Giáo trình Đại số tuyến tính
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Biên soạn: Nguyễn Minh Trí
Ngày 14 tháng 2 năm 2011
Nguyễn Minh Trí
2
Mục lục
1 Ma trận và định thức
7
7
7
8
1.1 Một số định nghĩa – Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Định thức cấp 1, 2, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Định thức cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Các tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.5 Định lí Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Cách tìm ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Khái niệm về hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Cách tính hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Hệ phương trình tuyến tính
19
2.1 Khái niệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Tính chất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Hệ Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Công thức Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát. Phương pháp Gauss . . . . . . . 20
2.3.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát. Phương pháp Gauss . . 20
2.3.2 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Không gian vectơ
25
3.1 Các khái niệm cơ bản về không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Định nghĩa không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Các ví dụ không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.3 Cách tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Tổ hợp tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Sự phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.3 Sự độc lập tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Hạng của một hệ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3
MỤC LỤC
3.3.2 Cách tính hạng của một hệ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Cơ sở, số chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1 Cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.2 Số chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.3 Ma trận chuyển cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.4 Quan hệ giữa các tọa độ của cùng một vectơ đối với các cơ sở
khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Không gian vectơ con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5.2 Không gian vectơ sinh bởi một tập . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.3 Không gian con các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Ánh xạ tuyến tính
33
4.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.3 Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . 34
4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Định lí cơ bản về sự xác định của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . 34
4.2.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.3 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.4 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau . . . 36
4.3 Hạt nhân và ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.2 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.2 Các định lí về đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu . . . . . . . . . . . . 38
4.5 Giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận, ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . 39
4.5.1 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5.2 Vectơ riêng và giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính . . . . 41
4.6 Chéo hóa ma trận, chéo hóa ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 42
4.6.1 Điều kiện chéo hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.6.2 Cách chéo hóa ma trận và phép biến đổi tuyến tính . . . . . . . 42
5 Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương
47
5.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.1 Dạng song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.2 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.3 Dạng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.4 Phép đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.1 Phương pháp Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.2 Phương pháp Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.3 Luật quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Không gian Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3.2 Độ dài vectơ , góc giữa các vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.3 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Nguyễn Minh Trí
4
MỤC LỤC
5.3.4 Chéo hóa ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao . . . . . . . 54
5.3.5 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi
trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Ứng dụng vào việc khảo sát đường và mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . 57
5.4.1 Định nghĩa đường và mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.2 Các đường và mặt bậc hai cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.3 Cách nhận dạng đường mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Nguyễn Minh Trí
5
MỤC LỤC
Nguyễn Minh Trí
6
Chương 1
Ma trận và định thức
1.1 Một số định nghĩa – Các phép toán trên ma
trận
1.1.1 Một số định nghĩa
Ma trận cấp m × n(m, n ∈ N∗) trên trường K (K là R hay C) là một bảng gồm m × n
số được sắp xếp thành m dòng, n cột theo một thứ tự nhất định:
Ma trận A cấp m × n được viết dưới dạng
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
A =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn
.
.
.
Ta cũng kí hiệu ma trận A có m hàng và n cột là A = (aij)m×n; phần tử nằm ở
hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A được kí hiệu là aij
Tập hợp các ma trận cấp m × n trên K kí hiệu là Mm×n(K)
Ma trận cấp n × n được gọi là ma trận vuông cấp n.
Ma trận cấp m × 1 được gọi là ma trận cột
1
2
A =
4
5
Ma trận cấp 1 × n được gọi là ma trận dòng.
ꢀ
ꢁ
B = 1 3 4 5
Ma trận không nếu mọi phần tử của nó đều bằng 0.
Ma trận đơn vị là ma trận vuông mà các phần tử aii = 1 còn các phần tử còn lại
bằng 0, kí hiệu In
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
I =
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1
7
1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
Ma trận chéo là ma trận vuông mà các phần tử aij = 0 với i = j
a1 0 . . .
0 a2 . . .
0
0
.
.
.
A =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0 . . . an
Các ma trận vuông cấp n có dạng
a11 a12 . . . a1n
0
.
.
.
a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . ann
.
0
0
hay
a11
0
. . .
a21 a22 . . .
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . ann
được gọi là ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới.
1.1.2 Các phép toán trên ma trận
1. Ma trận bằng nhau Hai ma trận A = (aij)m×n và B = (bij)m×n được gọi là
bằng nhau nếu chúng có cùng cấp m × n, và các vị trí tương ứng cũng bằng nhau
aij = bij, ∀1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
2. Ma trận chuyển vị Cho ma trận A = (aij)m×n, ma trận chuyển vị của A kí hiệu
là AT = (bij)n×m với
bij = aji
ꢂ
ꢃ
1 −9
1
2 5
T
A =
⇒ A = 2
7
4
−9 7 4
5
3. Nhân một số với một ma trận Cho A ∈ Mm×n(K) và α ∈ K
αA = (αaij)m×n
Tính chất:
1. 1.A = A
2. 0.A = 0
3. α.0 = 0, ∀α ∈ K
4. α(β.A) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K
Nguyễn Minh Trí
8
CHƯƠNG 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
4. Cộng hai ma trận A = (aij)m×n và ma trận B = (bij)m×n cùng cấp m × n. Khi
đó
A + B = (aij + bij)m×n
Ví dụ:
ꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
1 2 3
4 5 0
1 3 5
2 4 6
A =
; B =
Khi đó
ꢂ
ꢃ
2 5 8
6 9 6
A + B =
Các tính chất
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. (u + v)A = uA + vA với u, v ∈ K
4. u(A + B) = uA + uB với u ∈ K
5. (uA + vB)T = uAT + vBT với u, v ∈ K
5. Phép nhân hai ma trận Cho ma trận A = (aij)m×n và B = (bij)n×p. Tích của
hai ma trận A và B là một ma trận cấp m × p, kí hiệu A.B = (cik)m×p xác định như
sau:
n
X
cik =
aijbjk
j=1
Ví dụ: Cho hai ma trận
13 14
15 16
17 18
19 20
1
2
6
3
7
4
8
A = 5
và B =
9 10 11 12
Ta có ma trận C = A.B là ma trận cấp 3 × 2 như sau:
Phần tử c11: lấy các phần tử ở dòng 1 của ma trận A nhân tương ứng với các phần
tử của cột 1 của ma trận B, sau đó cộng tất cả lại với nhau.
c11 = 1.13 + 2.15 + 3.17 + 4.19 = 170
Phần tử c12: lấy các phần tử ở dòng 1 của ma trận A nhân tương ứng với các phần
tử của cột 2 của ma trận B, sau đó cộng tất cả lại với nhau.
c12 = 1.14 + 2.16 + 3.18 + 4.20 = 180
Tương tự như vậy ta tính được các phần tử còn lại.
170 180
Vậy C = A.B = 426 452
682 724
Tính chất
1. (A.B).C = A.(B.C)
Nguyễn Minh Trí
9
1.2. ĐỊNH THỨC
2. I.A = A
3. A(B + C) = AB + AC
4. (A + B)C = AC + BC
5. (AB)T = BT AT
Chú ý: Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
1.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là phép biến đổi có một trong các dạng sau:
1. hi ↔ hj(ci ↔ cj): đổi chỗ hai hàng (cột) cho nhau
2. hi → a.hi(ci → a.ci), a = 0: nhân vào hàng thứ i (cột i) với số a = 0
3. hi → hi + a.hj(ci → ci + a.cj): nhân một số a vào hàng hj rồi cộng vào hàng hi
(nhân một số a vào cột cj rồi cộng vào ci)
Ta dùng kí hiệu A → B để chỉ ma trận B nhận được từ A sau hữu hạn các phép biến
đổi sơ cấp trên A.
Ma trận bậc thang là ma trận có dạng
a11 a12 . . . . . . a1n
0
.
.
.
0
0
a22 . . . . . . a2n
.
.
.
.
.
arr
.
arn
0
0
0
. . . . . .
. . . . . .
0
Bổ đề Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp.
Ví dụ: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận A về dạng bậc thang
1 2
4
−3
1
−2
A = 1 3 −1
2 5
3
Giải:
1 2
4 −3
1 2
4 −3
1 2
4 −3
h2→−h1+h2
h3→−h2+h3
A = 1 3 −1
1
−−−−−−−−→ 0 1 −5
h3→−2h1+h3
4
4
−−−−−−−→ 0 1 −5
4
0
2 5
3 −2
0 1 −5
0 0
0
1.2 Định thức
1.2.1 Định thức cấp 1, 2, 3
Định thức cấp 1, 2, 3 A là ma trận vuông cấp 1; A = [a11] thì định thức của A là
một số được kí hiệu là detA = a11
A là ma trận vuông cấp 2:
ꢂ
ꢃ
a11 a12
a21 a22
A =
Nguyễn Minh Trí
10
CHƯƠNG 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
định thức cấp 2 của A là một số được kí hiệu
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a11 a12
a21 a22
detA =
Nếu A là một ma trận cấp 3
= a11a22 − a12a21
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
thì định thức cấp 3 của ma trận A là một số, kí hiệu
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a11 a12 a13
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
detA = a21 a22 a23 = a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31−a31a22a13−a11a23a32−a33a12a21
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a31 a32 a33
Ví dụ: Tính định thức của ma trận
1 2 3
A = 4 5 6
7 8 9
1.2.2 Hoán vị
Hoán vị Cho tập N = {1, 2, 3, . . . , n}. Ta gọi một cách sắp xếp tập N theo một thứ
tự nào đó: {i1, i2, . . . , in} là một hoán vị của tập N
Như vậy có n! hoán vị của tập N
Ví dụ: Nếu N = {1, 2, 3, 4} thì có 4! = 24 hoán vị
1234 1243 1324 1342 1423 1432
2134 2143 2314 2341 2413 2431
3124 3142 3214 3241 3412 3421
4123 4132 4213 4231 4312 4321
Nghịch thế Trong hoán vị {i1, i2, . . . , ij, . . . , ik, . . . , in} ta nói cặp số (ij, ik) làm
thành một nghịch thế nếu j < k mà ij > ik
Trong hoán vị 3241 ta có các nghịch thế (3,2), (3,1), (4,1), (2,1)
Trong hoán vị 3124 ta có các nghịch thế ...
Hoán vị chẵn: hoán vị có số nghịch thế chẵn.
Hoán vị lẻ: hoán vị có số nghịch thế lẻ.
1.2.3 Định thức cấp n
Cho A là ma trận vuông cấp n
Xét tích a1i , a2i , . . . , ani (1)
1
2
n
trong đó i1, i2, . . . , in là một hoán vị bậc n.
Ta có n! tích có dạng (1).
Mỗi tích ở dạng (1) có 1 dấu: Nếu hoán vị i1, i2, . . . , in là chẵn thì tích đó lấy dấu
+, nếu là hoán vị lẻ thì tích đó là dấu −
Định thức cấp n của ma trận A là tổng của n! hạng tử có dạng (1).
Kí hiệu định thức của ma trận A là |A| hay detA
Định thức của ma trận vuông cấp n kí hiệu là Dn
Nguyễn Minh Trí
11
1.2. ĐỊNH THỨC
1.2.4 Các tính chất của định thức
• |A| = |AT |
Ví dụ: Cho ma trận
1 2 3
1 4 7
T
A = 4 5 6 và A = 2 5 8
7 8 0
3 6 0
Khi đó detA = và detAT =
• Nếu ta đổi chỗ hai dòng (hai cột) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu.
Ví dụ: Ta có
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
1 2 3
4 5 6
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
4 5 6 = − 1 2 3
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
7 8 0
7 8 0
• Nếu trong một định thức có hai dòng (hoặc 2 cột) tỉ lệ thì định thức đó bằng 0.
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
1 2 3
Ví dụ: 2 4 6 = 0
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
7 8 0
• Định thức không đổi nếu ta lấy các phần tử của một dòng nhân với 1 số rồi cộng
với các phần tử tương ứng của một dòng khác
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ ꢄ
ꢄ ꢄ
ꢄ ꢄ
ꢄ ꢄ
ꢄ ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
0
00
0
a11 a12 . . . a1k . . . a1n
0
00
a11 a12 . . . a1k . . . a1n
00
a11 a12 . . . a1k + a1k . . . a1n
0
00
a21 a22 . . . a2k + a2k . . . a2n
a21 a22 . . . a2k . . . a2n
a21 a22 . . . a2k . . . a2n
=
+
ꢄ ꢄ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ꢄ ꢄ
ꢄ ꢄ
ꢄ ꢄ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
00
0
0
an1 an2 . . . ank + ank . . . ann
an1 an2 . . . ank . . . ann an1 an2 . . . ank . . . ann
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a11 a12 . . . ra1k . . . a1n
a21 a22 . . . ra2k . . . a2n
a11 a12 . . . a1k . . . a1n
a21 a22 . . . a2k . . . a2n
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
= r.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . rank . . . ann
.
an1 an2 . . . ank . . . ann
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
Ví dụ:
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
1 2 3
1
2
3
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
4 5 6 h2 → −4h1 + h2 0 −3 −6
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
h3→−7h1+h3
7 8 0
0 −6 −21
1.2.5 Định lí Laplace
Định thức con Cho định thức D cấp n. Định thức con cấp k (1 ≤ k ≤ n) của định
thức D là định thức của ma trận vuông cấp k gồm các phần tử nằm ở giao của k dòng
và k cột tùy ý của định thức D.
Ví dụ:
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a11 a12 a13
D3 = a21 a22 a23
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a31 a32 a33
có 9 định thức con cấp 1, 9 định thức con cấp 2 và 1 định thức con cấp 3.
Nguyễn Minh Trí
12
CHƯƠNG 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Định thức con bù Cho D là định thức cấp n. Ta gọi Mij là định thức con bù của
phần tử aij nếu Mij là định thức con cấp n − 1 nhận được từ D bằng cách xóa đi hàng
thứ i và cột thứ j.
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a11 a12 a13 a14 a15
a21 a22 a23 a24 a25
D = a31 a32 a33 a34 a35
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a11 a12 a13 a15
a31 a32 a33 a35
a41 a42 a43 a35
a51 a52 a53 a55
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
Ta có định thức con bù của a24 là M24 =
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
Định thức con bù của định thức con M cấp k trong D là định thức con M0 thu
được bằng cách xóa đi k dòng và k cột xác định nên định thức con M.
Ví dụ: Cho D là định thức cấp 5. Định thức con bù của định thức con
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a12 a14 a15
M = a22 a24 a25
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a52 a54 a55
là định thức
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
0
a31 a33
a41 a43
M =
Phần bù đại số của phần tử aij kí hiệu là Aij = (−1)i+jMij trong đó Mij là định
thức con bù của phần tử aij
Phần bù đại số của a24 là
(−1)2+4M24
Giả sử định thức con M được lập nên từ các phần tử nằm ở giao điểm của k dòng
i1, i2, . . . , ik và k cột j1, j2, . . . , jk và giả sử M0 là định thức con bù của định thức con
M trong định thức D. Ta định nghĩa phần bù đại số của M trong D là:
0
(−1)i1+i2+···+i +j1+j2+···+j
M
k
k
Ví dụ: Cho D là định thức cấp 5. Phần bù đại số của của định thức con
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a12 a14 a15
M = a22 a24 a25
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a52 a54 a55
là
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a31 a33
a41 a43
(−1)1+2+5+2+4+5
Bổ đề: Cho định thức D cấp n. Với mọi i, j = 1, 2, . . . , n ta có:
• Khai triển định thức theo dòng i như sau
D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin
Nguyễn Minh Trí
13
1.2. ĐỊNH THỨC
• Khai triển định thức theo cột j như sau
D = a1jA1j + a2jA2j + · · · + anjAnj
Ví dụ: Tính các định thức
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
0
1
4 0
3 2 −1
0
1 4 3
2
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
0
0 3 2 −1
D =
; D =
−2 5 3
1
0 0 3
1
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
3
7 2 −2
0 0 0 −2
Tính định thức D ta khai triển theo dòng thứ 1:
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
1
2 −1
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
D = 4.(−1)1+2 −2 3 1 = · · ·
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
3
2 −2
Tính định thức D0 ta khai triển theo cột thứ 1:
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
3 2 −1
0
D = 1.(−1)1+1 0 3 1 = · · ·
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
0 0 −2
Cách tính định thức
1. Sử dụng các tính chất của định thức để là triệt tiêu các phần tử nằm dưới đường
chéo chính của định thức.
2. Định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.
Ví dụ: Tính định thức
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
1
1
7 2 −1
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
3 2 −1
D =
−2 5 3
1
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
3
7 2 −2
Bây giờ ta sẽ tổng quát hóa công thức khai triển định thức theo dòng hoặc cột.
Định lí Laplace: Nếu trong một định thức D ta lấy ra k dòng (hoặc k cột), 1 ≤
k ≤ n − 1 thì tổng tất cả các định thức con cấp k chứa trong các dòng (hoặc các cột)
ấy nhân với phần bù đại số của chúng bằng định thức D.
Ví dụ: Tính định thức
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
2 3 0 0
4 5 0 0
6 7 1 2
2 3 2 1
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
D =
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
Giải: Theo định lí Laplace, ta sẽ khai triển định thức theo 2 dòng đầu tiên. Có tất
cả 6 định thức con cấp 2 nhận được từ 2 dòng đầu tiên nhưng chỉ có 1 định thức con
khác 0. Do đó ta có
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
2 3
4 5
1 2
2 1
1+2+1+2
D =
.(−1)
= (−2).(−3) = 6
Nguyễn Minh Trí
14
CHƯƠNG 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.3 Ma trận nghịch đảo
1.3.1 Ma trận nghịch đảo
Định lí 1 Cho 2 ma trận vuông A, B cấp n. Khi đó det(AB) = det(A).det(B)
Ma trận không suy biến Ma trận vuông A cấp n là ma trận không suy biến nếu
det(A) = 0
Ma trận nghịch đảo A là ma trận vuông cấp n, nếu có ma trận vuông B cấp n sao
cho: A.B = B.A = I( I là ma trận đơn vị) thì B là ma trận nghịch đảo của ma trận
A, kí hiệu B = A−1
Khi đó ta nói A là ma trận khả nghịch.
Ma trận phụ hợp Cho ma trận vuông A cấp n không suy biến. Aij là phần bù đại
số của phần tử aij khi đó
A11 A21 . . . An1
A12 A22 . . . An2
P =
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A1n A2n . . . Ann
.
.
.
là ma trận phụ hợp của A.
1
Định lí 2 A không suy biến ⇔ A là ma trận khả nghịch và A−1
=
PA.
detA
1.3.2 Cách tìm ma trận nghịch đảo
Phương pháp dùng định thức Cho ma trận vuông A cấp n không suy biến. Aij
là phần bù đại số của phần tử aij khi đó
|A|
A11 A21 . . . An1
A12 A22 . . . An2
1
A−1
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A1n A2n . . . Ann
.
.
.
Ví dụ 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
3
1
2
A = −2 1 −1
0
2
1
Giải: Ta có |A| = 3
A11 = 3, A12 = 2, A13 = −4
A21 = 3, A22 = 3, A23 = −6
A31 = −3, A32 = −1, A33 = 5
3
2
3
3
−3
−1
5
1
Vậy A−1
=
3
−4 −6
Nguyễn Minh Trí
15
1.4. HẠNG CỦA MA TRẬN
Ví dụ 2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
1 2 3
B = 2 5 3
1 0 8
Phương pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp Để tìm ma trận nghịch đảo của
ma trận vuông A cấp n ta làm như sau:
• Viết kề A ma trận đơn vị In
• Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận A thành ma trận đơn
vị
• Khi đó ta có ma trận bên cạnh ma trận In là ma trận nghịch đảo của A
Ví dụ 3: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
3
1
2
A = −2 1 −1
0
2
1
Giải:
3 1
2 1 0 0
1 2
1 1 1 0
1 2 1 1 1 0
h1→h2+h1
h2→2h1+h2
−2 1 −1 0 1 0 −−−−−−→ −2 1 −1 0 1 0 −−−−−−−→ 0 5 1 2 3 0
0 2
1 0 0 1
0 2
1 0 0 1
0 2 1 0 0 1
1 2
1 1 1
0
1 2
1
1
2
1
0
h2→−2h3+h2
h3→−2h2+h3
−−−−−−−−→ 0 1 −1 2 3 −2 −−−−−−−−→ 0 1 −1
3 −2
0 2
1 0 0
1
0 0
3 −4 −6
5
1 2
1
1
2
1
0
1 2 0
7/3
2/3
3 −5/3
1 −1/3
h3→ 1 h3
h2→h3+h2
h1→−h3+h1
3
−−−−−→ 0 1 −1
3 −2 −−−−−−−→ 0 1 0
0 0
1 −4/3 −2 5/3
0 0 1 −4/3 −2
5/3
1 0 0
1
1
−1
h1→−2h2+h1
−−−−−−−−→ 0 1 0
2/3
1 −1/3
0 0 1 −4/3 −2
5/3
1
2/3
1
−1
Vậy A−1
=
1 −1/3
−4/3 −2
5/3
2 7 3
Ví dụ 4: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận B = 3 9 4
1 5 3
1.4 Hạng của ma trận
1.4.1 Khái niệm về hạng của ma trận
Cho ma trận A. Ta gọi hạng của ma trận A là số nguyên dương r sao cho:
• Trong A có một định thức con cấp r khác 0.
• Mọi định thức con cấp lớn hơn r trong ma trận A đều bằng 0.
Kí hiệu: rankA
Nếu A = 0 thì ta qui ước rankA = 0
Nguyễn Minh Trí
16
CHƯƠNG 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Định lí
rankA = rankAT
1.4.2 Cách tính hạng của ma trận
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hay cột) để đưa ma trận về dạng
a11 a12 a13 . . . a1r . . . a1n
0
0
a22 a23 . . . a2r . . . a2n
0
a33 . . . a3r . . . a3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
.
0
0
0
. . . arr . . . arn
0
0
0
. . .
0
. . .
0
.
.
.
0
.
.
.
0
.
.
.
0
.
.
.
0
.
.
.
0
.
.
.
. . .
. . .
. . .
Khi đó rankA = r
Ví dụ 1: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để tính hạng của ma trận A
1 2
4
−3
1
−2
A = 1 3 −1
2 5
3
Giải: Trước tiên, ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa A về dạng ma trận bậc
thang.
1 2
4 −3
1 2
4 −3
1 2
4 −3
h2→−h1+h2
h3→−h2+h3
A = 1 3 −1
1
−−−−−−−−→ 0 1 −5
h3→−2h1+h3
4
4
−−−−−−−→ 0 1 −5
4
0
2 5
3 −2
0 1 −5
0 0
0
Vậy rankA = 2
Ví dụ 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để tính hạng của ma trận B
1 3
0 2
1 5
5
2
7
B =
3 7 13
Bài tập
Bài 1. Cho ma trận
1 −2 6
A = 3 −4 5
2 −3 4
a. Tìm ma trận X sao cho 2A + 3X = I
b. Tìm ma trận X sao cho 2A − 3X = I
Bài 2. Cho các ma trận
ꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
1 −2
3 −4
2 −2 3
1 2
5 4 −1
3
A =
, B =
, C =
3
0
7
Tính A2 − 3A; BT A − BT ; A(B + C); BCT + A
Bài 3. Tính các định thức
Nguyễn Minh Trí
17
1.4. HẠNG CỦA MA TRẬN
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
a + b a − b
a − b a + b
x − 1
1
sin x cos x
− cos x sin x
a.
b.
c.
2
x3
x + x + 1
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
2
2 −1
1 2 3
e. 4 5 6
1 a bc
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
d. −3 4
2
3
f. 1 b ac
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
5
1
7 8 9
1 c ab
Bài 4. Tính các định thức
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
1
1
1
1
3
3
2
1
1
2
1
3
3
0
1
1
2
1
3
3
−1
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
1 −1
2
1 −1
1 −1
a.
b.
c.
1
1
1
1
−1
1
1
1
1
1
−1
1
1
1
1
−1
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
−1
1
−1
1
Bài 5. Tính hạng ma trận
1
1
1
2
1
3
3
0
1
1
2
1
3
3
1 −1
5
−1
3
1
1 −1
1 −1
1
1
−2
a.
b.
c.
1
1
1
1
−1
1
1
1
1
−1
3 −1
8
1
−1
1
−1
1
3
−9
7
3
−1 −1
−1 −2
2
4
1
5
4
1 −1 3 2
1
1
−2 2
3
2
3
0 1
3 3
1 1
d.
e.
1
3
1
−6 −9
2
4
3
1
12 −2
−2 −10
Bài 6. Tìm hạng của ma trận theo tham số m
3 1
m 4 10 1
1 7 17 3
2 2
1
4
4
3
Bài 7. Xác định a để hạng của ma trận sau bằng 2:
1
a
−1 2
A = 2 −1
a
5
1 10 −6 1
Bài 8. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau:
1
1
1
1
1
1
ꢂ
ꢃ
ꢂ
ꢃ
1
2
3 7
1 2
1
0
0 1
0 2
2 3
4 5
2 3
4 6
−1 −1
a.
b.
c.
d.
e.
1 −1
0
1
0
−1
−7 1 4
−1 3 1
0
0
Bài 9. Tìm ma trận X sao cho
ꢂ
ꢃ
−3
4
1
6
1
1 −1
−3
0
2
4
1
6
1
1 −1 2
a. X.
0
= 0
2
1
2
b.
.X =
0
1
2
2
−3 −4
−3 −4
Bài 10. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận cấp n sau:
1 1 1 · · · 1
0 1 1 · · · 1
0 0 1 · · · 1
1 1 0 · · · 0
0 1 1 · · · 0
0 0 1 · · · 0
a.
b.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 · · · 1
0 0 0 · · · 1
Nguyễn Minh Trí
18
Chương 2
Hệ phương trình tuyến tính
2.1 Khái niệm tổng quát
2.1.1 Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn là hệ thống có dạng
a x + a x + · · · + a x = b
11
1
12
2
1n
n
1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
.....................................
(1)
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
Trong đó x1, x2, . . . , xn là các ẩn, các aij, bi ∈ K (K = R hay K = C)
Hệ trên được viết dưới dạng: AX = B
x1
b1
x2
b2
Trong đó A = (aij)m×n , X =
và B =
.
.
.
.
.
.
xn
bn
A được gọi là ma trận hệ số của hệ phương trình (1).
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
A =
gọi là ma trận bổ sung
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn bm
.
.
.
.
2.1.2 Tính chất nghiệm
• Ta gọi một nghiệm của hệ phương trình (1) là một bộ n số (c1, c2, . . . , cn) sao cho
khi thay vào các ẩn x1, x2, . . . , xn tương ứng thì hai vế của hệ phương trình (1)
trở thành các đồng nhất thức.
• Một hệ phương trình tuyến tính có thể có một nghiệm duy nhất, có thể có nhiều
hơn 1 nghiệm hoặc cũng có thể không có nghiệm.
• Hai hệ phương trình tuyến tính của n ẩn gọi là tương đương nếu tập hợp các
nghiệm của chúng trùng nhau.
19
2.2. HỆ CRAMER
2.2 Hệ Cramer
2.2.1 Định nghĩa
Hệ phương trình Cramer là một hệ n phương trình tuyến tính n ẩn mà định thức của
ma trận các hệ số khác không.
Tức là hệ phương trình AX = B, trong đó A là ma trận vuông và detA = 0
2.2.2 Công thức Cramer
Hệ phương trình Cramer có duy nhất nghiệm xác định bởi công thức sau:
|Ai|
xi =
|A|
trong đó Ai là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ i bằng cột B
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer
x1 + x2 − x3 = 2
2x1 + 3x2 + x3 = −1
5x1 + 8x2 + 2x3 = 3
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
1 1 −1
2
1 −1
1
2
−1
1
2
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
Giải: |A| = 2 3
1
2
= −2 = 0, |A1| = −1 3
1
2
= 18, |A2| = 2 −1
=
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
5 8
3
8
5
3
−14,
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
1 1
2
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
|A3| = 2 3 −1 = 8
ꢄ
ꢄ
ꢄ
ꢄ
5 8
3
Vậy ta có nghiệm của hệ phương trình
|A1|
|A2|
|A3|
x1 =
= −9, x2 =
= 7, x3 =
= −4
|A|
|A|
|A|
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer
x1 + 2x2 + x3 = 1
2x1 + 5x2 + x3 = 6
−x1 − 4x2 + 2x3 = 2
2.3 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát. Phương
pháp Gauss
2.3.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát. Phương pháp
Gauss
Đối với những hệ phương trình mà số phương trình khác số ẩn hay số phương trình
bằng số ẩn nhưng |A| = 0 thì ta không áp dụng được phương pháp Cramer.
Ta dùng phương pháp khử dần ẩn số hay còn gọi là phương pháp Gauss
Ta gọi các phép biến đổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính là các phép biến
đổi dưới đây:
Nguyễn Minh Trí
20
Tải về để xem bản đầy đủ
63 trang
29820
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Đại số tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_dai_so_tuyen_tinh.pdf
