Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương III: Không gian vectơ
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016
Chương 3
KHÔNG GIAN VECTƠ
FB: fb.com/daisob1
Trường Đại Học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
1/97
Nội dung
Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ
1. Không gian vectơ
2. Tổ hợp tuyến tính
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ
4. Không gian vectơ con
5. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
6. Tọa độ và ma trận chuyển cơ sở
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
2/97
3.1. Không gian vectơ
Định nghĩa. Cho V là một tập hợp với phép toán + và phép nhân vô
hướng . của R với V. Khi đó V được gọi là không gian vectơ trên R
nếu mọi u, v, w ∈ V và α, β ∈ R thỏa 8 tính chất sau:
(1) u+v = v+u;
(2) (u+v)+w = u+(v+w);
(3) tồn tại 0 ∈ V : u+0 = 0+u = u;
(4) tồn tại −u ∈ V : −u+u = u+−u = 0;
(5) (αβ).u = α.(β.u);
(6) (α+β).u = α.u+β.u;
(7) α.(u+v) = α.u+α.v;
(8) 1.u = u.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
3/97
Khi đó ta gọi:
• mỗi phần tử u ∈ V là một vectơ.
• vectơ 0 là vectơ không.
• vectơ −u là vectơ đối của u.
Ví dụ. Xét V = R3 = {(x1, x2, x3) | xi ∈ R}. Với
u = (x1, x2, x3), v = (y1, y2, y3) và α ∈ R,
ta định nghĩa phép cộng + và nhân vô hướng . như sau:
• u+v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3);
• α.u = (αx1, αx2, αx3).
Khi đó R3 là không gian vectơ trên R. Trong đó:
. Vectơ không là 0 = (0, 0, 0);
. Vectơ đối của u là −u = (−x1, −x2, −x3).
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
4/97
Ví dụ. Xét V = Rn = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R ∀i ∈ 1, n}. Với
u = (x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn và α ∈ R,
ta định nghĩa phép cộng + và nhân vô hướng . như sau:
• u+v = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn);
• α.u = (αx1, αx2, . . . , αxn).
Khi đó Rn là không gian vectơ trên R. Trong đó:
. Vectơ không là 0 = (0, 0, . . . , 0);
. Vectơ đối của u là −u = (−x1, −x2, . . . , −xn).
Ví dụ. Tập hợp Mm×n(R) với phép cộng ma trận và nhân ma trận với
một số thực thông thường là một không gian vectơ trên R. Trong đó:
. Vectơ không là ma trận không.
. Vectơ đối của A là −A.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
5/97
Ví dụ. Tập hợp
R[x] = {p(x) = anxn + · · · + a1x + a0 | n ∈ N, ai ∈ R, i ∈ 1, n}
gồm các đa thức theo x với các hệ số trong R là một không gian vectơ
trên R với:
• phép cộng vectơ là phép cộng đa thức thông thường;
• phép nhân vô hướng với vectơ là phép nhân thông thường một số
với đa thức.
Ví dụ. Tập hợp Rn[x] gồm các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n theo
x với các hệ số trong R là một không gian vectơ trên R.
Ví dụ. Cho V = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | 2x1 + 3x2 + x3 = 0}.
Khi đó V là không gian vectơ trên R.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
6/97
Ví dụ. Cho W = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 + x2 − 2x3 = 1}.
Khi đó W không là không gian vectơ, vì
0 = (0, 0, 0) ∈/ W
Mệnh đề. Cho V là một không gian vectơ trên R. Khi đó với mọi
u ∈ V và α ∈ R, ta có
i) αu = 0 ⇔ (α = 0 hay u = 0);
ii) (−1)u = −u.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
7/97
3.2. Tổ hợp tuyến tính
1
Tổ hợp tuyến tính
2
Độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
8/97
3.2.1. Tổ hợp tuyến tính
Định nghĩa. Cho u1, u2, . . . , um ∈ V. Một tổ hợp tuyến tính của
u1, u2, . . . , um là một vectơ có dạng
u = α1u1 + α2u2 + · · · + αmum với αi ∈ R.
Khi đó, đẳng thức trên được gọi là dạng biểu diễn của u theo các
vectơ u1, u2, . . . , um.
Ví dụ. Vectơ u = (5, 4, 2) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
u1 = (1, −1, 2), u2 = (2, 3, −1), u3 = (0, 1, −2),
vì u = u1 + 2u2 − u3.
Nhận xét. Vectơ 0 luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của
u1, u2, ..., um vì
0 = 0u1 + 0u2 + · · · + 0um.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
9/97
Ví dụ. Cho
u1 = (1, 2, −1), u2 = (0, 1, −1), u3 = (1, 3, −1)
và u = (4, 9, −2). Chứng tỏ u là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3.
Giải. Giả sử u là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3, khi đó tồn tại
α1, α2, α3 sao cho
u = α1u1 + α2u2 + α3u3.
Từ đây ta suy ra được hệ phương trình
α1
2α1 + α2 + 3α3
−α1 − α2
+
α3
=
=
4;
9;
−
α3 = −2.
Giải hệ ta được α1 = 1, α2 = −2, α3 = 3. Suy ra
u = u1 − 2u2 + 3u3.
Do đó u là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
10/97
Phương pháp
Ta có u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, ..., um khi phương trình
u = α1u1 + α2u2 + · · · + αmum (?)
có nghiệm α1, α2, . . . , αm ∈ R.
Xét trường hợp không gian Rn. Giả sử
u
= (b1, b2, . . . , bn)
u1 = (u11, u21 . . . , un1);
u2 = (u12, u22 . . . , un2);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
um = (u1m, u2m . . . , unm).
u11α1 + u12α2 + · · · + u1mαm = b1;
u21α1 + u22α2 + · · · + u2mαm = b2;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
un1α1 + un2α2 + · · · + unmαm = bn.
Khi đó (?) ⇔
(??)
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
11/97
u11 u12 . . . u1m b1
u21 u22 . . . u2m b2
Ma trận hóa (??) ta được
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
un1 un2 . . . unm bn
Tức là
(u1> u2> . . . u>m | u>)
Như vậy, để kiểm tra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, ..., um trong Rn
ta áp dụng các bước sau:
Bước 1. Lập ma trận mở rộng (u>1 u2> . . . um> | u>) (?)
Bước 2. Giải hệ phương trình (?).
. Nếu (?) vô nghiệm, thì u không phải là tổ hợp tuyến tính của
u1, u2, ..., um.
. Nếu (?) có nghiệm α1, α2, . . . , αm thì u là tổ hợp tuyến tính của
u1, u2, ..., um và có dạng biểu diễn là
u = α1u1 + α2u2 + · · · + αmum
.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
12/97
Ví dụ. Xét xem u = (−3, 1, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, −1, 1), u3 = (−2, 1, 1) hay không?
1 −1 −2 −3
>
Giải. Lập (u>1 u2> u>3 | u ) = 2 −1
1
1
1
4
1
1
1 −1 −2 −3
1 0
3
5
4
7
d2−2d1
−−−−−→
d3−d1
d1+d2
0
0
1
2
5
3
7 −−−−−→ 0 1
d3−2d2
7
0 0 −7 −7
1 0 0 1
−1 d3
7
−−−−−→ 0 1 0 2 .
d1−3d3
0 0 1 1
d2−5d3
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (α1, α2, α3) = (1, 2, 1).
Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3.
Dạng biểu diễn của u là u = u1 + 2u2 + u3.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
13/97
Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?
1 1 −2 4
>
Giải. Lập (u>1 u2> u>3 | u ) = 2 3
3 3
4 5
5 7
1 1 −2
4
1 0 −9
9
d2−2d1
d3−5d1
d1−d2
−−−−−→ 0 1
7
−5 −−−−−→ 0 1
7 −5 .
0 −5
d3−2d2
0 2 14 −15
0 0
Hệ vô nghiệm vì
0α1 + 0α2 + 0α3 = −5.
Vậy u không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
14/97
Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?
1 1 −2
4
3
>
Giải. Lập (u>1 u2> u>3 | u ) = 2 3
3
5 7
4 10
1 1 −2
4
1 0 −9
9
d2−2d1
d3−5d1
d1−d2
−−−−−→ 0 1
7
−5 −−−−−→ 0 1
7 −5
d3−2d2
0 2 14 −10
0 0
0
0
Nghiệm của hệ là
(α1, α2, α3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t) với t ∈ R.
Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3, và dạng biểu diễn của u là
u = (9 + 9t) u1 + (−5 − 7t) u2 + t u3.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
15/97
Ví dụ.(tự làm) Xét xem u = (5, 7, −2, 5) có là tổ hợp tuyến tính của
các vectơ u1 = (1, 2, −1, 2), u2 = (−2, 1, −1, 1), u3 = (1, 3, −1, 2) hay
không?
Đáp án. u = u1 − u2 + 2u3.
Ví dụ.(tự làm) Xét xem u = (−1, 4, −1) có là tổ hợp tuyến tính của
các vectơ
u1 = (−2, 3, 1); u2 = (2, −1, −1); u3 = (1, 0, −1); u4 = (2, 1, −1)
hay không?
Đáp án. (α1, α2, α3, α4) = (1 − t, −1 − 2t, 3, t). Suy ra
u = (1 − t)u1 + (−1 − 2t)u2 + 3u3 + tu4.
Ví dụ.(tự làm) Xét xem u = (7, 3, 0, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các
vectơ u1 = (3, 1, 1, 2), u2 = (2, 1, 1, 2), u3 = (2, 1, 0, −1) hay không?
Đáp án. u không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
16/97
Ví dụ. Trong không gian R4 cho các vectơ
u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2, 3, −1, 0); u3 = (−1, −1, 1, 1).
Tìm điều kiện để vectơ u = (a, b, c, d) là một tổ hợp tuyến tính của
u1, u2, u3.
Giải. Lập
1
1
2 −1 a
1
0
2 −1 a
3 −1
b
c
1
0 b − a
(u>1 u>2 u>3 | u ) =
→
>
1 −1
1
0 −3
2 c − a
2 d − a
a
1
0
1 d
0 −2
0 2 −1
a
0 2 −1
0 1
0 0
0 0
0 −a + b
0 1
0 0
0 0
0 −a + b
→
→
.
2 −4a + 3b + c
2 −3a + 2b + d
2 −4a + 3b + c
0 a − b − c + d
Để u là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 thì hệ có nghiệm, tức là
a − b − c + d = 0.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
17/97
Ví dụ.(tự làm) Trong không gian R3 cho các vectơ
u1 = (1, 2, 1); u2 = (1, 3, 2); u3 = (3, 8, 5); u4 = (2, 7, 5).
Tìm điều kiện để vectơ u = (a, b, c) là một tổ hợp tuyến tính của
u1, u2, u3, u4.
Đáp án. a − b + c = 0
Ví dụ.(tự làm) Trong không gian R4 cho các vectơ
u1 = (1, 2, 1, 3); u2 = (2, 3, 2, −2); u3 = (5, 8, 5, −1).
Tìm điều kiện để vectơ u = (a, b, c, d) là một tổ hợp tuyến tính của
u1, u2, u3.
Đáp án. −a + c = 0 và 13a − 8b + d = 0
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
18/97
3.2.2. Độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa. Cho u1, u2, . . . , um ∈ V. Xét phương trình
α1u1 + α2u2 + · · · + αmum = 0.
(?)
• Nếu (?) chỉ có nghiệm tầm thường α1 = α2 = · · · = αm = 0 thì
ta nói u1, u2, . . . , um (hay {u1, u2, . . . , um}) độc lập tuyến tính.
• Nếu (?) có nghiệm không tầm thường thì ta nói u1, u2, . . . , um
(hay {u1, u2, . . . , um}) phụ thuộc tuyến tính.
Nói cách khác,
. Nếu phương trình (?) có nghiệm duy nhất thì u1, u2, . . . , um độc
lập tuyến tính.
. Nếu phương trình (?) có vô số nghiệm thì u1, u2, . . . , um phụ
thuộc tuyến tính.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
19/97
Nhắc lại. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 có m
˜
˜
ẩn. Khi đó r(A) = r(A) với A là ma trận mở rộng. Hơn nữa áp dụng
định lý Kronecker - Capelli ta có
• Nếu r(A) = m hệ chỉ có nghiệm tầm thường.
• Nếu r(A) < m hệ có vô số nghiệm.
Nhắc lại. Cho A ∈ Mn(R). Khi đó các khẳng định sau tương đương
(i) r(A) = n;
(ii) Hệ phương trình AX = 0 chỉ có nghiệm tầm thường;
(iii) detA = 0.
Chương 3. Không gian vectơ
22/03/2016
20/97
Tải về để xem bản đầy đủ
97 trang
15/01/2024
7060
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương III: Không gian vectơ", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_iii_khong_gian_vecto.pdf
