Phương pháp lặp giải phương trình vi phân cấp cao với hệ số phụ thuộc các phiếm hàm tích phân
ISSN: 1859-2171
TNU Journal of Science and Technology
200(07): 41 - 47
PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VỚI HỆ SỐ
PHỤ THUỘC CÁC PHIẾM HÀM TÍCH PHÂN
Vũ Vinh Quang*, Lại Văn Trung
Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông – ĐH Thái Nguyên
TÓM TẮT
Trong các dạng phương trình vi phân bậc cao, lớp các phương trình có chứa các hệ số phụ thuộc
các phiếm hàm tích phân mô tả các dạng bài toán đặc biệt trong cơ học đang được các nhà toán
học quan tâm trong thời gian gần đây. Các kết quả đã nghiên cứu thường đề cập đến tính chất định
tính của các bài toán, tuy nhiên việc tìm nghiệm số của các dạng bài toán này chưa được quan tâm
do dạng đặc biệt của bài toán. Nội dung của bài báo gồm hai phần: phần thứ nhất trình bày kết quả
xây dựng lược đồ sai phân bậc cao đối với phương trình vi phân cấp hai, phần thứ hai trình bày các
kết quả xây dựng lược đồ lặp giải các phương trình vi phân bậc cao có các hệ số phụ thuộc các
phiếm hàm dạng tích phân. Các kết quả thực nghiệm số trên các lược đồ sai phân bậc cao khẳng
định tính hữu hiệu của các sơ đồ lặp đã đề xuất.
Từ khóa: Phương trình vi phân bậc cao, lược đồ sai phân, phiếm hàm tích phân, sơ đồ lặp.
Ngày nhận bài: 01/3/2019; Ngày hoàn thiện: 25/3/2019; Ngày duyệt đăng: 07/5/2019
ITERATIVE METHOD FOR SOLVING HIGHER
ODER DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH COEFFICIENTS
DEPENDENT ON INTEGRAL FUNCTIONS
Vu Vinh Quang*, Lai Van Trung
University of Information and Communication Technology - TNU
ABSTRACT
In higher order differential equations, classes of equations contain coefficients that depend on
integral functions describing special types of problems in mechanics that are of interest to
scientists recently. The results studied often refer to the qualitative nature of the problems.
However, finding the numerical solution of these types of problems has not been considered due to
the special form of the problem. The content of the article consists of two parts: The first part
presents the results of developing a higher oder differential diagram for the second order
differential equation, the second part presents the results of building a loop iteration of higher oder
differential equations with coefficients that depend on integral functions. The numerical
experimental results on higher oder differential diagram confirm the effectiveness of the proposed
iteration diagram.
Keywords: Higher order differential equations, differential diagram, integral function, iteration
diagram.
Received: 01/3/2019; Revised: 25/3/2019; Approved: 07/5/2019
41
Vũ Vinh Quang và Đtg
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
200(07): 41 - 47
Trong [4], các tác giả T.F. Ma, A.L.M.
Martinez đã xét dạng bài toán biên phi tuyến
cấp 4 dạng
1. Giới thiệu
Khi nghiên cứu về phương trình vi phân phi
tuyến tính bậc cao, một trong những kết quả
đã đạt được trong những năm qua có thể kế
đến các kết quả của nhóm tác giả: Đặng
Quang Á, Nguyễn Thanh Hường, Ngô Thị
Kim Quy. Dạng phương trình phi tuyến tổng
quát nhất được xét là dạng:
L
(5)
Có thể thấy rằng điểm chung của các mô hình
bài toán (3), (4), (5) mà các tác giả đã nghiên
cứu đều có các hệ số của phương trình phụ
thuộc tích phân của hàm cần tìm. Để nghiên
cứu các bài toán này, chúng ta có thể sử dụng
các phương pháp biến đổi để chuyển các
thành phần phụ thuộc tích phân sang vế phải
của phương trình chuyển các bài toán đang
xét về dạng bài toán (1). Khi đó có thể nghiên
cứu sự hội tụ của phương pháp lặp bằng các
phương trình toán tử và việc tính toán số sử
dụng các lược đồ sai phân với độ chính xác
bậc bốn của dạng bài toán (2). Hiển nhiên khi
thực hiện phép biến đổi, thành phần vế phải
sẽ trở nên phức tạp hơn vì sẽ chứa thêm thành
(1)
Về mặt lý thuyết, sự hội tụ của sơ đồ lặp trên
đã được chứng minh bằng lý thuyết của
phương trình toán tử. Việc giải số các bài toán
cấp hai đã thực hiện bằng việc xây dựng các
lược đồ sai phân với độ chính xác cấp 4 cho
bài toán cấp hai.
(2)
Các kết quả đã được công bố trong [1].
phần hàm
. Một cách tự nhiên, chúng ta
f(x)
Trong các công trình gần đây, một số tác giả
trên thế giới đã đề cập tới các mô hình bài
toán cơ học có sự phụ thuộc tích phân. Cụ
thể, trong [2], các tác giả: N. Kachakhidze, N.
Khomeriki, J. Peradze, Z. Tsiklauri đã nghiên
cứu mô hình bài toán được mô hình hóa bởi
phương trình phi tuyến cấp hai
cần nghiên cứu phương pháp giải các bài toán
trên mà không cần chuyển các thành phần
chứa tích phân sang vế phải.
Để giải quyết vấn đề trên, trong bài báo này
chúng tôi trình bày việc xây dựng phương
pháp lặp tổng quát cho mô hình các bài toán
có hệ số phương trình chứa thành phần tích
phân của đạo hàm cần tìm và lược đồ sai phân
với độ chính xác cấp bốn cho bài toán cấp hai
dạng tổng quát hơn.
(3)
Bài báo gồm 5 phần, sau Phần giới thiệu là
Phần 2, trình bày lược đồ sai phân với độ
chính xác bậc cao; Phần 3, trình bày mô hình
bài toán biên với hệ số phụ thuộc phiếm hàm
tích phân và sơ đồ lặp để giải bài toán; Phần
4, trình bày cá kết quả thực nghiệm và Phần 5
là phần Kết luận.
Trong [3], các tác giả Q.A. Dang, T.L.Vu đã
nghiên cứu mô hình bài toán cấp bốn phi
tuyến dạng
2
2. Lược đồ sai phân với độ chính xác bậc cao
(4)
42
Vũ Vinh Quang và Đtg
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
200(07): 41 - 47
Trong phần này chúng ta xét dạng bài toán biên tổng quát
(6)
Chúng ta sẽ xây dựng lược đồ sai phân tìm nghiệm số của bài toán với độ chính xác bậc 4.
2.1 Phương pháp sai phân đạo hàm
Xét công thức khai triển Taylor
h3
h3
h 4
u(x
1
4
Trong đó kí hiệu là bước lưới. Xuất phát từ (8), ta nhận được
u
Thay vào công thức Taylor, ta nhận được
h2
h3
6
h4
ui
ui
2
24
h2
2
h3
6
h4
24
h4
12
Từ đây suy ra
ui
h2
u
h2(1
Hay ui''
12
k2
Đặt
Vậy ta có lược đồ sai phân với độ chính xác cấp 4
h2
u
k2
12
(7)
h2k2
ui
Sử dụng các công thức tính đạo hàm với độ chính xác bậc cao
1
f '(x0 )
f '(xn )
12h
1
43
Vũ Vinh Quang và Đtg
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
200(07): 41 - 47
1
f ''(x0 )
12h2
1
f ''(x1)
f ''(xk )
f ''(xn
12h2
1
12h
1
)
12h
1
f ''(xn )
2
Ta thu được hệ phương trình sai phân với độ chính xác cấp 4 đối với bài toán (6) như sau
(12h
k2
h2k2
ui
(12h
Ta thu được hệ đại số tuyến tính
AU
(8)
trong đó
02 03 04
a12
0
0
0
0
0
a22 a23
a31 a32 a33
0
0
0
0
...
0
A
...
an
a
an
a
a
an
0
0
0
0
0
a
a
0
a
a
a
a
T
U
T
.
Nhận xét
dụng tính chất trên, ta biến đổi ma trận của hệ
(8) về dạng ba đường chéo qua bốn bước theo
sơ đồ tính toán như sau:
- Hệ phương trình sai phân (8) chính là hệ
phương trình sai phân tương ứng với bài toán
biên cho phương trình vi phân (6) với độ
chính xác cấp 4.
a03 :
a02 :
a01 :
- Ma trận
A
của hệ không phải dạng 3 đường
chéo, do đó hệ không giải được bằng thuật
toán truy đuổi.
2.2 Thủ tục biến đổi cơ bản
Theo tính chất của hệ đại số tuyến tính, hệ sẽ
không thay đổi nếu ta nhân một hàng tùy ý
F :
1
với một số
k
sau đó cộng vào hàng 1. Sử
44
Vũ Vinh Quang và Đtg
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
200(07): 41 - 47
Các sơ đồ tính toán trên cũng được thực hiện tương tự đối với hàng thứ n 1 của hệ do tính chất
đối xứng.
Hiển nhiên qua sơ đồ tính toán trên, ma trận của hệ được chuyển về dạng 3 đường chéo. Sơ đồ
tính toán trên được viết thành một thủ tục chuẩn biến đổi hệ ban đầu về hệ mới dạng ba đường
chéo. Dễ kiểm tra thấy rằng các hệ số của hệ sau khi biến đổi thỏa mãn tính chất
a00
Tức là hệ thu được là hệ ba đường chéo có tính chất chéo trội.
Hệ (8) sau khi biến đổi giải được bằng thuật toán ba đường chéo với độ phức tạp tính toán O(n).
Thuật toán giải hệ được thiết kế thành thủ tục chuẩn qtr4(…).m bằng ngôn ngữ Matlab.
Bảng 1. Một số kết quả kiểm tra sai số đối với qtr4.m
ex
Lưới chia
sinx
10
50
7.9e-6
1.6e-8
5.6e-6
1.1e-8
1.2e-5
2.8e-8
100
200
500
1000
1.0e-9
7.1 e-10
4.6e-11
1.1e-11
1.0e-12
1.8e-9
6.4e-11
2.7e-11
1.0e-12
1.2e-10
5.3e-11
2.2e-12
Thủ tục qtr4.m luôn luôn được sử dụng để tìm nghiệm số cho các sơ đồ lặp sẽ được đề xuất trong
các mục tiếp sau.
3. Mô hình bài toán biên với hệ số phụ thuộc các phiếm hàm tích phân
Trong phần này, chúng tôi trình bày việc giải quyết một dạng mô hình bài toán được mô tả bằng
các bài toán biên cho phương trình vi phân. Điểm khác biệt cơ bản là các hệ số của phương trình
vi phân sẽ chứa tính phân của đạo hàm của hàm cần tìm
(9)
Đây chính là dạng tổng quát của bài toán đã được các tác giả N. Kachakhidze, N. Khomeriki, J.
Peradze, Z. Tsiklauri đưa ra trong [2]. Với bài toán trong [2], bằng cách đặt u v, bài toán
''
v f ,0 x 1,
v 0 v 1 0.
chuyển về dạng bài toán
Từ đó bằng cách xác định tham số
để tìm nghiệm của bài toán.
Cần lưu ý rằng phương pháp trên chỉ áp dụng được cho bài toán cụ thể (3) do các tác giả đặt ra.
Khác với các tác giả trên, chúng tôi xét bài toán tổng quát hơn và đề xuất phương pháp giải quyết
bài toán như sau:
b
Đặt
, khi đó bài toán (9) có dạng
a
(10)
45
Vũ Vinh Quang và Đtg
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
200(07): 41 - 47
Hiệu chỉnh
Hiển nhiên nếu xác định được
thì nghiệm
b
k1 uk' (s) 2 ds .
số của bài toán sẽ được tìm từ thủ tục qtr4.m.
Chúng ta xây dựng thuật toán lặp như sau:
Thuật toán :
a
MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
Bước 1: Xuất phát
Bước 2: Với mọi
Trước tiên, chúng ta xét bài toán được các tác
giả N. Kachakhidze, N. Khomeriki, J.
Peradze, Z. Tsiklauri đưa ra trong tài liệu [2]
k
. giải liên
tiếp hai bài toán
(x)
(11)
Trong đó
6+8 3
p1(z) pi*(z+1)/(z+2));f(x)=
2
2
4 3
2
Bài toán trên có nghiệm đúng là ud (x)
(x-1)sin
Đây là trường hợp đơn giản của dạng 1 với điều kiện biên Dirichlet. Áp dụng thuật toán 1, chúng
tôi nhận được kết quả như sau:
Bảng 2. Kết quả số so sánh tài liệu [2]
Số bước lặp
Sai số
0.3644
0.0248
0.0032
Số bước lặp
Sai số
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
e-6
e-7
e-8
e-8
e-9
6
8
1
3
3
4
e-4
e-5
Có thể thấy rằng phương pháp lặp hội tụ rất nhanh và sai số đạt được là tốt hơn nhiều so với sai
số trong tài liệu [2] đã công bố (Sai số e-3).
Sau đây chúng tôi đưa ra một số kết quả tính toán với các hàm hệ số được chọn là tùy ý, điều
kiện biên Neumann;
Bảng 3. Kết quả kiểm tra đối với thuật toán 1
p1(z)
ud
K
ud
ud
ud
K
5
K
1
2
3
4
5
6
k
2
2
4
6
0.0028
0.058
0.0076
0.001
0.2593
0.265
3
3
4
e-5
e-7
e-9
10
15
20
30
45
7
3
1
9
6
e-4
e-5
e-6
e-8
e-9
4
6
8
10
3
4
e-4
e-6
8
1
3
3
e-4
e-6
e-7
5
e-8
10
12
8
3
e-11
e-11
2
e-10
46
Vũ Vinh Quang và Đtg
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
200(07): 41 - 47
Bảng 4. Kết quả kiểm tra đối với thuật toán 1
p1(z)
ud
ud
ud
ud
K
K
K
k
10
20
6
4
e-8
e-11
Không hội tụ
5
10
7
1
e-5
e-9
5
10
5
6
e-6
e-10
phương trình vi phân tuến tính và phi tuyến tính
cấp cao, Hội nghị khoa học Quốc gia FAIR 10,
107-126.
[2]. N. Kachakhidze, N. Khomeriki, J. Peradze, Z.
Tsiklauri (2016), “Chipot’s method for a one-
dimensional Kirchohoff static equation”, Numer
4. Kết luận
Giải các phương trình vi phân cấp cao mà đặc
biệt là lớp các phương trình vi phân cấp cao
có hệ số phụ thuộc phiếm hàm tích phân là rất
có ý nghĩa trong cơ học. Bài báo đã trình bày
việc giải số cho bài toán phương trình vi phân
cấp hai tổng quát với hệ số phụ thuộc phiếm
hàm tích phân. Đây là một kết quả rất quan
trọng để chúng tôi tiếp tục nghiên cứu và giải
quyết các bài toán vi phân cấp cao hơn.
Algor ,73, 1091-1106.
[3]. Quang A. Dang, Vu Thai Luan (2010),
“Iterative method for solving a nonlinear fourth
order boundary value problem”, Computers and
Mathematics with Applications, 60, 112-121.
[4]. T. F. Ma, A.L. M. Martinez (2010), “Positive
solution for a fourth order equation with nonlinear
buondary conditions”, Mathematics and Coputers
in Simulation, 80, 2177-2184.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thanh Hường
(2017), Lược đồ sai phân giải bài toán biên cho
47
8 trang
15/01/2024
16640
Free
Bạn đang xem tài liệu "Phương pháp lặp giải phương trình vi phân cấp cao với hệ số phụ thuộc các phiếm hàm tích phân", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- phuong_phap_lap_giai_phuong_trinh_vi_phan_cap_cao_voi_he_so.pdf
