâng töông taùc. Nguyeân lyù Pauli. ..........- 1 16 -

§2 NAÊNG LUÔÏNG TRAO ÑOÅI VAØ NGUYEÂN TÖÛ HELI............................- 1 18 -

I/. Ñònh nghóa naêng löôïng trao ñoåi :..........................................................- 1 18 -

II/.Nguyeân töû Heli :...................................................................................- 1 18 -

BAØI KEÁT ..........................................................................................................- 1 22 -

I/. Caùc nguyeân lyù vaø baøi toaùn cô baûn cuûa cô hoïc löôïng töû : ..........................- 1 22 -

1/. Ha øm Soùng Vaø Nguyeân Lyù Choàng Chaát Traïng Thaùi .......................- 1 22 -

2/ Giaù Trò Trung Bình: ..............................................................................- 1 23 -

3/ Baøi toaùn trò rieâng vaø caùc giaù trò ño ñöôïc cuûa caùc ñaïi löôïng vaät lyù trong thöïc

nghieä m ......................................................................................................- 1 23 -

4/ Phöông trình cô baûn: .............................................................................- 1 23 -

5/ Nguyeân lyù khoâng phaân bieät caùc haït ñoàng nhaát:.....................................- 1 24 -

II/ Nhöõng chaân trôøi môùi – hay laø söï phaùt trieån tieáp tuïc cuûa Cô hoïc löôïng töû:- 125 -

Taøi lieäu tham khaûo: ..........................................................................................- 1 27 -

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 4 -

LÔØI NOÙI ÑAÀU

Caùc baïn sinh vieân Vaät Lyù thaân meán !

Cuoán giaùo trình cô hoïc löôïng töû naøy ñöôïc soaïn daønh cho caùc baïn. Ñaây laø söï

chaét loïc töø haàu heát caùc giaùo trình cô hoïc löôïng töû ñaõ ñöôïc soaïn bôûi nhöõng nhaø vaät lyù

noåi tieáng treân theá giôùi cuõng nhö ôû Vieät Nam. Bôûi leõ cô hoïc löôïng töû laø thaønh töïu vó

ñaïi cuûa trí tueä nhaân loaïi theá kyû thöù 20,ñaõ vaø vaãn ñang laø cô sôû cuûa caùc muõi nhoïn

cuûa vaät lyù hoïc thaäm chí ngay caû trong theá kyû 21 saép tôùi.

Tuy nhieân do: Cô hoïc löôïng töû laø moân raát khoù, raát phöùc taïp thaäm chí “kyø

quaëc”, neân vieäc soaïn moät giaùo trình cho deã hieåu saùng suûa trong khuoân khoå 100

trang giaáy laø ñieàu voâ cuøng khoù khaên thaäm chí laø ñieàu khoâng theå thöïc hieän – ít nhaát

laø ñoái vôùi toâi. Khoâng nhöõng theá khuoân khoå cuûa giaùo trình naøy laø töông ñöông vôùi 60

tieát hoïc trong chöông trình hoïc cuûa khoa vaät lyù hieän nay. Vì vaäy maëc duø toâi ñaõ heát

söùc coá gaéng vaø boû nhieàu coâng söùc cuoán saùch naøy khoâng theå ñöôïc xem laø moät giaùo

trình hoaøn chænh vaø noù caøng khoâng theå thay theá cho vieäc nghe giaûng cuûa caùc baïn.

Toâi xin löu yù caùc baïn ñoâi ñieàu veà ñaëc ñieåm cuûa giaùo trình naøy .Phaïm vi öùng

duïng cuûa Cô hoïc löôïng töû laø voâ cuøng roäng raõi , ví duï nhö : Hoùa hoïc löôïng töû , Lyù

thuyeát tröôøng Löôïng töû , Lyù thuyeát haït nhaân vaø Caáu truùc haït nhaân nguyeân töû, Lyù

thuyeát chaát raén , Ñieän töû hoïc löôïng töû … vaø coøn nhieàu ngaønh khaùc nöõa .Chính vì theá

ñeå hieåu thaät söï ñaày ñuû veà Cô hoïc löôïng töû phaûi trình baøy trong nhöõng taøi lieäu khaù

ñoà soä . Tuy nhieân do nhieàu lyù do xuaát phaùt töø thöïc tieãn hoïc taäp vaø giaûng daïy cuûa

chuùng ta hieän nay , giaùo trình naøy chæ chuû yeáu traû lôøi cho caâu hoûi :”Cô hoïc löôïng töû

ra ñôøi töø ñaâu ?”hay “Cô sôû cuûa Cô hoïc löôïng töû laø gì ?”(chöông I) . Coâng cuï toaùn

hoïc cuûa Cô hoïc löôïng töû chæ ñöôïc giôùi thieäu nhöõng neùt cô sôû (toaùn töû tuyeán tính töï

lieân hôïp )vaø nhöõng tính toaùn cho nhöõng vaán ñeà cuï theå ñöôïc xem laø thöù yeáu vaø ñoâi

khi chæ trình baøy döôùi daïng giôùi thieäu noäi dung phöông phaùp chöù khoâng aùp duïng vaøo

nhöõng baøi toaùn cuï theå (Phöông phaùp nhieãu loaïn )

Toâi thaät xuùc ñoäng khi nhöõng doøng cuoái cuøng cuûa giaùo trình naøy ñöôïc vieát vaøo

ngaøy 20-11-1998- ngaøy maø töø nhieàu naêm nay caùc baïn thöôøng daønh cho toâi nhöõng

lôøi chuùc möøng toát ñeïp, Vì theá toâi muoán caùc baïn xem giaùo trình naøy nhö laø lôøi caûm

ôn cuûa toâi ñeán vôùi caùc baïn .Hôn theá nöõa toâi cuõng hy voïng raèng ñaây cuõng laø bieåu

hieän cuûa loøng bieát ôn chaân thaønh vaø saâu saéc cuûa toâi ñoái vôùi bieát bao thaày coâ giaùo ,

nhöõng ngöôøi ñaõ thaép leân ngoïn löûa khaùt voïng tìm hieåu theá giôùi töï nhieân trong taâm

hoán toâi maø trong soá ñoù coù khoâng ít ngöôøi maø vónh vieãn khoâng bao giôø toâi coù theå gaëp

laïi ñöôïc nöõa .

Chuùc caùc baïn gaët haùi nhieàu thaønh coâng trong hoïc taäp.

Ngaøy 20-11-1998.

Nguyeãn Duy Höng

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 5 -

BAØI MÔÛ ÑAÀU

§1 LÖÔÏC ÑOÀ TOÅNG QUAÙT CUÛA VAÄT LYÙ HOÏC

Vaät lyù hoïc cho tôùi ngaøy nay döïa treân hai hoïc thuyeát vaät lyù lôùn ñoù laø :Thuyeát

töông ñoái cuûa Einstein vaø lyù thuyeát löôïng töû.

1/ Lyù thuyeát töông ñoái cuûa Einstein ñöôïc ñaëc tröng bôûi haèng soá c laø vaän toác

aùnh saùng trong chaân khoâng . Veà maët ñoä lôùn c = 300000 km/s. Trong lyù thuyeát töông

ñoái c laø vaän toác truyeàn soùng ñieän töø vaø cho tôùi nay noù ñöôïc xem laø vaän toác giôùi haïn

cuûa moïi chuyeån ñoäng .

2/ Lyù thuyeát löôïng töû (M.plank,N.Bohr) ñöôïc ñaëc töng bôûi

haèng soá Plank . Haèng soá naøy duøng laøm ñoä ño söï phaân laäp caùc giaù trò khaû dó caùc ñaïi

löôïng vaät lyù vaø laø caàu noái hai maët soùng haït cuûa chuyeån ñoäng cuûa vaät chaát .

[h] = [naêng löôïng] × [thôøi gian] = [taùc duïng]

Plank ñaõ goïi h laø löôïng töû taùc duïng .

H = 6,62517.10-37 Js

Döïa vaøo hai haèng soá naøy ta coù theå thieát laäp löôïc ñoà toång quaùt cuûa vaät lyù hoïc

nhö sau .

v<<c

v≈c

Cô hoïc coå ñieån

Cô hoïc töông ñoái tính

h=0

v<<c

h_höõu haïn .

v≈ c , h_höõu haïn.

Cô hoïc löôïng töû töông ñoái tính

Cô hoïc löôïng töû khoâng töông ñoái

tính

Lyù thuyeát tröôøng löôïng töû.

Taøi lieäu naøy chæ ñeà caäp ñeán mieàn v<<c, h_höõu haïn,töùc laø phaàn cô hoïc löôïng töû

khoâng töông ñoái tính .

§2 BÖÙC TRANH THEÁ GIÔÙI CUÛA VAÄT LYÙ HOÏC COÅ ÑIEÅN

I/ Hai yù töôûng cô baûn cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån :

Vaät lyù hoïc cho tôùi cuoái theá kyû 19 ñaàu theá kyû 20 - maø ngaøy nay thöôøng goïi laø

vaät lyù hoïc coå ñieån - ñaõ xaây döïng moät böùc tranh haøi hoøa veà theá giôùi vaät chaát. Noù bao

goàm hai lónh vöïc chuû yeáu ñoù laø : Cô hoïc cuûa Newton vaø ly thuyeát ñieän töø cuûa

Maxwell. Taát caû nhöng kieán thöùc ñoù ñaõ cho pheùp nhaân loaïi giaûi thích ñöôïc moät soá

löôïng khoång loà caùc hieän töôïng ,caùc söï kieän quan saùt ñöôïc töø theá giôùi vaät chaát .

Cô sôû cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån laø hai yù töôûng sau :

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 6 -

- YÙ töôûng thöù nhaát laø yù töôûng nguyeân töû .Theo yù töôûng naøy thì vaät chaát ñöôïc

caáu taïo töø nhöõng haït raát nhoû khoâng theå phaân chia ñöôïc vaø ñöôïc goïi laø nguyeân töû

(Atomos).

- YÙ töôûng thöù hai laø yù töôûng veà söï toàn taïi cuûa moät moâi tröôøng ñaøn hoài ñaëc bieät

chöùa ñaày khaép nôi trong khoâng gian vaø nhôø ñoù maø caùc nguyeân töû töông taùc ñöôïc vôùi

nhau .

- YÙ töôûng nguyeân töû ñöôïc ñeà xuaát töø raát sôùm (theá kyû thöù IV tröôùc coâng nguyeân

- Democrite)vaø cho tôùi theá kyû 20 ñaõ coù nhöõng baèng chöùng tuyeät ñoái khoâng phuû

nhaän ñöôïc veà söï toàn taïi thöïc söï cuûa nguyeân töû vaø phaân töû . Con ngöôøi ñaõ coù nhöõng

duïng cuï duøng ñeå ghi laïi ñöôïc nhöõng ion rieâng reõ - caùc oáng ñeám - vaø nhöõng duïng cuï

quan saùt ñöôïc quyõ ñaïo cuûa caùc haït (buoàng Wilson) Thaäm chí quan saùt ñöôïc baèng

maét vaø chuïp aûnh ñöôïc nhöõng phaân töû lôùn rieâng reõ cuûa moät vaøi hôïp chaát höõu cô .

II/ Hai boä phaän chuû yeáu cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån :

1/ Cô hoïc Newton :

Cô hoïc Newton - döïa treân ba ñònh luaät cuûa Newton - laø moät boä phaän raát quan

troïng cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån . Trong ba ñònh luaät ñoù ñònh luaät thöù hai coù vai troø ñaëc

bieät . Ñoù laø phöông trình :

r

F = ma

hay laø : Löïc = khoái löôïng × gia toác.

Phöông trình naøy coù vai troø ñaëc bieät vì veá traùi laø löïc laø nguyeân nhaân gaây ra söï

bieán ñoåi vaän ñoäng , veá phaûi coù khoái löôïng töùc laø thuoäc tính cuûa vaät chaát vaø gia toác

töùc laø heä thöùc giöõa khoâng gian vaø thôøi gian .Ñieàu naøy coù nghóa laø phöông trình naøy

thieát laäp moái quan heä giöõa vaät chaát,vaän ñoäng, Khoâng gian,thôøi gian vaø nguyeân nhaân

gaây ra vaän ñoäng.

Cuøng vôùi ñònh luaät haáp daãn, ba ñònh luaät treân ñaõ cho pheùp con ngöôøi giaûi thích

ñöôïc moät caùch thoûa ñaùng chuyeån ñoäng cuûa nhöõng heä vó moâ trung hoøa ñieän

2/Lyù thuyeát ñieän töø

Moät boä phaän chuû yeáu khaùc cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån nghieân cöùu caùc hieän töôïng

r r r r

E,D,B,H

ñieän vaø töø . Caùc hieän töôïng naøy ñöôïc cho baèng caùc ñaïi löôïng ñieän töø

^{.Caùc ñaïi löôïng naøy}r^{ñöôïc heä thoáng nhôø heä phöông trình Maxwell :}

r

−∂B

∇*E =

∂t

r

r r

∇*H = J +

∂D

∂t

r

∇D = ρ

r

∇B = 0

D =εE, B = µH, J =σE

r

r r

r

Töø heä phöông trình naøy coù theå giaûi quyeát thoûa ñaùng taát caû caùc baøi toaùn ñieän töø

ñaõ bieát .

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 7 -

Hai boä phaän cuûa vaät lyù hoïc ñöôïc lieân heä vôùi nhau nhôø ñònh luaät Lorentz noùi

raèng : Moät ñieän tích e chuyeån ñoäng vôùi vaän toác v trong ñieän töø tröôøng chòu taùc duïng

cuûa moät löïc :

r

*

F =e^⎡_⎢E +(v B)^⎤_⎥

⎣

⎦

III/ Hai daïng vaät chaát cô baûn cuûa vaät lyù hoïc coå ñieän :

a/ Daïng haït : Haït ñöôïc ñaëc tröng baèng tính ñònh xöù trong khoâng gian vaø söï toàn

taïi quyõ ñaïo khi chuyeån ñoäng . Haït coøn coù nhöõng ñaëc tröng khaùc nhö khoái löôïng ,

xung löôïng , moment .v.v.

b/ Daïng soùng : Soùng laø quaù trình lan truyeàn nhieãu loaïn trong khoâng gian vaø

chuyeån ñoäng soùng laø chuyeån ñoäng cuûa traïng thaùi vaät chaát chöù khoâng phaûi laø chuyeån

ñoäng cuûa chính vaät chaát . Chuyeån ñoäng soùng tuaàn hoaøn trong khoâng gian vaø thôøi

gian . Ñaëc tröng quan troïng cuûa chuyeån ñoäng soùng laø soùng coù khaû naêng giao thoa vaø

nhieãu xaï .

Vaät lyù hoïc coå ñieån ñaõ nghieân cöùu hai loaïi soùng :

- Soùng cô : laø söï lan truyeàn dao ñoäng cuûa caùc haït vaät chaát trong moâi tröôøng

truyeàn soùng ,loaïi soùng naøy chæ coù theå lan truyeàn trong moâi tröôøng vaät chaát .

- Soùng ñieän töø laø söï lan truyeàn nhöõng dao ñoäng ñieän töø ,Soùng ñieän töø coù theå

lan truyeàn caû trong chaân khoâng .

IV/ Nhöõng quan nieäm cô sôû cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån :

Vaät lyù hoïc coå ñieån döïa treân ba quan nieäm cô sôû sau :

1/ Söï bieán ñoåi lieân tuïc cuûa caùc ñaïi löôïng vaät lyù , hay roäng hôn laø tính lieân tuïc

cuûa theá giôùi vaät chaát .

Veà maët toaùn hoïc ñieàu naøy coù nghóa laø caùc haøm moâ taû caùc ñaïi löôïng vaät lyù laø

caùc haøm soá lieân tuïc .Chính quan nieäm naøy laø cô sôû cuûa khaùi nieäm quyõ ñaïo cuûa

chuyeån ñoäng . Moät thuoäc tính coá höõu cuûa chuyeån ñoäng trong vaät lyù hoïc coå ñieån .

2/ Quyeát ñònh luaän coå ñieån (Quyeát ñònh luaän Laplace).Quan nieäm naøy cho

raèng neáu bieát ñöôïc traïng thaùi cuûa vaät ôû moät thôøi ñieåm naøo ñoù , bieát ñöôïc taát caû caùc

löïc taùc duïng vaøo vaät thì coù theå tieân ñoaùn moät caùch chính xaùc tuyeät ñoái traïng thaùi

cuûa vaät ôû thôøi ñieåm tieáp theo . quan nieäm naøy laø hình thöùc cô baûn cuûa nguyeân lyù

nhaân quaû trong vaät lyù hoïc coå ñieån .

3/ Phöông phaùp phaân tích :

Phöông phaùp cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån ñeå xem xeùt, nghieân cöùu caùc hieän töôïng vaø

söï vaät laø phöông phaùp phaân tích .Ñieàu naøy coù nghóa laø :

Thöù nhaát : vaät coù theå ñöôïc taùch ra khoûi moâi tröôøng xung quanh vaø ñöôïc xem

xeùt nhö laø moät vaät hoaøn toaøn ñoäc laäp.

Thöù hai : trong nhöõng tröôøng caàn thieát vaät coù theå chia nhoû ra töøng phaàn ñeå

nghieân cöùu vaø vieät chia nhoû ñoù khoâng caûn trôû vieäc ta hieåu bieát baûn chaát cuûa söï vaät .

Noùi rieâng trong moïi tröôøng hôïp duïng cuï ño vaø ñoái töôïng ñöôïc quan saùt laø hoaøn

toaøn ñoäc laäp vôùi nhau .

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 8 -

§3 NHÖÕNG BEÁ TAÉC CUÛA VAÄT LYÙ HOÏC COÅ ÑIEÅN VAØ NHÖÕNG

YÙ TÖÔÛNG NÖÛA LÖÔÏNG TÖÛ

Maët duø giaûi quyeát ñöôïc moät soá löôïng raát lôùn caùc hieän töôïng cuûa theá giôùi vaät

chaát , song cho tôùi cuoái theá kyû 19 vaät lyù hoïc coå ñieån ñaõ vaáp phaûi moät soá hieän töôïng

maø trong khuoân khoå caùc ñònh luaät ñaõ coù vaät lyù hoïc coå ñieån khoâng theå giaûi quyeát

ñöôïc . Ñoù laø caùc hieän töôïng sau :

1/ Böùc xaï cuûa vaät ñen tuyeät ñoái .

2/ Hieän töôïng quang ñieän .

3/ Hieäu öùng Compton.

4/ Caáu taïo nguyeân töû vaø lyù thuyeát nöõa löôïng töû cuûa Bohr.

Ñeå giaûi quyeát nhöõng vaán ñeà treân vaät lyù hoïc phaûi ñöa ra nhöõng quan nieäm môùi

vöôït xa khuoân khoå cuûa nhöõng quan nieäm tröôùc ñaây . Töông öùng vôùi nhöõng hieän

töôïng treân,ñoù laø nhöõng quan nieäm sau ñaây :

1’/ Caùc nguyeân töû cuûa vaät chaát khoâng haáp thuï vaø böùc xaï naêng löôïng moät caùch

lieân tuïc maø ngöôïc laïi haáp thuï vaø böùc xaï moät caùch giaùn ñoaïn caùc löôïng töû naêng

löôïng .

ε = hγ = hω

h laø haèng soá phoå bieán -löôïng töû taùc duïng-haèngsoá Plank

2’/ Aùnh saùng laø moät chuøm haït- löôïng töû aùnh saùng- hay photon. Caùc photon coù

^{naêng löôïng xaùc ñònh vaø xung löôïng xaùc ñòn}r^h.

r

ε = hω

P = hk

,

Heä thöùc naøy ñöôïc goïi laø heä thöùc Planck – Einstein. Nhö vaäy heä thöùc naøy ñaõ

r

P

_{lieân heä caùc thoâng soá cuûa haït vôùi caùc thoâng soá cuûa soùng (}ε

_vôùiω _vaøk

vaø

).

3’/ Töø keát quaû thu ñöôïc cuûa hieäu öùng Compton:

θ

∆λ = 2λ_csin²

2

_{Trong ñoù:}λ_c

laø böôùc soùng Compton cuûa electron.

Coâng thöùc treân coù nghóa laø: Söï thay ñoåi cuûa böôùc soùng chæ phuï thuoäc vaøo goùc

taùn xaï maø khoâng phuï thuoäc vaøo taàn soá ban ñaàu (cuûa tia tôùi). Keát quaû naøy ñöôïc giaûi

thích deã daøng töø söï va chaïm cuûa moät photon vôùi maët electron maø khoâng theå giaûi

thích theo quan ñieåm soùng.

4’/ Caùc ñieän töû trong nguyeân töû khoâng chuyeån ñoäng treân nhöõng quó ñaïo baát

kyømaø chæ coù theå ôû nhöõng quó ñaïo xaùc ñònh goïi laø quó ñaïo löôïng töû. Caùc quó ñaïo naøy

ñöôïc nhaän sao cho moment xung löôïng M cuûa ñieän töû thoûa maõn heä thöùc:

M = nh

(n=1,2 . . .)

Treân caùc quó ñaïo löôïng töû caùc electron coù naêng löôïng xaùc ñònh. Khi electron

chuyeån töø quó ñaïo naøy sang quó ñaïo khaùc gaàn haït nhaân hôn nguyeân töû seõ phaùt ra

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 9 -

moät photon vaø electron thöïc hieän moät böôùc nhaûy löôïng töû. Taàn soá cuûa photon phaùt

ra ñöôïc tính theo coâng thöùc:

E_n− E_m= hω_nm

5’/ Naêm 1927, C.Davison vaø L.Germer phaùt hieän hieän töôïng nhieãu xaï cuûa

electron. Hieän töôïng naøy ñaõ ñöôïc DeBroglie tieân ñoaùn töø 1924. Hieän töôïng naøy chæ

coù theå giaûi thích ñöôïc baèng nhöõng giaû thieát hoaøn toaøn môùi so vôùi nhöõng quan nieäm

cuõ cuûa vaät lyù coå ñieån ñoù laø vieäc thöøa nhaän giaû thieát cuûa De Broglie: haït electron vaø

^{vi haït noùi chung laø coù tính chaát löôõng nguyeân:hay lö}r^{ôõng tính soùng – haït. Cuï theå laø:}

_{Moãi haït töï do coù naêng löôïng E vaø xung löôïng}P

^xaùcr^{ñònh ñöôïc bieåu dieãn bôûi}

r

_{moät soùng phaúng ñôn saéc coù taàn soá voøng}ω _{vaø vector soùng}k _{lieân heä vôùi E vaø}

P

bôûi

heä thöùc gioáng nhö heä thöùc Planck- Eistein ñoái vôùi photon :

r

E = hω P = hk

,

Soùng phaúng naøy coù daïng :

r

rr

i^⎡_⎢kr −ωt^⎤_⎥

i _[

pr −Et

]

₍r

⎣

⎦

ψ

r,t

)

= A.e^h

= Ae

vaø ñöôïc goïi laø soùng De Broglie .

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 10 -

CHÖÔNG I. CÔ SÔÛ CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ

§1 CÔ SÔÛ VAÄT LYÙ CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ

I/ Theá giôùi vi moâ:

1/ Haït vi moâ:

Caùc phaân töû, nguyeân töû, haït nhaân nguyeân töû vaø caùc haït cô baûn ñöôïc goïi laø caùc

haït vi moâ. Danh saùch cuûa caùc haït cô baûn cho ñeán nay ñaõ trôû neân moät danh saùch khaù

ñoà soä nhöng coù theå phaân thaønh ba loaïi laø: caùc löôïng töû cuûa tröôøng ñieän töø - caùc

photon, caùc hardron vaø caùc lepton. Caùc hardron laø caùc haït tham gia töông taùc maïnh

(töông taùc haït nhaân) vaø ngöôïc laïi caùc lepton bao goàm: caùc electron, caùc muon vaø

caùc neutrion. Nhoùm caùc hardron ñoâng ñaûo hôn caû: chuùng bao goàm caùc nucleon

(proton vaø neutron), caùc meson (caùc haït naøy nheï hôn proton) vaø caùc hyperon (caùc

haït naëng hôn proton). Ngoaïi tröø tröôøng hôïp ñaëc bieät laø photon vaø moät vaøi meton

trung hoøa caùc haït coøn laïi ñeàu coù phaûn haït.

Thuoäc tính raát quen thuoäc cuûa haàu heát vi haït laø coù khoái löôïng nghæ. Ví duï khoái

_{löôïng nghæ m cuûa electron laø baèng:}9,1.10⁻²⁸g

, khoái löôïng cuûa photon laø 1836m,

cuûa neutron laø: 1839m, cuûa muon laø 207m . Khoái löôïng nghæ cuûa photon vaø cuûa taát

caû caùc neutrino ñeàu baèng khoâng.

Khoái löôïng cuûa phaân töû, nguyeân töû vaø haït nhaân nguyeân töû baèng toång khoái

löôïng cuûa caùc haït taïo thaønh tröø ñi ñoä huït khoái. Ñoä huït khoái baèng naêng löôïng duøng

ñeå phaù vôõ vi haït thaønh nhöõng haït caáu thaønh (thöôøng ñöôïc goïi laø naêng löôïng lieân

keát) chia cho bình phöông vaän toác aùnh saùng. Caùc nucleon trong haït nhaân coù naêng

löôïng lieân keát lôùn nhaát- ñoä huït khoái cuûa moãi nucleon lôùn hôn 10m .

Ñieän tích cuûa haït vi moâ baèng boäi nguyeân laàn ñieän tích cuûa electron, töùc laø

_{baèng boäi laàn}1,6.10⁻¹⁹C _{.Ngoaøi nhöõng haït vi moâ tích ñieän coù nhieàu haït vi moâ}

trung hoøa veà ñieän. Ñieän tích cuûa haït vi moâ phöùc taïp baèng toång ñaïi soá caùc ñieän tích

cuûa caùc haït thaønh phaàn.

2/ Spin cuûa vi haït.

Spin laø moät trong nhöõng thuoäc tính quan troïng cuûa haït vi moâ. Spin coù theå ñöôïc

_{xem nhö laø moment cô rieâng cuûa haït. Bình phöông cuûa Spin baèng:}h²s

s+1

( )

trong

laø haèng soá

h

ñoù s coù theå laø soá nguyeân hay baùn nguyeân (s thöôøng ñöôïc goïi laø Spin),

h

phoå bieán, ñoùng vai troø ñaëc bieät quan troïng trong cô hoïc löôïng töû, giaù trò cuûa

_baèng:1,05.10⁻³⁴J.s_{. Spin cuûa photon baèng 1, Spin cuûa electron baèng 1 / 2 .}

Spin laø moät thuoäc tính ñaëc bieät cuûa vi haït. Vaø do ñoù noù khoâng theå coù moâ hình

töông töï coå ñieån. Vieäc giaûi thích Spin nhö laø moment cô rieâng cuûa vi haït tuy thuaän

tieän cho vieäc hình dung nhöng laø khoâng ñuùng vôùi thöïc teá vì khaùi nieäm”vi haït quay

quanh noù” laø khoâng chaáp nhaän ñöôïc.

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 11 -

Momemt goùc cuûa vi haït coù thuoäc tính khaùc thöôøng. Cuï theå hình chieáu treân

h

(

s −1

)

hs _,

_,…,−hs _{,töùc laø}

phöông baát kyø cuûa noù chæ nhaän caùc giaù trò giaùn ñoaïn:

(2s + 1) giaù trò. Ñieàu naøy coù theå noùi laø vi haït coù (2s + 1) traïng thaùi Spin. Nhö vaäy söï

toàn taïi Spin ñoái vôùi vi haït ñöa tôùi söï xuaát hieän baäc töï do trong ñeå moâ taû noù.

3/ Boson vaø Fermion:

Treân cô sôû Spin ngöôøi ta chia vi haït thaønh hai nhoùm. Nhoùm moät laø caùc vi haït

coù Spin nguyeân hoaëc baèng khoâng. Nhoùm hai laø caùc vi haït coù Spin baùn nguyeân.

Nhoùm thöù nhaát coù ñaëc ñieåm laø chuùng coù theå coù voâ soá haït cuøng toàn taïi trong

moät traïng thaùi löôïng töû, tuaân theo thoánh keâ Bose - Einstein vaø do ñoù nhoùm naøy

thöôøng ñöôïc goïi taét laø caùc Boson. Nhö vaäy caùc meson vaø photon laø caùc Boson.

Nhoùm thöù hai coù ñaëc ñieåm laø chuùng chæ toàn taïi nhieàu nhaát moät haït trong moãi

traïng thaùi löôïng töû, tuaân theo thoáng keâ Fermi - Dirac vaø do ñoù caùc vi haït thuoäc

nhoùm naøy ñöôïc goïi taét laø caùc Fermion. Caùc lepton - noùi rieâng laø caùc electron - caùc

nucleon vaø caùc hyperon laø caùc Fermion.

4/ Tính khoâng beàn cuûa vi haït:

Taát caû caùc haït cô baûn - töùc photon, electron, proton vaø neutrino ñeàu khoâng

beàn. Ñieàu naøy coù nghóa laø caùc haït ñoù töï phaùt phaân raõ thaønh nhöõng haït vi moâ khaùc

khoâng caàn moät taùc ñoäng naøo töø beân ngoaøi. Ví duï moät neutron töï phaân raõ thaønh moät

proton, moät electron vaø moät neutrino:

−

n → p +e +γ

e

Chuùng ta khoâng theå tieân ñoaùn ñöôïc vaøo thôøi ñieåm naøo söï phaân raõ seõ xaûy ra

nhöng töø thöïc nghieäm ngöôøi ta ñaõ tìm ñöôïc quy luaät phaân raõ.

N

t = N₀exp −t τ

( ) ( )

_{trong ñoù}τ

laø haèng soá ñaëc tröng cuûa neutron- ñöôïc goïi laø thôøi gian soáng cuûa

10³s

exp

(

−t τ )

neutron vaø baèng

. Löôïng

xaùc ñònh xaùc xuaát cuûa neutron khoâng

phaân raõ taïi thôøi ñieåm t .

Caùc haït vi moâ khoâng beàn ñöôïc ñaëc tröng baèng thôøi gian soáng cuûa noù. Thôøi

gian soáng cuûa moät haït caøng nhoû thì xaùc xuaát phaân huûy cuûa haït caøng lôùn. Ví duï: Thôøi

_{gian soáng cuûa muon laø}2,2.10⁻⁶s

_{, thôøi gian soáng cuûa}π _{- meson döông laø}

2,6.10⁻⁸s

10⁻¹⁰s

_{, thôøi gian soáng cuûa}π _{- meson trung hoøa laø}10⁻¹⁶s

vaø cuûa hyperon laø

10⁻²²s

. Moät nhoùm haït khaùc coù thôøi gain soáng cöïc kyø ngaén vaøo khoaûng

10⁻²³s

ñeán

. Caùc haït naøy ñöôïc goïi laø caùc haït coäng höôûng.

Moät ñieàu löu yù laø: caùc meson vaø caùc hyperon coù theå phaân raõ theo nhieàu caùch

_{khaùc nhau. Ví duï caùc}π _{- meson döông coù theå phaân raõ theo kieåu nhö sau:}

π ⁺→ µ⁺+γ _µ

π ⁺→ e⁺+γ _e

π ⁺→π ⁰+e⁺+γ _e

_{Vôùi moät meson}π

baát kyø khoâng theå tieân ñoaùn ñöôïc vaøo luùc naøo cuõng nhö kieåu

phaân raõ naøo seõ xaûy ra. Tính khoâng beàn khoâng phaûi chæ coù ñoái vôùi caùc haït cô baûn maø

coøn ñuùng ñoái vôùi caùc vi haït khaùc. Hieän töôïng phoùng xaï cho thaáy raèng haït nhaân

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 12 -

nguyeân töû laø khoâng beàn vöõng. Caùc nguyeân töûcuõng nhö caùc phaân töû khi ôû traïng thaùi

kích thích cuõng khoâng heà, chuùng seõ töï phaùt trôû veà traïng thaùi ban ñaàu cuûa chuùng hay

chuyeån sang traïng thaùi kích thích thaáp hôn.

Nhöng caàn löu yù raèng tính khoâng beàn vöõng khoâng phaûi laø baûn chaát chung cuûa

caùc vi haït bôûi vì ngoaøi caùc haït khoâng beàn coù moät soá haït vi moâ khaùc laø beàn. Ví duï

nhö: photon, electron, proton, neutrion, caùc haït nhaân nguyeân töû beàn cuõng nhö caùc

nguyeân töû vaø phaân töû ôû traïng thaùi cô baûn.

Ngoaøi tính chaát ñaõ neâu treân haït cô baûn coøn coù moät ñaëc tính “kyø quaëc” theå hieän

trong söï bieán ñoåi qua laïi cuûa chuùng. Tuy nhieân baïn ñoïc coù theå tìm hieåu theâm vaán ñeà

ñoù qua caùc giaùo trình khaùc chi tieát hôn veà vaät lyù haït cô baûn.

§2 HAI YÙ TÖÔÛNG CÔ BAÛN CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ

1/ YÙ töôûng löôïng töû hoùa.

Baûn chaát cuûa yù töôûng löôïng töû hoùa laø: moät soá ñaïi löôïng vaät lyù moâ taû caùc ñoái

töôïng vi moâ trong nhöõng ñieàu kieän thích hôïp chæ coù theå nhaän nhöõng giaù trò rôøi raïc

xaùc ñònh. Khi ñoù ta noùi raèng caùc ñaïi löôïng aáy bò löôïng töû hoùa .

YÙ töôûng naøy do M.Planck ñöa ra naêm 1900 khi nghieân cöùu böùc xaï cuûa vaät ñen

tuyeät ñoái. Planck ñaõ giaû thuyeát raèng naêng löôïng cuûa böùc xaï ñieän töø do vaät phaùt ra

khoâng phaûi laø lieân tuïc maø laø giaùn ñoaïn - theo töøng löôïng töû naêng löôïng, naêng löôïng

_{cuûa moãi löôïng töû naøy baèng :}ε = hω _{. Giaû thuyeát naøy ñaõ baûo ñaûm cho söï phuø hôïp}

cuûa lyù thuyeát vaø thöïc nghieäm, ñaëc bieät laø loaïi boû ñöôïc khoù khaên khi chuyeån lyù

thuyeát ñeán vuøng taàn soá lôùn – maø ngöôøi ta goïi laø tai bieán töû ngoaïi .

Tieáp theo Planck, Bohr ñaõ aùp duïng yù töôûng löôïng töû hoùa vaøo maãu haønh tinh

nguyeân töû cuûa Rutherford ñeå xaây döïng maãu nguyeân töû môùi cuûa oâng, maãu nguyeân töû

Bohr - hay maãu nguyeân töû nöõa löôïng töû. Maëc duø lyù thuyeát Bohr veà nguyeân töû vaãn

coù nhöõng maâu thuaån noäi taïi song noù ñöôïc coi laø böôùc ñaàu tieân ñeå xaây döïng lyù thuyeát

hoaøn chænh veà caáu truùc nguyeân töû.

Ñeå hieåu noäi dung cuûa yù töôûng naøy ta xeùt ví duï caùc electron trong nguyeân töû. ÔÛ

trong nguyeân töû naêng löôïng cuûa electron nhaän nhöõng giaù trò rôøi raïc – nhöõng giaù trò

naøy taäp hôïp thaønh phoã naêng löôïng, nhö hình:

Giaû söû ta chæ quan taâm ñeán

E₁E₂

hai möùc

vaø

. Khi ñoù electron

E

E1

E₁

chæ coù theå coù naêng löôïng laø

E₂

hoaëc

chöù khoâng theå coù naêng

E1

E₁_{<E <}E₂

löôïng E thoûa maõn:

.

Ñaây laø ñieåm cô baûn cuûa cô hoïc

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 13 -

E₁

löôïng töû sau naøy. Electron coù theå chuyeån töø möùc naêng löôïng

sang möùc

E₂

hoaëc ngöôïc laïi, trong hai quaù trình ñoù electron nhaän vaø phaùt ra moät photon

töông öùng. Quaù trình ñoù ñöôïc goïi laø pheùp chuyeån dôøi löôïng töû.

Nhöng löu yù raèng: Naêng löôïng electron khoâng phaûi khi naøo cuõng bò löôïng töû

hoùa. Chæ caùc electron ôû trong traïng thaùi lieân keát (ví duï electron trong nguyeân töû) thì

naêng löôïng cuûa noù môùi bò löôïng töû hoùa. Caùc electron ôû traïng thaùi töï do thì naêng

löôïng cuûa noù khoâng bò löôïng töû hoùa.

Söï löôïng töû hoùa khoâng phaûi chæ xaûy ra vôùi naêng löôïng maø laø vôùi nhieàu ñaïi

löôïng khaùc. Cuï theå moment xung löôïng cuûa vi haït cuõng bò löôïng töû hoùa. Khaùc vôùi

naêng löôïng laø ñaïi löôïng chæ bò löôïng töû hoùa trong traïng thaùi lieân keát, moment xung

löôïng luoân bò löôïng töû hoùa. Caùc giaù trò quan saùt ñöôïc cuûa bình phöông moment

xung löôïngcuûa haït vi moâ ñöôïc cho bôûi coâng thöùc:

M ²= h²l

_{laø soá nguyeân,}l = 0,1,2..._{.Neáu ta xeùt moment goùc cuûa moät}

l+1

( )

l

trong ñoù

l

electron trong nguyeân töû ôû traïng thaùi döøng thöùn thì soá nhaän giaù trò töø 0 ñeán (n-1).

Ngöôøi ta thöôøng goïi Moment xung löôïng (hay moment goùc) moät caùch ñôn

giaûn laø moment. Thöïc nghieäm chöùng toû raèng: hình chieáu cuûa momentcuûa vi haït leân

moät phöông nhaát ñònh naøo ñoù (ta thöôøng goïi ñoù laø hình chieáu treân truïc oz cho tieän)

nhaän caùc giaù trò:

M _z= hm

_{trong ñoù}m = −l,−l+1,...,l−1,l _{. Nhö vaäy vôùi moãi giaù trò cuûa , soá m}

l

(

2l+1

)

nhaän

giaù trò giaùn ñoaïn

ÔÛ phaàn treân ta ñaõ noùi veà Spin cuûa vi haït vaø coù theå coi Spin nhö laø “moment

noäi taïi” cuûa vi haït. Ngöôøi ta goïi noù laø moment Spin ñeå phaân bieät moment thöôøng laø

moment quõy ñaïo. Neáu s laø Spin cuûa vi haït thì hình chieáu cuûa moment Spin seõ nhaän

σ = −s,−s +1,..., s −1,s

.

hσ

caùc giaù trò

trong ñoù

h

2

−

Nhö vaäy hình chieáu cuûa Spin cuûa moät electron seõ nhaän hai giaù trò:

vaø

h

+

2 _.

_{Caùc soá}n,l,m,σ

xaùc ñònh caùc giaù trò giaùn ñoaïn khaùc nhau cuûa caùc bieán

ñoäng löïc löôïng töû hoùa vaø ñöôïc goïi laø caùc soá löôïng töû.

n laø soá löôïng töû chính.

l

laø soá löôïng töû quõy ñaïo.

m laø soá löôïng töû töø.

σ

laø soá löôïng töû Spin.

2/ YÙ töôûng löôõng soùng haït.

Trong vaät lyù hoïc coå ñieån ngöôøi ta coi caùc khaùi nieäm soùng vaø haït laø loaïi tröø

nhau. Haït ñöôïc ñaëc tröng baèng khoái löôïng, coù tính ñònh xöù trong khoâng gian vaø coù

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 14 -

theå va chaïm vôùi nhau. Ngöôïc laïi soùng khoâng coù tính ñònh xöù nhöng coù khaû naêng

gioa thoa, nhieãu xaï…

Song nhöõng quan nieäm quen thuoäc naøy khoâng theå chuyeån qua cô hoïc löôïng töû

moät caùch tröïc tieáp ñöôïc. ÔÛ möùc ñoä caùc hieän töôïng vi moâ söï phaân ñònh roõ raøng hai

daïng chuyeån ñoäng naøy bò phai môø ñi moät caùch caên baûn. Cuï theå laø:

Chuyeån ñoäng cuûa vi haït ñoàng thôøi ñöôïc ñaëc tröng baèng caû tính soùng laãn tính

haït. Coù theå noùi raèng caùc vi haït ôû möùc ñoä naøo ñoù gioáng nhö haït vaø ôû möùc ñoä naøo ñoù

gioáng vôùi soùng. Caùc möùc ñoä ñoù phuï thuoäc vaøo ñieàu kieän maø ôû ñoù ta xeùt haït vi moâ.

Neáu trong vaät lyù coå ñieån haït vaø soùng laø hai maët ñoái laäp loaïi tröø nhau- hoaëc laø

haït hoaëc laø soùng – thì ñoái vôùi caùc ñoái töôïng vi moâ caùc maët ñoái laäp naøy keát hôïp vôùi

nhau moät caùch bieän chöùng trong khuoân khoå moät ñoái töôïng vi moâ thoáng nhaát laø tính

löôõng soùng haït.

YÙ töôûng löôõng soùng haït ñöôïc Einstein aùp duïng cho böùc xaï ñieän töø ñeå giaûi thích

hieän töôïng quang ñieän. Ñeán 1924 De Broglie ñaõ môû roäng yù töôûng löôõng soùng haït

khoâng chæ cho böùc xaï ñieän töø maø cho moïi haït vi moâ noùi chung. Cuï theå moãi haït vi

moâ ñoàng thôøi coù nhöõng ñaëc tröng haït (naêng löôïng vaø xung löôïng) vaø caû nhöõng ñaëc

tröng soùng(taàn soá vaø böôùc soùng). Moái lieân heä giöõa nhöõng ñaëc tröng ñoù ñöôïc cho

baèng heä thöùc Planck - Einstein:

r

E = hω

P = hk

,

(2.1)

Nhö vaäy laø moät haït chuyeån ñoäng ñöôïc lieân heä vôùi moät soùng maø böôùc soùng

ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc:

h

λ =

p

YÙ töôûng naøy ñaõ cho caùc giaû thieát cuûa Bohr moät cô sôû vöõng chaéc. Chuyeån ñoäng

cuûa electron trong nguyeân töû Hydro luùc ñoù seõ beàn vöõng khi doïc theo caùc quõy ñaïo

ñöôïc quy ñònh laø baèng moät soá nguyeân laàn böôùc soùng. Caùc soùng doïc theo quõy ñaïo

ñöôïc quy ñònh laø caùc soùng döøng.

Ñieàu naøy töông ñöông vôùi quy taéc löôïng töû cuûa Bohr:

hω

E = n

2

_{trong ñoù}ω _{laø taàn soá quay cuûa electron quanh haït nhaân,töùc laø soá voøng quay}

cuûa electron quanh haït nhaân. Thaät vaäy, theo De Broglie ñoä daøi cuûa quõy ñaïo baèng soá

nguyeân laàn böôùc soùng:

h

λ = =

p

nλ = 2πr

mv

,

Töø ñoù suy ra :

2πrmv = nh

_{hay nhaân caû hai veá vôùi}ω

1^{vaø chia}m^chv^o.2²π^tarω^coù:

n hω =

2

Nhöng ñeå yù raèng :

2πrω = v

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 15 -

neân ta coù :

mv²

2

1

= E = n hω

2

ñaây chính laø quy taéc löôïng töû cuûa Bohr.

Vaán ñeà ñaët ra laø vôùi caùc haït vi moâ – nhö haït buïi chaúng haïn – taïi sao ta khoâng

nhaän thaáy tính löôõng soùng haït cuûa noù? Lyù do ñôn giaûn laø töø coâng thöùc De Broglie ta

tính ñöôïc böôùc soùng cuûa noù nhoû hôn kích thöôùc raát nhieàu laàn. Do ñoù trong ñieàu

kieän ñoù ta khoâng theå phaùt hieän thaáy tính soùng cuûa haït buïi. Coøn khi “haït” coù khoái

löôïng caøng nhoû thì böôùc soùng De Broglie cuûa haït caøng lôùn khi ñoù haït caøng khaùc vôùi

haït coå ñieån vaø cuõng vì theá haït vi moâ caøng gioáng vôùi moät soùng hôn. Chuù yù laø soùng

De Broglie khaùc vôùi nhöõng soùng coù thöïc maø ta noùi ôû treân. Nhö vaäy ta hình dung

quan heä soùng – haït nhö theá naøo ? . Coù hai caùch hình dung sai veà moái quan heä naøy.

Caùch thöù nhaát : laø haït töïa treân soùng. Caùch naøy laø do chính De Broglie ñeà xuaát

trong thôøi kyø ñaàu. Theo oâng thì haït töïa nhö ngoài treân soùng vaø soùng cuoán noù tôùi ñaâu

thì haït tôùi ñoù- hay noùi ñôn giaûn laø soùng chuyeân chôû haït. Nhöng thöïc teá laø soùng coù

theå toàn taïi cuøng haït ngay caû trong chaân khoânghoaøn toaøn nhö vaäy soùng coù theå laø saûn

phaåm cuûa chính haït. Nhö vaäy haït taïo ra soùng nhö theá naøo? Soùng chia seû “soá phaän”

cuøng vôùi haït nhö theá naøo khi haït töông taùc vôùi caùc haït khaùc vaø vôùi moâi tröôøng? Ñoù

laø nhöõng caâu hoûi maø quan nieäm “soùng chuyeân chôû haït” khoâng traû lôøi ñöôïc.

Caùch thöù hai : ñoù laø quan nieäm cho raèng haït laø saûn phaåm ñöôïc taïo neân töø caùc

soùng, laø moät cô caáu raén ñaëc do caùc soùng keát laïi hay noùi caùch khaùc haït nhö laø boù

soùng laø nôi choàng chaát caùc soùng coù böôùc soùng raát ngaén. Tuy nhieân thöïc teá cho thaáy

caùc soùng tham gia hieän töôïng taùn saéc nhö vaäy neáu haït laø boù soùng thì haït phaûi bò tan

raõ khi nhöõng ñieàu kieän cuûa söï taùn saéc xuaát hieän. Nhöng trong thöïc teá haït khoâng heà

bò tan trong nhöõng ñieàu kieän ñoù.

Nhö vaäy caû hai caùch hình dung treân laø hai caùch hình dung maùy moùc theo kieåu

coå ñieån ñeàu khoâng chaáp nhaän ñöôïc.

Caàn löu yù raèng tính löôõng soùng haït khoâng phaûi chæ coù khi xeùt moät taäp hôïp caùc

haït maø ngay caû khi coù moät haït duy nhaát tính löôõng soùng haït cuûa haït vi moâ vaãn bieåu

loä roõ reät.

Coù nhieàu caùch giaûi thích yù nghóa cuûa soùng De Broglie nhöng chöa coù caùch naøo

hoaøn chænh. Caùch giaûi thích cuûa Born coi ñoù laø “soùng xaùc xuaát” coù veû nhö ñöôïc

nhieàu ngöôøi chaáp nhaän hôn caû. Nhöng soùng xaùc xuaát vaãn khoâng mang moät yù nghóa

vaät lyù cuï theå nhö soùng cô hoïc (soùng aâm, soùng treân maët nöôùc …)Coù caùch giaûi thích

raèng haït vi moâ luùc thì mang tính soùng, luùc thì mang tính haït. Cuõng coù caùch giaûi thích

raèng haït vi moâ ñoàng thôøi vöøa laø soùng vöøa laø haït.

Ñaùng chuù yù hôn caû laø quan nieäm raèng : haït vi moâ khoâng phaûi laø soùng cuõng

khoâng phaûi laø haït. Tính löôõng soùng haït cuûa vi haït ñöôïc hieåu nhö khaû naêng tieàm taøng

cuûa theá giôùi vi moâ theå hieän nhöõng tính chaát khaùc bieät cuûa noù phuï thuoäc vaøo ñieàu

kieän “beân ngoaøi” cuï theå laø ñieàu kieän quan saùt noù.

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 16 -

§3 CÔ SÔÛ TOAÙN HOÏC CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ

Baát cöù lyù thuyeát vaät lyù naøo cuõng laø söï keát hôïp giöõa caùc yù töôûng vaät lyù ñöa ra

treân cô sôû thöïc nghieäm vaø moät coâng cuï toaùn hoïc nhaát ñònh .

Trong giai ñoaïn xaây döïng lyù thuyeát vaät lyù coâng cuï toaùn hoïc coù theå laø chöa coù -

nhö khi Newton xaây döïng lyù thuyeát cuûa oâng , nhöng khi xaây döïng cô hoïc löôïng töû

thì coâng cuï toaùn hoïc töông öùng ñaõ ñöôïc xaây döïng töø tröôùc . Coâng cuï ñoù laø lyù thuyeát

caùc toaùn töû tuyeán tính .

I/.Toaùn töû tuyeán tính :

a/ Toaùn töû vaø ví duï :

Toaùn töû laø söï töông öùng giöõa caùc phaàn töû cuûa taäp X vôùi caùc phaàn töû cuûa taäp Y

naøo .Caùc thuaät ngöõ ñoàng nghóa vôùi toaùn töû laù :aùnh xaï ,hay haøm .Neáu hai taäp X vaø Y

laø hai taäp hôïp soá thì ngöôøi ta duøng khaùi nieäm haøm soá . Vaøi tröôøng hôïp ñaët bieät cuûa

toaùn töû laø :

- Moät toaùn töû töø moät khoâng gian X vaøo chính noù goïi laø moät pheùp bieán ñoåi .

- Moät toaùn töû töø moät khoâng gian haøm soá voâ haïn chieàu vaøo moät taäp hôïp soá ñöôïc

goïi laø moät phieám haøm .

ˆ

L

Vôùi moät toaùn töû

baát kyø taùc duïng trong khoâng gian X vaø Y ta thöôøng vieát :

(toaùn töû laø chöõ in coù daáu muõ):

ˆ

Lψ(x) =ϕ(x),ψ(x)∈ X,ϕ(x)∈Y

ˆ

L

vaø noùi raèng : toaùn töû

Caùc ví duï veà toaùn töû nhö :Pheùp tích phaân ,vi phaân , pheùp laáy caên pheùp naâng

leân luyõ thöøa …

taùc duïng leân haøm (hay vectô ) ϕ(x).

b/ Toaùn töû tuyeán tính :

Tröôøng hôïp ñaët bieät quan troïng cuûa caùc toaùn töû ñoù laø caùc toaùn töû tuyeán tính .

Ñoù laø caùc toaùn töû thoõa maõn hai ñieàu kieän :

ˆ

L(ψ₁+ψ₂) = Lψ₁+ Lψ₂

+/

ˆ

_+/L(λψ) = λLψ

(Ñoøi hoûi tính tuyeán tính cuûa toaùn töû coù theå xem nhö bieåu hieän cuûa nguyeân lyù

choàng chaäp trong cô hoïc löôïng töû ).

Coù theå deå daøng thaáy raèng : Caùc toaùn töû ñaïo haøm , vi phaân , tích phaân laø caùc

toaùn töû tuyeán tính , coøn caùc toaùn töû naâng leân thöøa ,toaùn töû khai caên vaø toaùn töû

Logarit khoâng phaûi laø toaùn töû tuyeán tính .

Vôùi caùc toaùn töû tuyeán tính ta coù moät soá pheùp toaùn sau ñaây:

ˆ

L

+ Toaùn töû ñôn vò :

ñöôïc goïi laø toaùn töû ñôn vò neáu noù thoûa maõn ñieàu kieän:

Lψ = ψ = 1.ψ.

+ Pheùp coäng caùc toaùn töû : Toång cuûa hai (hay nhieàu) toaùn töû vaø laø moät toaùn töû

maø keát quaû taùc duïng cuûa noù baèng toång caùc keát quaû taùc duïng cuûa caùc toaùn töû thaønh

phaàn , nghóa laø :

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 17 -

ˆ

ˆ ˆ

C = A+ B

ˆ

_neáuCψ = Bψ + Bψ _.

ˆ

_{+ Pheùp nhaân caùc toaùn töû :}C

A

B

töû vaø vieát

ñöôïc goïi laø tích cuûa hai toaùn

vaø

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

_{neáu coù :}Cψ = A(Bψ) _.

_{laø :}C = A.B

löu yù vôùi pheùp nhaân caùc toaùn töû thöù töï cuûa chuùng trong pheùp nhaân laø quan

troïng .

−1

ˆ

L

_{goïi laø nghòch ñaûo cuûa toaùn töû}L

neáu :

+ Toaùn töû nghòch ñaûo :

ˆ

Lψ(x) =ϕ(x)

L⁻¹ϕ(x) =ψ(x)

thì

.

*

ˆ

L

ñöôïc goïi laø toaùn töû lieân hôïp phöùc cuûa

+ Toaùn töû lieân hôïp phöùc : Toaùn töû

neáu nhö :

*

ˆ

*

ˆ

Lψ(x) =ϕ(x) _{thì :}L ψ (x) =ϕ (x)

+ Pheùp naâng leân luyõ thöøa :

n

ˆ

ˆ ˆ ˆ

L = L.L....L

(n: laø thöøa soá ).

II/ Giao hoaùn töû vaø phaûn giao hoaùn töû :

ˆ

A

B

laø : Vôùi caùc toaùn töû coù hai baøi toaùn

Giao hoaùn töû cuûa hai toaùn töû

vaø

quan troïng caàn xeùt laø giao hoaùn töû vaø baøi toaùn trò rieâng

⎡

⎣

⎤

ˆ

ˆ ˆ

AB = AB− BA

⎢

⎥

⎦

.

ˆ

A

B

laø :

Phaûn giao hoaùn töû cuûa hai toaùn töû

vaø

⎡

⎤

⎧

⎫

ˆ

ˆ ˆ

_⎢_⎣AB_⎥_⎦= _⎨_⎩AB_⎬_⎭= AB+ BA

+

.

Löu yù laø giao hoaùn töû cuõng nhö phaûn giao hoaùn töû cuûa hai toaùn töû khoâng phaûi

luoân baèng khoâng .

Ví duï : cho

d

dx

ˆ

B =

ˆ

A

=x,

.

Khi ñoù :

d

⎡

⎣

⎤

ˆ

ˆ ˆ

AB = AB− BA = x

−

x

⎢

⎥

⎦

dx dx

.

Hay :

⎛

⎞

dϕ

d

⎜

⎟

[

A, B

]

ψ = x

−

x ψ = x

− (xϕ)

dx dx

⎜

⎟

⎠

dx dx

⎝

dψ

− x

dx

dψ

−ψ

dx

= x

= −ψ.

⎡

⎤

⎡

⎤

d

dx

d

dx

x, ψ = −ψ

x,

= −1

⎢

⎣

⎥

⎢

⎣

⎥

⎦

Vaäy:

hay

.

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 18 -

III/. Baøi toaùn trò rieâng cuûa toaùn töû tuyeán tính :

ˆ

L

Giaû söû ta xeùt toaùn töû , Neáu coù :

ˆ

Lψ(x) = λψ(x)

(λ=const, ψ(x) ≠0).

Thì ψ(x) ñöôïc goïi laø haøm rieâng vaø λ ñöôïc goïi laø caùc trò rieâng töông öùng cuûa

ˆ

L

toaùn töû . Moãi toaùn töû coù theå coù nhieàu haøm rieâng vaø trò rieâng töông öùng ; khi ñoù ta

vieát :

ˆ

Lψ_n(x) = λ_nψ_n(x)

(n=0,1,2…).

{

λ_n

}

Taäp hôïp caùc giaù trò

ñöôïc goïi laø caùc phoå caùc trò rieâng cuûa toaùn töû tuyeán

ˆ

L

tính

.

ˆ

L

Nhö vaäy caùc haøm rieâng cuûa toaùn töû tuyeán tính

laø caùc haøm coù tính chaát ñaët

bieät laø noù giöû khoâng ñoåi daïng döôùi taùc duïng cuûa toaùn töû ngoaøi pheùp nhaân vôùi moät trò

soá (trò rieâng ).

∂

L = −i

∂x _{. Ñieàu kieän laø haøm ψ(x) tuaàn hoaøn trong khoaûng}

Ví duï : giaû söû

[0,L]. Phöông trình trò rieâng coù daïng :

∂ψ(x)

−i

= λψ(x)

∂x

.

Hay chính xaùc hôn :

∂ψ _n(x)

−i

= λ_nψ _n(x)

∂x

.

Töø phöông trình ta coù ngay :

ψ_n(x) = Ae^{iλ x}

n

Töø ñieàu kieän tuaàn hoaøn ta coù :

ψ_n(x) =ψ_n(X + L)_.

Maët khaùc löu yù raèng :

e^{iλ L}=1= e^i2nπ

n

Vaäy :

2nπ

L

λ_n=

,(n = ±0,±1,±2...)

.

Nhö vaäy λn laäp thaønh moät taäp hôïp giaùn ñoaïn . khi L→∞ caùc λn caøng saùt laïi

gaàn nhau hôn hay chính xaùc hôn khoaûng caùch giöûa caùc λn→0. khi ñoù caùc haøm rieâng

trôû thaønh :

ψ_λ(x) = Ae^iλx

.

Vôùi λ laø moät bieán lieân tuïc coù theå laáy baát cöù giaù trò naøo . töø ñaây ta cuõng neân löu

yù moät ñieàu laø :caùc trò rieâng phuï thuoäc vaøo ñieàu kieän bieân cuûa nghieäm cuûa phöông

trình trò rieâng , nghóa laø chuùng chæ xaùc ñònh khi cho caùc ñieàu kieän bieân .

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù

Cô hoïc löôïng töû

- 19 -

Ñeå xaùc ñònh thöøa soá A ta xeùt ñieàu kieän chuaån hoùa :

^Lψ ^*ψdx = A ²L =1

∫

0

Töø ñoù ta suy ra :

1

L

A =

Vaäy cuoái cuøng ta coù :

1

2nπ

L

iλ x

n

ψ_n(x) =

e ,λ_n=

L

.

Löu yù raèng phoå caùc trò rieâng cuûa moät toaùn töû tuyeán tính coù theå lieân tuïc , coù theå

giaùn ñoaïn hay vöøa lieân tuïc vöøa giaùn ñoaïn .

Moät ñieàu caàn löu yù laø :Vôùi moät trò rieâng coù theå coù S haøm rieâng töông öùng .Khi

ñoù ta noùi raèng caùc haøm rieâng ñoù suy bieán baäc S

IV/. Moät soá toaùn töû ñaët bieät :

Caùc haøm ñaët bieät coù vai troø quan troïng trong vaät lyù coå ñieån .Trong cô hoïc

löôïng töû caùc haøm ñaët bieät xuaát hieän trong khaù nhieàu baøi toaùn quan troïng .

1/ Toaùn töû LH : Trong lyù thuyeát caùc haøm ñaët bieät ta thöôøng xeùt caùc ña thöùc -

ñöôïc goïi laø ña thöùc Hermite (phöông trình cho nghieäm laø ña thöùc Hermite ñöôïc goïi

laø phöông trình Hermite hay phöông trình Hermite-Tsebusep)-coù daïng :

d ⁿ

dxⁿ

2

H_n(x) = (−1)ⁿe^x

e^{− x}

H₀(x)=1 , H₁(x)=2x , H₂(x)=−2+4x²

H₃(x)=−12x+8x³+...

n(n−1)(2x)^{n − 2}n(n−1)(n−2)(n−3)(2x)^{n − 4}

H_n(x)=(2x)ⁿ−

+

+..

1!

2!

Caùc ña thöùc Hermite coù caùc tính chaát :

1

2

xH_n

(

x

)

= nH_n−1(x)+ H_n+1(x)

+ ∞

2

e^{− x}H (x) H_n(x)dx = π 2ⁿn!δ_mn.

∫

− ∞

m

Nhö vaäy neáu xeùt toaùn töû :

ThS. Nguyeãn Duy Höng

Khoa Vaät lyù