›
›

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 8: Dạng toàn phương - Đặng Văn Vinh

Download
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh  
Bộ môn Toán Ứng dụng  
-------------------------------------------------------------------------------------  
Đại số tuyến tính  
Chương 8: Dạng Toàn Phương  
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2010)  
dangvvinh@hcmut.edu.vn  
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Định nghĩa  
x (x ,x ,...,x )T Rn :  
T
f (x) x A X  
1 2  
n
x
   
1
2 3  
3 4  
xT Ax  
2x2 6x x 4x2  
x x  
2   
1
   
1
1 2  
2
x
   
2
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
f (x) f (x1,x2,x3)   
Ax12 Bx22 C x32 2Dx1x2 2Ex1x3 2Fx2x3  
Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứng  
A D E  
M D B F  
E F C  
f (x) f (x1,x2,x3)   
Khi đó f(x) có thể viết lại  
A D E x  
   
1
   
x
T
M
x  
(x1,x2,x3) D B F x2  
   
   
E F C x  
   
3
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Ví dụ.  
x
   
1
3
   
x x2 R :  
   
   
x
   
3
Giải  
3 2 3 x  
   
1
T
   
f (x) x Ax x x x 2 2 1 x  
3   
1
2
2
   
   
3 1 4 x  
   
3
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
x (x1,x2,x3)T  
T
Cho dạng toàn phương  
với  
f (x) x Ax,  
Vì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trận  
A
P
D
P
T  
trực giao P và ma trận chéo D:  
f (x) xT PDPT x  
(PT x)T D(PT x)  
Khi đó:  
Đặt  
y PT x x Py  
f (y ) yT Dy  
Ta có  
0 0 y  
   
1
1
   
f (y ) (y1,y2,y3) 0 2 0 y2  
   
   
0 0 y  
3    
3
f (y ) f (y1,y2,y3) 1y12 2y22 3y32  
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Định nghĩa  
f (y ) yT Dy  
f (x) xT Ax  
tắc của dạng toàn phương  
Dạng chính tắc là dạng toàn phương có các số hạng là các bình  
phương.  
T
Ma trận A là ma trận của dạng toàn phương  
cơ sở chính tắc.  
trong  
f (x) x Ax  
T
Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương  
f (x) x Ax  
trong cơ sở tạo nên từ các cột của ma trận trực giao P.  
Khi làm việc với dạng toàn phương ta có thể làm việc với ma  
trận A, cũng có thể làm việc với ma trận D. Tất nhiên ma trận D  
có cấu trúc đơn giản hơn.  
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
f (x) xT Ax  
T
f (y ) y Dy  
ma trận A của dạng toàn phương.  
Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi trực giao đưa dạng  
toàn phương về dạng chính tắc.  
Còn có nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về chính tắc  
khác nhau: ví dụ phép biến đổi Lagrange (hay là phép biến đổi  
sơ cấp)  
Phép biến đổi trực giao phức tạp nhưng có ưu điểm là ta vẫn còn  
làm việc với cơ sở trực chuẩn (cơ sở từ các cột của ma trận P)  
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao  
Bước 2. Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D  
Bước 3. Kết luận  
Dạng chính tắc cần tìm là: f (y ) yT Dy  
Với D là ma trận của dạng toàn phương ban đầu trong cơ sở  
trực chuẩn từ các cột của ma trận trực giao P.  
Phép biến đổi cần tìm: x = Py  
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Ví dụ  
1. Ma trận của dạng toàn phương là ma trận đối xứng:  
3 2 4  
A  2 6 2  
4 2 3  
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
2. Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P (đã làm ở ví dụ trước)  
1 1 2  
3
2 18  
4
7 0 0  
P 0  
1/3  
D 0 7 0  
18  
0 0 2  
1 1 2  
3
2 18  
f (y1,y2,y3) 7y12 7y22 2y32  
3. Dạng chính tắc cần tìm là:  
Phép biến đổi cần tìm:  
x Py  
x
y
1
     
1
     
x2 P y2  
     
     
x
y
     
3
3
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange.  
Phép biến đổi x = Py được gọi là phép biến đổi không suy biến  
nếu ma trận P là ma trận không suy biến.  
Nội dung của phương pháp Lagrange là sử dụng các phép biến  
đổi không suy biến đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.  
Phép biến đổi này rất dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biến  
đổi sơ cấp, không cần tìm TR, VTR của ma trận.  
Nhược điểm của phép biến đổi này là ta sẽ làm việc với dạng  
chính tắc trong một cơ sở thường là không trực chuẩn.  
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange.  
x 2  
Chú ý: Nếu trong dạng toàn phương ban đầu tất cả các hệ số  
k
xi x j  
đều bằng 0, thì ta chọn thừa số khác 0 của hệ số  
xi yi y j ;x j yi y j  
Đổi biến:  
(k i , j ): yk xk ;  
7.6 Dạng Toàn phương  
------------------------------------------------------------------------------------------------  
Ví dụ  
2
1. Chọn thừa số  
3x1  
Lập thành hai nhóm:  
f (x1, x2, x3) (3x12 4x1x2 8x1x3) (6x22 3x32 4x2x3)  
4
8
f (x1, x2, x3) 3(x12 x1x2 x1x3) (6x22 3x32 4x2x3)  
3
3
Lập thành tổng bình phương đủ ở nhóm 1.  
2 4 16 4 16  
f 3(x1 x2 x3)2 x2x3 x22 x32 (6x22 3x32 4x2x3)  
3 3  
3
3
3
7.6 Dạng Toàn phương  
------------------------------------------------------------------------------------------------  
2 4  
f 3(x1 x2 x3)2 ( x22 x2x3 x32 )  
3 3  
14 28  
7
3
3
3
14 28  
7
x22 x2x3 x32  
Lặp lại từ đầu cho dạng toàn phương:  
3
3
3
14  
x22  
Chọn thừa số  
3
14 28  
7
14  
7
x2 x x x2  
x2 2x x x2  
Lập 2 nhóm:  
2 3   
2 3 
  
2
3
2
3
3
3
3
3
3
Lập thành tổng bình phương đủ ở nhóm đầu.  
14  
14  
3
14 7  
2
2
x x 7x 2  
x x x2 x2  
3  
3   
2
3
3
2
3
3
3 3  
7.6 Dạng Toàn phương  
------------------------------------------------------------------------------------------------  
2 4  
14  
2
f 3(x x x )2 x x 7x2  
3   
1
2
3
2
3
3 3  
3
2 4  
y1 x1 x2 x3  
3 3  
Đặt:  
y   
x2 x3  
(*)  
2
y3   
x3  
14  
f 3y12 y22 7y32  
Vậy dạng chính tắc cần tìm là:  
3
là phép biến đổi cần tìm.  
(*)  
7.6 Dạng Toàn phương  
------------------------------------------------------------------------------------------------  
Ví dụ  
x2  
1. Trong dạng toàn phương không có hệ số chứa  
Chọn một hệ số tùy ý chứa xmxn, ví dụ: 4x1x2  
k
x y y  
1
1
2
Đổi biến:  
x y y  
2
1
2
x3 y3  
f 4y12 4y22 4(y1 y2)y3 4(y1 y2 )y3  
7.6 Dạng Toàn phương  
------------------------------------------------------------------------------------------------  
f 4y12 8y1y3 4y22 f (4y12 8y1y3) 4y22  
f 4(y12 2y1y3) 4y22 f 4(y1 y3)2 4y22 4y32  
z y y  
1
1
3
Đổi biến:  
z2 y2  
z3 y3  
f (z1, z2, z3) 4z12 4z22 4z32  
Dạng chính tắc cần tìm là:  
Phép biến đổi cần tìm:  
x z z z  
1
1
2
3
x z z z  
2
1
2
3
x3 z3  
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Định nghĩa  
5. không xác định dấu, nếu (x1,x2):f (x1) 0 & f (x1) 0  
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:  
f (y ) 1y12 2y22 ...n yn2  
(k 1,..,n):0  
1. Nếu  
, thì dạng toàn phương xđ dương.  
k
(k 1,...,n):0  
2. Nếu  
3. Nếu  
, thì dạng toàn phương xđ âm.  
k
(k 1,...,n):0  
và  
và  
, thì nửa xđ dương.  
, thì nửa xđ âm.  
k 0  
k 0  
k
(k 1,...,n):0  
4. Nếu  
5. Nếu  
k
0;0  
, thì dạng toàn phương không xác định dấu  
1
2
7.6 Dạng Toàn phương  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:  
f (y ) 1y12 2y22 ...n yn2  
Số các hệ số dương được gọi là chỉ số dương quán tính.  
Số các hệ số âm được gọi là chỉ số âm quán tính.  
Tồn tại rất nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng  
chính tắc. Các dạng chính tắc này thường khác nhau.  
Có điểm chung của các dạng chính tắc là: số lượng các hệ số âm  
và số lượng các hệ số dương là không thay đổi.  
Luật quán tính  
Chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của dạng toàn  
phương là những đại lượng bất biến không phụ thuộc vào cách  
đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.  
Tải về để xem bản đầy đủ
pdf 35 trang Mãnh Khiết 15/01/2024 7400 Free
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 8: Dạng toàn phương - Đặng Văn Vinh", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_8_dang_toan_phuong_dang_v.pdf