Giáo trình Xác suất và thống kê (Phần 2)
PHẦN II. THỐNG KÊ
Thống kê là khoa học về thu thập và xử lý số liệu để từ đó đưa ra các kết luận
khoa học và thực tiễn. Sơ đồ tiến hành như sau:
Thu thập số liệu ⇒ Tổng hợp số liệu ⇒ Chuyển hóa về mô hình toán ⇒ Xử lý ⇒ Đưa
ra kết luận.
60
CHƯƠNG 3
LÝ THUYẾT MẪU
3.1 Khái niệm mẫu và phương pháp lấy mẫu
Trong thực tế, nhiều khi ta cần quan tâm đến một số đặc điểm (định tính hoặc
định lượng) của các phần tử thuộc về một tập hợp nào đó, chẳng hạn tuổi thọ của một
loại đĩa cứng, giá thành bán lẻ của một loại mặt hàng nào đó, tỉ lệ nẩy mầm của một
giống lúa... Tập hợp các phần tử cần nghiên cứu này được gọi là đám đông, ký hiệu là
C.
Việc tiến hành thu thập thông tin trên các phần tử của đám đông được gọi là quan
sát. Đặc điểm cần quan tâm đó thay đổi từ phần tử này sang phần tử khác khi ta thực
hiện các quan sát ngẫu nhiên trên một số phần tử của đám đông. Đặc điểm thay đổi
đó của đám đông được coi như một đại lượng ngẫu nhiên, ký hiệu là X và được gọi là
đại lượng ngẫu nhiên gốc đám đông C. Quá trình đi nghiên cứu đám đông của C thực
chất là quá trình đi tìm quy luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X, nhiều khi
đó là quá trình đi tìm các số đặc trưng của X. Nếu không gây nhầm lẫn ta có thể gọi
ngắn gọn là đám đông X.
Đặc điểm của đám đông thường được nghiên cứu dưới hai phương diện:
ꢀ Phương diện định lượng: Khi ta cần quan tâm đến các giá trị về lượng của đại
lượng ngẫu nhiên X như: trọng lượng, năng suất, tuổi thọ... và ta thường quan tâm
đến hai đặc trưng
- Kỳ vọng EX = µ: đặc trưng giá trị trung bình của đặc điểm định lượng cần quan
tâm trên đám đông C.
- Phương sai DX = σ2: đặc trưng cho mức độ biến động giá trị của đặc điểm định
lượng cần quan tâm trên đám đông C.
ꢀ Phương diện định tính: Khi ta cần quan tâm đến một tính chất A nào đó trên
đám đông, các phần tử của đám đông hoặc có tính chất A hoặc không có tính chất A
như: chất lượng sản phẩm, sự nẩy mầm của một giống lúa, chất độc hại trong nguồn
nước... Giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận được
(
1 khi phần tử đó có tính chất A ;
X =
0 khi phần tử đó không có tính chất A ,
và ta thường quan tâm đến xác suất EX = p.
61
3.1.1 Khái niệm mẫu
Chúng ta khó có thể quan sát hết tất cả các phần tử của đám đông vì những lý
do như thời gian, chi phí tốn kém... Chính vì vậy, người ta chỉ lấy ra một số phần tử
đại diện cho đám đông và nghiên cứu trên tập phần tử này, tập hợp các phần tử đại
diện cho đám đông đó được gọi là mẫu. Phương pháp nghiên cứu trên mẫu đại diện
cho đám đông được gọi là phương pháp mẫu và cách thức thực hiện quá trình lấy mẫu
được gọi là phương pháp lấy mẫu.
Khi cần quan tâm đến đặc điểm là đại lượng ngẫu nhiên X của đám đông C, ta
chọn ra mẫu có n phần tử, trong đó việc chọn phần tử thứ i là quá trình thực hiện một
phép thử rút ngẫu nhiên một phần tử của đám đông C, giá trị ngẫu nhiên này được
gán cho đại lượng ngẫu nhiên Xi. Với cách chọn này, các đại lượng ngẫu nhiên Xi độc
lập với nhau và có cùng luật phân phối với đại lượng ngẫu nhiên X. Mẫu này được
gọi là mẫu ngẫu nhiên có kích thước n của đám đông C, ký hiệu (X1, X2, ..., Xn). Tại
lần lấy mẫu thứ i, giá trị mà Xi nhận được là xi, bộ số (x1, x2, ..., xn) được gọi là một
mẫu cụ thể.
Ví dụ 1. Thống kê về số chấm của một con xúc xắc khi gieo 5 lần
Mẫu ngẫu nhiên: (X1, X2, ..., X5) ; mẫu cụ thể: (2, 3, 1, 6, 2) .
3.1.2 Các phương pháp lấy mẫu
Việc lấy mẫu được coi là tốt nếu như thông tin thu được từ mẫu phán ánh càng
gần với đặc điểm của đám đông (tính chất đại diện cao). Chính vì vậy, trong thống kê
việc lấy mẫu là một công việc hết sức quan trọng. Người ta thường sử dụng một số
phương pháp lấy mẫu như sau:
Lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản
Là phương pháp lấy mẫu thỏa mãn các điều kiện: mỗi lần chỉ được chọn một phần
tử từ đám đông, khả năng được chọn của tất cả các phần tử trong đám đông đều như
nhau. Có hai cách thức tiến hành chọn đó là chọn hoàn lại và chọn không hoàn lại, tuy
nhiên khi kích thước của đám đông lớn hơn nhiều so với kích thước mẫu thì có thể coi
hai phương pháp chọn này là giống nhau.
Phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản ở trên có tính chất đại diện cho đám
đông cao, tuy nhiên khó thực hiện và cần nhiều thời gian cũng như kinh phí. Ta có
thể xem phương pháp lấy mẫu này là hoàn toàn ngẫu nhiên hay ngẫu nhiên không có
định hướng.
Lấy mẫu ngẫu nhiên có định hướng
ꢀ Lấy mẫu theo nhóm: là phương pháp chia đám đông thành các nhóm thuần nhất,
từ mỗi nhóm này ta lấy ra một mẫu ngẫu nhiên đơn giản với một kích thước tương
ứng. Tập hợp tất cả các phần tử thu được từ các mẫu ngẫu nhiên đơn giản đó lập nên
mẫu ngẫu nhiên theo nhóm.
ꢀ Lấy mẫu theo chùm: là phương pháp chia đám đông thành nhiều chùm (đám
đông con) sao cho giữa các chùm có sự đồng đều về quy mô, từ các chùm đó ta lấy một
mẫu ngẫu nhiên đơn giản. Tập hợp tất cả phần tử thu được từ các mẫu ngẫu nhiên
đơn giản của các chùm lập nên mẫu ngẫu nhiên theo chùm.
Phương pháp này dễ quy hoạch, có thể tiết kiệm được thời gian và kinh phí nhưng
sai số chọn mẫu cao hơn các phương pháp nói trên.
62
Ví dụ 2. Chúng ta muốn đi tìm hiểu về tổng thu nhập trong một năm của toàn
bộ cán bộ công chức của một tỉnh.
- Chia đám đông này thành các nhóm theo từng cơ cấu ngành nghề: quốc phòng,
an ninh, giáo dục, y tế, kinh doanh.... Trong mỗi cơ cấu ngành nghề có sự thuần nhất
về mức lương (nếu có sự sai khác về thu nhận chủ yếu là do thâm niên và chức vụ công
tác). Như vậy, phương pháp lấy mẫu bằng việc gom lại các mẫu ngẫu nhiên đơn giản
của từng nhóm ngành nghề chính là phương pháp lấy mẫu theo nhóm.
- Chia đám đông này theo các huyện trong tỉnh A. Giữa các huyện, có sự đồng đều
về quy mô (đầy đủ các thành phần) và phương pháp lấy mẫu bằng việc gom lại các
mẫu ngẫu nhiên đơn giản của từng huyện chính là phương pháp lấy mẫu theo chùm.
3.2 Cách biểu diễn mẫu
3.2.1 Bảng tần số và bảng tần suất
Ta thực hiện n lần quan sát trên đám đông C, khi đó ta sẽ thu được mẫu cụ thể
gồm k giá trị khác nhau (x1, x2, ..., xk), k 6 n. Giá trị xi có ni lần xuất hiện, ni là
ni
được gọi là tần số xuất hiện của xi và tỉ số
được gọi là tần suất xuất hiện của xi,
n
ký hiệu là fi. Ta có biểu diễn kết quả của mẫu bằng bảng tần số và tần suất như sau
xi x1 x2 ... xk
ni ni n2 ... nk
xi x1 x2 ... xk
fi fi f2 ... fk
trong đó
k
k
X
X
n =
ni;
fi = 1.
i=1
i=1
Ví dụ 1. Thống kê điểm số kết thúc học phần của một lớp gồm 40 sinh viên
xi 7 8 xi
4
5
6
4
5
6
7
8
ni 5 10 12 8 5 ni 5/40 10/40 12/40 8/40 5/40
Trong trường hợp mẫu cụ thể (x1, x2, ..., xn) có nhiều giá trị khác nhau, khi đó ta
thực hiện việc ghép lớp. Nguyên tắc ghép lớp được tiến hành như sau
• Số lớp chia k được xác định trên cơ sở k = min{l : 2l > n} .
giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất
• Độ dài mỗi lớp: l =
.
k
• Trong 2 lớp liền nhau xi−1 → xi, xi → xi+1 thì xi thuộc lớp xi−1 → xi .
Ngoài phương pháp ghép lớp đã trình bày ở trên, còn có một số phương pháp ghép
lớp khác, với những mẫu cụ thể rời rạc người ta có thể chia thành các có độ dài khác
nhau, các lớp được chia rời nhau. Chúng ta không đề cập đến các kiểu ghép lớp này.
Ví dụ 2. Thống kê về chiều cao của 30 sinh viên với chiều cao nằm trong khoảng
từ 1m50 đến 1m 75.
Nhận thấy 25 > 30 nên chọn k = 5. Bảng tần số, tần suất như sau:
63
Lớp
Giá trị Tần số Tần suất
150-155 152,5
155-160 157,5
160-165 162,5
165-170 167,5
170-175 172,5
4
7
6
10
3
4/30
7/30
6/30
10/30
3/30
3.2.2 Đa giác tần số và tổ chức đồ
Đối với số liệu chưa ghép lớp
- Chấm trên mặt phẳng các điểm (xi, ni), i = 1, 2, . . . , n.
- Nối các điểm (xi, 0) với các điểm (xi, ni), ta được biểu đồ tần số hình gậy.
- Nối liên tiếp điểm (xi, ni) với các điểm (xi+1, ni+1) ta được biểu đồ đa giác tần số.
Hoàn toàn tương tự đối với tần suất
- Chấm trên mặt phẳng các điểm (xi, fi), i = 1, 2, . . . , n.
- Nối các điểm (xi, 0) với các điểm (xi, fi), ta được biểu đồ tần suất hình gậy.
- Nối liên tiếp điểm (xi, fi) với các điểm (xi+1, fi+1) ta được biểu đồ đa giác tần
suất.
Ví dụ 3. Minh họa số liệu của ví dụ thống kê điểm
12
10
8
s
s
s
6
s
s
4
2
0
4
5
6
7
8
Biểu đồ tần số hình gậy
64
12
10
8
6
4
2
0
4
5
6
7
8
Biểu đồ đa giác tần số
Đối với số liệu đã ghép lớp.
- Trên mỗi lớp ta dựng hình chữ nhật có chiều cao bằng tần số (hay tần suất) tương
ứng với lớp đó.
- Tô đậm hoặc kẻ chéo bằng các đường song song các hình chữ nhật này ta thu
được tổ chức đồ tần số (hay tổ chức đồ tần suất).
Ví dụ 4. Minh họa số liệu của ví dụ 2.
12
10
8
6
4
2
0
150 155 160 165 170 175
Biểu đồ đa giác tần số
3.3 Các đặc trưng của mẫu
Trong nội dung chương 2 trước chúng ta đã được làm quen với việc tính các đặc
trưng của đại lượng ngẫu nhiên thông qua phân phối xác suất đã biết trước.
Tuy nhiên, trong thực tế thật khó khăn để xác định được tường minh phân phối
xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên gốc đám đông. Chính vì vậy, trên cơ sở của các
65
thông tin thu thập được từ các mẫu, người ta đem ra một số công thức giúp chúng ta
tính được các đặc trưng của mẫu.
Các giá trị này rất quan trọng và có sự tương ứng với những số đặc trưng của đại
lượng ngẫu nhiên đã trình bày ở phần trước.
3.3.1 Hàm phân phối mẫu
X là đại lượng ngẫu nhiên gốc đám đông có hàm phân phối xác suất F(x) chưa
mx
biết. Khi ta thực hiện n quan sát, gọi hàm Fn(x) =
với mx: là số quan sát có giá
n
trị xi bé hơn x (i = 1, n) là hàm phân phối mẫu.
Tính chất của hàm phân phối mẫu Fn(x):
+ 0 6 Fn(x) 6 1
+ Fn(x) là hàm đơn điệu tăng
+ Fn(x) là hàm liên tục bên trái
Khi kích thước mẫu lớn thì phân phối mẫu Fn(x) càng gần với phân phối xác suất
của đại lượng ngẫu nhiên X. Khi n đủ lớn, ta có thể dùng Fn(x) thay thế cho F(x)
chưa biết hoặc dựa vào Fn(x) ta có thể sơ lược về dáng điệu của F(x) và đưa ra những
dự đoán về dạng của F(x) cũng như tính toán các số đặc trưng có liên quan.
Ví dụ 1. Bảng tần số từ ví dụ thống kê điểm
xi
4
5
6
7 8
ni 5 10 12 8 5
Hàm phân phối mẫu
0
với x 6 4
5
với 4 < x 6 5
40
15
với 5 < x 6 6
với 6 < x 6 7
40
27
Fn(x) =
40
35
với 7 < x 6 8
với x > 8
40
1
3.3.2 Trung bình mẫu
Định nghĩa. Giả sử (X1, X2, ..., Xn) là mẫu ngẫu nhiên có kích thước n của đám
n
X
1
đông X, khi đó
Xi được gọi là trung bình mẫu và ký hiệu là X.
n
i=1
Trong thực hành tính toán
Đối với một mẫu cụ thể (x1, x2, ..., xn) trung bình mẫu thực nghiệm xác định x =
n
X
1
xi.
n
i=1
Trường hợp mẫu cụ thể đã được ghép bộ có bảng tần số
66
xi x1 x2 ... xk
ni ni n2 ... nk
k
X
1
trung bình mẫu thực nghiệm là x =
ni xi.
n
i=1
Ví dụ 2. Bảng tần số từ ví dụ thống kê điểm
xi 7 8
4
5
6
ni 5 10 12 8 5
5
X
1
238
Khi đó x =
ni xi =
= 5,95.
40
40
i=1
Nhận xét. Công thức tính trung bình mẫu ở trên là dạng tổng quát, tuy nhiên do
đặc trưng số nên ta thường dùng khi nghiên cứu về một đặc điểm định lượng nào đó
của đám đông. Đối với đặc điểm định tính A ta có khái niệm tỉ lệ mẫu
n
X
1
F =
Xi
n
i=1
trong đó Xi chỉ nhận 2 giá trị là 0 và 1 (bằng 1 nếu quan sát đó có tính chất A, bằng
P
n
0 nếu quan sát đó không có tính chất A). Với m = i=1 Xi chính là số quan sát có
m
tính chất A, công thức tính tỉ lệ mẫu là F =
.
n
3.3.3 Phương sai mẫu và phương sai hiệu chỉnh mẫu
Định nghĩa. Giả sử (X1, X2, ..., Xn) là mẫu ngẫu nhiên có kích thước n của đám
n
X
ꢀ
ꢁ
1
2
2
ˆ
đông X, khi đó
Xi − X được gọi là phương sai mẫu và ký hiệu là S .
n
i=1
Ngoài ra, chúng ta thường dùng một đặc trưng mẫu khá quan trọng là phương sai
n
hiệu chỉnh mẫu, ký hiệu là S2, được xác định S2 =
S .
2
ˆ
n − 1
Mệnh đề. Giả sử (X1, X2, ..., Xn) là mẫu ngẫu nhiên có kích thước n của đám đông
X. Ta có
n
X
1
2
2
Xi2.
2
trong đó X2 =
ˆ
S = X − (X)
n
i=1
Chứng minh.
n
n
X
1
X
ꢀ
ꢁ
1
2
2
(Xi2 − 2XiX + (X)2
ˆ
S =
Xi − X
=
n
n
i=1
i=1
n
X
2
=X2 − X
Xi + (X)2 = X2 − (X)2.
n
i=1
67
Trong thực hành tính toán
Đối với một mẫu cụ thể đã được ghép bộ có bảng tần số
xi x1 x2 ... xk
ni n1 n2 ... nk
phương sai mẫu thực nghiệm và phương sai hiệu chỉnh mẫu thực nghiệm được xác định
như sau
k
X
ꢀ
ꢁ
ꢀ ꢁ
x2 − x
1
2
2
sˆ2 =
s2 =
ni xi − x = x2 − x ;
n
i=1
ꢀ
ꢀ ꢁ ꢁ
n
n
2
sˆ2 =
.
n − 1
n − 1
s được gọi là độ lệch chuẩn mẫu.
Việc đưa ra các khái niệm trung bình mẫu thực nghiệm (phương sai mẫu thực
nghiệm, phương sai hiệu chỉnh mẫu thực nghiệm) chỉ nhằm nhấn mạnh đó là giá trị
bằng số cụ thể, được xác định từ thực nghiệm.
Ví dụ 3. Bảng tần số từ ví dụ thống kê điểm
xi
4
5
6
7 8
ni 5 10 12 8 5
xi
4
ni
5
ni xi
20
ni x2i
80
5
6
7
8
10
12
8
50
72
56
40
250
432
392
320
5
Tổng 40
238
1474
238
40
1474
Ta có x =
= 5,95; x2 =
= 36,85.
40
sˆ2 = 36,85 − 5,952 = 1,4475; s2 ≈ 1,485.
Chú ý. Đối với mẫu được ghép lớp, việc tính các số đặc trưng của mẫu cũng theo
xi + xi+1
trình tự tiến hành như trên, trong mỗi lớp ta sử dụng giá trị trung điểm x0i =
2
của lớp.
Các phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu
ꢀ Trường hợp đám đông X có phân phối chuẩn N(µ, σ2) và σ đã biết
σ2
X − µ
√
X ∼ N(µ,
) ;
n ∼ N(0, 1).
n
σ
ꢀ Trường hợp đám đông X có phân phối chuẩn N(µ, σ2), σ chưa biết và n < 30
√
X − µ
n ∼ t(n − 1).
S
68
ꢀ Trường hợp đám đông X không có phân phối chuẩn và n > 30
√
X − µ
- Khi σ2 đã biết:
n ' N(0, 1).
σ
√
X − µ
- Khi σ2 chưa biết:
n ' N(0, 1).
S
F − p
√
p
- Khi p đã biết và np > 5; n(1 − p) > 5 đủ lớn:
n ' N(0, 1).
p (1 − p)
F − p
√
p
- Khi p chưa biết và n đủ lớn:
n ' N(0, 1).
F(1 − F)
69
HƯỚNG DẪN HỌC VIÊN TỰ HỌC CHƯƠNG 3
Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết mẫu. Để học tốt chương
này yêu cầu người học phải nắm vững các kiến thức và kĩ năng sau.
1. Lý thuyết
- Định nghĩa mẫu và các phương pháp lấy mẫu.
- Khái niệm bảng tần số, bảng tần suất.
- Khái niệm đa giác tần số và tổ chức đồ.
- Định nghĩa hàm phân phối mẫu.
- Định nghĩa, các tính chất và các công thức tính trung bình mẫu, phương sai mẫu,
phương sai hiệu chỉnh mẫu.
2. Bài tập
- Biết lấy ví dụ để phân biệt được các khái niệm: mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể, đặc
điểm định tính và đặc điểm định lượng.
- Lập bảng tần số và bảng tần suất, vẽ biểu đồ đa giác tần số và tần suất.
- Xác định hàm phân phối mẫu và tính được các số: trung bình mẫu, phương sai mẫu,
phương sai hiệu chỉnh mẫu.
70
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
1. Cho ví dụ về đám đông, một số đặc điểm có thể nghiên cứu và các phương pháp
thực hiện việc lấy mẫu trên đám đông đó.
2. Phân biệt sự khác nhau giữa mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể, cho ví dụ minh họa.
3. Phân biệt sự khác nhau giữa đặc điểm định lượng và đặc điểm định tính. Cho ví dụ
về hai đặc điểm cùng nghiên cứu trên một đám đông.
4. Khi đo độ dài của 36 chi tiết được lấy ngẫu nhiên từ một loại sản phẩm, người ta
thu được bảng số liệu sau đây:
15 14 16 14 15 12 13 16 13 12 15 13 16 13 15
13 16 13 16 13 15 12 15 15 14 14 15 15 16 15
a. Lập bảng tần số và bảng tần suất.
b. Vẽ biểu đồ đa giác tần số và tần suất
c. Tìm hàm phân phối mẫu.
5. Dưới đây là số liệu được lấy ngẫu nhiên về thời gian đợi của các khách hàng (tính
bằng giây) tại quầy thanh toán tiền ở một siêu thị đối với 48 khách hàng
3
24 34 5 14 22 3 19 13 32 19 4 24 30 48 24
14 16 3 14 19 41 43 16 48 4 58 13 10 60
4
5
12 14 14 22 3 16 14 4 34 32 4 19 12 24 13 26
a. Lập bảng tần số ghép lớp và bảng tần suất ghép lớp.
b. Vẽ bảng tổ chức đồ tần số và tần suất.
c. Tính trung bình mẫu và phương sai mẫu và phương sai hiệu chỉnh mẫu.
6. Mẫu điều tra kích thước 35 đối với hai đặc điểm X và Y của một loại sản phẩm
được kết quả bảng số liệu dưới đây:
X\Y
64
65
66
6-10
10-14
14-16
16-20
3
0
6
0
8
5
1
3
3
2
0
4
a. Lập bảng tần số, tần suất của Y .
b. Những sản phẩm được gọi là đạt chất lượng nếu X 6 16 và Y > 64. Tính tỉ lệ
sản phẩm đạt chất lượng.
c. Lập bảng tần số và tính trung bình mẫu của chỉ tiêu Y đối với các sản phẩm có
X > 10.
71
7. Cơ quan quản lý thị trường lấy số liệu về giá thành bán lẻ của một loại sản phẩm
tại 40 đại lý (đơn vị: ngàn), người ta thu được bảng tần số như sau
xi 19 20 21 22
ni
8
16
6
10
a. Tìm hàm phân phối mẫu.
b. Tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu.
8. Tìm hàm phân phối mẫu, trung bình mẫu, phương sai hiệu chỉnh mẫu đối với hai
mẫu cụ thể sau:
xi 19,2 19,8 20,1 20,3 20,7
xi 460 480 490 505
a.
b.
ni
6
2
4
2
6
ni
5
6
10
4
9. Điều tra ngẫu nhiên ý kiến của 2500 số khách hàng thường xuyên đi xe taxi về chất
lượng phục vụ của 3 hãng taxi thu được kết quả sau đây:
Chất lượng
phục vụ
Rất tốt
Khá
Hãng taxi
B
A
C
140 110 205
230 150 350
Bình thường 350 225 520
Kém 80 15 125
Hãy tính đặc trưng mẫu cho từng hãng taxi và nêu đánh giá sơ bộ từ số liệu điều
tra trên.
72
CHƯƠNG 4
ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có luật phân phối phụ thuộc vào một tham số hoặc
một véctơ tham số θ chưa biết. Khi đó để xác định hoàn toàn phân phối xác suất của
X ta phải xác định được giá trị tham số θ. Đây chính là bài toán ước lượng tham số.
Chẳng hạn biết X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson nhưng chưa biết tham
số λ là bao nhiêu hoặc Y là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn nhưng chưa xác
định được (µ, σ) ...
Chính vì vậy bài toán ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên là rất cần thiết.
4.1 Ước lượng điểm
4.1.1 Định nghĩa
Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên gốc đám đông C, có tham số θ cần ước lượng.
Thực hiện n lần quan sát độc lập ta thu được mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, ..., Xn), để ước
ˆ
lượng tham số θ ta phải tìm ra một hàm mẫu thống kê θ(X1, X2, ..., Xn) "đủ tốt", chỉ
phụ thuộc vào các quan sát mà không phụ thuộc vào θ được gọi là bài toán ước lượng
ˆ
điểm của θ và θ được gọi là ước lượng điểm của θ.
ˆ
Do giá trị đúng của θ là chưa biết, nên ta không thể so sánh trực tiếp giá trị của θ
và θ mà chỉ đưa ra một số tiêu chuẩn để đánh giá ước lượng. Trong các loại ước lượng
điểm, ta thường quan tâm đến bốn loại ước lượng sau đây:
ˆ
ꢀ Ước lượng θ(X1, X2, ..., Xn) được gọi là ước lượng không chệch của θ, nếu thỏa
ˆ
mãn Eθ = θ.
ˆ
ꢀ Ước lượng θ(X1, X2, ..., Xn) được gọi là ước lượng vững của θ, nếu với n lớn vô
ˆ
hạn thì θ hội tụ theo xác suất về θ, nghĩa là với mọi ε > 0 tùy ý thì
ˆ
lim P[|θ − θ| < ε] = 1.
n→∞
ˆ
ꢀ Ước lượng θ(X1, X2, ..., Xn) được gọi là ước lượng hợp lý tối đa của θ, nếu
n
Y
L(x, θ) =
p(Xi, θ)
i=1
ˆ
đạt cực đại tại θ. L(x, θ) được gọi là hàm hợp lý của X, trong đó p(x, θ) là hàm mật
độ xác suất hoặc là hàm tính xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X.
73
ˆ
ꢀ Ước lượng θ(X1, X2, ..., Xn) được gọi là ước lượng hiệu quả của θ, nếu như nó
là ước lượng không chệch và có phương sai bé nhất trong tất cả các ước lượng không
chệch của θ.
Nếu hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X thỏa mãn thêm một số điều
kiện nhất định thì ta có bất đẳng thức Cramer-Rao
1
D(θ∗) >
; ∀θ∗ : E(θ∗) = θ.
ꢂ
ꢃ
2
∂ ln p(X, θ)
nE
∂θ
ˆ
do đó, ước lượng không chệch θ là ước lượng hiệu quả của θ khi
1
ˆ
V (θ) =
.
ꢂ
ꢃ
2
∂ ln p(X, θ)
nE
∂θ
Từ bất đẳng thức Cramer-Rao, ta thấy một điều lý thú đó là: đã là ước lượng thì
phải chấp nhận sai số, bất đẳng thức cho ta cận dưới của sai số.
4.1.2 Ước lượng điểm cho kỳ vọng, xác suất và phương sai
Ước lượng điểm cho kỳ vọng
Mệnh đề. Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên gốc đám đông C, có kỳ vọng µ cần
ước lượng, khi đó trung bình mẫu X chính là ước lượng không chệch của µ.
Chứng minh. Thật vậy, vì Xi, i = 1, n có cùng phân phối với đại lượng ngẫu nhiên X
nên
EX1 + EX2 + ... + EXn
EX =
= EX = µ.
n
Ngoài ra, người ta còn chứng minh được trung bình mẫu X đồng thời còn là ước
lượng vững và ước lượng hiệu quả của µ.
Ví dụ 1. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ, σ2) thì X là
ước lượng hiệu quả của µ.
Giải. Vì X là ước lượng không chệch của µ nên ta chỉ cần chứng minh nó có phương
sai bé nhất trong các ước lượng không chệch khác của µ.
Ở đây θ = µ cần ước lượng, hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc có dạng
2
(x−µ)
1
p(x, µ) =
e−
.
2
2σ
√
σ 2π
Khi đó
Vì vậy
ꢂ
ꢃ
(x − µ)2
2σ2
x − µ
√
∂ ln p(x, µ)
∂
=
− ln(σ 2π) −
=
.
∂µ
∂µ
σ2
1
1
σ4
σ2
n
=
=
=
= DX.
ꢀ
ꢁ
2
ꢂ
ꢃ
X−µ
2
nDX
∂ ln p(X, µ)
nE
σ2
nE
∂µ
74
Sử dụng bất đẳng thức Cramer-Rao, ta suy ra được X là ước lượng hiệu quả của
µ.
Ước lượng điểm cho phương sai
Mệnh đề. Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên gốc đám đông C, có phương sai
DX = σ2 cần ước lượng, khi đó phương sai hiệu chỉnh mẫu S2 chính là ước lượng
không chệch của σ2.
Chứng minh. Thật vậy, vì Xi, i = 1, n có cùng phân phối với đại lượng ngẫu nhiên X
nên
n
ꢂ
ꢃ
X
ꢀ
ꢁ
ꢀ
ꢁ
n
1
ES2 = E
X2 − (X)2
=
EXi2 − nE(X)2 .
n − 1
n − 1
i=1
Mặt khác
EXi2 = DXi + (EXi)2 = σ2 + µ2;
n
1
n2
σ2 + µ2 n − 1
X
X
ꢀ
ꢁ
E(X)2 =
EXi2 +
EXiEXj
=
+
µ2,
n
n
i=1
i=j
ꢄ
ꢅ
1
suy ra ES2 =
n(σ2 + µ2) − (σ2 + µ2 + (n − 1)µ2) = σ2.
n − 1
n − 1
2
2
2
2
2
ˆ
ˆ
Như vậy S là ước lượng không chệch của σ . Mặt khác S =
S nên S không
n
phải là ước lượng không chệch của σ2. Tuy nhiên người ta chứng minh được rằng cả
S và S đều là ước lượng vững của σ .
2
2
2
ˆ
Ước lượng hợp lý tối đa được xác định cho từng trường hợp cụ thể. Ví dụ sau là
dạng ước lượng kỳ vọng và phương sai cho đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Ví dụ 2. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ, σ2) thì X và
2
2
ˆ
S lần lượt là ước lượng hợp lý tối đa của µ và σ .
Giải. Hàm hợp lý
P
n
1
2σ
i=1(Xi−µ)2
1
e−
,
2
√
L(x, θ) =
(σ 2π)n
suy ra
n
X
1
2σ2
n
n
ln L(x, θ) = −
(Xi − µ)2 − ln(2π) − ln σ2.
2
2
i=1
Việc tìm cực đại hàm ln L(x, θ) dẫn đến hệ phương trình
n
X
∂ ln L(x, θ)
∂µ
Xi − µ
=
=
= 0;
σ2
i=1
n
2
X
∂ ln L(x, θ)
∂σ2
(Xi − µ)
2σ4
n
2σ2
−
= 0.
i=1
2
2
ˆ
Do đó X và S lần lượt là ước lượng hợp lý tối đa của µ và σ .
75
Ước lượng điểm cho xác suất
Mệnh đề. Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên gốc đám đông C, ta cần quan tâm
đến một tính chất A có xác suất p = P(A) = EX cần ước lượng, khi đó tỉ lệ mẫu F
chính là ước lượng không chệch của xác suất p.
Khẳng định trên là hiển nhiên vì thực chất tỉ lệ mẫu cũng là trung bình mẫu khi
đặc điểm định tính được số hóa dưới dạng
(
1 khi phần tử đó có tính chất A ;
Xi =
0 khi phần tử đó không có tính chất A ,
và EF = EX = EX = p.
Ngoài ra người ta còn chứng minh được F cũng chính là ước lượng vững của xác
suất p.
4.2 Ước lượng khoảng
Trong nội dung của phần trước, chúng ta đã đề cập đến ước lượng điểm của tham
số. Do θ là tham số chưa biết nên ước lượng điểm chỉ cho ta một cách nhìn hết sức
tương đối và có phần chưa thỏa đáng. Sau đây chúng ta sẽ suy nghĩ đến một cách tiếp
cận khác để tìm ra miền giá trị của θ.
4.2.1 Khái niệm về khoảng tin cậy
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên gốc đám đông C, có tham số θ cần ước lượng. Căn
cứ vào mẫu ngẫu nhiên từ n quan sát độc lập (X1, X2, ..., Xn), ta cần đưa ra khoảng
(θ1, θ2) chứa được hầu hết các giá trị θ với xác suất lớn, nghĩa là
P(θ1 < θ < θ2) = 1 − α .
Một số khái niệm
ꢀ (θ1, θ2): được gọi là khoảng tin cậy của ước lượng.
ꢀ θ1 − θ2 = 2ε: được gọi là độ dài khoảng tin cậy của ước lượng.
ꢀ ε: được gọi là độ chính xác của ước lượng.
ꢀ 1 − α: được gọi là độ tin cậy của của ước lượng.
ꢀ Bài toán đi tìm khoảng tin cậy cho tham số θ với độ tin cậy 1 − α được gọi là bài
toán ước lượng khoảng tin cậy.
4.2.2 Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên gốc đám đông C, có trung bình EX = µ cần ước
lượng và phương sai DX = σ2 (đã biết trước hoặc chưa biết), từ mẫu ngẫu nhiên
(X1, X2, ..., Xn) ta xác định được X.
a. Ước lượng hai phía
Vấn đề đặt ra ở đây là với độ tin cậy 1 − α cho trước, tìm khoảng ước lượng
(X − ε, X + ε) của µ để
P[X − ε < µ < X + ε] = 1 − α.
76
Ta chia bài toán thành 3 trường hợp để giải quyết
Trường hợp 1. Phương sai σ2 đã biết
√
X − µ
α
2
Khi đó
n ' N(0, 1), đặt tα/2 = ϕ−1(1 − ), trong đó ϕ là hàm phân phối
σ
chuẩn N(0, 1) và tα/2 là mức phân vị α/2 cho phân phối chuẩn. Ta có
ꢄ
ꢅ
i
√
X − µ
P − tα/2
<
n < tα/2 = ϕ(tα/2) − ϕ(−tα/2
)
σ
= ϕ(tα/2) − (1 − ϕ(tα/2)) = 1 − α,
h
σ
σ
√
√
hay P X − tα/2
< µ < X + tα/2
= 1 − α.
n
n
Quy tắc thực hành
ꢀ Xác định mức phân vị tα/2
α
2
Tính giá trị 1 − , tra bảng hàm phân phối N(0, 1) (xem bảng 4 phần phụ lục),
tra từ giữa ra hai biên.
ꢀ Xác định khoảng ước lượng (x − ε, x + ε) với độ chính xác của ước lượng
σ
√
ε = tα/2
n
Chú ý. Nếu như kích thước mẫu n < 30 cần bổ sung thêm điều kiện X tuân theo
√
X − µ
luật phân phối chuẩn, khi đó
n ∼ N(0, 1).
σ
Ví dụ 1. Tìm khoảng ước lượng cho giá trị trung bình với độ tin cậy 95% từ mẫu
của một đám đông tuân theo luật phân phối chuẩn, σ2 = 16. Biết mẫu đó có kích
thước 16 và trung bình mẫu là 15.
Giải. σ2 = 16, n = 15; x = 15; α =0,05 tra bảng hàm phân phối chuẩn ứng với
1 − α/2 =0,975 được tα/2 =1,96. Độ chính xác của ước lượng
σ
4
√
√
ε = tα/2
= 1,96
= 1,96.
n
16
Khoảng ước lượng cho giá trị trung bình:
(15 − 1,96 < µ < 15 + 1,96) hay (13,04 < µ < 16,96).
Trường hợp 2. Phương sai σ2 chưa biết và n > 30
√
X − µ
Khi đó
n ' N(0, 1), việc thiết lập tương tự như ở trường hợp 1, ta được
S
h
i
S
S
√
√
P X − tα/2
< µ < X + tα/2
= 1 − α .
n
n
Như vậy, với một mẫu cụ thể, ta sẽ xác định được độ chính xác của ước lượng
s
√
ε = tα/2
và khoảng ước lượng
n
s
s
√
√
(x − tα/2
< µ < x + tα/2
).
n
n
77
Ví dụ 2. Để ước lượng khối lượng trung bình mỗi bao xi măng của nhà máy. Kiểm
tra ngẫu nhiên 49 bao thu được khối lượng trung bình là 49,7kg và độ lệch chuẩn mẫu
0,5kg. Với độ tin cậy là 94%, hãy ước lượng khoảng khối lượng trung bình của một bao
xi măng.
Giải. α =0,06, tα/2 =1,88. Độ chính xác của ước lượng
s
0,5
√
√
ε = tα/2
= 1,88
= 0,13.
n
49
Khoảng ước lượng cho giá trị trung bình: (49,57 < µ < 49,83).
Trường hợp 3. Phương sai σ2 chưa biết và n < 30
√
X − µ
Nếu X ∼ N(µ, σ2) thì
n ∼ t(n − 1). Mức phân vị α/2 cho phân phối
S
√
X − µ
Student với n − 1 bậc tự do ký hiệu là t(n−1,α/2) là giá trị thỏa mãn P(
t(n−1,α/2)) = α/2. Khi đó
n >
S
ꢄ
ꢅ
√
X − µ
P − t(n−1,α/2)
<
n < t(n−1,α/2)
S
ꢄ
ꢅ
√
X − µ
= P t(n−1,1−α/2)
<
n < t(n−1,α/2)
S
= 1 − α/2 − α/2 = 1 − α.
Quy tắc thực hành
ꢀ Xác định mức phân vị t(n−1,α/2)
Tra bảng phân phối Student (xem bảng 5 phần phụ lục), t(n−1,α/2) là giá trị trong
bảng ứng với giá trị hàng là n − 1 và cột là α/2.
ꢀ Xác định khoảng ước lượng (x − ε, x + ε) với độ chính xác của ước lượng
s
√
ε = t(n−1,α/2)
n
Ví dụ 3. Độ chịu lực của mỗi tấm bê tông tuân theo luật phân phối chuẩn. Đo
độ chịu lực của 20 tấm bê tông cùng loại người ta thu được trung bình mẫu độ chịu
lực 220kg/cm2 và độ lệch chuẩn mẫu 32,4kg/cm2. Với độ tin cậy 90%, tìm khoảng ước
lượng trung bình độ chịu lực của mỗi tấm bê tông.
Giải. Tra bảng hàm phân phối Student ứng ta được t(19;0,05) =1,729. Độ chính xác của
ước lượng
s
√
ε = t(n−1,α/2)
≈ 12,5.
n
Khoảng ước lượng cho giá trị trung bình: (187,5 < µ < 212,5).
Các dạng toán phát sinh
Xuất phát từ các công thức tương ứng với từng trường hợp
σ
s
s
√
√
√
ε = tα/2
; ε = tα/2
; ε = t(n−1, α/2)
.
n
n
n
78
ꢀ Cho 1 − α và n tìm độ chính xác của ước lượng ε
ꢀ Cho 1 − α và ε tìm kích thước mẫu n.
ꢀ Cho ε và n tìm độ tin cậy của ước lượng 1 − α.
Một số trong số các vấn đề này sẽ được đề cập ở phần sau.
b. Ước lượng một phía
Vấn đề đặt ra ở đây là với độ tin cậy 1 − α cho trước, tìm khoảng ước lượng một
phía
ꢀ Khoảng ước lượng bên trái (−∞, X + ε): P[−∞ < µ < X + ε] = 1 − α.
ꢀ Khoảng ước lượng bên phải (X − ε, +∞): P[X − ε < µ < +∞] = 1 − α.
Nhận xét. Khoảng tin cậy bên trái cho ta biết giá trị tối đa, khoảng tin cậy bên
phải cho ta biết giá trị tối thiểu của µ với độ tin cậy 1 − α.
Ta cũng chia thành 3 trường hợp, điểm khác biệt là thay thế α/2 bởi α.
Trường hợp 1. Phương sai σ2 đã biết
Đặt tα = ϕ−1(1 − α), ta có
ꢄ
ꢅ
√
X − µ
P − tα <
n < +∞ = 1 − ϕ(−tα) = 1 − α,
σ
X − µ
σ
ꢄ
ꢅ
√
P − ∞ <
n < tα = ϕ(tα) = 1 − α,
h
i
ꢄ
ꢅ
σ
σ
√
√
hay P − ∞ < µ < X + tα
= P X − tα
< µ < +∞ = 1 − α.
n
n
Như vậy, với một mẫu cụ thể, khoảng ước lượng bên trái và bên phải lần lượt là
σ
√
(−∞, x + ε), (x − ε, +∞) trong đó ε = tα
.
n
Trường hợp 2. Phương sai σ2 chưa biết và n > 30
Lý luận hoàn toàn tương tự, khoảng ước lượng bên trái và bên phải lần lượt là
s
√
(−∞, x + ε), (x − ε, +∞) trong đó ε = tα
.
n
Trường hợp 3. Phương sai σ2 chưa biết và n < 30
Khoảng ước lượng bên trái và bên phải lần lượt là (−∞, x + ε), (x − ε, +∞) trong
s
√
đó ε = t(n−1,α)
.
n
Ước lượng khoảng cho giá trị trung bình ứng với 3 trường hợp được mô tả qua bảng
tổng hợp sau
Loại ước
lượng
Độ chính xác của ước lượng: ε
ε
TH1
TH2
TH3
σ
s
s
√
√
√
Hai phía (x − ε, x + ε) tα/2
tα/2
t(n−1,α/2)
n
n
n
σ
s
s
√
√
√
Bên trái (−∞, x + ε)
Bên phải (x − ε, +∞)
tα
tα
t(n−1,α)
n
n
n
79
Tải về để xem bản đầy đủ
53 trang
22640
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Xác suất và thống kê (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_xac_suat_va_thong_ke_phan_2.pdf
