Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân (TT)

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích hàm nhiều biến

Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân (tt)

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (2/2008)

[email protected].vn

Nội dung

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.4 – Đạo hàm theo hướng

0.5 – Công thức Taylor, Maclaurint

0.6 – Cực trị của hàm nhiều biến

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

có đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong một lân cận của

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



u

Véctơ đơn vị cùng phương

f = f(x,y)





u



l   l ,l

 _{1 2}

0

u  (u₁,u₂)

u

oy

M (x, y)

,



l  cos,cos





0







là góc tạo bởi u và chiều dương

trục 0x và 0y tương ứng.

M₀(x₀, y₀)

ox



x  x  t cos







0

t  0

Phương trình tham số của tia

M₀M :

y  y  t cos

0



M

Đạo hàm của hàm f theo hướng véctơ

u

tại điểm là giới hạn (nếu có)

0

f (M )  f (M₀)

f



u

'

u



f (M )



 lim

 (M₀)

0

M M₀

MM₀

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f (x, y)  f (x₀, y₀)

'

M₀M  (x  x₀)² (y  y₀)² t



f_u(M₀)  lim

t0^

t

f (x₀ t cos, y₀ t cos)  f (x₀, y₀)

'



f_u(M₀)  lim

t0^

t

Đây chính là đạo hàm của hàm f theo biến t

 f_x^' x_t^' f_y^' y_t^' f_x^'(x₀, y₀)cos  f_y^'(x₀, y₀)cos

'



f_u(M₀)  f_t

'

u

'



f (x , y )  f (x , y ), f (x , y ) , cos,cos













0 0

x 0 0

y 0 0







gradf (x , y )  f ^'(x , y ), f ^'(x , y )

véctơ gradient của f tại M₀





0 0

x 0 0

y 0 0









Tích vô hướng của véctơ

gradient tại M₀với véctơ đơn vị.

'

u



f (M )  gradf (x , y ),l



_{0 0 0}



0

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



u

Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm của f=f(x,y,z) tại M₀theo hướng

'

f_u^(M₀)  f_x^'(M₀)cos  f_y^'(M₀)cos  f_z^'(M₀)cos









'

u



f (M )  gradf (x , y , z ),l



_{0 0 0 0}



0





Trong đó: véctơ đơn vị cùng phương với

u

là:

l  cos,cos,cos





0



,,

là các góc tạo bởi u và chiều dương trục 0x, 0y và 0z tương ứng.







gradf (M )  f ^'(M ), f ^'(M ), f ^'(M )

Véctơ Gradient của f(x,y,z) tại M₀là:





0

x

0

y

0

z

0

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

f (x, y)  xy² 3x⁴y⁵

Tìm đạo hàm của

tại điểm M₀(1,1)



u  (1,2)

theo hướng của véctơ

Giải.





1 2











u

Véctơ đơn vị cùng phương với là:

l  ,

 cos,cos







0

5 5

f_x^' y²12x³y⁵

f_y^' 2xy 15x⁴y⁴

 f_x^'(1,1)  11

 f_y^'(1,1)  13

11 26

'



f_u(1,1)  f_x(1,1)cos  f_y(1,1)cos     3 5

5 5

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

f (x, y)  x³ 3xy  4y²

Tìm đạo hàm của

tại điểm M₀(1,2)

theo hướng của véctơ tạo với chiều dương trục 0x một góc 30⁰.



Giải.

cos,cos

Véctơ đơn vị là:

l₀







0



6

  

  ,   

2 6 3





 

6 3

3 1









 l  cos ,cos  ,













2 2

 f_x^'(1,2)  3

f_x^' 3x² 3y

f_y^' 3x  8y

 f_y^'(1,2) 13

3 3 13

'

l₀

'



f (1,2)  f_x(1,2)cos  f_y(1,2)cos   

2 2

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.









y

x

1 3

M  ,

tại điểm

f (x, y)  arctg

Tìm đạo hàm của



0

2 2



theo hướng pháp véctơ của đường tròn x²+ y²= 2x tại M₀.



F(x, y)  x² y² 2x  0

 (1, 3)

'

Giải.

 n  F , F  2x  2,2y







_{x y}

















1 3

,

Véctơ đơn vị là:

l₀

2 2

y

3

f_x^' 

 f_x^'(M₀)  

x² y²

2

1

x

 f_y^'(M₀) 

f_y^'

x² y²

2

3

'

l₀

'





f (M₀)  f_x(M₀)cos  f_y(M₀)cos

2

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

f (x, y, z)  x³ 2xy² 3yz²

Tìm đạo hàm của

tại điểm M₀(3,3,1)

theo hướng của véctơ l=(2,1,2).



2 1 2

, ,













Giải.

 (cos,cos,cos )

Véctơ đơn vị là:

l₀

3 3 3

f_x^' 3x² 2y²

f_y^' 4xy  3z²

 f_x^'(3,3,1)  45

 f_y^'(3,3,1)  39

f_z^' 6yz

 f_z^'(3,3,1) 18

'



f_l(M₀)  f_x(M₀)cos  f_y(M₀)cos  f_z(M₀)cos



55

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

f (x, y, z)  x² 3yz  4

Tìm đạo hàm của

tại điểm M₀(1,2,-1)

theo hướng của véctơ tạo với các trục tọa độ những góc nhọn bằng nhau.



(cos,cos,cos )

Véctơ đơn vị là:

l₀

Giải.

1

cos²  cos²  cos² 1



3cos

²





1

 cos 

3

 f_x^'(1,2,1)  2

 f_y^'(1,2,1)  3

f_x^' 2x

f_y^' 3z

f_z^' 3y

 f_z^'(1,2,1)  6

3

f^_l^'(M₀)  f_x^'(M₀)cos  f_y^'(M₀)cos  f_z^'(M₀)cos

 

3

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chú ý. Cho hàm f=f(x,y,z).

Đạo hàm của f tại M₀theo hướng của véctơ (1,0,0) là:

'

 f_x^'(M₀)



f_i(M₀)  f_x(M₀)cos  f_y(M₀)cos  f_z(M₀)cos

Vậy đạo hàm theo hướng véctơ (1,0,0) tại M₀là đạo hàm riêng theo x tại đó, nếu

đạo hàm riêng theo x tồn tại.

Nếu đạo hàm riêng theo x không tồn tại, thì đạo hàm theo hướng vẫn có thể có.

(vì theo định nghĩa, đạo hàm theo hướng là giới hạn một phía)

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

f (x, y, z) | x | 2yz

Tìm đạo hàm của

tại điểm M₀(0,1, 1)

theo hướng của véctơ (1,0,0).



Giải.

1,0,0

 

Véctơ đơn vị là:

l₀

Không tồn tại đạo hàm riêng theo x tại M₀.

Tìm đạo hàm của f theo hướng của véctơ (1,0,0) bằng định nghĩa

f (x₀ t cos, y₀ t cos, z₀ t cos )  f (x₀, y₀, z₀)

'



f_i(0,1,1)  lim

t0^

t

f (t,1,1)  f (0,1,1)

| t | 2  2

| t |

 lim  lim 1

^

t

'



f_i(0,1,1)  lim

 lim

t0^

t0

t

Lý do: trong định nghĩa đạo hàm theo hướng, M dần đến bên phải của M₀.

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Theo công thức tính đạo hàm đạo hàm theo hướng:



















0

'

u

f^(M )  gradf (M ),l  gradf (M )  l cos



_{0 0}



0

















 gradf (M₀)  l₀ gradf (M₀)







gradf (M₀)

Đạo hàm của f tại M₀đạt giá trị lớn nhất theo hướng của véctơ







gradf (x₀, y₀)

Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng bằng:







gradf (M )

Đạo hàm của f tại M₀đạt giá trị nhỏ nhất theo hướng ngược với

0







 gradf (x , y )

Giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng bằng:

0 0

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

f (x, y, z)  xyz  2xy² yz³

M  1,1,2

và một điểm

Cho hàm

 

0

1) Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đó tại M₀đạt giá trị lớn nhất.

Tìm giá trị lớn nhất này.

2) Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đó tại M₀đạt giá trị nhỏ nhất.

Tìm giá trị nhỏ nhất này.

Giải. 1) Hướng cần tìm là hướng của véctơ gradf (M₀)







gradf (M )  f ^'(M ), f ^'(M ), f ^'(M )





0

x

0

y

0

z

0







f_g^'_{radf (M )}| gradf (M₀) |

Giá trị lớn nhất bằng độ lớn véctơ gradf (M₀):

0

2) Hướng cần tìm là ngược hướng của véctơ gradf (M₀)

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

f (x, y)  ln(xyz)

M  1,2,3

và một điểm

Cho hàm





0

1) Tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng của f tại M₀.

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng của f tại M₀.

Giải.

1) Đạo hàm theo hướng của hàm f tại M₀là một hàm phụ thuộc vào

hướng của véctơ l =(l₁, l₂,l₃).

Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng bằng độ lớn véctơ gradf (M₀)

Giá trị lớn nhất đạt được khi lấy đạo hàm theo hướng của véctơ gradf (M₀)

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

f (x, y)  x² sin(xy)

M  1,0

và một điểm

Cho hàm

 

0

Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đó tại M₀có giá trị bằng 1

l₀ (a,b),a² b²1

Giả sử hướng cần tìm là hướng của véctơ đơn vị:

f_l^'(M₀)  f_x^'(M₀)a  f_y^'(M₀)b

0

f ^' xcos(xy)

'

f_x^' 2x  ycos(xy)  f_x^'(M₀)  2

 f_y(M₀) 1

y

f_l^'(M₀)  2a  b 1

0

Vậy có hai hướng:

a  0 a  4/5









;



l₀ (0,1)

l₀ (4/5,3/5)

hoặc

b 1 b  3/5



IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

f (x, y)  x² y² 2x  4y.

Cho hàm

Tìm tất cả các điểm mà tốc độ thay đổi nhanh nhất của hàm f tại những

 

điểm đó là theo hướng của véctơ

.

i  j

Giả sử điểm cần tìm là M(a,b)

Tốc độ thay đổi nhanh nhất của f tại M là theo hướng của véctơ







gradf(M)

gradf (M )  f ^'(a,b), f ^'(a,b)

 (2a  2,2b  4)





x

y

Theo đề: gradf(M) cùng hướng với véctơ i + j = (1,0) + (0,1) = (1,1)

a 1 t / 2 a 1 s













, s  0

(2a  2,2b  4)  t(1,1),t  0

b  2  t / 2 b  2  s



Tập hợp các điểm là nửa đường thẳng.

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

Nhiệt độ T tại một điểm (x,y,z) được cho bởi công thức

2

T(x, y, z)  200e^{x 3y 9z}

T tính bằng ⁰C; x, y, z tính bằng mét.

1) Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ tại điểm P(2,-1,2) theo hướng đến

điểm (3,-3,3).

2) Tìm hướng mà nhiệt độ thay đổi nhanh nhất tại điểm P(2,-1,2).

3) Tìm giá trị lớn nhất của tốc độ thay đổi tại điểm P(2,-1,2).

IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------







gradf (x₀, y₀, z₀)

Mặt phẳng tiếp diện

Mặt cong S có ptrình: F(x,y,z) = 0

P là một điểm thuộc S

Phương trình mặt phẳng

tiếp diện tại P với S:

F_x^'(P)(x  x₀)  F_y^'(P)(y  y₀)  F_z^'(P)(z  z₀)  0

Pháp véctơ của mặt phẳng tiếp diện chính là vectơ gradf(P)