Bài tập môn Xác suất thống kê (Có đáp án)

Bài tập xác suất

Ví dụ 5: Một vé sổ xố có 4 chữ số.Khi quay số,nếu vé bạn mua có số trùng hoàn toàn với kết

quả thì bạn trúng giải nhất.Nếu vé bạn mua có đúng 3 chữ số trùng với 3 chữ số của két quả

(kể cả vị trí) thì bạn trúng giải nhì.Bạn An mua một vé xổ số.

a)Tính xác suất để An trúng giải nhất.

b)Tính xác suất để An trúng giải nhì.

Giải. a)Số kết quả có thể là

và chỉ có một kết quả trùng với số vé của An.Do đó

.

xác suất trúng giải nhất của An là

b)Giải sử số vé của An là

.Các kết quả trùng với đúng 3 chữ số của An là

hoặc

.Vì mỗi trường hợp trên đều có 9 khả năng

nên có

kết quả ở đó vé của An trúng giải nhì.Do đó xác xuất trúng giải nhì

của AN là

.

Ví dụ 6: Một cỗ bài tú lơ khơ gìm 52 quân bài chia thành bỗn chất : rơ,cơ ( màu đỏ) ,pích và

nhép (màu đen).Mỗi chất có 13 quân bài là 2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A (đọc là át).Bốn quân 2

(gồm 2 rơ,2 cơ,2 pích và 2 nhép) làm thành một bộ 2 ; bốn quân 3 (gồm 3 rơ,3 cơ,3 pích và 3

nhép)làm thành một bộ 3; ... ; bỗn quân át (gồm át rô,át cơ,át pích và át nhép) làm thành một

bộ át.

Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài.Tính xác suất để trong 5 quân bài đó ta có một bộ.

Giải

Số kết quả có thể là

.Số kết quả trong đó có một bộ 2 bằng số cách chọn một quân bài

trong số

2.

quân còn lại (không phải là quân 2).Vậy có 48 kết quả trong đó có một bộ

Tương tự có 48 kết quả trong đó có một bộ 3; ... ; có 48 kết quả trong đó có một bộ át.Vì có

tất cả 13 bộ,nên số kết quả trong đó có xuất hiện một bộ là

.

Do đó ,xác suất cần tìm là

Ví dụ 8: Một công ti bảo hiểm nhân thọ đã thống kê được trong 100 000 đàn ông 50 tuổi có

568 người chết trước khi bước sang tuổi 51 và trong 100 000 phụ nữ tuổi có 284 người chết

trước khi bước sang tuổi 51. Khi đó xác suất thực nghiệm để một người đàn ông 50 tuổi chết

trước khi bước sang tuổi 51 là

và xác suất thực nghiệm để một người phụ nữ

50 tuổi chết trước khi bước sang tuổi 51 là

Bài tập Trong mặt phẳng cho 9 đường thẳng song song và 10 đường thẳng song song khác

cắt 9 đường thẳng song song trên . Hỏi chúng tạo được bao nhiêu hình bình hành?

Bài giải của bạn: tu_uyen1991 | 09:39:18 Ngày 01-06-2008

+tạo hình bình hành từ 9 đường thẳng song song :

+tạo hình bình hành từ 10 đường thẳng song song :

=>số hình bình hành tạo được :

.

=1620

Bài giải của bạn: ltduy001 | 00:41:22 Ngày 13-06-2008

1

Hình bình hành được hình thành từ 2 cặp cạnh song song

Theo đề :

9 đường thẳng song song có thể chọn ra

10 đường thẳng song song kia có thể chọn ra

=> số hình bình hành tạo ra theo đề bài là :

cặp cạnh ( không có hoán vị

cặp cạnh

x

Baì 70218 6 người gặp nhau, ai cũng bắt tay nhau 1 lần. Hỏi có bao nhiêu cái bắt

tay?

Có 6 người , ai cũng bắt tay nhau 1 lần .

Mỗi lần có 2 người bắt tay nhau.

Vậy, số cái bắt tay là :

.

Baì 69067 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó số 1

xuất hiện 3 lần, các số khác xuất hiện đúng 1 lần ?

Baì 68254

Số 1638 có bao nhiêu ước số?

Bài giải của bạn: tu_uyen1991 | 14:43:48 Ngày 01-06-2008

Ta phân tích số

số

Mỗi ước của 1638 có dạng

Lại có điều kiện của a,b,c,d :

a,b,c,d thuộc N

Vậy a : có 2 cách chọn

b: 2 cách chọn ,c : 2 cách chọn ,d : có 2 cách chọn

=> có:2.2.2.2 =16

Vậy có 16 ước số thoả mãn

Bài giải của bạn: tu_uyen1991 | 15:08:34 Ngày 01-06-2008

Ta phân tích

+ ước số có 1 phần tử :

+ ước số có 2 phần tử :

+ ước số có 3 phần tử :

+ ước số có 4 phần tử :

Và 1 ước số là số 1

vậy có: :4 + 6+ 4+1 +1 =16 số

Baì 68252

Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết 9?

Bài giải của bạn: emlahaiga | 01:49:21 Ngày 03-06-2008

Số nhỏ nhất và lớn nhất có 6 chữ số là số lẻ và chia hết cho 9 là 100017 và 999999

Nhận thấy rằng trong đoạn từ 100017 đến 999999 cứ cách nhau 18 đơn vị thì có 1 số chia hết

cho 9 là số lẻ .

Vậy số các số thỏa mãn là :

Đáp số là 50.000 chứ không phải là 49.999

Baì 68251

Có thể lập được bao nhiêu số gồm n chữ số phân biệt sao cho chữ số 1 và 2 không đứng cạnh

nhau?

Bài giải của bạn: tu_uyen1991 | 15:04:27 Ngày 11-06-2008

2

+Xếp số 1 vào bên trái thì có : n-1 cách xếp số 2

+Xếp số 2 vào bên phải có n-1 xếp số 1

=> Cách xếp số 1 và 2 đứng cạnh nhau : 2.(n-1)

vậy còn các số còn lại :(n-2 ) số

+xếp n-2 số :(n-2)!

Theo qui tắc nhân : 2.(n-1)(n-2)!

+xếp tất cả các số tự nhiên : n! cách

Vậy :

Xếp n chữ số phân biệt sao cho chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau : n! - 2.(n-1)(n-2)! = (n-

2)(n-1)! cách

Baì 68249

Có bao nhiêu số nguyên không lớn hơn 1000 chia hết cho 7 hoặc 11?

Bài giải của bạn: emlahaiga | 20:38:05 Ngày 30-05-2008

Gọi x là số số nguyên không lớn hơn 1000 và chia hết cho 7 thì

Gọi y là số số nguyên không lớn hơn 1000 và chia hết cho 11 thì

Gọi z là số số nguyên không lớn hơn 1000 và cùng chia hết cho cả 7 và 11 ( Suy ra chia hết

cho 77 vì 7 và 11 nguyên tố cùng nhau ) , thì

(

là phần nguyên của x )

Vậy số các số cần tìm là ( x+y-z) = 142+90-12 = 220

Đáp án là A

Bài giải của bạn: tu_uyen1991 | 09:05:47 Ngày 01-06-2008

+ số nguyên không lớn hơn 1000 chia hết cho 7 :

+số nguyên không lớn hơn 1000 chia hết cho 11 :

+số nguyên không lớn hơn 1000 chia hết cho 7 và 11 :

số nguyên không lớn hơn 1000 chia hết cho 7 hoặc 11 :

+

-

= 220,7 số

vậy có 220 số

Baì 68170

Cho đa giác đều A1.....A2n nội tiếp đường tròn .Số tam giác lập được gấp 20 lần số hình chữ

nhật lập được bởi 2n điểm .Tính n?

Bài giải của bạn: pin970 | 14:39:11 Ngày 26-05-2008

Ta có số cách chọn ra 3 điểm khác nhau từ đa giác đều có 2n cạnh là

.

Vì đây là đa giác đều nên bất kì điểm nào cũng có 2 điểm đối xứng nhau qua tâm 0 của đa

giác

vì vậy đa giác 2n cạnh sẽ có n cặp đối xứng nhau qua tâm O .

Chọn ra 2 cặp trong n cặp đối xứng trên ta sẽ có 1 hình chữ nhật và số hình chữ nhật đó là

.

theo đề bài ta có được phương trình

Baì 68169

Một tập hợp có 100 phần tử. Hỏi nó có bao nhiêu tập hợp con có nhiều hơn 2 phần tử?

Bài giải của bạn: emlahaiga | 20:43:24 Ngày 30-05-2008

Số tập hợp con có nhiều hơn 2 phần tử là :

Đáp án là D

3

Bài giải của bạn: tu_uyen1991 | 14:56:18 Ngày 01-06-2008

số tập hợp con đã cho :

số tập hợp con có nhiều nhất 2 phần tử: 100+

+1 =5051

-5051 =

=> số tập hợp con nhiều hơn 2 phần tử là :

Baì 66348

Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu

chỉ có nữ sinh ngồi gần nhau

1. Quy tắc cộng xác suấ

a.Biến cố h

Cho habiến cối A và BBiến cố. "A hoặc B xảy ra", khí hiệ

u l

à

. Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em.Gọi A lbiến cốà "bạn đó là học

sinh giỏi Toán" và B biến cốlà "Bạn đó là học sinh giỏi Văn".Khi

là học sinh giỏi Văn hoặc giỏi Toá

đó biến cốlà "Bạn đó

". Một cách tổng quá

: Chobiến cố

hiệu

kBiến cố . "Có ít nhất một trobiến cốn

là được gọi là hợp củabiến cố k

g xảy ra" ,kí

ó. Biến cố xung

c Cho biến cốhai A và B.biến cốHai A và B được gọi là xung khắc biến cốnếu này xảy ra

biến cốthì kia không xảy

ra. Hai biến cố A và B là biến cố xung khắchai nếu và chỉ

nếu Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em.Gọi Abiến cố là "Bạn đó là học

sinh khối 10",Bbiến cố là "Bạn đó là học sinh khối 11".Khi đó A và B là biến cố xung khắch

i . Hỏi biến cốhai A và B trong ví dụ 1 có phải là biến cố xung khắchai hay kh

ng?Quy tắc cộng xác suất

c. Để txác suấtính biến cố hợpcủa ,ta cần quy tắc cộng xác suấtđến sau đ

y : Nếu biến cốhai A và B xung khắc xác suấtthì để A hoặc B xảy ra

là

(1) Ví dụ 3: Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số từ 1 đến 9.Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi hai số

ghi trên hai thẻ với nhau.Txác suấtính đkế t quả nhận được là một số c

ẵn.

iải Kết quả nhận được là số ckhi và chỉ khihẵn trong hai thẻ có ít nhất một thẻ đánh số chẵn

(gọi tắt là thẻ chẵn).Gọi Abiến cố là "Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ",Bbiến cố là "Cả

hai thẻ được rút ngắn là thẻ chẵn".Khibiến cố đó "Tích hai số ghi trên thẻ là một số

chẵn"

à . Do biến cốhai A và B xung khắc,

nên ta

nên .Vì có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ

có Do

Quy tắc cộng xác suất đó cho nhbiến cốiều được phát biểu như s

u : Chbiến cốo

k đôi một xung khắc.Khi

ó Biến cố

Cho A là mbiến cốột .Khi biến cốđó "Không xảy ra A", kí hiệu là ,được gọi biến cố đốilà

của

A. N

ếu tập hợplà ckết quả thuận lợiác cho A ttập hợphì ckết quả thuận lợiác c ho

4

là

\ .Ta nói A và là hbiến cố đốiai nh

u. CH

Ý Hbiến cố đốiai nhau là hbiến cố xung khắcai .Tuy nhiên hbiến cố xung khắcai chưa chắc

là hbiến cố đốiai nhau.Chẳng hạn trong ví dụ 2,A và B là hbiến cố xung khắcai nhưng không

phải là hbiến cố đốiai nh

u. ĐỊNH

LÍ Cbiến cốho Xác suất A. cBiến cố đốiủ a

là

3) Chứng mi

nh Kí hi

ệu . Do và A là hbiến cố xung khắcai nên theo công thức (1) ta

có .Rõ ràbiến cống S luôn xảy ra nên S biến cố chắc chắnlà .V

ậy .Suy

r

. Ví dụ 4: Một hộp đựng 4 viên bi xanh,3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng.Chọn ngẫu nhiên 2

viên

i. a)Tíxác suấtnh để chọn được 2 viên bi cùng m

u. b)Tíxác suấtnh để chọn được 2 viên bi khác m

u. G

ải a) Gọi A biến cốlà "Chọn được 2 viên bi xanh",B biến cốlà "Chọn được 2 viên bi đỏ",C

biến cốlà "Chọn được 2 viên bi vàng" và H biến cốlà "Chọn được 2 viên bi cùng màu".Ta

có và cbiến cốác A,B,C đôi một xung kh

. Vậy theo công thức (2) ,ta

c

. Ta

. V

c

ậy Biến cốb) "Chọn được 2 viên bi khác màu" chính biến cốl à .Vậy theo công thức (3), ta

có Quy tắc nhân xác

aBiến cố gia

Cho haibiến cố A và BBiến cố. "Cả A và B cùng xảy ra",kí hiệu là AB,được gọi là giao của

haibiến cố A và B

Nếu

và

lần lượt là tập hơp cáckết quả thuận lợi cho A và B thìtập hợp cáckết quả

thuận lợi cho AB là

Ví dụ 5: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em.Gọi A làbiến cố "Bạn đó là học

sinh giỏi toán", B biến cốlà "Bạn đó là học sinh giỏi Văn".Khi đó AB biến cốlà "Bạn đó là

học sinh giỏi cả Văn và

Toán". Một cách t

ng quábiến cốt

:Biến cố Cho k . "biến cốT

ất cả k đều xảy ra ",

kí

hiệu là ,được gọi là gibiến cốao c

a k. b. Biến

ộc lbiến cốập Hai A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xbiến

cốảy ra của này không làm ảnh hưởng tới xác xuất xbiến cốảy ra

của kia. Ví dụ 6: Xét phép thử T là "Gieo một đồng xu liên tiếp hai lần"biến cố.Gọi A là

"Lần gieo thứ nhất đồng xu hiện mặt xbiến cốấp", B là "Lần gieo thứ hai đồng xu xuất hiện

mặt ngửa".Khi đó A vàbiến cố độc lập B là hai

với nhau. Nhận xébiến cốt.Nếu hai A,B độc lập với nhau

thì A và và B ; và cũng

độc lập

với nhau. Một cách t

5

ng quábiến cốt

: Cbiến cốho k ; k này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy

ra hay không xảy rbiến cốa của mỗi không làm ảnh xác suấthưởng tới xảy rbiến cốa của cá

cQuy tắc nhân xác suất

òn lại cxác suất. Để biến cố giaotính của , tquy tắc nhân xác suấta cần đến

sau đâybiến cố. Nếu hai A và B độc lập với

nh

thì (4) Nhquy tắc nhân xác suấtận xét Từ ta t

A,B không độc lập

hấy : Nếbiến cốu thì hai

với nhaubiến cố. Cho hai A và B

ung khắc. a)Chứn

g tỏ r

ằng

b)Nếu thbiến cốì thì hai A và B có độc lập với n

au không?Ví dụ 7: Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lậpXác suất với

nhau. để động cơ I và động cơ II chạy tốt lầ n l ượt là và xác suất.Hãy

ính đẻ : a)Cả hai động cơ đều

hạy tốt ; b)Cả hai động cơ đều không

chạy tốt; c)Có ít nhất một động cơ

chạy

tốt. Giải a.biến cố Gọi A là "Động cơ I chạy biến cốtốt",B là "Động cơ II chạy biến cốtốt" C

là "Cả hai động cơ đều chạy tốt".Ta thấy Abiến cố độc lập,B là hai vớ

hau và . Theo công thức

i

(4),ta có b.biến cố Gọi D là "Cả hai động cơ đều chạy không tốt

".Ta biến cốt hấy

.Hai và độc lập với

nhau nên c.biến cố Gọi K là "Có ít nhất một động cơ chạy tốbiến cố đốit",khi đó biến cố củ

k là

Quy tắc nhân xác suất D. Do đó biến cốcho nhiều được phát biểu

như biến cốs

au : Nếu độc lập với

hau thì 1. biến ngẫu nhiên rời rạc

Khái niệm Ví dụ 1. Gieo đồng xu 5 lần liên tiếp.Khí hiệu X là số lần xuất hiện mt ngửa.Đạ i

lượng X có các đặc

iểm sau : - Giá trị của X là một số thuộc tập {0,1,

,3,4,5} ; - Giá trị của X là ngẫu nhiên, không đoán tr

ớc được . Ta nóibiến ngẫu nhiên rời rạc

X là một Một cách

hái quát : Đại lượng X được biến ngẫu nhiên rời rạcgọi là một nếu nó nhận giá trị bằng

số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên,không dự đoán

rướPhân bố xác xuất của biến ngẫu nhiên rời rạc

được. 2. Giả sbiến ngẫu nhiên rời rạcử X là một nhận cá

giá trị { } . Để hiểu rõ

hơn về X,ta thường quxác suấtan tâm đến để X nh ận giá trị tức

là

c

c số với . Các thông tin về X như vậy được trình bày dưới

dạng bảng Bảng này được gphân bố xác xuất của biến ngẫu nhiên rời rạcọi là bảng X.Người

ta chứng minh được rằng trong bảng tổng các số ở dòng

ứ 2 bằng Ví dụ 2. Một số vụ vi phạm luật giao thông trên đoạn đường A vào tối thứ bảy

hàng tbiến ngẫu nhiên rời rạcuần là một X.Giả sử X có bảxác suấtng phân bố . Nhờ vậy ta

biết đượcxác suất chẳng hạn tối thứ bảy trên đoạn đường A không có vụ vi phạm luật giao

thông nàoxác suất là 0,1 và để xảy ra nhiều nhất một vụ vi phạm luật gia

thôngxác suất là . Tính để tối thứ bảy trên đoạ

o

đường A : a)Có hai vụ vi phạm luật g

6

ao thông ; b)Có nhiều hơn ba vụ vi phạm luật

iao thông. Ví dụ 3. Một túi đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh.Chọn ngẫu nhiên 3 viên

bi.Gọi X là số viên bi xanh trong 3 viên bi được chọn ra.Rõbiến ngẫu nhiên rời rạc ràng X là

nhận giá trị trong tập

{0,1,2,3}. Để lập bảxác suấtng phân bố của X ta phảxác

suấti

tính các Số trường hợp

ó thể

là xác suất. Ta có là chọn được cả 3 viên bi đỏ.Số cách chọn 3 viê

n bi

đ

là .V

ậy xác suất. Ta có là chọn được 1 viên bi xanh và 2 viên b

i đỏ.Ta có

heo ,ta có

cách chọn 1 viên

bi xanh và cách chọn 2 viên quy tắc nhânbi đỏ.T

cách chọn 1 viên bi xanh và 2 viên

bi đỏ.Vậy H

bố X. 3.

2.H

ãy tính và rồi lập bảxác suấtng phân

Kì vọng

ỊNH NGHĨAbiến ngẫu nhiên rời rạc Cho X là với tập gi

kí hiệu là E(X) , là một sĩ được tính theo

trKì vọngị là { }. của X

c

ng th

ức , ở đó Ý nghĩa : E(X) là một số cho ta một ý niệm về độ lớn trung bình của kì vọngX. Vì

thế E(X) còn được gọi là gá trị trung b

nh của X. Kì vọngNhận xét: của X không nhất thiết thuộc tập các giá

rị của X. Ví dụ 4. Gọi X là số vụ vi phạm luật giao thông trong đêm thứ bảy ở đoạng đường

A nói trong ví dụ 2

Tính

E(X) G

i

i Ta có . (Như vậy ở đoạn đường A mỗi tối thứ bảy có trung bình 2,3 vụ vi phạm luật gi

o tPhương saihôngđộ lệch chuẩn

). và a)

ương sai

ĐỊNH NGHĨbiến ngẫu nhiên rời rạcA Cho X là với tập g

á

Phương sai trị là { } của X,kí hiệu là V(X) , là một số được tính the

ông t

hức

, ở đó vàPhương sai Ý nghĩa : là một số không âm.Nó cho ta một ý niệm về mức độ phân tán

các giá trị của X xung quanh giá trị Phương saitrung bình. càng lớn thì độ phân tán nà

càớn. b) Đ

ệch chuẩn

ĐỊNH NGHĨA Căn phương saibậc hai của ,

kí hiệu là Ví dụ 5. Gọi X là số vụ vi phạm luật giao thông vào tối thứ bảy nói trong vphương

saií dụđộ lệch chuẩn 2.Tính

7

và của X. Giải Từ ví

dụ 4 ta có .Từ cônphương saig thức

t

nh ,ta. Do đó lệc

h chu

n là CHÚ Ý Có thể chứng mi

nh

ược rằng (1) Trong thực hành,ta thường dùng công thứcphương sai

1) để tính . Ví dụ 6: Dựng công thứcphương sai (1) để tính của số vụ vi phạm luật giao thông

trong v

8