Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận và hệ phương trình tuyến tính
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016
Chương 1
MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
FB: fb.com/daisob1
Trường Đại Học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
1/104
ꢀ
2x + y = 5;
4x − y = 7.
Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính
−x +y +z = 1;
4x −3y +5z = 6;
2x +y −z = 2.
Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính
−2x +2y +z +2t = 1;
2x −2y +3z −3t = 2;
x
+y +z −2t = 2;
3x +4y −5z +2t = 7.
Hỏi. Làm cách nào để giải hệ phương trình có số ẩn và số phương
trình lớn?
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
2/104
Nội dung
Chương 1. MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. Ma trận
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
3. Hệ phương trình tuyến tính
4. Ma trận khả nghịch
5. Phương trình ma trận
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
3/104
1.1. Ma trận
1
Định nghĩa và ký hiệu
2
3
Ma trận vuông
Các phép toán trên ma trận
Một số ký hiệu
• N = {0, 1, 2, . . .} là tập hợp các số tự nhiên.
• Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . .} tập hợp các số nguyên.
ꢁ
m
• Q =
| m, n ∈ Z, n = 0 tập hợp các số hữu tỉ.
n
• R: Tập hợp các số thực.
• C: Tập hợp các số phức.
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
4/104
1.1.1. Định nghĩa và ký hiệu
Định nghĩa. Một ma trận A cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật
gồm m dòng n cột với m × n phần tử trong R, có dạng
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
A =
.
Ký hiệu.
A = (aij)m×n hay A = (aij), trong đó aij ∈ R.
aij hay Aij là phần tử ở vị trí dòng i cột j của A.
Mm×n(R): Tập hợp tất cả những ma trận cấp m × n trên R.
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
5/104
Ví dụ.
A =
ꢂ
ꢃ
1 2
1
2 −3
∈ M2×3(R); B = 0 1 ∈ M3×2(R).
5 −6
7
2 3
Định nghĩa. Ma trận có tất các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận
không, ký hiệu 0m×n (hay 0).
Ví dụ.
0 0 0 0
0 0 0 0 .
0 0 0 0
03×4
=
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
6/104
1.1.2. Ma trận vuông
Định nghĩa. Nếu ma trận A có số dòng bằng số cột thì A được gọi là
ma trận vuông.
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
A =
.
£ Mn(R): Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R.
Ví dụ.
−1
3 2
0 0 0
A =
2 −1 1 ∈ M3(R); 03 = 0 0 0 .
5
2 3
0 0 0
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
7/104
Định nghĩa. Nếu A = (aij) ∈ Mn(R) thì đường chứa các phần tử
a11, a22, . . . , ann được gọi là đường chéo chính (hay đường chéo)
của A.
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
A =
.
Ví dụ.
1
3
5
A = −2 −3 3 .
2
−2 1
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
8/104
Định nghĩa. Cho A = (aij) ∈ Mn(R). Khi đó
Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là
aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên.
Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là
aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới.
Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 (nghĩa là
aij = 0, ∀i = j) thì A được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu
A = diag(a1, a2, . . . , an).
1
3 5
1
0
0
Ví dụ. A = 0 −3 3 , B = −2 0
0 .
0
0 1
−1 2 −4
−1
0
0
C = diag(−1, 0, 5) =
0 0 0 .
0
0 5
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
9/104
Nhận xét. Ma trận A là ma trận đường chéo khi và chỉ khi vừa là ma
trận tam giác vừa là ma trận tam giác dưới.
Định nghĩa. Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo
bằng 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma
trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I).
Ví dụ.
ꢂ
ꢃ
1
0
0
1
0 1
0
I2 =
;
I3 = 0 1 0 .
0
0 1
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
10/104
1.1.3. Các phép toán trên ma trận
a) So sánh hai ma trận
Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó, nếu aij = bij, ∀i, j thì A
và B được gọi là hai ma trận bằng nhau, ký hiệu A = B.
ꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
x + 1
2x − 1 z
1
3y − 4
1
Ví dụ. Tìm x, y, z để
=
?
y − 1 2z + 2
Giải. Ta có
x + 1 = 3y − 4;
2x − 1 = y − 1;
x =
y =
1;
2;
⇔
z
= 2z + 2.
z
= −2.
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
11/104
b) Chuyển vị ma trận
Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Ta gọi ma trận chuyển vị của A,
ký hiệu A>, là ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các
dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a1n a2n . . . amn
>
A =
thì A =
.
Ví dụ.
1
6
0
4
1
−1
4
5
−1 −8
>
Nếu A = 6 −8
0 1 thì A =
.
4
5
0 −3
0
4 −3
6
1
6
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
12/104
Tính chất. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó:
i) (A>)> = A;
ii) A> = B> ⇔ A = B.
Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(R). Nếu A> = A thì ta nói A là ma
trận đối xứng.
1 2 −2
Ví dụ. Cho A =
2 4
5 . Hỏi A có là ma trận đối xứng không?
−2 5
6
1 2 −2
>
>
Giải. Ta có A =
2 4
−2 5
5 . Suy ra A = A . Vậy A là ma trận
6
đối xứng.
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
13/104
c) Nhân một số với ma trận
Định nghĩa. Cho ma trận A ∈ Mm×n(R), α ∈ R. Ta định nghĩa tích
của α với A (ký hiệu αA) là ma trận được xác định bằng cách nhân
các phần tử của A với α, nghĩa là
(αA)ij = αAij, ∀i, j.
Nếu α = −1, ta ký kiệu (−1)A bởi −A và gọi là ma trận đối của A.
ꢂ
ꢃ
3 4
1
Ví dụ. Cho A =
. Khi đó
0 1 −3
ꢂ
ꢃ
6 8
2
1
2A =
.
0 2 −6
ꢂ
ꢃ
−3 −4 −1
2
−A =
.
0 −1
3
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
14/104
Tính chất. Cho A là ma trận và α, β ∈ R, ta có
i) (αβ)A = α(βA);
ii) (αA)> = αA>;
iii) 0.A = 0 và 1.A = A.
d) Tổng của hai ma trận
Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n(R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu
A + B là ma trận được xác định bởi:
(A + B)ij = Aij + Bij.
Nhận xét. Để tính A + B thì:
1
A và B cùng cấp;
2
Các vị trị tương ứng cộng lại.
Ký hiệu. A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B.
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
15/104
ꢂ
ꢃ
1 −3
2 4 −3
Ví dụ. Cho A =
−3A + 2B>?
2
1
0
3
và B =
. Tính A> + 2B và
2 1
2
Giải.
ꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
1 2 1
4 8 −6
5 10 −5
• A> + 2B =
+
=
.
−3 0 3
4 2
4
1
2
7
−3
9
4 4
8 2
−6 4
1
2
13
2 .
• −3A + 2B>
=
−6
0 +
=
−3 −9
−9 −5
1 2 −3
3 −2 1
Ví dụ.(tự làm) Cho A = 2 1
4
và B =
4
3
5 2 . Tính
2 3 −3
6 2
2A − 5I3 và 3A − 2B>?
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
16/104
Tính chất. Cho A, B, C ∈ Mm×n(R) và α, β ∈ R, ta có
i) A + B = B + A (tính giao hoán);
ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp);
iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A;
iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n;
v) (A + B)> = A> + B>;
vi) α(A + B) = αA + αB;
vii) (α + β)A = αA + βA;
viii) (−α)A = α(−A) = −(αA).
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
17/104
e) Tích của hai ma trận
Định nghĩa. Cho hai ma trận A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R). Khi đó,
tích của A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p(R) được xác
định bởi:
(AB)ij := Ai1B1j + Ai2B2j + · · · + AinBnj.
ꢂꢃ
b11 . . . b1j . . . b1p
ꢀꢁ
a11
a12 . . . a1n
ꢂꢃ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b21 . . . b2j . . . b2p
ꢂꢃꢂꢃ ꢂꢃ
ꢀꢁ
ai1
ai2 . . . ain
ꢀꢁꢀꢁ ꢀꢁ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1
am2 . . . amn
ꢂꢃ
bn1 . . . bnj . . . bnp
ꢀꢁ
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
18/104
Nhận xét. Để tính tích AB thì:
1
Số cột của A bằng số dòng của B;
2
Phần tử thứ i, j của AB bằng dòng i của A nhân cột j của B.
ꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
2 3
1 2 −1
3
2
Ví dụ. Cho A =
; B = −2 1 và C =
. Tính
3 0
1
1 −2
1 2
AB, BA, AC, CA, BC, CB?
Giải.
ꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
2 3
−2 1
1 2
1 2 −1
3 0
−3
3
11
•
AB =
=
=
.
1
7
ꢂ
ꢃ
2 3
11
4 1
1 2 −1
•
BA = −2 1
1 −4 3 .
3 0
1
1 2
7
2 1
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
19/104
• AC không tồn tại vì số cột của A không bằng số dòng của C.
ꢂ
ꢃꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
3
2
1 2 −1
9 6 −1
−5 2 −3
• CA =
=
.
1 −2 3 0
1
ꢂ
ꢃ
2 3
9 −2
3
2
• BC = −2 1
=
−5 −6 .
5 −2
1 −2
1 2
• CB không tồn tại vì số cột của A không bằng số dòng của C.
ꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
1 2 3 −2
2 3 −2 3
1 2 −4 3
Ví dụ.(tự làm) Cho A =
Tính AB> và A>B?
; B =
.
−1 2 3
1
1
6
9
1
2
0
ꢂ
ꢃ
−4 −13
10 −12 12
>
Đáp án. AB>
=
; A B =
.
1
−6
15 −18 18
−3 −4
0 −3
Chương 1. Ma trận và Hệ PTTT
23/02/2016
20/104
Tải về để xem bản đầy đủ
104 trang
15/01/2024
13340
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận và hệ phương trình tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_1_ma_tran_va_he_phuong_tr.pdf
