Bài giảng Vật lý chất rắn - Chương 6: Năng lượng của điện tử trong trường tuần hoàn của tinh thể

CHÖÔNG VI

NAÊNG LÖÔÏNG CUÛA ÑIEÄN TÖÛ

TRONG TRÖÔØNG TUAÀN HOAØN

CUÛA TINH THEÅ

I. PHÖÔNG TRÌNH SCHRODINGER CUÛA ÑIEÄN

TÖÛ TRONG TRÖÔØNG TINH THEÅ

HY = EY

2



1

e

2

H = −

 −

 +

+ U(r ,R )+ V (R )

i  o 

  

r

ij

i



2m

2M 2

i



i ji

Ñoäng

naêng

cuûa caùc

loõi

nguyeân

töû

Theá

Theá naêng Theá naêng

töông taùc töông taùc

giöõa caùc giöõa caùc

electron vaø loõi nguyeân

loõi nguyeân töû

Ñoäng

naêng

naêng cuûa

caùc

töông

taùc giöõa

caùc

electron

töû

Khoâng theå giaûi baøi toaùn toång quaùt vaø chính xaùc.

Caùc pheùp gaàn ñuùng :

➢ Pheùp gaàn ñuùng ñoaïn nhieät

➢ Pheùp gaàn ñuùng moät electron

A. PHEÙP GAÀN ÑUÙNG ÑOAÏN NHIEÄT

Coi caùc haït nhaân ñöùng yeân khi xeùt chuyeån ñoäng cuûa caùc

electron vaø coi caùc electron taïo ra moät tröôøng trung bình

khi xeùt chuyeån ñoäng cuûa caùc haït nhaân → haøm soùng coù

theå vieát ñöôïc döôùi daïng:



(r ,R ) = (R ).Y(r ,R )

i 

 i 

Phöông trình Schrodinger ñöôïc taùch thaønh hai phöông trình:

❖ Phöông trình cho caùc loõi nguyeân töû:

²









2

−

 + V (R ) (R ) = E .(R )





o











2M

❖ Phöông trình cho caùc electron:

²

1

2

e²









i



i

−

²_i+

+ U(r ,R ) Y(r ,R ) = E (R ).Y(r ,R )



i



e



_2m _r





ij





i

j

→ Phöông trình cuûa heä nhieàu haït, khoâng theå giaûi toång quaùt vaø

chính xaùc  Giaûi gaàn ñuùng.

B. PHEÙP GAÀN ÑUÙNG MOÄT ÑIEÄN TÖÛ

KHAÙI NIEÄM VEÀ TRÖÔØNG TÖÏ HÔÏP

Tröôøng do caùc electron khaùc gaây ra taïi vò trí cuûa electron thöù i

1 e²



_i(r_i) =



₂ _r

ji

²

ij



2





 − _i+ _i(r_i) + V (r ) = H_i

i i



2m

Nghieäm cuûⁱa phöông trình Schrodinger coùⁱtheå vieát:



i

 



Y(r ) = Y (r ).Y (r )... = Y (r )



1 1

2 2

i i

i

Suy ra heä phöông trình ñoäc laäp daïng:

²





 



− ²_i+ U_i(r_i) Y_i(r_i) = E_iY_i(r_i)







2m



  

U(r ) = _i(r_i)+ V (r )

i

i i

Phöông trình Schrodinger cuûa moät electron trong

tinh theå

2





 





2

−  + U(r) Y(r) = EY(r)





2m











U(r + R) = U(r) = haømBloch



  



R = n a + n a + n a

r

1 1

2 2

3 3

i



r + n

HAØM SOÙNG  CUÛA ELECTRON

TRONG TRÖÔØNG THEÁ TUAÀN HOAØN



ˆ



Goïi

laø toaùn töû tònh tieán. Ta coù theå vieát haøm

T(n)

Bloch döôùi daïng toaùn töû:



ˆ

   

T(n)U(r) = U(r + n)

_{Nhö vaäy caùc vò trí} _vaø

 _{töông ñöông nhau veà}

r

+

n

phöông dieän vaät lí  Haøm soùng coù theå vieát döôùi

daïng:

Haøm soùng cuûa electron trong tröôøng theá tuaàn hoaøn

 



coù daïng

Y(r + n) = C_nY(r)

C_n: thöøa soá.



( )

Y r = haèng soá = mo dul cuûa haøm soùng

+

   

 

2

 Y(r + n).Y^*(r + n)dr = C_nY(r).Y^*(r)dr



−

^+

 

Y(r).Y^*(r)dr = 1

Ñieàu kieän chuaån hoùa:

−



2

C_n=1  C_n= e^ikn



: vectô soùng, thöù nguyeân cm^-1

k



 



Y(r + n) = e^iknY(r)





ˆ



  





T

T.Y(r) = Y(r + n) = e^iknY(r)



Y(r) = haøm rieâng cuûa toaùn töû





T



e^ikn= trò rieâng cuûa toaùn töû



 



Maø: HTY(r) = HY(r + n) = e^iknHY(r) = THY(r)

 Toaùn töû vaø giao hoaùn vôùi nhau → Chuùng coù

chung heä haøm rieâng.



 



 



e^−ik(r+n)Y(r + n) = e^−ikr.e^−ikn.e^iknY(r) = e^−ikr.Y(r)



−ikr



Ñaët u_k(r) = e .Y(r)



 

−ik(r+n)



 u_k(r + n) = e .Y(r + n)



−ikr −ikn ikn



= e .e .e Y(r) = u_k(r)



U_k(r + R) = U_k(r) = haømBloch

r

hay



u_k^(r + R) = u_k^(r)

vôùi

Soùng chaïy e^ikr

NAÊNG LÖÔÏNG ELECTRON TRONG TINH THEÅ

Haøm soùng laø moät haøm cuûa k neân trò rieâng E cuûa

Hamiltonian (naêng löôïng cuûa heä) cuõng phuï thuoäc



vaøo k :

E = E(k)



TÍNH CHAÁT CUÛA HAØM

E = E(k)

❖ E laø moät haøm chaün cuûa k : E(-k) = E(k)

Thay haøm Bloch vaøo phöông trình Schrodinger ta coù:

²



2





 



( )

( ) ( )

−  + ik + U r u_kr = E k u_kr







2m



Lieân hôïp phöùc:

²



2





 



*

( )

( ) ( )

−  − ik + U r u_kr = E k u_kr







2m





Ñoåi daáu cuûa :

k

²



2





 



( )

( ) ( )

−  − ik + U r u_−kr = E − k u_−kr





2m







*

 E(k) = E(−k)

( )

Thay u_kr =

( )

u_−kr

Vaäy naêng löôïng cuûa ñieän töû trong tinh theå laø moät

haøm chaün cuûa k.

Khi k  0 thì E(k)  k².

❖E(k) laø moät haøm tuaàn hoaøn vôùi chu kyø cuûa maïng



ñaûo.

E(k + G) = E(k)



 



Y_k(r + n) = e^iknY_k(r)

 



Thay k'= k + G

  

G = l b + l b + l b



1 1 2 2 3 3



 



e^ik'n= eⁱ⁽= e .e = e

k+G

)

n ikn iGn ikn



a_i.b_j= 2_ij



G.n

e^iG.n=1



= (n₁h + n₂k + n₃l).2 = 2n , vôùi nZ



(

)

ik'n

i k+G n

ikn iGn

ikn

 e = e = e .e = e



E(k + G) = E(k)

Do tính chaát naøy, ngöôøi ta thöôøng giôùi haïn vieäc

nghieân cöùu söï phuï thuoäc cuûa E theo k trong tröôøng

hôïp moät chieàu trong khoaûng:



a



a

−  k 

Trong khoâng gian k ba chieàu, mieàn giôùi haïn ñoù,

ñöôïc goïi laø vuøng Brillouin thöù nhaát, laø oâ nguyeân toá

Wigner - Seitz cuûa maïng ñaûo.

Trong caùc vuøng Brillouin:

E laø haøm ña trò cuûa k. ÖÙng vôùi moät giaù trò cuûa k coù

voâ soá giaù trò cuûa E trong töøng vuøng. Do ñoù phaûi coù

theâm chæ soá n ñaëc tröng cho giaù trò khaùc nhau cuûa

vuøng.

→ Ñaëc tröng E_n(k) → n : chæ soá vuøng.

→ Taäp hôïp caùc vuøng naêng löôïng öùng vôùi n

khaùc nhau xaùc ñònh caáu truùc vuøng naêng löôïng cuûa

chaát raén.

CAÁU TRUÙC VUØNG NAÊNG LÖÔÏNG CUÛA CHAÁT RAÉN

A. GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH SCHRODINGER BAÈNG

PHÖÔNG PHAÙP NHIEÃU LOAÏN

I . Pheùp gaàn ñuùng electron töï do

* Baøi toaùn khoâng nhieãu loaïn ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình

cuûa electron töï do:

²



− ²Y_o(r) = E_oY_o(r)

2m

Nghieäm cuûa phöông trình khi ñoù:

²k²

2m

E(k) =

* Nhieãu loaïn trong pheùp gaàn ñuùng naøy laø theá naêng

cuûa tröôøng tinh theå U (r)

Electron töï do ñöôïc moâ taû bôûi soùng chaïy daïng



(r) = Ce^ikr

Haøm soùng truyeàn trong moâi tröôøng coù tính tuaàn hoaøn

(tinh theå ). Do ñoù seõ coù phaûn xaï Bragg khi thoûa maõn

ñieàu kieän

2dsin =  n

Khi electron chuyeån ñoäng vuoâng goùc vôùi maët phaúng

nguyeân töû  = 90⁰vaø d = a, phöông trình Bragg

thaønh

2 

k = = n

 a



a

k = m

Khi electron coù k thoûa maõn

thì soùng töông

öùng vôùi chuùng seõ phaûn xaï treân maët nguyeân töû .

Soùng tôùi vaø soùng phaûn xaï coù theå toå hôïp vôùi nhau

taïo neân soùng ñöùng doïc theo chieàu vuoâng goùc vôùi

caùc maët nguyeân töû ñang xeùt.

Giaû söû caùc soùng tr_uyeàn treân phöông cuûa truïc 0x,



coù 2 caùch toå hôïp:^{i x −i x}



a



a



a

i x

−i x

Y = e + e = 2cos x



a

+

Y₊= e + e = 2cos x



a

i x −i x

Y = e −e = 2sin x



a

−

Xaùc suaát tìm thaáy electron  tyû leä vôùi  ²



a



a

Vôùi soùng chaïy:   * = eⁱ. e^-i=1

x

 coù theå tìm thaáy ñieän töû taïi moïi nôi trong tinh theå.

Vôùi soùng ñöùng:

❖ Soùng ⁺:



a

2

₊= Y₊~ cos²x =1



a



a

x

cos =  1  = n; n  Z

x = na

Caùc electron taäp

trung quanh caùc ion

+ taïi x = 0, a, 2a, ...

Theá tuaàn hoaøn moät chieàu

❖Soùng ^-:



a

2

₋= Y₋~ sin²x =1



a



x

sin =  1  = (2n+1) ; n  Z

x

2

a

2

x = (2n+1)

2 2 2

 caùc electron coù

xu höôùng taäp trung

ôû giöõa caùc ion +.

Hai caùch saép xeáp treân phaûi töông öùng vôùi caùc naêng

löôïng khaùc nhau.

Bài giảng Vật lý chất rắn - Chương 6: Năng lượng của điện tử trong trường tuần hoàn của tinh thể - Lê Văn Thăng