Bài giảng Cơ sở vật lý chất rắn - Bài 5: Khi electron tự do trong kim loại

Baøi 5

Khí electron töï do

ï

trong kim loaïi

ï

I. Lyù thuyeát coå ñieån veà khí ñieän töû

á å å à ä û

ù

1) Moâ hình Drude – Lorentz ( 1900 – 1905 )

Kim loaïi goàm caùc ion döông naëng naèm

ôû caùc nuùt maïng vaø caùc electron hoùa trò

rôøi khoûi nguyeân töû coù theå chuyeån ñoäng

töï do trong tinh theå.

Caùc electron daãn ñieän trong kim loaïi

nhö caùc haït coå ñieån chuyeån ñoäng töï do

trong “ hoäp tinh theå”

Moâ hình coå ñieån veà khí ñieän töû cuûa Drude

å å à ä û û

â

Caùc electron töï do trong kim loaïi ñöôïc xem nhö caùc haït cuûa moät

chaát khí vaø do ñoù, coù theå duøng thuyeát ñoäng hoïc phaân töû ñeå moâ taû

tính chaát cuûa noù vôùi caùc giaû thieát cô baûn sau :

• caùc electron trong quaù trình chuyeån ñoäng luoân luoân chòu

va chaïm

• giöõa caùc va chaïm electron chuyeån ñoäng theo caùc ñònh

luaät cuûa Newton

• thôøi gian bay töï do trung bình τ cuûa caùc electron khoâng

phuï thuoäc vaøo vò trí vaø vaän toác cuûa electron

• va chaïm xaåy ra töùc thôøi laøm thay ñoåi ñoät ngoät vaän toác

cuûa electron vaø laø cô cheá chính laøm cho caùc electron caân

baèng nhieät vôùi moâi tröôøng xung quanh hoaëc trôû laïi traïng

thaùi caân baèng khi thoâi taùc duïng ngoaïi löïc.

Chuyeån ñoäng nhieät

Trong ñieàu kieän caân baèng, vaän

toác toång coäng baèng 0.

Thôøi gian bay töï do giöõa hai laàn

va chaïm khoaûng 0,1 ps.

Vaän toác chuyeån ñoäng nhieät

Tuøy thuoäc vaøo nhieät ñoä, vaän toác chuyeån ñoäng nhieät vaøo khoaûng

1/500 – 1/1000 vaän toác aùnh saùng

E

Khi khoâng coù ñieän tröôøng, caùc Khi coù ñieän tröôøng :

electron chuyeån ñoäng nhanh

vaø thöôøng xuyeân thay ñoåi

chieàu.

1. Vaãn coù chuyeån ñoäng hoãn loaïn

2. Theâm chuyeån ñoäng trung bình coù

höôùng theo phöông cuûa ñieän tröôøng

2) Söï daãn ñieän cuûa kim loaïi

ï ã ä û

ï

^{§ Khi ñaët ñieän tröôøng E}ρ^{xuaát hie}ρ^{än doøng ñieän coù maät ñoä j tuaân}

theo ñònh luaät Ohm :

j = σE

trong ñoù σ ñöôïc goïi laø ñoä daãn ñieän rieâng cuûa vaät daãn .

§ Doøng ñieän xuaát hieän chöùng toû caùc electron trôû neân chuyeån

ñoäng coù höôùng.

ρ ρ

§ Löïc do ñieän tröôøng E taùc duïng leân electron

F = −eE

Electron ñöôïc gia toác ngöôïc chieàu vôùi ñieän tröôøng. Ngoaøi ra,

trong quaù trình chuyeån ñoäng electron luoân bò taùn xaï( chuû yeáu

treân maïng tinh theå ) vaø bò maát vaän toác chuyeån ñoäng coù höôùng.

Coù theå bieåu thò cho taùc duïng naøy baèng löïc caûn F_mstyû leä vôùi

^{vaän toác vaø ngöôïc chieàu vôùi noù :}1

ρ

F_ms= − mv

τ

1/τ laø heä soá tyû leä

Phöông trình chuyeån ñoäng coù höôùng cuûa electron coù daïng

ρ

dv

1 ρ

τ

m = −eE − mv

dt

Nghieäm cuûa phöông trình naøy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu v(0) = 0 laø

ρ eEτ

t

τ

v = − (1− exp− )

m

Khi caùc löïc taùc duïng leân electron ( löïc ñieän vaø löïc ma saùt ) buø

tröø nhau thì electron chuyeån ñoäng ñeàu vôùi vaän toác khoâng ñoåi v_d

ρ eE

v_d= − τ

m

Vaän toác naøy coù theå ñaùnh giaù töø ñònh nghóa cuûa maät ñoä doøng

ñieän

j = - n e v_d

trong ñoù n laø noàng ñoä electron .

Vôùi j ~ 1 A/cm², n ~ 10²²cm^-3thì v_d~ 10^-3cm/s.

Vôùiø khí electron , coù theå xaùc ñònh vaän toác chuyeån ñoäng nhieät v_T

cuûa chuùng theo coâng thöùc

1

2

3

mv_T²= kT

2

ÔÛ nhieät ñoä phoøng v_T~ 10⁷cm / s . Nhö vaäy, v_d<< v_T.

Töø j = - n e v_dvaø theo ñònh luaät Ohm j = σE suy ra

ne²τ

σ = = neu

m

eτ

m

u =

u ñöôïc goïi laø ñoä linh ñoäng cuûa haït taûi ñieän

σ

ρ

σ

ρ

10⁷

10^-4

Ωm

10⁷

10^-4

Ωm

kim

loaïi

kim

loaïi

(Ωm)^-1

Ñoä daãn ñieän σ

vaø ñieän trôû

suaát ρ cuûa kim

loaïi ôû 295 K.

Li

Na

K

Rb

Cs

Be

Mg

Ca

Sr

Ba

Sc

Y

La

Ti

1,07

2,11

1,39

0,80

0,50

3,08

2,33

2,78

0,47

0,26

0,21

0,17

0,13

0,23

0,24

0,33

0,78

1,89

0,072

0,7

9,32

4,75

7,19

12,5

20,0

3,25

4,30

3,6

21,5

39

46,8

58,5

79

43,1

42,4

30,6

12,9

5,3

139

14

Fe

Ru

Os

Co

Rh

Ir

Ni

Pd

Pt

Cu

Ag

Au

Zn

1,02

1,35

1,10

1,72

2,08

1,96

1,43

0,95

0,96

5,88

6,21

4,55

1,69

1,38

0,10

3,65

0,67

1,14

0,61

0,91

0,48

0,086

0,22

9,8

7,4

9,1

5,8

4,8

5,1

7,0

10,5

10,4

1,70

1,61

2,20

5,92

7,27

95,9

2,74

14,85

8,75

16,4

11,0

21,0

116

46

Cd

Zr

Hg (loûng)

Al

Hf

Cr

Mo

W

Mn

Tc

Re

Ga

In

Tl

Sn (traéng)

Pb

0,54

18,6

Bi

Po

Kim loaïi

Ñoä daãn ñieän (Ω.m)^-1

6,8 . 10⁷

Baïc

Ñoàng

Vaøng

Nhoâm

Saét

6,0 . 10⁷

4,3 . 10⁷

3,8 . 10⁷

1,0 . 10⁷

Ñoàng thau (70Cu-30Zn)

Baïch kim

1,6 . 10⁷

0,94.10⁷

Theùp khoâng ræ

0,2 . 10⁷

Thôøi gian hoài phuïc

Giaû thöû sau khi electron ñaõ ñaït ñöôïc vaän toác döøng v_dta ngaét

ñieän tröôøng.

Do taùn xaï vôùi maïng tinh theå, vaän toác ñoù giaûm daàn vaø khí

electron daàn trôû laïi traïng thaùi caân baèng. Quaù trình trôû veà traïng

thaùi ban ñaàu sau khi bò laøm leäch khoûi traïng thaùi ñoù ñöôïc goïi laø

söï hoài phuïc.

ρ

dv 1 ρ

Phöông trình chuyeån ñoäng coù daïng

m = − mv

dt τ

Nghieäm vôùi ñieàu kieän ban ñaàu t = 0 , v = v_d

v(t) = v_dexp (-t/τ)

caøng nhoû thì heä nhieãu loaïn trôû laïi caân baèng caøng nhanh.

τ - thôøi gian maø sau ñoù v_dgiaûm ñi e = 2,718 laàn, ñöôïc goïi laø

thôøi gian hoài phuïc.

YÙù nghóa vaät lyù cuûa τ :

τ coù thöù nguyeân thôøi gian vaø ñaëc tröng cho toác ñoä thieát laäp

traïng thaùi caân baèng cuûa heä

Vì quaù trình hoài phuïc laø do va chaïm neân τ cuõng coù theå xem laø

thôøi gian trung bình giöõa hai laàn va chaïm hay thôøi gian bay töï

do trung bình cuûa electron .

τ phuï thuoäc vaøo vaän toác chuyeån ñoäng cuûa electron : electron

chuyeån ñoäng caøng nhanh thì caøng deã bò va chaïm vaø do ñoù τ seõ

nhoû.

Ñònh luaät Ohm

Trong ñieän tröôøng, electron coù hai loaïi vaän toác : v_Tvaø v_d.

Vì v_d<< v_Tneân chuyeån ñoäng coù höôùng cuûa taäp theå electron

khoâng aûnh höôûng ñaùng keå ñeán thôøi gian bay töï do τ vaø do ñoù ñoä

daãn ñieän σ

ne²τ

σ =

m

noùi chung khoâng phuï thuoäc ñieän tröôøng ngoaøi E :

trong caùc kim loaïi coù söï phuï thuoäc tuyeán tính giöõa j vaø E

Ñoù chính laø noäi dung cuûa Ñònh luaät Ohm.

τ ≈ 10⁻¹⁴÷ 10⁻¹⁵s

Ño σ coù theå ñaùnh giaù ñoä lôùn cuûa

Quaõng ñöôøng bay töï do trung bình Λ = v_Tτ

Vôùi caùc kim loaïi tinh khieát, ñoä daãn ñieän σ ôû nhieät ñoä thaáp raát

lôùn hôn σ ôû nhieät ñoä phoøng.

Vôùi caùc tinh theå ñoàng raát saïch Λ(4^oK) ~ 0,3 cm. Trong moät

soá kim loaïi khaùc, Λ coù theå ñaït ñeán 10 cm.

Khi xem taùn xaï chính cuûa electron laø do maïng tinh theå thì

khoâng theå giaûi thích taïi sao quaõng ñöôøng bay töï do trung bình

cuûa electron trong maïng laïi coù theå raát lôùn hôn haèng soá maïng

( a chæ vaøi A^o) ñeán nhö vaäy.

Lyù thuyeát coå ñieån cuõng gaëp khoù khaên khi xeùt söï phuï thuoäc cuûa

σ vaøo nhieät ñoä trong kim loaïi.

3) Söï daãn nhieät cuûa khí electron

ï ã ä û

Electron trong kim loaïi khoâng nhöõng laø caùc haït taûi doøng maø coøn

laø haït taûi nhieät khi coù cheânh leäch nhieät ñoä.

coù moái lieân heä giöõa ñoä daãn ñieän σ vaø heä soá daãn nhieät K do

electron . Moái quan heä ñoù ñaõ ñöôïc Wiedemann vaø Franz thieát laäp

baèng thöïc nghieäm vaø baèng lyù thuyeát bôûi L. Lorentz.

Söï phuï thuoäc cuûa heä soá daãn

nhieät K vaøo ñoä daãn ñieän σ

cuûa moät soá kim loaïi ôû 20⁰C.

Ñònh luaät Wiedemann – Franz :

K

= LT

σ

L laø moät haèng soá baèng 2,3. 10^-8( watt.Ω / ñoä²)

Giaù trò thöïc nghieäm cuûa haèng soá Lorentz

( ñôn vò 10^-8watt.Ω / K²)

273

K

373

K

Kim

loaïi

Cu

Mo

Pd

Ag

Sn

Pt

2,23

2,61

2,59

2,31

2,52

2,51

3,31

2,33

2,79

2,74

2,37

2,49

2,60

2,89

Bi

Aùp duïng thuyeát ñoäng hoïc phaân töû, heä soá daãn nhieät cuaû khí

electron trong kim loaïi

1

1 3

K = cvΛ = ( nk_B)(v_T)(v_Tτ) = nk_Bv_T²τ

3 2

1

3

2

Keát hôïp vôùi bieåu thöùc cuûa ñoä daãn ñieän ta coù tyû soá

1

nk_Bv_T²τ

ne²τ

K

3 k_B

= ( )²T

2 e

2

=

σ

m

Veá phaûi tyû leä vôùi T. Heä soá tyû leä chæ phuï thuoäc vaøo caùc haèng soá vuõ

truï k_Bvaø e vaø do ñoù phöông trình naøy coù daïng cuûa ñònh luaät

Wiedemann - Franz vôùi

3 k_B

L = ( )²

2 e

ñöôïc goïi laø soá Lorentz.

Thay soá cuûa caùc haèng soá naøy vaøo, ta tính ñöôïc L = 1,11.10^-8

(W.Ω / K²) töông ñoái phuø hôïp vôùi thöïc nghieäm .

Nhöõng khoù khaên cuûa lyù thuyeát Drude

ù ê û ù

õ

á

ª quaõng ñöôøng bay töï do trung bình cuûa electron Λ coù theå

raát lôùn hôn haèng soá maïng a

ª nhieät dung cuûa khí electron ño ñöôïc raát nhoû so vôùi keát quaû

tính.

Do ñoù caàn phaùt trieån moät lyù thuyeát môùi khaéc phuïc ñöôïc

nhöõng khoù khaên ñoù.

II. Lyù thuyeát veà khí electron töï

á à

ù

ï

do cuûa Sommerfeld

û

1. Moâ hình cuûa Sommerfeld

§ caùc electron töï do trong kim loaïi taïo neân khí electron .

§ Caùc electron tuaân theo phaân boá Fermi – Dirac

§ Caùc electron chuyeån ñoäng töï do trong kim loaïi nhöng khoâng vöôït

ra khoûi noù : electron ñöôïc xem laø chuyeån ñoäng töï do beân trong moät

hoá theá coù beà roäng baèng kích thöôùc daøi cuûa tinh theå.

§ Traïng thaùi cuûa electron ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình Schrodinger

η²

− ( )∆ψ = Eψ

2m

ρ

Nghieäm cuûa phöông trình coù daïng soùng phaúng

Ψ = C exp(ikr)

trong ñoù k laø vec-tô soùng coù ñoä lôùn baèng 2π/λ

η²k²

vaø trò rieâng

E =

2m

Λ

Toaùn töû xung löôïng :

p = −iη∇

∧

Töø

coù theå suy ra soùng phaúng ψ = C exp ikr

p Ψ = pΨ

laø haøm rieâng cuûa toaùn töû xung löôïng vôùi trò rieâng baèng

ρ

p = ηk

ρ

Vaän toác cuûa electron

ρ

ηk

v =

m

Bài giảng Cơ sở vật lý chất rắn - Bài 5: Khi electron tự do trong kim loại - Lê Khắc Bình