Tính toán hệ số tập trung ứng suất cho bài toán 2D FGM đẳng hướng bằng tích phân tương tác dựa trên phương pháp nút ảo
TÍNH TOÁN HỆ SỐ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT CHO BÀI TOÁN 2D FGM
ĐẲNG HƯỚNG BẰNG TÍCH PHÂN TƯƠNG TÁC DỰA TRÊN
PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO
THE INTERACTION INTEGRATION FOR STRESS INTENSITY FACTORS
OF ISOTROPIC FGM BASED ON THE PHANTOM – NODE METHOD
Châu Đình Thành1, Nguyễn Hữu Viên2
1 Trường đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM
2 Trường cao đẳng Kỹ Nghệ II TP.HCM
TÓM TẮT
Trong bài báo này, phương pháp nút ảo lần đầu tiên được sử dụng để tính toán các hệ số tập trung
ứng suất (SIFs) của các bài toán vết nứt 2D được làm bằng vật liệu đẳng hướng chức năng (FGM)
bằng tích phân tương tác. Các bài toán vết nứt được mô hình hóa bởi các phần tử tứ giác 4 nút.
Dựa trên phương pháp nút ảo, các ràng buộc động học của các phần tử chồng chéo được trình
bày để biểu diễn các trường chuyển vị của các phần tử bị nứt hoàn toàn hoặc một phần. Cách tiếp
cận này cho phép các vết nứt độc lập khỏi lưới chia. Dùng tích phân tương tác và dựa trên ứng xử
vật liệu FGM tác để tính SIFs dưới dạng mode hổn hợp. Một số ví dụ số được chứng minh để đánh
giá hiệu quả của phương pháp được đề xuất.
Từ khóa: Phương pháp nút ảo, FGM đẳng hướng, vết nứt, SIFs, tích phân tương tác.
ABSTRACT
In this paper, the phantom-node method is first employed to compute the stress intensity factors
(SIFs) of two-dimensional cracked problems made of isotropic functionally graded materials
(FGM) using the interaction integration. The cracked problems are modeled by 4-node
quadrilateral elements. Based on the phantom-node method, kinematics constraints of overlapping
elements are presented to represent the displacement fields of fully or partially cracked elements.
This approach allows for the cracks independent from the mesh. The interaction integration based
on the behavior of isotropic FGM is employed to extract the SIFs under mixed-mode loading.
Some numerical examples are demonstrated to evaluate the efficiency of the proposed approach.
Keywords: Phantom-node method, isotropic FGM, cracked problems, SIFs, interaction
integration.
khác. Và là loại vật liệu đẳng hướng, không
1. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
Vật liệu FGM là một trong những loại vật liệu đồng nhất và có thể chế tạo ra các loại kết cấu
composite đặc biệt thế hệ mới, được cấu thành khác nhau có những đặc tính theo yêu cầu sử
từ hai hay nhiều loại thành phần nhưng chủ yếu dụng, đây là sự khác biệt so với các loại vật liệu
là gốm và kim loại. So với vật liệu composite khác, vì thế nó xứng đáng với tên gọi là vật liệu
thông thường thì nó hạn chế được sự tách lớp thông minh [1].
và tập trung ứng suất do có tính chất vật liệu Vì có những tính chất như vậy nên vật liệu này
thay đổi liên tục từ bề mặt này sang bề mặt được ứng dụng khá rộng rải như: trong lĩnh vực
1
truyền thông dùng làm chất bán dẫn, sợi quang một số phương pháp khác, tuy nhiên mỗi
học,…; trong lĩnh vực năng lượng dùng trong phương pháp đều có ưu và nhược điểm của nó.
việc chế tạo máy phát điện, máy cảm biến, tấm Đối FEM sử dụng phần tử suy biến tại mũi vết
cách nhiệt, tua bin,…; trong lĩnh vực hàng nứt và khi chia lưới phần tử thì phải chia theo
không dùng chế tạo các bộ phận của máy bay, cạnh của vết nứt, XFEM sử dụng hàm làm giàu
tên lửa,…; trong lĩnh vực y học dùng để chế tạo không liên tục cho vết nứt cắt qua phần tử và
các dụng cụ nha khoa, chế tạo răng hay xương các bậc tự do được thêm vào thể hiện trường
nhân tạo,…; trong lĩnh vực hạt nhân dùng làm chuyển vị bất liên lục qua vết nứt mà không cần
nhiên liệu hạt trong lò phản ứng nhiệt hoạch,… chia lại lưới, còn sử dụng PNM thì mũi vết nứt
và các lĩnh khác có thể dùng làm vật liệu công có thể cắt qua phần tử, quan hệ động học của
nghệ cao trong xây dựng, dùng làm các dụng cụ vết nứt được xác định bằng sự chồng lên nhau
thể thao [1],…
giữa các phần tử thay vì thông qua các bậc tự
Để cho các ứng dụng trên hay một công trình do chưa biết được thêm vào và PNM không dựa
tồn tại theo thời gian thì chúng ta cần phải tìm trên các hàm làm giàu bất liên lục như XFEM.
hiểu những nguyên nhân có thể xãy ra làm ảnh Do đó, nội dung quan trọng trong nghiên cứu
hưởng đến sự phá hủy vật liệu, phá hủy kết cấu. này là dùng phương pháp nút ảo cho phần tử tứ
Một trong những nguyên nhân chính đó là do giác bốn nút để phân tích kết cấu 2D FGM có
bắt đầu phát triển các vết nứt trong phần tử chịu vết nứt.
lực. Đối với FGM, vào năm 1983 có hai nhà Các điểm chính của bài báo: phần 2 trình bày
khoa học Delale và Erdogan đã nghiên cứu đưa về phương pháp nút ảo cho phần tử tứ giác trong
ra lý thuyết quan hệ ứng xử của vết nứt [2]. bài toán 2D FGM. Phần 3 trình bày tính toán hệ
FGM là loại vật liệu có quan hệ ứng xử rất phức số tập trung ứng suất bằng tích phân tương tác.
tạp, ứng xử của nó được xét dưới dạng cơ học Các ví dụ số áp dụng được trình bày ở phần 4.
[3, 4], nhiệt học [5-9] hay sự kết hợp cả nhiệt Và phần cuối trình bày về các kết luận được rút
học và cơ học [10]. Sau đó Dollbow và Gosz ra và đề xuất một số kiến nghị.
đưa ra được cách tính hệ số tập tập trung ứng
suất (Stress Intensity Factors, viết tắt là SIFs)
và nhờ vào đó mà có thể tiên đoán, quyết định
sự phát triển của vết nứt [11-14].
2. PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO CHO PHẦN
TỬ TỨ GIÁC TRONG BÀI TOÁN 2D FGM
E x
Đối với vật liệu FGM thì mô đun đàn hồi
thay đổi theo phương trục x, Rao và Rahman
[21] , Dolbow và Gosz [31] đưa ra hàm tính
Người ta sử dụng nhiều phương pháp để phân
tích tính toán kết cấu có vết nứt nói chung và
vết nứt trong FGM nói riêng, ví dụ phương pháp
phần tử hữu hạn (FEM) [13, 15-17], phương
pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) [18, 19,
21], phương pháp nút ảo (PNM) [22-26, 28] và
E x
cho bài toán tấm 2D như sau:
E x Eexp x
(1)
Và hệ số poisson x là hằng số.
2
vị của phần tử [27]:
E x
D x
cũng
Khi hàm
thay đổi thì ma trận
4
u+ =
N j , u
thay đổi theo.
j
e
i1
(7)
unut
Đối với bài toán ứng suất phẳng:
4
u- =
Nk , u
k
e
i1
1
(x)
0
Để xấp xỉ FEM thì phần thực e
,
e được mở
E(x)
1 2 (x)
De (x)
(x)
1
0
1 (x)
2
(2)
rộng ra các phần mới tương ứng eP và eP
,
0
0
trên hai phần này có thêm các nút ảo mà có cùng
tọa độ và chuyển vị như nút thật. Kết quả thu
được là trường chuyển vị liên tục trên mỗi phần
tử và có thể tính toán chúng bằng FEM.
Đối với bài toán biến dạng phẳng:
1 (x)
(x)
0
E(x)
De (x)
(x) 1 (x)
0
1 2(x)
2
(3)
1 (x) 1 2(x)
Người ta lấy tích phân trên miền thực, ta tính
được ma trận độ cứng của phần tử nứt:
0
0
T
T
kenut
Be De (x)Bede
Be De (x)Bede
(8)
Một vết nứt chia phần tử gồm 3 phần:
e
e
2.1. Phần tử không nứt
2.3. Phần tử chứa mũi vết nứt
Trường chuyển vị phần tử này là liên tục, hàm
Xét phần tử tứ giác có vết nứt cắt qua, lúc đó
vết nứt chia phần diện tích ban đầu thành 3 phần
A1, A2, A3 và tổng diện tích 3 phần này bằng với
phần diện tích ban đầu, đồng thời xuất hiện
thêm các nút ảo được kí hiệu có dấu * trên đầu.
Đối với phần tử tứ giác thì vết nứt có thể phát
triển từ bốn cạnh của nó vào trong phần tử, vết
nứt phát triển từ cạnh 12 được trình bày ngắn
gọn như các Bảng 1, tương tự cho các cạnh còn
chuyển vị theo FEM được xấp xỉ bởi [27, 29]:
m
ue
Niuie
(4)
i1
Trong đó: uie là chuyển vị tại nút i;
là hàm
Ni
dạng trong hệ tọa độ tự nhiên và m là số nút của
phần tử.
Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:
e Beue
(5)
Ma trận độ cứng của phần tử:
Γk
lại. Với
là đường có chung chuyển vị giữa
T
kekhong nut
Be De (x)Bede
(6)
Γk
các phần tử chồng lên nhau, đường
song
e
song với trục tọa độ tự nhiên và đi qua mũi
2.2. Phần tử nứt hoàn toàn
Trong phần tử chứa vết nứt bị cắt qua hoàn toàn
thì trường chuyển vị của nó là không liên tục
vết nứt. Từ điều kiện cho sự khác biệt về chuyển
Γ
vị bằng 0 dọc theo đường k thì người ta xây
nhưng đối với mỗi phần
,
Ωe Ωe
thì liên tục và
dựng điều kiện ràng buộc động học của chúng
[24, 27].
không phụ thuộc vào nhau. Và trường chuyển
3
Bảng 1: Vết nứt phát triển từ cạnh 12
VẾT NỨT PHÁT TRIỂN TỪ CẠNH 12
Phần tử
Hình vẽ
Điều kiện ràng buộc động học
Đây là phần tử không nứt,
cơ sở lý thuyết trình bày ở mục 2.1
Loại 1
u*3 u3
u2 u*2
1
1
k u*3 ku2 ku*2 u3
(9)
u
1
u
u
u2
u3
u
1
1
I
0
0
0 0 0
0 0 0
0
I
u*
u*
0
Loại 2
2
2
Tut
(10)
1
e
u*
u*
0 kηI
I
0 0 -kηI
3
3
4
*
1
0
0
0
I
0
0
u
u*
u4
u4
2
u*4 u4 1
k u*4 ku1 ku1* u4
(11)
(12)
u1 u1*
1
u
1
*
*
u2
0
0
0
0 0 0
0 0
0 I
I
0
0
u
u
u
1
2
1
2
Loại 3
u3
u
I
0
0
u
T ut
2
e
0
-kηI
u3
u3
4
*
1
*
*
k I 0 0 I -kηI
0
u
u*
u4
u4
η
2
Với I là ma trận đơn vị 2x2; 0 là ma trận không Ma trận độ cứng phần tử mũi nứt một phần:
T
kemui vet nut
TTBe De (x)BeT d
2x2 tương ứng; T1, T2 là ma trận 8x12 và
1
1
t
e1
TT ,TT
là ma trận chuyển vị 12x8 tương ứng;
T
1
2
TTBe De (x)BeT2d
(13)
2
t
e2
T
Be
Be là ma trận 3x8 và
là ma trận chuyển vị
T
Be De (x)Bed
t
e3
8x3 tương ứng; De (x) là ma trận 3x3; ute là ma
trận 12x1.
4
2.4. Phương trình cân bằng
Rời rạc hóa vật thể hai chiều
có vết nứt trên
Ω
thành các phần tử. Sau đó gắn chuyển vị và
Biên Γ :u
u
o
ngoại lực lên các biên:
sao cho
Biên Γt : τ = τo
Γ Γ = Γ
u
t
. Tính toán theo FEM, phương
Hình 1. Hệ tọa độ x , x và r,
.
2
1
Γu Γt = 0
Dạng 1: SIFs cho vết nứt mở (mode I):
trình cân bằng của phần
như sau:
Ω
Trường ứng suất:
Ku Fext
(14)
(15)
2
3
2
3
2
3
2
1 sin sin
Với ext là ngoại lực:
F
x
y
I
2r
2
(18)
cos 1 sin sin
n
2
NTτod
Fext
xy
2
e1
sin sin
e
τ
o là vec tơ ứng suất trên biên:
Trường chuyển vị bài toán biến dạng phẳng:
T
(16)
cos 1 2(x) sin2
τo x
y
u
2 1(x)
2
2
r
(19)
I
Độ cứng K:
K
v
2
(x)
sin 2 2(x) cos2
T
2
2
Be De (x)Bede
e
khong nut
Trường chuyển vị bài toán ứng suất phẳng:
T
Be De (x)Bede
e
1(x)
2
cos
sin2
cos2
T
2 1(x)
u
2 1(x)
r
Be De (x)Bede
(20)
(21)
(17)
nut
I
e
v
2
(x)
2
2
sin
eT
2 1(x)
TTB De (x)BeT d
1
1
te1
0
a
T
eT
e
e
Với I lim
2 0 a
T2 B D (x)B T2d
r0
t
e2
2r
mui vet nut
T
Be De (x)Bed
Dạng 2: SIFs cho vết nứt trượt (mode II):
t
e3
Trường ứng suất:
3. TÍNH TOÁN HỆ SỐ TẬP TRUNG ỨNG
SUẤT BẰNG TÍCH PHÂN TƯƠNG TÁC
3.1. Giới thiệu hệ số tập trung ứng suất (SIFs)
SIFs là đại lượng thể hiện suy biến ứng suất tại
mũi vết nứt. SIFs còn đặc trưng của các trường
ứng suất, biến dạng và chuyển vị gần mũi vết
nứt. SIFs gồm 4 dạng: mode I, mode II , mode
III và dạng hỗn hợp (gồm mode I, mode II ,
mode III) . Quan hệ ứng xử của vật thể chứa vết
nứt có thể tiên đoán thông qua SIFs [20, 27, 30].
2
2
3
2
tan 2 cos cos
x
II
2
3
2
(22)
cos sin cos
y
2
2r
xy
3
1 sin sin
2
2
Trường chuyển vị bài toán biến dạng phẳng:
2
sin 2 2(x) cos2
u
2 1(x)
2
r
(23)
II
v
2
E(x)
cos 1 2(x) sin2
2
2
5
Trường chuyển vị bài toán ứng suất phẳng:
Đối với bài toán biến dạng phẳng:
x
2
* x
(33)
cos2
sin
12
x
2 1(x)
2
2 1(x)
u
r
(24)
(25)
v
2
E(x)
II
1(x)
Một vết nứt bất kì thì tồn tại ở trạng thái hiện
cos
sin2
2
1(x)
2
1
ij
1
ij
1
u , ,
tại (trạng thái 1
) và trạng thái bổ
ij
Với II 0 a
3.2. Tính hệ số tập trung ứng suất (SIFs)
2
ij
2
2
u , ,ij
sung (trạng thái 2
):
ij
12
1
2
1,2
J J J I
(34)
bằng tích phân tương tác cho bài toán 2D
FGM
Trong đó:
2
Tích phân tương tác cho vật liệu FGM có công
1
2
1
1
I
1
II
J
(35)
(36)
(37)
* x
12
1
2
1,2
thức [21]: J J J I
(26)
2
1
2
2
2
2
II
J
Trong đó:
I
*
x
2
E*
1
u
q
x
1
1
ij
1
J
W
dA
i
1 j
1,2
1
2
1
2
I
K K K KII
x1
I
I
II
A
j
x
(27)
D
1
2
1
ij
ijkl
1
Ta chọn trạng thái 2 cho trường tiệm cận hoàn
kl qdA
x1
A
2
toàn, từ đó tính SIFs của mode I (với KI 1,
2
u
q
2
2
2
J
W
dA
i
1 j
2
ij
2
2
II
KII 0
x1
x
) và mode II (với KI 0,K 1) ở
A
j
2
ij
Dijkl
x1
2
2
trạng thái 1 trong điều kiện tích phân tương tác
ui
1
2
2
2
ij
ij
kl qdA
E* x
xjx1
x1
2
A
1
1,I
KI
I
như sau:
(38)
(39)
(28)
2
2
1
u
x1
u
x1
E* x
q
1,2
1
2
1,2
I
ij
W
dA
1
1,II
i
i
I
1 j
ij
K
x
II
A
j
2
(29)
2
ij
D
2
2
1,I
1,II
Với I ,I
được tính theo công thức (29).
ui
1
1
ijkl
2
ij
ij
kl qdA
xjx1
x1
x1
A
4. CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG
1,2
Với
là năng lượng biến dạng tương tác:
W
4.1. Tấm chữ nhật có vết nứt biên nằm ngang
Tấm chữ nhật có kích thước W L 18 , vết
1
1,2
1
2
2
1
ij
W
ij ij ij
(30)
2
a
nứt nằm ngang có chiều dài vết nứt là và lưới
D
Và
gọi là tensor cấu thành của các thành
ijkl
chia là phần tử tứ giác bốn nút. Tấm chịu kéo
phần ứng suất của vết nứt.
o t b 0
có
phân bố tại cạnh trên và
Đối với dạng mode hỗn hợp tổng quát, ta có mối
cạnh dưới của tấm. Mối quan hệ giữa
và
o
o
1
J
2 2
quan hệ sau:
(31)
II
I
2
* x
được xác định bởi biểu thức
.
E / 1
o
1
o
Đối với bài toán ứng suất phẳng:
Vật liệu dùng có mô đun đàn hồi
* x x
1
E x E exp x với 0 x1 W trong đó
(32)
1
1
6
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
E E 0 , E E W và ln E / E . Giá trị
1
1
2
2
E1 1,
E2 / E1 0.1,
tỉ số
0.2, 5 và 10, tỉ số
0.3, 0.4, 0.5 và 0.6. Hệ số poisson
a / W 0.2,
0.3 [21].
a/2
a/5
a/10
a/20
Kích thước phần tử
KI tham khảo (a/W=0.3) [21]
KI (a/W=0.3)
KI tham khảo (a/W=0.5) [21]
KI (a/W=0.5)
Hình 4. Sự hội tụ của
chịu
với tỉ số
t
KI
(lưới chia đều).
E2 / E1 0.1
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
Hình 2. Tấm chữ nhật có vết nứt biên nằm
ngang chịu kéo: (a) Tải biến dạng o ; (b) Tải
chịu kéo phân bố đều t ; (c) Tải chịu kéo phân
a/2
a/5
a/10
a/20
bố tam giác
.
b
Kích thước phần tử
KI tham khảo (a/W=0.3) [21]
KI (a/W=0.3)
Dùng phần mềm GiD mô hình bài toán với các
lưới chia có số lượng phần tử khác nhau để khảo
sát sự hội tụ của hệ số tập trung ứng suất. Ở ví
dụ này chia lưới trong hai trường hợp đó là chia
lưới đều và chia lưới không đều như Hình 3.
KI tham khảo (a/W=0.5) [21]
KI (a/W=0.5)
Hình 5. Sự hội tụ của
chịu với tỉ số
t
KI
(lưới chia không đều).
E2 / E1 0.1
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
a/2
a/5
a/10
a/20
Kích thước phần tử
KI tham khảo (a/W=0.3) [21]
KI (a/W=0.3)
KI tham khảo (a/W=0.5) [21]
KI (a/W=0.5)
(a) Lưới chia đều (b) Lưới chia không đều
Hình 3. Lưới chia phần tử cho trường hợp
a/W = 0.5.
Hình 6. Sự hội tụ của
chịu
với tỉ số
t
KI
(lưới chia đều).
E2 / E1 5
Và để khảo sát thì dựa vào chiều dài vết nứt và
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
chia lưới với các kích thước phần tử khác nhau
như a/2, a/5, a/10 và a/20 (a/20 có nghĩa là có
khoảng 20 phần tử trên vết nứt có chiều dài a)
như Hình 4, Hình 5, Hình 6 và Hình 7. Và trong
nghiên cứu này khảo sát sự hội tụ KI cho trường
a/2
a/5
a/10
a/20
Kích thước phần tử
KI tham khảo (a/W=0.3) [21]
KI (a/W=0.3)
KI tham khảo (a/W=0.5) [21]
KI (a/W=0.5)
t
hợp chịu tải
như Hình 2(b) với tỉ số
a/W=0.3 và a/W=0.5, tỉ số E2 /E1=0.1 và
E2 /E1=5.
Hình 7. Sự hội tụ của
chịu với tỉ số
t
KI
(lưới chia không đều).
E2 / E1 5
7
Khi số phần tử càng lớn thì kết quả càng hội tụ tử a/20 ta tính ra được hệ số tập trung ứng suất
với lời giải tham khảo [21]. Trong hai cách chia
lưới thì bài toán chia lưới đều cho kết quả tốt
hơn. Và với các tỉ số E2 /E1 khác nhau thì kết
như Bảng 2, Bảng 3 và Bảng 4. Và vẽ đồ thị
KI
dựa trên các tỉ số E2 /E1 và a/W để đánh giá độ
chính xác của phương pháp như Hình 8, Hình 9
và Hình 10.
quả
của bài toán cũng hội tụ. Với các thông
KI
số như trên và chia lưới đều với kích thước phần
Bảng 2: Hệ số tập trung ứng suất
chịu kéo phân bố đều
KI
t
KI
E2
Phương pháp
E1
t a
a/W=0.2
1.2489
1.3877
1.2111
0.9374
1.2965
1.3956
1.1318
1.0019
1.3193
1.4188
1.1622
1.0324
1.2840
1.3900
1.1320
1.0030
1.3374
1.4193
1.1269
0.9958
a/W=0.3
1.8346
1.7511
1.2979
1.1684
1.8581
1.8395
1.3697
1.2291
1.8642
1.8497
1.3899
1.2499
1.8460
1.8310
1.3700
1.2280
1.8976
1.8668
1.3754
1.2343
a/W=0.4
2.4978
2.4086
1.7841
1.6681
2.5699
2.4436
1.7483
1.5884
2.5588
2.4486
1.7746
1.6146
2.5440
2.4310
1.7490
1.5880
2.5938
2.4657
1.7576
1.5980
a/W=0.5
3.4785
3.2234
2.4734
2.3378
3.5701
3.3266
2.3656
2.1762
3.5213
3.3234
2.4125
2.2234
3.4960
3.2920
2.3660
2.1750
3.5472
3.3297
2.3772
2.1889
a/W=0.6
4.9602
4.7050
3.5908
3.3504
5.1880
4.7614
3.4454
3.2124
5.0726
4.7860
3.5736
3.3371
4.9620
4.6690
3.4480
3.2120
4.9956
4.6905
3.4478
3.2167
PNM
0.1
0.2
5
10
0.1
0.2
5
10
0.1
0.2
5
10
0.1
0.2
5
Erdogan và Wu
[21]
(Giải tích)
Chen et al [21]
(FEM)
Kim và Paulino
[21]
(FEM)
10
0.1
0.2
5
B.N.Rao
S.Rahman [21]
(FEM)
và
10
1.6
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.10
0.20
5.00
10.00
0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
Tỉ số E2 /E1
KI tham khảo [21]
(b) Tỉ số E2/ E1 và KI (a/W =0.2)
Tỉ số a/W
KI
KI
KI tham khảo [21]
(a) Tỉ số a/W và KI (E2/ E1=0.1)
Hình 8. Độ chính xác của phương pháp PNM chịu tải
.
t
8
Bảng 3: Hệ số tập trung ứng suất
chịu tải biến dạng
o
KI
KI
o a
a/ W=0.2 a/ W=0.3 a/ W=0.4 a/ W=0.5 a/ W=0.6
E2
Phương pháp
E1
PNM
0.1
0.2
5
10
0.1
0.2
5
10
0.1
0.2
5
10
0.1
0.2
5
1.2111
1.3624
1.5138
1.5300
1.2963
1.3058
1.4946
1.5740
1.2961
1.3145
1.5414
1.6296
1.3118
1.3186
1.4835
1.5557
1.4314
1.5554
1.9680
2.0190
1.5083
1.5330
1.9118
2.0723
1.4919
1.5283
1.9499
2.1206
1.5191
1.5460
1.9161
2.0724
1.7484
1.8019
2.4805
2.8278
1.8246
1.8751
2.5730
2.8736
1.7962
1.8659
2.6238
2.9398
1.8241
1.8837
2.5819
2.8789
2.2349
2.2739
3.6463
4.1499
2.3140
2.4031
3.6573
4.2140
2.2594
2.3877
3.7429
4.3272
2.2800
2.3966
3.6698
4.2234
3.3505
3.3752
5.5909
6.6936
3.1544
3.2981
5.5704
6.6319
3.0544
3.2910
5.7936
6.9171
3.0100
3.2274
5.5708
6.6266
Erdogan và Wu
[21]
(Giải tích)
Chen et al [21]
(FEM)
B.N.Rao
S.Rahman [21]
(FEM)
và
10
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.10
0.20
Tỉ số E2 /E1
5.00 10.00
0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
Tỉ số a/W
KI
KI
KI tham khảo [21]
KI tham khảo [21]
(a) Tỉ số a/W và KI (E2/ E1=0.1)
(b) Tỉ số E2/ E1 và KI (a/W =0.2)
Hình 9. Độ chính xác của phương pháp PNM chịu tải
.
o
9
Bảng 4: Hệ số tập trung ứng suất
chịu kéo phân bố tam giác
KI
b
KI
E2
Phương pháp
b a
a/ W=0.2 a/ W=0.3 a/ W=0.4 a/ W=0.5 a/ W=0.6
E1
PNM
0.1
0.2
5
10
0.1
0.2
5
10
0.1
0.2
5
10
0.1
0.2
5
1.9656
1.7662
0.8354
0.6589
1.9040
1.5952
0.6871
0.5648
1.8880
1.5880
0.6870
0.5650
1.9029
1.5976
0.6865
0.5635
1.9966
1.7717
0.8270
0.7241
1.8859
1.6122
0.7778
0.6588
1.8640
1.6010
0.7780
0.6590
1.8747
1.6109
0.7830
0.6637
1.9771
1.7841
1.1488
0.9596
1.9778
1.7210
0.9236
0.8043
1.9430
1.7060
0.9240
0.8040
1.9539
1.7150
0.9310
0.8120
2.2631
2.0745
1.2766
1.2564
2.2151
1.9534
1.1518
1.0350
2.1450
1.9250
1.1580
1.0350
2.1547
1.9322
1.1666
1.0447
2.7168
2.5221
1.6579
1.5223
2.7170
2.4037
1.5597
1.4286
2.5530
2.3410
1.5610
1.4290
2.5484
2.3347
1.5626
1.4340
Erdogan và Wu
[21]
(Giải tích)
Kim và Paulino
[21]
(FEM)
B.N.Rao
S.Rahman [21]
(FEM)
và
10
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
0.10
0.20
Tỉ số E2 /E1
5.00 10.00
Tỉ số a/W
KI
(a) Tỉ số a/W và KI (E2/ E1=0.1)
Hình 10. Độ chính xác của phương pháp PNM chịu tải
KI tham khảo [21]
KI
KI tham khảo [21]
(b) Tỉ số E2/ E1 và KI (a/W =0.2)
.
b
Kết quả của phương pháp đề xuất thể hiện như Hình 8, Hình 9 và Hình 10 cũng gần bằng với lời
giải giải tích.
10
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
4.2. Tấm chữ nhật có vết nứt biên nằm ngang
chịu cắt
Tấm chữ nhật có kích thước L W như Hình 11,
vết nứt nằm ngang có chiều dài vết nứt là a và
lưới chia là phần tử tứ giác bốn nút. Tấm chịu
cắt có 1 phân bố tại cạnh trên của tấm. Vật
a/2
a/5
a/10
a/20
liệu dùng có mô
đun đàn hồi
0 x W
Kích thước phần tử
KII tham khảo (E2/E1=0.667) [31]
KII (E2/E1=0.667)
E x E exp x
với
trong đó
1
1
1
1
E E 0 , E E W
và ln E / E / W
1
.
Hình 13. Sự hội tụ của KII chịu cắt
.
1
2
2
Lưới chia đều và càng mịn thì cho kết quả KI
,
E / E 0.5,
0.556, 0.667,
E 1,
1
Giá trị
tỉ số
2
1
KII càng hội tụ, càng gần với
I và KII tham
K
0.833, 1, 1.25, 2, 2.5, 5 và 10, tỉ số a / W 0.5
Hệ số poisson 0.3 [31].
.
khảo. Kết quả hội tụ với lưới chia a/20 phần tử
nên kết quả trình bày ở Bảng 5 là dùng lưới chia
đều và với lưới chia a/20 phần tử.
Bảng 5: Hệ số tập trung ứng suất KI
cắt
,
KII chịu
E2 / E1
KI
KII
Phương pháp
PNM
0.5
0.556
0.667
0.833
1
1.25
2
2.5
5
1.243
1.133
0.973
0.878
0.766
0.774
0.703
0.709
0.707
0.699
1.110
1.092
1.061
1.016
0.996
0.962
0.893
0.862
0.772
0.689
1.189
1.156
1.080
0.972
0.973
1.013
0.862
0.803
0.730
0.689
1.093
1.078
1.052
1.014
0.997
0.967
0.905
0.887
0.791
0.708
Hình 11. Tấm hình chữ nhật có vết nứt biên
nằm ngang chịu cắt
.
Ở ví dụ này khảo sát sự hội tụ với các kích thước
phần tử a/2, a/5, a/10 và a/20 cho trường hợp
lưới chia đều, vì lưới chia đều cho kết quả tối
ưu như Hình 12 và Hình 13.
10
J.E.Dolbow
and M.Gosz
[31]
0.5
0.556
0.667
0.833
1
1.25
2
2.5
5
(XFEM)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
10
a/2
a/5
a/10
a/20
Kết quả bằng XFEM [31] cho kết quả tốt hơn
PNM là do có sử dụng hàm làm giàu tại mũi vết
nứt.
Kích thước phần tử
KI tham khảo (E2/E1=0.667) [31]
KI (E2/E1=0.667)
Hình 12. Sự hội tụ của
chịu cắt
.
KI
11
4.3. Tấm chữ nhật có vết nứt giữa nằm xiên
Tấm chữ nhật kích thước L W có vết nứt xiên
ở biên có chiều dài a, lưới chia là phần tử tứ giác
bốn nút. Vật liệu dùng có mô đun đàn hồi
0 x W
E x Eexp x 0.5
với
1
1
1
trong đó E 1, tỉ số L / W 2 tỉ số
Hình 14. Tấm hình chữ nhật có vết nứt xiên
ở biên.
Dùng phần tử tứ giác bốn nút, kết quả cũng hội
0,
a / W 0.4 2 và
1. Hệ số poisson 0.3 . Tấm chịu tải
phân bố tại cạnh
0.1, 0.25, 0.5, 0.75 và
tụ khi mô hình lưới chia a/20 phần tử. Với các
thông số như trên ta tính ra được hệ số tập trung
Eexp x 0.5
22
1
trên của tấm, với 1. Vết nứt nằm ở biên và
nghiêng một góc 45o so với phương ngang như
Hình 14 [21].
ứng suất
Bảng 6.
,
và kết quả được thể hiện trong
KI KII
Bảng 6: Hệ số tập trung ứng suất
,
chịu
KI KII
22
Eischen [21]
(FEM)
Kim và Paulino [21]
(FEM)
PNM
KI
E a
1.358
1.218
1.217
1.088
1.004
0.928
KII
E a
0.586
0.532
0.509
0.465
0.433
0.398
KI
KII
KI
E a
1.451
1.396
1.316
1.196
1.089
0.993
KII
E a
0.604
0.579
0.544
0.491
0.443
0.402
E a
E a
0.0
0.1
0.25
0.5
0.75
1
1.438
0.605
–
–
–
–
–
–
–
–
0.984
0.395
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.10 0.25 0.50 0.75 1.00
0.10 0.25 0.50 0.75 1.00
Hệ số ɳ
Hệ số ɳ
KI
KII
KI tham khảo [21]
KII tham khảo [21]
(a) Hệ số
(b) Hệ số
và
và
KI
KII
Hình 15. Độ chính xác của phương pháp PNM chịu tải
với vết nứt xiên.
22
Nhìn vào Hình 15 cho thấy kết quả của tác giả tính ra được đã hội tụ và gần bằng với kết quả
phương pháp FEM. Phương pháp FEM cho kết quả tốt hơn phương pháp PNM là do người ta sử
dụng các phần tử suy biến tại mũi vết nứt.
12
toán. Phương pháp này khi tính toán hệ số tập
5. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trong bài báo này đã nghiên cứu và thực hiện trung ứng suất cho kết quả gần xác với lời giải
phương pháp nút ảo với cho phần tử tứ giác bốn giải tích. Chính vì thế phương pháp nút ảo áp
nút vật liệu FGM, dùng ràng buộc động học cho dụng tính toán các kết cấu có vết nứt phức tạp.
chồng lên nhau của các phần tử và cho phép vết Để cho kết quả hệ số tập trung ứng suất tốt hơn
nứt cắt toàn bộ hoặc một phần các phần tử. Các thì cần phải chia lưới mịn hơn và sử dụng phần
điều kiện ràng buộc động học được phát triển tử suy biến tại mũi vết nứt. Và bài trong thời
để thể hiện sự bất liên tục của vết nứt. Do đó gian tới áp dụng tính toán cho các bài toán tấm
khi vết nứt phát triển tùy ý thì không cần chia có nhiều vết nứt, bài toán 3D FGM.
lại lưới, giúp tiết kiệm rất nhiều thời gian tính
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Ichiro Shiota and Yoshinari Miyamoto, Functionally Graded Materials. Elsevier, 1996.
[2] Li Cheng Guo, Lin Zhi Wu, and Tao Zeng, The dynamic response of an edge crack in a
functionally graded orthotropic strip. Mechanics Research Communications, 2005. 32: p. 385–
400.
[3] Chi Shyang Ho and Chung Yen Ling, Mechanical behavior of functionally graded material
plates under transverse load—Part II: Numerical results. International Journal of Solids and
Structures, 2006. 43(13): p. 3675-3691.
[4] Chi Shyang Ho and Chung Yen Ling, Corrigendum to “Mechanical behavior of functionally
graded material plates under transverse load—Part II: Numerical results” [International Journal
of Solids and Structures 43 (2006) 3675–3691]. International Journal of Solids and Structures,
2007. 44(5): p. 1691.
[5] Ibrahim Hesham Hamed, Tawfik Mohammad, and Al-Ajmi Mohammed, Thermal Buckling
and Nonlinear Flutter Behavior of Functionally Graded Material Panels. Journal of Aircraft,
2007. 44(5): p. 1610-1618.
[6] Jun Zhao, Xing Ai, Jianxin Deng, and Jinghai Wang, Thermal shock behaviors of functionally
graded ceramic tool materials. Journal of the European Ceramic Society, 2004. 24(5): p. 847-854.
[7] Bao Lin Wang and Yiu Wing Mai, On Thermal Shock Behavior of Functionally Graded
Materials. Journal of Thermal Stresses, 2007. 30: p. 523–558.
[8] Molaei Najafabadi Masoud, Ahmadian M. T, and Taati Ehsan, Effect of thermal wave
propagation on thermoelastic behavior of functionally graded materials in a slab symmetrically
surface heated using analytical modeling. Composites Part B: Engineering, 2014. 60: p. 413-422.
[9] Ulukoy A, Topcu M, and Tasgetiren S, The effect of aging treatments on wear behavior of
aluminum matrix functionally graded material under wet and dry sliding conditions.
Materialwissenschaft und Werkstofftechnik, 2011. 42(9): p. 806-811.
13
[10] Ma Li, Wu Lin Zhi, Guo Li Cheng, and Zhou Zhen Gong, Dynamic behavior of a finite crack
in the functionally graded materials. Mechanics of Materials, 2005. 37(11): p. 1153-1165.
[11] Jeong Ho Kim, Mixed - Mode Crack Propagation In Functionally Graded Materials. 1996.
[12] Bahr H. A, Balke H, Fett T, Hofinger I, Kirchhoff G, Munz D, Neubrand A, Semenov A.S,
Weiss H.J, and Yang Y.Y, Cracks in functionally graded materials. Materials Science and
Engineering: A, 2003. 362(1-2): p. 2-16.
[13] Gu Pei and Asaro R.J, Cracks in functionally graded materials. International Journal of Solids
and Structures, 1997. 34(1): p. 1-17.
[14] Zh. Jin and R.C. Batra, Some Basic Fracture Mechanics Concepts In Functionally Graded
Materials. J. Mech. Phw. Solids, 1996. 44: p. 1221-1235.
[15] Prof. Zhangxin Chen, Finite_Element_Methods_and_Their Applications. 2005.
[16] Klaus Jurgen Bathe, Finite_Element_Procedures. 2016.
[17] S. S. Quek and G. R. Liu, The Finite Element Method: A practical course. 2003.
[18] M. Stolarska, D.L. Chopp, N.Moes, and T. Belytschko, Modelling crack growth by level sets
in the extended finite element method. Int. J. Numer. Meth. Engng, 2001. 51: p. 943–960.
[19] John Dolbow, Nicolas Moes, and Ted Belytschko, An extended finite element method for
modelling crack growth with friction contact. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg, 2001. 190:
p. 6825-6846.
[20] Jeong Ho Kim and Glaucio H. Paulino, On Fracture Criteria for Mixed-Mode Crack
Propagation in Functionally Graded Materials. Mechanics of Advanced Materials and Structures,
2007. 14: p. 227–244.
[21] B.N. Rao and S. Rahman, Mesh-free analysis of cracks in isotropic functionally graded
materials. Engineering Fracture Mechanics, 2003. 70: p. 1–27.
[22] Anita Hansbo and Peter Hansbo, A finite element method for the simulation of strong. Comput.
Methods Appl. Mech. Engrg, 2004. 193: p. 3523–3540.
[23] J. Mergheim, E. Kuhl, and P. Steinmann, A finite element method for the computational
modelling. Int. J. Numer. Meth. Engng, 2005. 63: p. 276–289.
[24] Rabczuk Timon, Zi Goangseup, Gerstenberger Axel, and Wall Wolfgang A, A new crack tip
element for the phantom‐node method with arbitrary cohesive cracks. Int. J. Numer. Meth. Engng,
2008. 75(5): p. 577-599.
[25] Vu-Bac N, Nguyen Xuan H, Chen L, Lee C.K, Zi G, Zhuang X, Liu G.R, and Rabczuk T, A
Phantom-Node Method with Edge-Based Strain Smoothing for Linear Elastic Fracture
Mechanics. Journal of Applied Mathematics, 2013. 2013: p. 1-12.
[26] Jeong Hoon Song, Pedro M. A. Areias, and Ted Belytschko, A method for dynamic crack and
shear band propagation with phantom nodes. Int. J. Numer. Meth. Engng, 2006. 67: p. 868–893.
14
[27] Thanh Chau Dinh, Tuan Le Viet, Hieu Nguyen Van, and Goangseup Zi, Phantom node
method for arbitrary cracked problems with 4-node quadrilateral elements. 2nd International
Conference on Green Technology and Sustainable Development, 2014. 2.
[28] Chau Dinh Thanh, Zi Goangseup, Lee Phill-Seung, Rabczuk Timon, and Song Jeong-Hoon,
Phantom-node method for shell models with arbitrary cracks. Computers & Structures, 2012. 92-
93: p. 242-256.
[29] Roshdy S.Barsoum, On The Use Of Isoparametric Finite Elements In Linear Fracture
Mechanics. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1976. 10: p. 25-37.
[30] Jeong Ho Kim and Glaucio H.Paulino, Finite element evaluation of mixed mode stress
intensity factors in functionally graded materials. Int. J. Numer. Meth. Engng, 2002. 53: p. 1903–
1935.
[31] J.E.Dolbow and M.Gosz, On the computation of mixed-mode stress intensity factors in
functionally graded materials. International Journal of Solids and Structures, 2002. 39: p. 2557–
2574.
Tác giả chịu trách nhiệm bài viết:
Họ tên: Nguyễn Hữu Viên
Điện thoại: 0973 908 271
Đơn vị: Trường Cao đẳng Kỹ Nghệ II TP.HCM
TP Hồ Chí Minh, ngày …… tháng …… năm 2018
Xác nhận của Giảng viên hướng dẫn
(Ký & ghi rõ họ tên)
TS. Châu Đình Thành
15
BÀI BÁO KHOA HỌC
THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ
Bài báo khoa học của học viên
có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn
Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ
Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam.
Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý
của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh.
ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN!
Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2018-2019 của Thư viện Trường Đại học
Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.
16 trang
11/01/2024
17400
Free
Bạn đang xem tài liệu "Tính toán hệ số tập trung ứng suất cho bài toán 2D FGM đẳng hướng bằng tích phân tương tác dựa trên phương pháp nút ảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- tinh_toan_he_so_tap_trung_ung_suat_cho_bai_toan_2d_fgm_dang.pdf
