Bài giảng Vật lý chất rắn - Chương 5: Khí điện tử tự do trong kim loại

CHÖÔNG V

KHÍ ÑIEÄN TÖÛ TÖÏ DO

TRONG KIM LOAÏI

I. LYÙ THUYEÁT COÅ ÑIEÅN VEÀ KHÍ

ÑIEÄN TÖÛ CUÛA DRUDE

Moâ hình Drude – Lorentz ( 1900 – 1905 )

⚫ Kim loaïi goàm caùc ion döông naëng

naèm ôû caùc nuùt maïng

⚫ Caùc electron hoùa trò taùch khoûi nguyeân

töû vaø chuyeån ñoäng töï do trong kim

loaïi taïo thaønh khí ñieän töû töï do.

Theo Drude caùc electron daãn ñieän trong kim loaïi nhö caùc

haït coå ñieån chuyeån ñoäng töï do trong “ hoäp tinh theå”

- Coù theå duøng thuyeát ñoäng hoïc phaân töû ñeå moâ taû

tính chaát cuûa noù döïa treân caùc giaû thieát sau:

❖ Caùc ñieän töû khi chuyeån ñoäng luoân bò va chaïm.

❖ Giöõa caùc va chaïm caùc ñieän töû chuyeån ñoäng tuaân theo

caùc ñònh luaät cuûa Newton.

❖ Thôøi gian bay töï do trung bình  cuûa caùc ñieän töû khoâng

phuï thuoäc vaøo vò trí vaø vaän toác cuûa noù.

❖ Khi va chaïm xaûy ra töùc thôøi laøm vaän toác cuûa ñieän töû bò

thay ñoåi ñoät ngoät  cô cheá chính laøm caùc ñieän töû caân

baèng nhieät vôùi moâi tröôøng xung quanh hoaëc trôû laïi traïng

thaùi caân baèng khi thoâi taùc duïng ngoaïi löïc.

Khi khoâng coù ñieän tröôøng Khi coù ñieän tröôøng

1. Vaãn coù chuyeån ñoäng hoãn

loaïn

2. Theâm chuyeån ñoäng trung

bình coù höôùng theo phöông

cuûa ñieän tröôøng

Caùc electron chuyeån ñoäng

nhanh vaø thöôøng xuyeân thay

ñoåi chieàu.

E →

Trong ñieän tröôøng, electron coù hai loaïi vaän toác : v_Tvaø v_d.

Vì v_d<< v_T(chuyển động tự do - chuyển động nhiệt) neân chuyeån

ñoäng coù höôùng cuûa taäp theå electron khoâng aûnh höôûng ñaùng keå

ñeán thôøi gian bay töï do  vaø do ñoù ñoä daãn ñieän 

Khi ñaët leân moät vaät daãn ñieän moät ñieän tröôøng thì caùc ñieän töû töï

E

do trong kim loaïi chòu taùc duïng cuûa löïc ñieän tröôøng chuyeån ñoäng

coù höôùng vôùi vaän toác trung bình v_d(vaän toác cuoán).

Do ñoù, trong vaät seõ xuaát hieän moät doøng ñieän coù maät ñoä tuaân theo

ñònh luaät Ohm:

j

= 

E

Vôùi  = ñoä daãn ñieän rieâng cuûa vaät daãn.

Löïc ñieän tröôøng taùc duïng leân ñieän töû laø:

^{= - e}

E

F_e

Maët khaùc trong quaù trình chuyeån ñoäng caùc ñieän töû luoân bò

taùn xaï treân maïng tinh theå  töông ñöông vôùi löïc ma saùt

coù daïng:

1



v

= - m

F_ms

Theo ñònh luaät II cuûa Newton ta coù:

+ = m

a

F_ms

F_e

1



dv

dt

m = - eE - mv

Choïn ñieàu kieän ñaàu t = 0; v(0) = 0 ta coù nghieäm cuûa

phöông trình coù daïng:

eE

m

1







v =

1−exp−









Ban ñaàu v (0) = 0  = 0

F_ms

F

Döôùi taùc duïng cuûa löïc vaät chuyeån ñoäng nhanh daàn

e

 taêng daàn cho ñeán khi oån ñònh thì:

+ = 0

F_e

F_ms

 khi ñoù ñieän töû chuyeån ñoäng ñeàu vôùi vaän toác khoâng

ñoåi v_d.

eE

 mv_d= - eE  v_d= - 

1

m



Ta coù:

n_ee²E

eE

m

J = n_eev_d= n_ee  = 

m

n_ee²

Maët khaùc:

J = E   =

= n_ee

m

e

m

 =

= ñoä linh ñoäng cuûa ñieän töû

 = thôøi gian hoài phuïc; n_e= noàng ñoä ñieän töû.

Vôùi j ~ 1 A/cm²; n ~ 10²²cm^-3thì v_d~ 10^-3cm/s

Neáu coi caùc ñieän töû töï do trong kim loaïi nhö khí ñieän töû thì vaän toác tự

do (vận tốc nhiệt) v_Tcuûa caùc ñieän töû ñöôïc tính theo coâng thöùc:

3

mv_T= kT

2

1

2

YÙ nghóa cuûa 

⚫  coù thöù nguyeân cuûa thôøi gian ñaëc tröng cho toác ñoä thieát laäp caân baèng cuûa heä.

⚫  coù theå coi laø thôøi gian trung bình giöõa 2 laàn va chaïm cuûa ñieän töû. Hay thôøi

gian töï do trung bình cuûa ñieän töû.

⚫  phuï thuoäc vaøo vaän toác chuyeån ñoäng tự do (nhieät) v_Tcuûa ñieän töû, v_Tcaøng lôùn

thì  caøng nhoû.

⚫  khoâng phuï thuoäc vaøo vaän toác cuoán v_dcuûa ñieän töû, töùc laø khoâng phuï thuoäc

vaøo ñieän tröôøng ngoaøi. Do ñoù ñoä daãn ñieän  noùi chung khoâng phuï thuoäc vaøo

ñieän tröôøng ngoaøi.

⚫  caøng nhoû thì heä nhieãu loaïn trôû laïi caân baèng caøng nhanh.

⚫  = Thôøi gian maø sau ñoù v_dgiaûm ñi e = 2,718 laàn, ñöôïc goïi laø thôøi gian hoài

phuïc.

⚫ Baèng thöïc nghieäm ta ño ñöôïc  (döïa vaøo ñònh luaät Ohm)    10^-14 10^-15s.

Quaõng ñöôøng bay töï do trung bình cuûa ñieän töû 

Ta coù:

 = v_T. 

Trong ñoù:

o

A

v  10⁷cm/s ;   10^-14 10^-15s    10

T

THÖÏC NGHIEÄM CHO THAÁY

❖ ÔÛ nhieät ñoä thaáp

Ñoái vôùi caùc tinh theå kim loaïi tinh khieát ñoä daãn ñieän  ôû

nhieät ñoä thaáp lôùn hôn ôû nhieät ñoä phoøng.

 Caùc tinh theå kim loaïi tinh khieát  lôùn hôn nhieàu kích

o

thöôùc

A

VÍ DUÏ

Ñoàng raát saïch

 (4^oK) = 10⁵(300⁰K)

 = 3.10^-9s; v = 1,5.10⁸cm/s

 (4⁰K) = v = 0,3 cm

Moät soá kim loaïi khaùc ôû nhieät ñoä 4⁰K:   10 cm

 Neáu coi taùn xaï chính cuûa e^-laø do maïng tinh theå thì 

 angstrom

 Khoâng phuø hôïp vôùi keát quaû thöïc nghieäm  Moâ hình

Drude chöa phuø hôïp vôùi thöïc nghieäm.

❖ ÔÛ nhieät ñoä cao

Thöïc nghieäm cho thaáy ôû nhieät ñoä cao:

^{ }T

Theo lyù thuyeát coå ñieån, ôû nhieät ñoä cao:   T ^-3/2

 Thuyeát coå ñieån khoâng phuø hôïp vôùi thöïc nghieäm

Kim loaïi

Ñoä daãn ñieän (.m)^-1

6,8 . 10⁷

Baïc

Ñoàng

Vaøng

Nhoâm

Saét

6,0 . 10⁷

4,3 . 10⁷

3,8 . 10⁷

1,0 . 10⁷

Ñoàng thau (70Cu-30Zn)

Baïch kim

1,6 . 10⁷

0,94.10⁷

Theùp khoâng ræ

0,2 . 10⁷

SÖÏ DAÃN NHIEÄT CUÛA KHÍ ÑIEÄN TÖÛ

Ñieän töû trong kim loaïi vöøa laø haït taûi ñieän vaø vöøa laø haït taûi nhieät.

Wiedemann vaø Franz baèng thöïc nghieäm vaø Lorentz baèng lí thuyeát ñaõ

thieát laäp ñöôïc coâng thöùc lieân heä giöõa heä soá daãn ñieän  vaø heä soá daãn

nhieät K nhö sau:

K



= LT

Trong ñoù: L = const = soá Lorentz

2

3 k

  

2 e

  

B

  

L =

VÍ DUÏ

Söï phuï thuoäc cuûa heä soá daãn nhieät K vaøo ñoä daãn ñieän  cuûa moät soá

kim loaïi ôû 20⁰C.

LT

L laø moät haèng soá baèng 2,3. 10^-8( watt. / ñoä²)

Giaù trò thöïc nghieäm cuûa haèng soá Lorentz

( ñôn vò 10^-8watt. / K²)

273 K

373 K

Kim loaïi

Cu

Mo

Pd

Ag

Sn

Pt

2,23

2,61

2,59

2,31

2,52

2,51

3,31

2,33

2,79

2,74

2,37

2,49

2,60

2,89

Bi

NHAÄN XEÙT

Giaù trò cuûa L theo coâng thöùc treân töông ñoái phuø hôïp vôùi thöïc

nghieäm.

Vôùi keát quaû naøy neân thuyeát Drude ñöôïc chaáp nhaän trong lòch söû

phaùt trieån cuûa lí thuyeát kim loaïi.

Tuy nhieân, theo thuyeát naøy C_Vlaáy töø keát quaû cuûa thuyeát coå ñieån

(ñaõ khoâng phuø hôïp vôùi thöïc nghieäm)  Keát quaû truøng hôïp cuûa L laø

ngaãu nhieân.

Quaõng ñöôøng töï do trung bình  vaø theo thuyeát Drude raát nhoû

(angstrom) vôùi thöïc nghieäm (cm)

Coøn nhieät dung cuûa khí ñieän töû töï do theo lí thuyeát raát lôùn so vôùi

thöïc nghieäm.

 Ñeå khaéc phuïc caàn lí thuyeát môùi.

II. LYÙ THUYEÁT VEÀ KHÍ ÑIEÄN TÖÛ TÖÏ DO

CUÛA SOMMERFELD

MOÂ HÌNH CUÛA SOMMERFELD

❖ Caùc ñieän töû töï do trong kim loaïi taïo neân khí ñieän töû  chuyeån

ñoäng töï do trong kim loaïi.

❖ Caùc ñieän töû tuaân theo phaân boá Fermi – Diraéc.

 ñieän töû coi nhö chuyeån ñoäng töï do trong moät hoá theá coù

beà roäng baèng kích thöôùc tinh theå.

TÍNH SOÁ TRAÏNG THAÙI COÙ NAÊNG LÖÔÏNG E

CAÙCH I

Ñôn giaûn: Xeùt tinh theå ñaúng höôùng daïng khoái laäp phöông

caïnh L.

AÙp duïng ñieàu kieän bieân Born-Karman, vector soùng k

nhaän caùc giaù trò giaùn ñoaïn

2

L

⚫ k_i=

n_i

⚫ Vôùi i = x, y, z; n_i= 0,  1,  2,  3

Do ñoù naêng löôïng cuõng trôû neân giaùn ñoaïn

²(k²_x+ k²_y+ k²_z)

E =

2m

⚫ Nhö vaäy, traïng thaùi cuûa caùc ñieän töû trong tinh theå

ñöợc ñaëc tröng bôûi 4 soá löôïng töû k_x, k_y, k_z(hay n_x, n_y, n_z)

vaø soá löôïng töû spin m_s.

⚫ Töø coâng thöùc naêng löôïng E ta thaáy vôùi caùc boä soá

löôïng töû khaùc nhau ta coù theå coù cuøng moät giaù trò naêng

löôïng  Suy bieán.

Ví duï:

2

Vôùi traïng thaùi coù: E₁= coù 6 traïng thaùi khi chöa tính

2m

ñeán spin.

Vôùi traïng thaùi coù: E₂= 2E₁coù 12 traïng thaùi khi chöa tính

ñeán spin.

 Maët ñaúng naêng.

Bài giảng Vật lý chất rắn - Chương 5: Khí điện tử tự do trong kim loại - Lê Văn Thăng