Bài giảng Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1.

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)

[email protected]n

Nội dung

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Định nghĩa.

II – Các dạng phương trình vi phân:

1 – Phương trình vi phân tách biến

2 – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

3 – Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

4 – Phương trình vi phân toàn phần

5 – Phương trình Bernoulli

I. Các khái niệm cơ bản

Cho mạch điện như hình bên.

Điện thế tại nguồn E ở thời điểm t: E(t) volt

Điện trở R (Ohm), cuộn cảm L (Henry)

Dòng điện chạy qua ở thời điểm t là I(t) ampe

Theo định luật Ohm: dòng điện tại thời điểm t được

tính bởi công thức:

dI(t)

L  RI(t)  E(t)

dt

Ptrình vi phân cấp 1.

I. Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa

Phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một hoặc

một vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.

Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi

là phương trình vi phân thường (Differential Equation)

Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi

phân đạo hàm riêng (Partial Differential equation PDE).

I. Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa

Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân

gọi là cấp của phương trình vi phân.

y^'

y^''(x)  3  xsin x

phương trình vi phân cấp 2

x

d³y d²y

 3  e^2x

phương trình vi phân cấp 3.

dx

³

dx

²u ²u

 1

xy

phương trình đạo hàm riêng cấp 2

x²

I. Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa

Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n

F(x, y, y^',..., y⁽ⁿ⁾)  0 (1)

(3y²x  e^y)y^' (y³ 2x)  0

Ví dụ:

y⁽ⁿ⁾(x, y, y^',..., y^(n1))

(n)

Nếu giải ra được :

y

x² xy dy  2x² y²dx

Ví dụ:



 



dy 2x² y²

y^' 

Giải ra được:

x² xy

dx

I. Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa

Nghiệm của phương trình (1) trên khoảng I là một hàm

xác định trên I sao cho khi thay vào (1) ta được

y (x)

đồng nhất thức.

Đồ thị của nghiệm

gọi là đường cong tích phân

y (x)

1

y^' y  0

Ví dụ: Phương trình vi phân

có nghiệm là

x

y  Cx, C R

vì thỏa phương trình vi phân đã cho.

I. Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa

Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1

F(x, y, y^')  0 (2)

y^'(x, y) (3)

'

Nếu giải ra được :

y

Ví dụ: Các phương trình vi phân cấp 1:

y^' y  xe^x

dạng (3)

(y² x²)dy  (xy  y²)dx  0

dạng (3)

2

y  xy^' 1 y^'

phương trình Clairaut, dạng (2)

 

I. Các khái niệm cơ bản

Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương

trình (2) hoặc (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên)

y(x₀)  y₀(4)

Nghiệm của phương trình (2) hoặc (3) là họ đường cong

tích phân phụ thuộc hằng số C.

Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân

đi qua điểm cho trước

(x₀, y₀)

I. Các khái niệm cơ bản

3

y^' y  0

Ví dụ: Phương trình vi phân

x

nghiệm của phương trình là họ đương cong tích phân:

y  Cx³, C  R

3

y^' y  0, y(1)  3

Xét bài toán Cauchy

x

3



C



1

³



C



3

Ta có

y  3x³

Nghiệm của bài toán Cauchy

I. Các khái niệm cơ bản

Đường cong tích phân trong vài trường hợp

y  2 x ³

y  3x³

y  x³

Nghiệm của bài toán

Cauchy là đường

cong màu đỏ.

Đường cong qua

điểm (1,3).

y  x³

I. Các khái niệm cơ bản

Định lý (tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy)

Nếu hàm y = f(x) liên tục trong miền mở

², thì

D



R

với mọi điểm

, bài toán Côsi (3) với điều kiện

x , y D

 

0

(4) có nghiệm xác định trong lân cận của x₀.

f

y

Ngoài ra nếu đạo hàm riêng cũng liên tục trong D, thì

nghiệm này là duy nhất.

I. Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa

Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C.

Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1:

y (x,C)

Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát

bằng cách cho C hằng số cụ thể ( ví dụ nghiệm bài toán

Côsi).

Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm

tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào.

I. Các khái niệm cơ bản

Giải phương trình vi phân là tìm ra các nghiệm của nó.

Trong chương trình này, ta giải phương trình theo

cách không đầy đủ, không chặt chẽ (ví dụ: khi chia

cho y không biết y có triệt tiêu không).

Để khảo sát nghiệm một cách đầy đủ, các em có thể

tham khảo sách Jean – Marie Monier, giải tích tập 2 và 4.

II.1 Phương trình vi phân tách biến

Dạng

f (x)dx  g(y)dy  0

Cách giải: tích phân hai vế ta được

f (x)dx  g(y)dy  C



dy dx



 0

Ví dụ Giải pt

1 y²1 x²

dy

dx





 C



1 y²1 x²

arctan y  arctan x  C

Nghiệm của phương trình:

arctan y  arctan x  C

Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến

Dạng 1

f₁(x)g₁(y)dx  f₂(x)g₂(y)dy  0

Cách giải: Có thể đưa về phương trình tách biến

Nếu

tại y = b, thì y = b là một nghiệm riêng.

tại x = a, thì x = a là một nghiệm riêng.

g₁(y)  0

Nếu

f₂(x)  0

f₂(x)g₁(y)  0

, chia hai vế cho

f₂(x)g₁(y)  0

f₁(x) g₂(y)

dx  dy  0

f₂(x) g₁(y)

Phương trình tách biến

II.1 Phương trình vi phân tách biến

tan xsin²ydx  cos²xcot ydy  0

Giải pt

Ví dụ

tan x

cot y tan x cot y

dx 

cos²x sin²y

dy  0 

dx 

dy  C



cos²x sin²y

tan²x  cot²y  C

Nghiệm của phương trình:

Ví dụ Giải pt

x(1 x²)dy  (1 y²)dx  0

dy

dx

dy

dx





 C





 0

1 y²x(1 x²)

1

2

Nghiệm của phương trình:

arctan y  ln | x |  ln(1 x )  C

2

(x 1)³dy  (y  2)²dx  0

Ví dụ Giải phương trình

Phương trình trên được viết lại:

dy

dx



 0

(y  2)²(x 1)³

dy

dx



 C

Tích phân hai vế

2

3

 _{(y  2)} _{(x 1)}

(y  2)^2d(y  2)  (x 1)^3d(x 1)  C



Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

1 1 1

 

 C

2

y  2 2

(x 1)

xy  x y^' y  0





Ví dụ Giải phương trình

Phương trình trên được viết lại:

y 1

y

dx

dy



dy   0

x y 1  y  0





dx

x

y 1

dy   C

dx

Tích phân hai vế

 

y

x



 _^



1

y^1/2 dy  x^{1/ 2}dx  C

 

y



Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

2 y  ln | y | 2 x  C