Bài tập Vật lý đại cương 1 - Chương 6: Trường tĩnh điện

Download

Bài tập chương 6. Trường tĩnh điện

A. Phần tóm tắt lý thuyết

1. Lực tương tác Coulomb



q₁q₂

4₀ r²

q₁q₂

r²

q₁q₂r

r²

F₁₂

 k

, độ lớn: F 

 k

4₀ r²

₀ 8,86.10^12C²/ Nm²

- hằng số điện môi (hằng số điện môi tuyệt đối của chân không),

 là hằng số điện

môi tỷ đối của môi trường.

2. Vectơ cường độ điện trường



E 

Cường độ điện trường gây ra bởi một điện tích điểm Q tại một điểm cách nó một khoảng r:



Q r

. , độ lớn: E  k

| Q |

r²

E  k



r²

4₀r²



Q>0:

Q<0:

hướng ra xa điện tích;

hướng vào điện tích.



3. Véc-tơ điện cảm (cảm ứng điện)



D  ₀E



. r

4r³

Véc-tơ điện cảm do một điện tích điểm gây ra: D 

4. Cường độ điện trường gây bởi một sợi dây thẳng dài vô hạn mang điện đều tại một điểm cách dây một

khoảng r:



, trong đó



là mật độ điện dài của dây.

E 

2₀r

5. Cường độ điện trường gây bởi một mặt phẳng mang điện đều:



2₀

, trong đó

 là mật độ điện mặt.

E 

6. Định lý Ostrogradski – Gauss:

Thông lượng cảm ứng điện gửi qua một mặt kín (S) bất kỳ bằng tổng đại số các điện tích có trong mặt kín.

 

DdS 

^{ }



i1





7. Công của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích điểm q₀ừ điểm A đến điểm B trong điện trường:

A  q V  V , trong đó V_Avà V_Blần lượt là điện thế tại điểm A và B.

₀

_B

8. Tính chất thế của trường tĩnh điện



^{Lưu số của véc-tơ theo một đường cong kín bằng 0:} ^{Edl  0}

9. Hiệu điện thế giữa hai điểm A và B trong điện trường:

^B



^{ V  V }^Edl

U_AB

10. Mối liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế





V

s

hay E  gradV

E  

Trong trường hợp điện trường đều:

, trong đó U  V  V₂là hiệu điện thế, d là khoảng cách giữa 2

E 

mặt đẳng thế tương ứng.

11. Điện thế gây bở một điện tích điểm Q tại một điểm cách nó 1 khoảng r:

V 

4₀r

12. Hiệu điện thế giữa hai mặt cầu đồng tâm mang điện đều, bằng nhau, trái dấu:

Q R  R



₁

, trong đó R₁là bán kính của mặt cầu trong, R₂là bán kính của mặt cầu ngoài, Q là độ

V  V₂

₀R₁R₂

lớn điện tích trên mỗi mặt cầu.

13. Hiệu điện thế giữa 2 mặt trụ đồng trục dài vô hạn mang điện đều bằng nhau và trái dấu:



R₂

, trong đó R₁là bán kính mặt trong, R₂là bán kính mặt ngoài,

 là mật độ điện dài trên

V  V₂

2₀ R₁

mặt trụ.

B. Phần bài tập

Bài 1.9. Tìm lực tác dụng lên một điện tích điểm q = (5/3).10^-9C đặt ở tâm nửa vòng xuyến bán kính r₀= 5

cm tích điện đều với điện tích Q = 3.10^-7C (đặt trong chân không).

Bài giải:

Xét một điện tích nguyên tố dq gây ra cường độ điện trường dF cho

điện tích q. Phân tích dF theo phương x và y như trên hình vẽ. Dễ

dàng thấy do tính chất đối xứng nên các thành phần dF_ytriệt tiêu

nhau.

Như vậy:

dQcos

^{F }^{dF  dF }



 _r

Trong đó:

(điện tích chia đều theo độ dài r ), dl  rd

dQ  dl

r

(độ dài cung bằng bán kính nhân với góc chắn cung).



^{Thay vào trên ta được: F } ^{kq Q}

rcosd

r²r





Từ hình vẽ dễ thấy góc



biến thiên từ

khi lấy tích phân trên toàn bộ nửa vòng xuyến.





2.9.10⁹. 5/ 3 .10^9.3.10^7

kqQ

r²

kqQ

r²

2kqQ

r²





^{F } ^kqQ



cosd 

sin



1,146.10^3

 

r²

.0,05²



8

q₂ 3.10^8

Bài 1.10. Có hai điện tích điểm

và

đặt cách nhau một khoảng d = 10 cm trong

q₁ 8.10 C

không khí. Tính:

a) Cường độ điện trường gây bởi các điện tích đó tại các điểm A, B, C. Cho biết: MN = d = 10 cm, MA = 4

cm, MB = 5 cm, MC = 9 cm, NC = 7 cm.

b) Lực tác dụng lên điện tích q  5.10^10C đặt tại C.

Bài giải:



Tại điểm A: E_1Avà E_2Acùng chiều nhau như hình vẽ:

8

3.10^8

 q₁

q₂



















8.10

E_A E_1A E_2A k



 9.10⁹.



 525.10³V / m







MA²NA²

0,04²0,06²





Tại điểm B: E_1Bvà E_2Bngược chiều nhau như hình vẽ:

8

3.10^8

 q₁

q₂



















8.10

E_B E_1B E_2B k



 9.10⁹.



 276.10³V / m







MB²NB²

0,05²0,15²





Tại điểm C: E_1Cvà E_2Ccó chiều nhau như hình vẽ.

Ta có: E_C E₁²_C E₂²_C 2E_1CE_2Ccos , trong đó:

8.10^8

q₁

3.10^8

0,07²

q₂

NC²

E_1C k

cos 

 9.10⁹.

 88,9.10³V / m và E_2C k

 9.10⁹.

 55,1.10³V / m









MC²

0,09²

MC² NC² MN²9² 7²10²



,   76,2⁰

2MC.NC

2.9.7

Thay vào ta được: E 10³88,9²55,1² 2.88,9.55,1.(5 / 21)  92,8.10³V / m

Cường độ điện trường tại C tạo với cạnh CN 1 góc: 90    90  76,2⁰13,8⁰





b) Lực F  q E_C 5.10^10.92,8.10³ 4,6.10^5

Lực này ngược chiều với E_C.

 

Bài 1.20. Một mặt phẳng vô hạn mang điện đều có mật độ điện tích mặt là 2.10^-9C/cm²= 2.10^-5C/m². Hỏi

lực tác dụng lên một đơn vị chiều dài của một sợi dây dài vô hạn mang điện đều. Cho biết mật độ điện dài của

8

  3.10 C/cm  3.10^6C/m

dây là

Bài giải:

Lực tác dụng của mặt phẳng lên sợi dây bằng tổng lực tác dụng lên các phần tử của sợi dây. Ta đã biết điện



trường do 1 mặt phẳng gây ra là

không phụ thuộc vào khoảng cách từ mặt phẳng đến các phần tử

E 

2₀

điện tích của sợi dây nên dù đặt sợi dây thế nào thì lực tác dụng lên 1 phần tử dq của sợi dây vẫn đều là

dq

2₀

dl

2₀

, trong đó

nên

dF 

. Lực tác dụng lên mỗi đơn vị chiều dài của dây là:

dF  Edq 

dq  dl

dF 

2.10^5.3.10^6



 3,4 N / m





dl 2₀2.1.8,86.10^12

Bài 1.23. Cho 2 điện tích điểm q₁ 2.10^6

C C

q₂ 10^6

, đặt cách nhau 10 cm. Tính công của lực tĩnh điện

khi điện tích q₂dịch chuyển trên đường thẳng nối hai điện tích đó xa thêm một đoạn 90 cm.

Bài giải:

Ta coi đây là bài toán xác định công của lực tĩnh điện do điện tích q₁tác dụng để dịch chuyển điện tích điểm

q₂dịch chuyển trong điện trường mà nó gây ra.

Như vậy: A_MN q V  V , trong đó V_Mvà V_Nlần lượt là điện thế tại 2 điểm MN trên đường thẳng nối 2

₂ _N

điện tích và cách nhau 1 khoảng 90 cm.

kq₁

Giả sử:

và V_N

V_M

r

 r  r





9.10⁹.2.10^6. 10^6.0,9









kq₁

kq₁q₂

r

r(r  r)

Suy ra: A_MN q





 0,162 J

 

₂





r  r  r



1.0,1. 0,1 0,9











Dấu “-” có nghĩa là lực điện trường là lực cản, tức là ta phải thực hiện 1 công là +0,162 J để thắng lực điện

trường. Trong bài toán này, 2 điện tích là trái dấu nên hút nhau, vì thế muốn đưa 1 điện tích ra xa thêm thì

đương nhiên là phải thực hiện công thắng lại lực hút này.

Bài 1.24. Tính công cần thiết để dịch chuyển một điện tích q  .10^7

từ một điểm M cách quả cầu tích

điện bán kính r = 1 cm một khoảng R = 10 cm ra xa vô cực. Biết quả cầu có mật độ điện mặt là

 10^11C/cm²10^7C/m².

Bài giải:

Vẫn sử dụng công thức tính công của điện trường khi dịch chuyển điện tích từ điểm M đến N (trong trường

hợp này N ở vô cực): A_MN q V  V . Như vậy, cần phải tính điện thế tại các điểm M và N.



_N

Nhân đây phải nói đến bài toán tính điện thế tại 1 điểm nằm bên ngoài và cách tâm quả cầu mang điện đều

1 khoảng là r>r₀(bài mà thầy chưa có dịp tính trên lớp trong giờ lý thuyết).

Ta có: dV  Edr (mối liên hệ giũa điện trường và điện thế)

Mặt khác sử dụng định lý Ostrogradski – Gauss ta dễ dàng tính được: E 

, trong đó Q là điện tích của

r²

quả cầu.

r²

Thay vào ta được:

, chọn gốc điện thế tại vô cực ta có C = 0, suy ra:

V 

dV  

dr  V 

 C

r

Quay trở lại bài toán của chúng ta: A_MN q V  V



_N

9.10⁹. 1/ 3 .10^7.4 0,01 .10^7









kqQ

kq4r²

 r  R

 3,42.10^7

V_M

;V_N 0  A_MN



 

 r  R

trong đó Q  4r² .

 r  R



1 0,01 0,1













Bài 1.25. Một vòng dây tròn bán kính 4 cm tích điện đều với điện tích Q = (1/9).10^-8C. Tính điện thế tại:

a) Tâm vòng dây;

b) Tại một điểm M trên trục vòng dây, cách tâm của vòng dây 1 đoạn là h = 3 cm.

Ta làm 1 bài tổng quát, tìm điện thế tại 1 điểm M trên trục vòng dây,

cách tâm vòng dây 1 đoạn là h.

kdQ

 R² h²

Ta có:

dV 

kdQ

 R² h²

Suy ra:



^{V }^{dV } _{ R}₂_{ h}₂

a) Điện thế tại tâm vòng dây h = 0

9.10⁹. 1/ 9 .10^8





V_O



 250 V

 

R

1.0,04

9.10⁹. 1/ 9 .10^8





b) Tại điểm M:

V_H



 200 V

 

 R² h²1. 0,04² 0,03²

Bài 1.32. Tại hai đỉnh C, D của một hình chữ nhật ABCD (có các cạnh AB = 4 m, BC = 3 m) người ta đặt hai

8

điện tích điểm

(tại C) và

(tại D). Tính hiệu điện thế giữa A và B.

q₁ 3.10

q₂ 3.10

Bài giải:

AC = BD = 5 m

8









q₁

q₂

9.10⁹3.10

3.10^8







V_A V_CA V_DA









 36 V

 







 CA DA



8





k q

q₂



9.10⁹3.10



V_B V_CB V_DB









 36 V

 











 CB DB







Hiệu điện thế giữa A và B là: U_AB V  V  72 V

 

Bài 1.33. Tính công của lực điện trường khi chuyển dịch điện tích q = 10^-9C từ điểm C đến điểm D nếu a = 6

cm, Q₁= (10/3).10^-9C, Q₂= 2.10^-9C.

Bài giải:

Nhớ là muốn tính công của lực điện trường thì có công thức:

A_CD q V  V



_D

Ta có:

kQ₁kQ₂9.10⁹10 / 3





V_C







.10^9 200 V

 







AC BC

0,06 0,06



kQ₁kQ₂9.10⁹10 / 3









V_D







.10^9141 V

 





AD BD

0,06 2 0,06 2

Công của lực điện khi đó: A  q V  V 10^9200141  59.10^9

 



_D





Bài 1.37. Cho hai mặt trụ đồng trục mang điện đều bằng nhau và trái dấu có bán kính lần lượt là 3 cm và 10

cm, hiệu điện thế giữa chúng là 50 V. Tính mật độ điện dài trên mỗi mặt trụ và cường độ điện trường tại điểm

ở khoảng cách bằng trung bình cộng của hai bán kính.

Bài giải:

Trước tiên quay trở lại bài toán tính điện trường gây ra bởi một mặt trụ dài vô hạn tích điện đều.

Xét 1 mặt Gauss có dạng mặt trụ có độ cao là h, diện tích đáy là S.

Thông lượng điện:

_e

D_ndS 

D_ndS

D_ndS



mÆt trô

mÆt bªn

hai ®¸y

trong đó

vì D_n= 0 nên:

D_ndS  0



hai ®¸y

_e

D_ndS  D2rh  2₀Erh



mÆt bªn

Điện tích của khối trụ:

, trong đó



là mật độ điện dài của khối trụ theo chiều cao.

Q  h



Theo định lý O – G: Q   

h  2₀Erh  E 

2₀r

Đối với những điểm nằm giữa 2 mặt trụ thì chỉ có mặt trụ ở phía trong gây ra điện trường. Ta tính điện thế tại

1 điểm cách trục của mặt trụ trong 1 khoảng là r.

dr

2₀r

ln r

2₀

dV  Edr  dV  

 V 

 C

Như vậy hiệu điện thế giữa 2 mặt trụ R₁= 3 cm và R₂= 10 cm là:



R₂

2₀V 21.,86.10^12.50

V 

2₀R₁

  



 2,3.10^9

 

R₂

R₁

5 trang myanh 24860

Download

Bạn đang xem tài liệu "Bài tập Vật lý đại cương 1 - Chương 6: Trường tĩnh điện", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

bai_tap_vat_ly_dai_cuong_chuong_6_truong_tinh_dien.pdf