Giáo trình Giải tích hàm một biến

Lêi giíi thiÖu

Do ¶nh h−ëng cña cuéc c¸ch m¹ng th«ng tin vµ do sù ph¸t

triÓn néi t¹i cña to¸n häc, viÖc gi¶ng d¹y to¸n bËc ®¹i häc vµ cao

häc cã nhiÒu thay ®æi. Xu h−íng chung lµ nhanh chãng cho häc

viªn n¾m b¾t ®−îc c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ to¸n häc vµ kh¶ n¨ng

øng dông, ®ång thêi sö dông ®−îc c¸c ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n

thùc hµnh mét c¸ch thuÇn thôc.

§Ó ®¸p øng nhu cÇu ®ã, trªn c¬ së ®Ò tµi khoa häc PhÇn mÒm

C¬ së To¸n häc cña Trung t©m Khoa häc tù nhiªn vµ C«ng nghÖ

Quèc gia do ViÖn To¸n häc chñ tr× thùc hiÖn tõ n¨m 1996 ®Õn

n¨m 1998, chóng t«i biªn so¹n bé gi¸o tr×nh C¬ së To¸n häc Cao

cÊp giµnh cho sinh viªn ®¹i häc vµ cao häc.

Bé gi¸o tr×nh nµy ®−îc biªn so¹n dùa theo néi dung ch−¬ng

tr×nh to¸n cao cÊp cña c¸c khoa c¬ b¶n trong c¸c tr−êng ®¹i häc

do Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o qui ®Þnh, kÕt hîp víi c¸c gi¸o tr×nh

to¸n hiÖn ®ang ®−îc gi¶ng d¹y trong c¸c tr−êng ®¹i häc ë Hµ Néi

vµ mét sè n−íc tiªn tiÕn trªn thÕ giíi. Môc ®Ých cña gi¸o tr×nh lµ:

1. Tr×nh bµy nh÷ng kh¸i niÖm, nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n vµ cÇn

thiÕt nhÊt cña to¸n häc, víi nh÷ng chøng minh chÆt chÏ, l«

gic;

2. RÌn luyÖn kü n¨ng tÝnh to¸n thùc hµnh trªn m¸y tÝnh vµ kh¶

n¨ng ¸p dông c«ng cô to¸n häc trong viÖc gi¶i quyÕt c¸c bµi

to¸n thùc tiÔn;

3. Giíi thiÖu mét sè h−íng ph¸t triÓn míi trong to¸n häc hiÖn ®¹i

®ang ®−îc quan t©m trªn thÕ giíi.

§Ó ®¸p yªu cÇu thø nhÊt, chóng t«i chñ tr−¬ng tr¸nh ®−a

vµo gi¸o tr×nh nh÷ng phÇn lý thuyÕt nÆng nÒ vµ Ýt sö dông ®Õn

sau nµy. PhÇn bµi tËp ®−îc biªn so¹n víi môc ®Ých gióp häc viªn

cñng cè kiÕn thøc lý thuyÕt, kh«ng sa vµo nh÷ng kü s¶o tÝnh to¸n

phøc t¹p.

Môc ®Ých thø hai ®−îc thÓ hiÖn trong gi¸o tr×nh bëi phÇn bµi

tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh biªn so¹n rÊt c«ng phu cho tõng

ch−¬ng. Nã gióp cho häc viªn tiÕp cËn mét c¸ch nhÑ nhµng vµ

tho¶i m¸i víi c«ng viÖc tÝnh to¸n cô thÓ, lÜnh vùc lu«n bÞ xem lµ

®¸ng ng¹i nhÊt ®èi víi c¸c häc viªn bËc ®¹i häc ë n−íc ta x−a

i

nay. Ng−êi häc kh«ng chØ cã thÓ thö søc víi nh÷ng bµi to¸n th¸ch

®è (®Ó rÌn luyÖn t− duy), mµ cßn biÕt sö dông m¸y tÝnh ®Ó gi¶i

mét c¸ch dÔ dµng nh÷ng bµi to¸n hãc bóa mµ hä t−ëng chõng

kh«ng thÓ nµo gi¶i næi. Hi väng r»ng khi ra tr−êng hä sÏ kh«ng

cßn ph¶i ng¹i ngïng trong viÖc ®−a c¸c c«ng cô to¸n häc vµo c«ng

viÖc cña m×nh. Thùc tÕ cho thÊy, ë ®©u to¸n häc ph¸t huy ®−îc

t¸c dông th× ë ®ã th−êng thu ®−îc nh÷ng kÕt qu¶ bÊt ngê.

C«ng cô tÝnh to¸n thùc hµnh giíi thiÖu trong gi¸o tr×nh nµy

lµ bé ch−¬ng tr×nh Maple V. §©y lµ bé ch−¬ng tr×nh tæng hîp,

kh¸ ®å sé, nh−ng hiÖn nay ®· cã thÓ cµi ®Æt trªn m¸y tÝnh c¸

nh©n víi cÊu h×nh b×nh th−êng (bé nhí tèi thiÓu lµ 8MB). Víi kh¶

n¨ng biÓu diÔn vµ tÝnh to¸n cùc m¹nh (kÓ c¶ trªn c¸c ký hiÖu

h×nh thøc), nã hiÖn ®ang ®−îc xem mét trong nh÷ng ch−¬ng tr×nh

phæ biÕn nhÊt sö dông trong c«ng t¸c ®µo t¹o ë c¸c tr−êng ®¹i

häc trªn thÕ giíi. NÕu sö dông ®−îc Maple mét c¸ch thuÇn thôc

th× häc viªn còng dÔ dµng tiÕp cËn víi c¸c ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n

phæ biÕn kh¸c nh−: Matematica, Matlab, Mathcad,.. B»ng c¸c

h−íng dÉn cô thÓ cho tõng ch−¬ng, gi¸o tr×nh gióp ng−êi ®äc tù

m×nh tõng b−íc tiÕn hµnh c«ng viÖc tÝnh to¸n mét c¸ch nhÑ

nhµng nh− bÊm m¸y tÝnh bá tói, kh«ng cÇn chuÈn bÞ g× ®Æc biÖt

vÒ kiÕn thøc lËp tr×nh.

§Ó ®¹t ®−îc môc ®Ých thø ba, chóng t«i ®−a vµo gi¸o tr×nh

mét sè ch−¬ng môc kh«ng kinh ®iÓn (kh«ng b¾t buéc ®èi víi häc

viªn bËc ®¹i häc), gióp ng−êi ®äc lµm quen víi nh÷ng ý t−ëng míi

trong to¸n häc hiÖn ®¹i, khÝch lÖ sù t×m tßi ph¸t triÓn nh÷ng c¸i

mµ l©u nay ®−îc xem nh− lµ bÊt di bÊt dÞch trong to¸n häc cæ

®iÓn. PhÇn nµy ch¾c ch¾n sÏ ®em l¹i høng thó vµ nh÷ng gîi ý vÒ

mÆt ®Þnh h−íng cho nh÷ng ng−êi cã nguyÖn väng ®−îc ®µo t¹o

cao h¬n vÒ to¸n häc, nhÊt lµ nh÷ng häc viªn cao häc.

Gi¸o tr×nh nµy còng ®−îc thiÕt lËp d−íi d¹ng siªu v¨n b¶n,

rÊt thuËn tiÖn cho viÖc ®äc vµ tra cøu trªn m¸y tÝnh. PhÇn tÝnh

to¸n thùc hµnh ®−îc thùc hiÖn dÔ dµng vµ thuËn tiÖn ngay trong

khu«n khæ cña gi¸o tr×nh (häc ®Õn ®©u thùc hµnh ®Õn ®ã), nh»m

xo¸ nhoµ ranh giíi gi÷a häc to¸n vµ lµm to¸n. B¹n ®äc cã nhu

cÇu vÒ gi¸o tr×nh d−íi d¹ng siªu v¨n b¶n vµ thùc hµnh tÝnh to¸n

trªn Maple V xin liªn hÖ víi c¸c t¸c gi¶ theo ®Þa chØ cña ViÖn

To¸n häc (§−êng Hoµng Quèc ViÖt, QuËn CÇu GiÊy, Hµ Néi).

ii

rong phÇn nµy chóng t«i giíi thiÖu víi b¹n ®äc cuèn Gi¶i tÝch I

cña c¸c t¸c gi¶ : Ts. §inh ThÕ Lôc (chñ biªn), Ts. Ph¹m Huy

§iÓn, Ts. NguyÔn Xu©n TÊn, Pts. T¹ Duy Ph−îng. Néi dung quyÓn

s¸ch bao gåm nh÷ng kiÕn thøc ®ßi hái häc viªn ph¶i n¾m ®−îc vÒ

bé m«n Gi¶i tÝch trong n¨m thø nhÊt bËc ®¹i häc.

T

Trong Ch−¬ng 1 chóng t«i kh«ng tr×nh bÇy chi tiÕt vÒ x©y dùng

tr−êng sè thùc (®Ó kh«ng lµm l¹i phÇn viÖc cña nh÷ng ng−êi biªn

so¹n gi¸o tr×nh Sè häc), mµ chØ sö dông l¸t c¾t ®Ó chøng minh sù

tån t¹i biªn cña tËp bÞ chÆn, mét tÝnh chÊt quan träng ®−îc dïng

nhiÒu lÇn trong ch−¬ng tr×nh Gi¶i tÝch, ®ång thêi lµm quen sinh

viªn víi m«n häc T« p« ®¹i c−¬ng th«ng qua c¸c kh¸i niÖm trªn

®−êng th¼ng thùc. Ngoµi viÖc sö dông trong gi¸o tr×nh nµy, nã gióp

häc viªn hiÓu râ b¶n chÊt cña nh÷ng kh¸i niÖm trõu t−îng trong lý

thuyÕt T« p« tæng qu¸t. Bªn c¹nh nh÷ng kh¸i niÖm kinh ®iÓn nh−:

®¹o hµm, vi ph©n, tÝch ph©n, chuçi hµm,... chóng t«i giíi thiÖu

(trong Ch−¬ng 7) mét sè mét kh¸i niÖm míi cña Gi¶i tÝch kh«ng

tr¬n, mét lÜnh vùc ®ang ®−îc quan t©m vµ øng dông. Ch−¬ng

ph−¬ng tr×nh vi ph©n (Ch−¬ng 11) ®−îc ®−a vµo nh»m cñng cè

nh÷ng kiÕn thøc vÒ ®¹o hµm, tÝch ph©n vµ phôc vô nhu cÇu t×m hiÓu

c¸c bµi to¸n ®Æt ra trong c¬ häc, vËt lý, hãa häc, sinh häc,... Chóng

t«i kh«ng ®i s©u vµo lÜnh vùc nµy (®Ó tr¸nh g©y chång trÐo víi

nh÷ng ng−êi biªn so¹n gi¸o tr×nh ph−¬ng tr×nh vi ph©n) mµ chØ ®Æt

môc ®Ých giíi thiÖu kh¸i niÖm lµm c¬ së cho viÖc thùc hµnh tÝnh

to¸n.

§Ó ng−êi ®äc dÔ tiÕp thu, chóng t«i cè g¾ng tr×nh bµy gi¸o tr×nh

mét c¸ch gän gµng, ®¬n gi¶n nh−ng ®Çy ®ñ. Ngo¹i trõ nh÷ng phÇn

giµnh l¹i cho bé m«n kh¸c, c¸c vÊn ®Ò nªu ra trong khu«n khæ gi¸o

tr×nh gi¶i tÝch ®Òu ®−îc chøng minh chÆt chÏ vµ khóc triÕt. PhÇn

bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh ®−îc biªn so¹n c«ng phu, cã néi

dung bao qu¸t tÊt c¶ nh÷ng chñ ®Ò c¬ b¶n. Chóng t«i hy väng r»ng

gi¸o tr×nh sÏ lµ mét cÈm nang tèt cho sinh viªn c¸c tr−êng kü thuËt

vµ tæng hîp.

iii

Ch−¬ng 1

^{__________________}TËp hîp vµ Sè thùc

______________________________

1.1. Kh¸i niÖm tËp hîp

1.1.1. TËp hîp

TËp hîp, trong To¸n häc, ®−îc xem lµ mét kh¸i niÖm “khëi ®Çu” kh«ng ®Þnh nghÜa.

Nã ®ång nghÜa víi c¸c tõ hä, hÖ, líp,... vµ ®−îc dïng ®Ó m« t¶ mét quÇn thÓ cña nh÷ng

®èi t−îng ph©n biÖt ®−îc mµ chóng ta t− duy nh− mét thÓ trän vÑn.

ThÝ dô Khi ta nãi: Hä c¸c ®−êng trßn ®ång t©m, hÖ c¸c ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh, líp c¸c hµm

®a thøc, còng cã nghÜa lµ tËp hîp cña c¸c ®èi t−îng nãi trªn. TËp hîp xe c¬ giíi cña

thµnh phè Hµ Néi, tËp hîp c¸c sinh viªn ViÖt Nam, tËp hîp nh÷ng ®−êng phè xuÊt ph¸t

tõ Hå G−¬m, v.v... lµ nh÷ng vÝ dô ®iÓn h×nh vÒ kh¸i niÖm tËp hîp kh«ng chØ trong

To¸n häc, mµ c¶ trong ng«n ng÷ th«ng th−êng.

Nh÷ng thµnh viªn cña tËp hîp gäi lµ phÇn tö (hay ®iÓm). Cho A lµ mét tËp, ta viÕt

x∈ A (®äc: x thuéc A) cã nghÜa x lµ mét phÇn tö cña A, vµ viÕt x ∉ A (®äc: x kh«ng

thuéc A) cã nghÜa x kh«ng ph¶i lµ phÇn tö cña A.

1.1.2. DiÔn t¶ tËp hîp

§Ó diÔn t¶ tËp hîp ng−êi ta dïng dÊu mãc {...}. Trong dÊu mãc ta cã thÓ liÖt kª tÊt c¶

c¸c phÇn tö cña tËp hîp {x₁,..., x_n}, hoÆc nªu thuéc tÝnh chung (P) cña c¸c phÇn tö tËp

hîp b»ng c¸ch viÕt {x : x tháa m·n (P)}.

ThÝ dô A = {1, 2, 3, 4, 5}

hoÆc A = {1, 2,...,5}

hoÆc A = {x : x lµ sè tù nhiªn sao cho 1 ≤ x ≤ 5}.

1.1.3. TËp rçng

Ta quy −íc TËp rçng (hay tËp trèng) lµ tËp hîp kh«ng cã mét phÇn tö nµo c¶. Ng−êi ta

th−êng ký hiÖu tËp rçng lµ ∅.

ThÝ dô TËp hîp c¸c cÇu thñ bãng ®¸ ViÖt Nam ®· ®o¹t gi¶i Olympic n¨m 1996 lµ tËp rçng; tËp

hîp c¸c sè lÎ chia hÕt cho 4 lµ tËp rçng.

5

Ch−¬ng 1. TËp hîp vµ Sè thùc

1.1.4. TËp trïng nhau

Ta nãi tËp A vµ tËp B trïng nhau (hay b»ng nhau) vµ viÕt A = B (®äc: A b»ng B)

nÕu chóng cã cïng nh÷ng phÇn tö, tøc lµ x ∈ A khi vµ chØ khi x ∈ B . Khi chóng

kh«ng trïng nhau ta viÕt A ≠ B.

ThÝ dô A lµ tËp gåm sè 2 vµ sè 4, cßn B lµ tËp c¸c sè ch½n d−¬ng bÐ h¬n 5. Ta cã A = B.

1.1.5. TËp hîp con

Ta nãi A lµ tËp con cña tËp B nÕu mäi phÇn tö cña A lµ phÇn tö cña B. Khi ®ã ta

viÕt A ⊆ B (®äc: A n»m trong B), hoÆc B ⊇ A (®äc: B chøa A). NÕu A ⊆ B vµ

A≠ B ta nãi A lµ tËp con thËt sù cña B. Quy −íc: TËp rçng lµ tËp con cña mäi tËp.

Chó ý Mçi phÇn tö x cña A t¹o thµnh tËp con {x} cña A. CÇn ph©n biÖt phÇn tö x cña tËp

hîp A (viÕt lµ x∈ A) víi tËp con {x} cña tËp hîp A (viÕt lµ {x} ⊂ A) .

____________________________________

1.2. C¸c phÐp to¸n

1.2.1. Hîp cña hai tËp

Hîp cña hai tËp A vµ B ®−îc ký hiÖu A ∪ B (®äc: A hîp B) lµ tËp gåm tÊt c¶ c¸c

phÇn tö thuéc A hoÆc thuéc B. NghÜa lµ, A ∪ B = {x : x ∈ A hoÆc x ∈ B }.

ThÝ dô A = {1,2,10,{a,b}}, B = {a,2,{a,b}},

A

∪ B = {1,2,10,{a,b},a}.

Chó ý {a,b} lµ mét tËp nh−ng nã l¹i lµ mét phÇn tö cña A vµ cña B.

1.2.2. Giao cña hai tËp

Giao cña hai tËp A vµ B ®−îc ký hiÖu

A

∩ B (®äc: A giao B) lµ tËp gåm tÊt c¶ c¸c

phÇn tö võa thuéc A l¹i võa thuéc B. VËy A ∩ B= { x : x∈ A vµ x ∈ B }.

ThÝ dô Víi A = {a,b,c}, B = {{a},b,d}, th× A ∩ B = {b}.

1.2.3. PhÇn bï

PhÇn bï cña A trong B ®−îc ký hiÖu B \ A lµ tËp gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö thuéc B

nh−ng kh«ng thuéc A. §«i khi ng−êi ta gäi B \ A lµ hiÖu cña B vµ A.

VËy

vµ x∉ A}.

B \ A ={x : x∈ B

ThÝ dô A = {1,5,10,b}, B = {5,b}. Khi ®ã B \ A = ∅ .

Minh häa h×nh häc:

6

Ch−¬ng 1. TËp hîp vµ Sè thùc

1.2.4. TÝnh chÊt cña c¸c phÐp tÝnh

Cho A, B vµ C lµ ba tËp hîp bÊt kú. Khi ®ã ta cã:

TÝnh kÕt hîp

(1)

,

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

(1’) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C .

TÝnh giao ho¸n

(2) A∪ B=B ∪ A,

(2’) A∩ B=B ∩ A.

TÝnh ph©n phèi

(3)

,

A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

(3’) A∩ (B ∪C)=(A∩ B) ∪ (A∩C) ,

(4) A \ (B ∪ C)=(A \ B) ∩ (A \ C),

(4’) A \ (B ∩C)=(A \ B) ∪ (A \ C) .

Chøng minh §Ó chøng minh ®¼ng thøc X = Y gi÷a hai tËp X vµ Y ta chØ ra r»ng

víi x∈ X th× suy ra x ∈Y tøc lµ X ⊆ Y , vµ ng−îc l¹i víi y ∈ Y th× suy ra y ∈ X,

tøc lµ Y ⊆ X .

Tr−íc hÕt ta chøng minh (3). Cho x lµ phÇn tö bÊt kú cña A ∪ (B ∩ C) . Khi ®ã x ∈ A

hoÆc x∈(B ∩ C) . NÕu x ∈ A th× x ∈ A ∪ B vµ x ∈ A ∪ C , cã nghÜa lµ

x ∈(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) . NÕu x ∈(B ∩ C) th× x ∈ B vµ x ∈C . Lóc ®ã x ∈ A ∪ B vµ

x ∈ A ∪ C , cã nghÜa lµ x ∈(A ∪ B) ∩ (A∪ C) . Ng−îc l¹i, cho y lµ phÇn tö bÊt kú cña

(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) . Khi ®ã y ∈ A ∪ B vµ y ∈ A ∪ C . VËy hoÆc y∈ A tøc lµ

y ∈ A ∪ (B ∩ C) , hoÆc y∉ A . Nh−ng y∉ A th× y∈ B vµ y∈C , cã nghÜa lµ

y ∈ B ∩ C . Rót cuéc y∈ A∪(B ∩C) vµ (3) lµ ®óng.

Nh÷ng ®¼ng thøc kh¸c chøng minh t−¬ng tù.

Chó ý 1) Dïng c¸ch diÔn t¶, chøng minh trªn cã thÓ viÕt ng¾n gän nh− sau:

A ∪ (B ∩ C) = {x : x∈ A hoÆc x ∈(B ∩ C)}

= {x : x∈ A hoÆc {x ∈ B vµ x∈C}}

= {x :{x∈ A hoÆc x ∈ B} vµ {x ∈ A hoÆc x∈C}}

= {A ∪ B}∩{A ∪ C }.

7

Ch−¬ng 1. TËp hîp vµ Sè thùc

2) Do tÝnh kÕt hîp, víi ba tËp A, B, C cho tr−íc ta cã thÓ lÊy hîp hai tËp bÊt kú sau ®ã

míi hîp víi tËp cßn l¹i vµ kÕt qu¶ ®Òu cho ta mét tËp, ®ã lµ hîp A ∪ B ∪ C . T−¬ng

tù nh− thÕ ®èi víi phÐp giao, còng nh− phÐp hîp vµ phÐp giao cña nhiÒu tËp h¬n.

1.2.4. TÝch cña c¸c tËp hîp

Cho 2 tËp hîp A vµ B. TËp hîp tÊt c¶ c¸c cÆp ®iÓm (a,b), víi a ∈ A vµ b ∈ B, lËp

thµnh mét tËp hîp míi gäi lµ tÝch cña hai tËp A vµ B, vµ ®−îc ký hiÖu lµ A × B. Nh−

vËy, mçi phÇn tö z cña tËp tÝch A × B lu«n biÓu diÔn d−íi d¹ng z=(a,b), víi a ∈ A, b ∈

B, vµ ng−êi ta gäi a,b lµ c¸c thµnh phÇn (hay to¹ ®é) cña z.

____________________________

1.3. PhÐp øng vµ lùc l−îng

1.3.1. PhÐp øng

Cho A vµ B lµ hai tËp kh¸c rçng. PhÐp øng tõ A tíi B lµ mét quy t¾c cho phÐp víi mçi

phÇn tö x ∈ A chØ ra ®−îc mét phÇn tö y∈ B øng víi nã. Th«ng th−êng ng−êi ta ký

hiÖu f : A → B cã nghÜa f lµ phÐp øng tõ A tíi B, vµ viÕt y = f (x) cã nghÜa y ®−îc

øng víi x, hoÆc x øng víi y (®«i lóc ta viÕt x 6 y ). TËp A ®−îc gäi lµ miÒn x¸c ®Þnh

cña phÐp øng vµ tËp B ®−îc gäi lµ miÒn gi¸ trÞ cña phÐp øng. Khi B lµ mét tËp hîp sè

nµo ®ã ng−êi ta cßn gäi f lµ hµm sè.

Chó ý Cã thÓ nhiÒu phÇn tö cña B ®−îc øng víi mét phÇn tö cña A vµ cã thÓ mét phÇn tö cña

B ®−îc øng víi nhiÒu phÇn tö cña A.

§¬n øng lµ mét phÐp øng cho phÐp víi mçi phÇn tö cña A chØ ra ®−îc mét vµ chØ mét

phÇn tö cña B øng víi nã. (§iÒu nµy kh«ng lo¹i trõ kh¶ n¨ng nhiÒu phÇn tö cña A cïng

®−îc øng víi 1 phÇn tö cña B).

PhÐp øng tõ A tíi B ®−îc gäi lµ phÐp øng 1-1 (hay phÐp tiªm) nÕu 2 phÇn tö kh¸c nhau

trong A th× ®−îc øng víi 2 phÇn tö kh¸c nhau trong B.

Toµn øng lµ mét phÐp øng mµ mçi phÇn tö cña tËp B ®Òu ®−îc øng víi (Ýt nhÊt) mét

phÇn tö trong A.

Song øng tõ A tíi B lµ mét phÐp øng mµ mçi x ∈ A chØ øng víi mét y∈ B vµ mçi

y∈ B chØ ®−îc øng víi mét x ∈ A . Nh− vËy, song øng võa lµ toµn øng, võa lµ phÐp

øng 1-1.

ThÝ dô a) A = {a,b,c,d}, B = {1,2,3}.

PhÐp øng a 61, b 61, c 61 v¡ d 6 2 kh«ng ph¶i song øng tõ A tíi B.

b) A = {1,2,...,n,...}, B = {2,4,...,2n,...}.

PhÐp øng n 6 2n lµ mét song øng tõ A tíi B.

Chó ý NÕu cã mét song øng f tõ A tíi B th× ta cã thÓ x©y dùng mét song øng tõ B tíi A

b»ng c¸ch víi mçi y∈B ta cho øng víi x ∈ A mµ f (x) = y . Song øng nµy cã tªn gäi

−1

lµ song øng ng−îc cña f vµ th−êng ®−îc ký hiÖu lµ

f

.

8

Ch−¬ng 1. TËp hîp vµ Sè thùc

1.3.2. T−¬ng ®−¬ng

Hai tËp A vµ B gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu cã thÓ x©y dùng ®−îc mét song øng gi÷a A vµ B.

Khi ®ã ta viÕt A ∼ B .

ThÝ dô a) Víi A lµ tËp hîp c¸c sè thùc d−¬ng, B lµ tËp hîp c¸c sè thùc ©m, th× A ∼ B v× phÐp

øng a 6 −a lµ mét song øng.

b) A={1,2,...},B={±1,± 2,... } .

Khi ®ã

A

∼ B v× phÐp øng 2n 6 −n vµ 2n −16 n lµ song øng.

Chó ý NÕu A vµ B h÷u h¹n th× A ∼ B khi vµ chØ khi sè phÇn tö cña A b»ng sè phÇn tö cña B.

1.3.3. Lùc l−îng

Nh÷ng tËp t−¬ng ®−¬ng th× ®−îc gäi lµ cïng lùc luîng.

Khi A cã h÷u h¹n phÇn tö th× ng−êi ta th−êng xem lùc l−îng cña A lµ sè phÇn tö cña

nã vµ ký hiÖu lµ card(A) (®äc lµ cac-®i-nal cña A) .

ThÝ dô a) TËp A rçng th× card(A) = 0.

b) A = {1,a,{10,b}} th× card (A) = 3;

Khi A cã v« h¹n phÇn tö th× ta nãi lùc l−îng cña A lµ v« h¹n (hay siªu h¹n), vµ viÕt

card(A) = ∞ .

1.3.4. TËp ®Õm ®−îc

Ký hiÖu tËp sè tù nhiªn lµ ². §©y lµ tËp v« h¹n.

TËp A gäi lµ ®Õm ®−îc nÕu nã h÷u h¹n hoÆc t−¬ng ®−¬ng víi ².

§Þnh lý TËp con cña tËp ®Õm ®−îc lµ tËp ®Õm ®−îc.

Chøng minh Dïng phÐp song øng ta chØ cÇn chøng tá tËp con cña ² lµ tËp ®Õm

®−îc. Cho A ⊆ ². Ký hiÖu a₁lµ phÇn tö ®Çu cña A, a₂lµ phÇn tö ®Çu cña A \ { a₁},

v.v... a_nlµ phÇn tö ®Çu cña A \ { a₁,..., a_n−1}. NÕu nh− ®Õn sè n nµo ®ã

A \ { a₁,..., a_n−1} kh«ng cã phÇn tö nµo th× A h÷u h¹n (nã chØ chøa (n-1) phÇn tö) vµ,

theo ®Þnh nghÜa, nã lµ ®Õm ®−îc. NÕu víi mäi n tËp A \ {a₁,...,a_n−1} ≠ ∅ th× ta thiÕt lËp

®−îc phÐp øng f (n) = a_nvíi mäi n = 1,2,... Nã lµ mét song øng tõ ² tíi A. ThËt

vËy, víi mçi n ∈ ², f(n) lµ phÇn tö ®Çu cña A \ { a₁,..., a_n−1} nªn sè nµy lµ duy nhÊt.

Ng−îc l¹i víi mçi a ∈ A, ta biÕt ®−îc sè c¸c phÇn tö ®øng tr−íc nã, thÝ dô lµ k, vËy

f (k +1) = a . Song øng f chØ ra r»ng A ∼ ² khi A kh«ng h÷u h¹n.

Chó ý Kh«ng ph¶i tËp v« h¹n nµo còng ®Õm ®−îc.

ThÝ dô a) Hä c¸c cÆp sè tù nhiªn {(m,n)}: m,n ∈ ² } lµ tËp ®Õm ®−îc.

ThËt vËy, xÕp c¸c phÇn tö cña hä trªn theo hµng vµ cét nh− sau :

9

Ch−¬ng 1. TËp hîp vµ Sè thùc

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) ....

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) ....

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) ....

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) ....

....... .......

.......

....... ....

X©y dùng phÐp øng tíi ² theo quy t¾c “®i theo ®−êng xiªn” :

(1,1) 6 1

(2,1) 6 2 ; (1,2) 6 3 ;

(1,3) 6 4 ; (2,2) 6 5 ; (3,1) 6 6....

DÔ kiÓm tra ®©y lµ mét song øng. Do ®ã hä cÆp c¸c sè tù nhiªn lµ ®Õm ®−îc.

b) Hä ℵ gåm tÊt c¶ c¸c tËp con cña ² lµ tËp kh«ng ®Õm ®−îc. Gi¶ sö tr¸i l¹i nã lµ ®Õm

®−îc th× cã mét song øng f tõ ℵ vµo ². Ký hiÖu x_n∈ ℵ lµ phÇn tö øng víi n,

nghÜa lµ f( x_n) = n. Khi Êy ta x©y dùng ®−îc tËp X gåm c¸c sè tù nhiªn kh«ng n»m

trong tËp øng víi nã, nghÜa lµ X:={n ∈ ² | n ∉ x_n}. Ta sÏ chØ ra r»ng nã kh«ng

®−îc øng víi sè tù nhiªn nµo. ThËt vËy, gi¶ sö ng−îc l¹i r»ng X ®−îc øng víi sè tù

nhiªn k nµo ®ã, tøc lµ X = X _k. Khi Êy chØ cã 2 kh¶ n¨ng: hoÆc lµ k n»m trong X _k

hoÆc lµ k n»m ngoµi X _k. Trong tr−êng hîp thø nhÊt th× k kh«ng thÓ lµ phÇn tö cña X

vµ ®iÒu nµy m©u thuÉn víi viÖc X = X _k. Trong tr−êng hîp thø 2 th× k sÏ lµ phÇn tö

cña X vµ ®iÒu nµy còng l¹i dÉn ®Õn m©u thuÉn trªn. TÊt c¶ c¸c m©u thuÉn nµy chøng tá

r»ng gi¶ thiÕt ℵ ®Õm ®−îc lµ kh«ng thÓ x¶y ra.

NhËn xÐt Ph−¬ng ph¸p chøng minh trªn còng cho phÐp ta ®i ®Õn mét kh¼ng ®Þnh tæng qu¸t lµ:

tËp tÊt c¶ c¸c tËp con cña mét tËp kh¸c rçng A (th−êng ®−îc ký hiÖu lµ 2^A) lµ kh«ng

cïng lùc l−îng víi A.

___________________________________________

1.4. Sè thùc

§Ó tËp trung tr×nh bµy c¸c ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n cña Gi¶i tÝch to¸n häc, chóng ta kh«ng ®i

s©u vµo viÖc x©y dùng kh¸i niÖm sè thùc, mét viÖc ®ßi hái nhiÒu c«ng phu vµ thêi gian.

Trong phÇn nµy chóng ta chØ nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt quan träng cña sè thùc cÇn thiÕt

cho viÖc thiÕt lËp c¸c nguyªn lý c¬ b¶n cña Gi¶i tÝch vµ c¸c øng dông cña chóng.

1.4.1. Sè h÷u tû vµ sè v« tû

Nh− trªn, ký hiÖu ² lµ tËp c¸c sè tù nhiªn vµ ꢀ lµ tËp c¸c sè nguyªn. Theo ®Þnh

m

n

nghÜa sè h÷u tû lµ sè cã d¹ng

trong ®ã n∈ ², m∈ꢀ vµ (m, n) = 1 (−íc sè

chung lín nhÊt cña m vµ n lµ 1, hay m vµ n lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau). Ta ký

hiÖu 4 lµ tËp c¸c sè h÷u tû. Nh÷ng sè kh«ng biÓu diÔn ®−îc d¹ng trªn gäi lµ sè v« tû.

Nh− vËy, tËp c¸c sè thùc bao gåm tÊt c¶ sè v« tû vµ h÷u tû, vµ sÏ ®−îc ký hiÖu lµ ꢁ.

10

Ch−¬ng 1. TËp hîp vµ Sè thùc

1

2

ThÝ dô 0,5 lµ sè h÷u tû v× 0,5 =

.

m

n

q = 2 lµ sè v« tû v× kh«ng thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng

nªu ë trªn. ThËt vËy nÕu

m

2 =

th× m²= 2n². Chøng tá m²lµ sè ch½n, do ®ã m lµ sè ch½n: m = 2m'. Khi Êy

n

n²= 2(m')²vµ cã nghÜa n còng lµ sè ch½n. §iÒu nµy phi lý v× (m,n) = 1.

1.4.2. BiÓu diÔn sè thùc

§Ó dÔ h×nh dung ng−êi ta hay biÓu diÔn sè thùc trªn trôc sè Ox. Mçi ®iÓm trªn trôc nµy

sÏ biÓu diÔn mét sè thùc. §iÓm O lµ gèc vµ lµ biÓu diÔn cña sè kh«ng. Sè 1 ®−îc biÓu

diÔn bëi ®iÓm bªn ph¶i gèc sao cho ®o¹n [0,1] cã ®é dµi b»ng ®¬n vÞ. Khi ®ã sè h÷u tû

m

n

m

n

q =

víi m > 0 sÏ lµ ®iÓm n»m phÝa bªn ph¶i gèc sao cho ®o¹n [0, q] cã ®é dµi

m

n

− m

lÇn ®¬n vÞ. Sè h÷u tû q =

víi m < 0 sÏ lµ ®iÓm ®èi xøng víi

qua gèc. Nh÷ng

n

®iÓm kh¸c trªn trôc sè biÓu diÔn nh÷ng sè v« tû.

ThÝ dô

2 lµ ®iÓm bªn ph¶i gèc täa ®é vµ c¸ch gèc täa ®é mét ®o¹n b»ng ®é dµi ®−êng chÐo

cña h×nh vu«ng víi c¹nh ®¬n vÞ. Ta biÕt r»ng kho¶ng c¸ch nµy kh«ng thÓ biÓu diÔn

®−îc d−íi d¹ng tû sè cña hai sè nguyªn, cho nªn nã biÓu diÔn mét sè v« tû.

1.4.3. C¸c phÐp tÝnh

Trong ꢁ còng nh− trong 4 cã bèn phÐp tÝnh sè häc c¬ b¶n: céng, trõ, nh©n vµ chia.

C¸c phÐp tÝnh nµy cã tÝnh chÊt sau:

Giao ho¸n : a + b = b + a vµ ab = ba.

KÕt hîp

: (a + b) + c = a + (b + c) vµ ab(c)=a(bc).

Ph©n phèi : a (b + c) = ab + ac.

1.4.4. Thø tù

BÊt cø hai phÇn tö a, b (thuéc 4 hoÆc ꢁ) ®Òu cã thÓ so s¸nh a > b (a lín h¬n b), a = b

hoÆc a < b (a nhá h¬n b). Thø tù (>) cã tÝnh chÊt sau:

B¾c cÇu

Trï mËt

: a > b, b > c th× a > c,

: a > b th× cã c ®Ó a > c > b.

Tiªn ®Ò (Archimedes): Víi mäi sè c > 0 tån t¹i sè tù nhiªn n > c .

Ngoµi ra sè h÷u tû cßn cã tÝnh chÊt trï mËt m¹nh h¬n sau ®©y: Cho a, b thuéc ꢁ. NÕu

a > b th× cã q thuéc 4 ®Ó a > q > b.

11

Ch−¬ng 1. TËp hîp vµ Sè thùc

_____________________________

1.5. Biªn trªn vµ biªn d−íi

1.5.1. TËp giíi néi vµ cËn

Ta nãi A ⊆ ꢁ bÞ chÆn trªn nÕu cã sè α ®Ó a ≤ α víi mäi a ∈ A; sè α nµy gäi lµ cËn

trªn cña A. T−¬ng tù A bÞ chÆn d−íi nÕu cã sè β (gäi lµ cËn d−íi) ®Ó a ≥ β víi mäi

a ∈ A. Mét tËp võa bÞ chÆn d−íi võa bÞ chÆn trªn gäi lµ bÞ chÆn hay giíi néi.

Biªn trªn cña A, ký hiÖu sup A , lµ cËn trªn nhá nhÊt cña A. NÕu sup A ∈ A th× viÕt

max A thay cho sup A. §©y lµ sè lín nhÊt trong A.

Biªn d−íi cña A, ký hiÖu

inf

A

, lµ cËn d−íi lín nhÊt cña A. NÕu

inf

A

∈ A th× viÕt min

A thay cho inf A. §©y lµ sè nhá nhÊt trong A.

ThÝ dô

th× mäi α ≥1®Òu lµ cËn trªn cña A, cßn biªn trªn cña A: sup A =1.

A={x :0 < x <1}

Trong thÝ dô nµy max A kh«ng tån t¹i.

1.5.2. L¸t c¾t trong 4 vµ ꢁ.

Chia 4 lµm hai líp kh¸c rçng A vµ B sao cho

A

∪ B = 4 vµ a < b víi mäi a∈ A, b∈ B .

PhÐp chia trªn gäi lµ l¸t c¾t vµ ký hiÖu A|B. DÔ thÊy chØ cã ba d¹ng l¸t c¾t:

a) Trong A cã sè h÷u tû lín nhÊt vµ trong B kh«ng cã sè nhá nhÊt.

b) Trong A kh«ng cã sè lín nhÊt vµ trong B cã sè nhá nhÊt.

c) Trong A kh«ng cã sè lín nhÊt vµ trong B kh«ng cã sè nhá nhÊt.

Trong 2 tr−êng hîp ®Çu l¸t c¾t A|B x¸c ®Þnh sè h÷u tû, vµ trong tr−êng hîp cßn l¹i l¸t

c¾t A|B x¸c ®Þnh sè v« tû α tháa m·n:

a <α < b,∀a∈ A, b∈ B .

T−¬ng tù, ta nãi A|B lµ l¸t c¾t trong ꢁ nÕu A ≠ ∅, B ≠ ∅, A ∪ B = ꢁ, a < b víi mäi

a∈ A, b∈ B .

Bæ ®Ò (Dedekind): Víi l¸t c¾t A|B bÊt kú trong ꢁ, lu«n lu«n tån t¹i sè thùc α lín nhÊt trong A

hoÆc α nhá nhÊt trong B.

Chøng minh XÐt A_Q= A ∩ 4, B_Q= B ∩ 4. Khi ®ã A_Q| B_Qlµ l¸t c¾t trong 4. Nã

x¸c ®Þnh sè thùc α . Khi ®ã α ∈ A hoÆc α ∈ B , do

A

∪ B = ꢁ. NÕu α ∈ A th× ®ã lµ

sè lín nhÊt trong A v× nÕu kh«ng sÏ cã sè β ∈ A ®Ó α < β vµ theo tÝnh trï mËt sÏ t×m

®−îc sè h÷u tû

r

∈

A

®Ó α < r < β . VËy r ∈ A_Qvµ tr¸i víi ®iÒu a ≤α ≤ b , víi mäi

a∈ A_Q, b∈ B_Q. T−¬ng tù, nÕu α ∈ B th× nã lµ sè nhá nhÊt trong B.

1.5.3. Tån t¹i biªn

§Þnh lý Mäi tËp kh¸c rçng bÞ chÆn trªn (d−íi) ®Òu cã biªn trªn (d−íi).

12

Ch−¬ng 1. TËp hîp vµ Sè thùc

Chøng minh Gi¶ sö M ⊆ ꢁ bÞ chÆn trªn. NÕu M cã ®iÓm lín nhÊt x_o∈M (tøc lµ

a ≤ x_ovíi mäi a ∈ M ), th× x_o= sup M v× mäi cËn trªn cña M ®Òu lín h¬n hoÆc b»ng x_o.

NÕu M kh«ng cã ®iÓm lín nhÊt, ta x©y dùng l¸t c¾t A|B nh− sau:

B ={x : x lµ cËn trªn cña M} vµ A= ꢁ \B.

Do M ≠ ∅ vµ bÞ chÆn trªn, nªn A ≠ ∅ , B ≠ ∅ ,

A

∪ B = ^ꢁ. ^{Râ rµng}a < b víi mäi

a∈ A, b∈B . Nãi c¸ch kh¸c A vµ B x¸c ®Þnh l¸t c¾t cña ꢁ. Theo Bæ ®Ò Dedekind ta cã

thÓ t×m ®−îc α lín nhÊt trong A hoÆc bÐ nhÊt trong B, ký hiÖu lµ α. DÔ thÊy α ∉ A vµ

v× thÕ α ∈ B . Ta cã α = supM theo ®Þnh nghÜa.

§èi víi tËp bÞ chÆn d−íi, viÖc chøng minh hoµn toµn t−¬ng tù.

13

^{_________________________________}Bµi tËp vµ

TÝnh to¸n thùc hµnh Ch−¬ng 1

_______________________

1. C©u hái cñng cè lý thuyÕt

1.1. TËp hîp

Bµi 1 Gi¶ sö A lµ tËp tÊt c¶ c¸c −íc sè cña 60. C¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y ®óng hay sai:

a) 9∈ A ;

b) 15∈ A ;

c) 30∉ A.

LiÖt kª tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña A.

Bµi 2 Gi¶ sö A lµ tËp tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh

x²− 7x +12 = 0.

Trong c¸c mÖnh ®Ò sau, mÖnh ®Ò nµo ®óng, mÖnh ®Ò nµo sai?

a) 3∉ A ;

b) 5∈ A;

c) 4∈ A ;

d) 7∉ A .

LiÖt kª tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña A.

Bµi 3 Gi¶ sö A lµ tËp tÊt c¶ c¸c ®a thøc mét biÕn víi hÖ sè nguyªn, c¸c kÕt luËn sau ®©y ®óng

hay sai:

a) x³− 3x+1∈ A ;

b) 15∉ A ;

c) x²+ y²+ 3∈ A ;

1

3

1

2

d) x⁴+12x + ∉ A ;

e) x³+ x²+1∈ A.

Bµi 4 Trong c¸c tËp hîp d−íi ®©y, c¸c phÇn tö, trõ mét phÇn tö, ®Òu cã chung mét tÝnh chÊt

nhÊt ®Þnh. H·y t×m phÇn tö kh«ng mang tÝnh chÊt Êy:

a) {6, 15, 84, 1670}, {2, 7, 13, 25, 29}, {1, 9, 25, 79, 121};

b) {tam gi¸c, h×nh vu«ng, h×nh trßn, h×nh thang, lôc gi¸c ®Òu}.

Bµi 5 M« t¶ tÝnh chÊt cña c¸c tËp hîp v« h¹n sau vµ viÕt c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t cña c¸c

tËp hîp:

3 4 5

a) { , ,

4 9 16 25

6

2 4 6 8

5 8 11 14

,

,...};

b) { , ,

,

,...};

1 1 1

1

c) { , ,

,

,...} ;

d) {2,12,36,80,150,...}.

2 6 12 20 30 42

2 17 1 5

5 20 7 6

n²+1

n²+ 4

Bµi 6 XÐt xem c¸c sè sau ®©y:

,

,− , sè nµo thuéc tËp hîp A: A={x: x =

, n∉N}.

14

Bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh Ch−¬ng 1

Bµi 7 Trong sè c¸c tËp sau ®©y, tËp nµo lµ rçng:

a) TËp hîp c¸c ch÷ nhËt cã c¸c ®−êng chÐo kh«ng b»ng nhau.

b) TËp hîp c¸c tam gi¸c cã c¸c ®uêng trung trùc kh«ng ®ång quy.

c) TËp nghiÖm h÷u tû cña ph−¬ng tr×nh x²− 2 = 0.

d) TËp nghiÖm thùc cña bÊt ph−¬ng tr×nh x²+ x +1< 0 .

e) TËp nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh 4x²−1 = 0 .

f) TËp nghiÖm tù nhiªn cña ph−¬ng tr×nh 2x²− 3x − 9 = 0.

Bµi 8 M« t¶ tËp hîp c¸c ®iÓm M(x, y) cña mÆt ph¼ng tho¶ m·n:

a) 3x +1≤ y

b) (x −1)²+ (y −1)²=1

d) y ≤ x − 2 .

c) y ≤ x²− 2x − 3

1.2. PhÐp øng vµ t−¬ng ®−¬ng

Bµi 1 Hái c¸c tËp sau ®©y cã t−¬ng ®−¬ng nhau kh«ng:

a) TËp c¸c sè tù nhiªn ² vµ c¸c tËp sè nguyªn ꢀ.

b) TËp c¸c sè tù nhiªn vµ c¸c sè h÷u tû.

c) TËp c¸c nghiÖm phøc cña hai ®a thøc cã cïng bËc n.

d) TËp c¸c nghiÖm thùc cña hai ®a thøc cïng bËc n.

e) TËp c¸c ®iÓm cña mét c¹nh h×nh vu«ng vµ c¸c tËp ®iÓm trªn mét ®−êng chÐo cña nã.

f) TËp x¸c ®Þnh cña mét hµm sè vµ ®å thÞ cña nã.

Bµi 2 B»ng c¸ch thiÕt lËp c¸c phÐp song øng, h·y chøng minh r»ng c¸c tËp sau ®©y lµ t−¬ng

®−¬ng:

a) TËp c¸c sè thùc ꢁ vµ kho¶ng (0,1).

b) TËp hîp c¸c ®iÓm cña hai ®o¹n th¼ng [a,b] vµ [c,d].

c) TËp c¸c ®iÓm cña h×nh trßn më vµ tËp c¸c ®iÓm cña mÆt ph¼ng.

_____________________

2. C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp

Bµi 1 Cho A, B, C lµ c¸c tËp tïy ý. H·y chøng minh c¸c mÖnh ®Ò sau:

1) A∩ A = A = A∪ A .

2) A ∩ B ⊆ A, A ⊆ A ∪ B, A ∩ B ⊆ B, B ⊆ A ∪ B .

3) NÕu A ⊆ B th× A∩ B = A.

4) NÕu A ⊆ B th× A ∪ B = B .

5) NÕu A ⊆ B th× B ⊆ C th× A ⊆ C .

6) NÕu A ⊆ C vµ B ⊆ C th× A∪ B ⊆ C .

7) NÕu C ⊆ A vµ C ⊆ B th× C ⊆ A∩ B .

15

Bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh Ch−¬ng 1

Bµi 2 Cho A vµ B lµ hai tËp con cña X. Ký hiÖu CA lµ phÇn bï cña A trong X, tøc lµ CA=X\A.

H·y chøng minh c¸c tÝnh chÊt sau ®©y:

1) A ∩ X = A, A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∪ X = X .

2) A∩CA = ∅ , A∪CA = X .

3) CCA = A.

4) C(A \ B) = B ∪CA .

5) NÕu A ⊆ B th× CB ⊆ CA .

6) LuËt Moorgan

C(A ∩ B) = CA ∪ CB, C(A ∪ B) = CA ∩ CB .

Bµi 3 Chøng minh:

1) TÝnh kÕt hîp cña hîp vµ giao c¸c tËp hîp

a) A∪ (B ∪C) = (A∪ B) ∪C ;

b) A∩ (B ∩C) = (A∩ B) ∩C .

2) TÝnh giao ho¸n cña phÐp hîp vµ giao c¸c tËp hîp

a)

A

∪ B = B ∪

A

;

b)

A

∩ B = B ∩

A

.

3) TÝnh ph©n phèi cña giao ®èi víi hîp (hoÆc cña hîp ®èi víi giao) c¸c tËp hîp

a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ;

b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) .

4) TÝnh ph©n phèi cña hiÖu ®èi víi hîp (hoÆc giao) c¸c tËp hîp

a) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) ;

b) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) .

Bµi 4 Chøng minh

a) A \ [∪{A_i, i =1..n}] = ∩{A \ A_i, i =1..n}.

b) A \ [∩{A_a, a∈ I} = ∪{(A \ A_a), a∈ I}, I lµ tËp chØ sè bÊt kú.

Bµi 5 Ký hiÖu A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) lµ hiÖu ®èi xøng cña hai tËp hîp A vµ B. Chøng

minh r»ng

A∆B = (A∪ B) \ (A∩ B) .

___________________________________

3. PhÐp øng vµ

sù t−¬ng ®−¬ng cña hai tËp hîp

Bµi 1 Cho phÐp øng f : X → Y vµ A, B lµ hai tËp con cña X. Chøng minh:

1) NÕu A ⊆ B th× f (A) ⊆ f (B) ;

2) f (A∪ B) = f (A) ∪ f (B) ;

3) f (A∩ B) = f (A) ∩ f (B) .

16

Bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh Ch−¬ng 1

Bµi 2 Cho phÐp øng f : X → Y vµ A, B lµ hai tËp con cña Y. H·y chøng minh:

1) f ⁻¹(A ∪ B) = f ⁻¹(A) ∪ f ⁻¹(B) ;

2) f ⁻¹(A ∩ B) = f ⁻¹(A) ∩ f ⁻¹(B) ;

3)

f

⁻¹(A \ B) = f ⁻¹(A) \ f ⁻¹(B) .

Bµi 3 Cho g : X →Y, f :Y → Z vµ h : X → Z , h(x) = f(g(x)). Chøng minh r»ng:

1) h(A) = f [g(A)]∀A ⊂ X ;

2) h⁻¹(B) = g⁻¹[ f ⁻¹(B)]∀B ⊂ Z .

Bµi 4 Gäi ꢁ lµ tËp sè thùc. XÐt phÐp øng f tõ ꢁ vµo ꢁ ®−îc cho bëi c«ng thøc sau:

x +1

x → y =

víi x ≠ 2 vµ y(2) = 1.

x − 2

Chøng minh r»ng f lµ song øng. T×m phÐp øng ng−îc.

Bµi 5 Cho phÐp øng x → y, y = x +1− 2 x víi 0 ≤ x . Chøng minh:

1) f kh«ng ph¶i lµ mét song øng.

2) X¸c ®Þnh hai kho¶ng mµ trong mçi kho¶ng Êy f lµ song øng. T×m phÐp øng ng−îc

trong mçi tr−êng hîp.

Bµi 6 Chøng minh ®Þnh lý Cantor-Bernstein: Cho hai tËp hîp bÊt kú A vµ B. NÕu tån t¹i

mét song øng f tõ A lªn mét tËp con B₁cña B vµ mét song øng g tõ B lªn mét

tËp con A cña A th× c¸c tËp hîp A vµ B t−¬ng ®−¬ng .

1

_____________________________

4. TËp hîp ®Õm ®−îc

Bµi 1 Chøng minh c¸c tÝnh chÊt sau ®©y cña tËp ®Õm ®−îc:

•

TÝnh chÊt 1: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét tËp A ®Õm ®−îc lµ ta cã thÓ ®¸nh sè nã,

tøc lµ cã thÓ biÓu diÔn nã d−íi d¹ng mét d·y:

A ={a₁,a₂,...,a_n,...}.

•

TÝnh chÊt 2: Trong mäi tËp v« h¹n ®Òu cã mét tËp con ®Õm ®−îc.

TÝnh chÊt 3: NÕu lÊy mét tËp h÷u h¹n M ra khái tËp ®Õm ®−îc A th× tËp cßn l¹i

A\M (phÇn bï cña M trong A) lµ ®Õm ®−îc.

•

TÝnh chÊt 4: Hîp cña mét tËp ®Õm ®−îc nh÷ng tËp ®Õm ®−îc lµ ®Õm ®−îc.

Bµi 2 Chøng minh r»ng mäi tËp v« h¹n ®Òu cã chøa mét tËp con thùc sù t−¬ng ®−¬ng víi nã.

_______________________________________

5. Sè thùc

Bµi 1 Chøng minh r»ng c¸c sè sau lµ c¸c sè v« tû

a) 5 ;

b) 2 + 3 ;

c) ³2 + ³3 .

17

Bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh Ch−¬ng 1

Bµi 2 Sè nµo lín h¬n 4 + 7 − 4 + 7 − 2 hay 0 ?

Bµi 3 Chøng minh r»ng nÕu a, b, c thuéc 4 tho¶ m·n ®¼ng thøc a + b = c th× a vµ

b còng thuéc 4.

Bµi 4 Chøng minh r»ng tËp c¸c sè h÷u tû lµ ®Õm ®−îc.

Bµi 5 Chøng minh r»ng tËp c¸c sè v« tû cã cïng lùc l−îng víi ꢁ.

Bµi 6 Chøng minh ®Þnh lý Kantor: TËp tÊt c¶ c¸c sè thùc n»m gi÷a 0 vµ 1 lµ kh«ng

®Õm ®−îc.

___________________________

6. TËp hîp nghiÖm cña

ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh

NhiÒu tËp hîp sè trong To¸n häc th−êng ®−îc cho bëi mét hÖ ph−¬ng tr×nh vµ bÊt

ph−¬ng tr×nh. Gi¶i ph−¬ng tr×nh còng chÝnh lµ t×m tËp tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña

ph−¬ng tr×nh ®· cho. Trong ch−¬ng tr×nh phæ th«ng, chóng ta ®· biÕt gi¶i thµnh

muèn cung cÊp mét sè bµi tËp gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh cã c¸ch gi¶i

hay hoÆc t−¬ng ®èi khã, nh»m gióp c¸c b¹n thö søc, so s¸nh vµ vËn dông kh¶ n¨ng

cña m¸y tÝnh (nÕu lµ bµi tËp khã, b¹n cã thÓ nhê m¸y tÝnh gi¶i ra ®¸p sè, tõ ®ã b¹n

cã nh÷ng gîi ý tÝch cùc ®Ó t×m ra lêi gi¶i; nÕu lµ bµi dÔ, b¹n cã thÓ dïng m¸y ®Ó

kiÓm tra ®¸p sè). Ngoµi ra, b¹n cã thÓ t×m ra nh÷ng c¸ch gi¶i hay h¬n m¸y, do ®ã

®¸p sè gän h¬n. Còng cÇn nãi thªm r»ng, cã nh÷ng bµi b¹n gi¶i ®−îc (nhê mÑo ®Æt

Èn phô, v.v...) mµ m¸y kh«ng gi¶i næi. Cuèi cïng, viÖc gi¶i thµnh th¹o ph−¬ng tr×nh

vµ bÊt ph−¬ng tr×nh (tù lùc vµ b»ng m¸y) ë ch−¬ng nµy gióp b¹n dÔ dµng gi¶i bµi

tËp (tù lùc vµ b»ng m¸y) ë c¸c ch−¬ng tiÕp theo.

6.1. TËp hîp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh

T×m tËp hîp nghiÖm cña c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

Bµi 1 x⁴+ 5x³+ 6x²− 4x −16 = 0 .

Bµi 2 x + x − 5 = 5 .

1

x







Bµi 3 2 − x²+ 2 −

= 4 − x +

.



x²





₂3

₂5

Bµi 4 x + x^log= x^log

.

3

Bµi 5 2x −1 − ³x −1 = ³3x − 2 .

2x

x +1

1

2

1

2x

3

Bµi 6

+

= 2.

18

Bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh Ch−¬ng 1

6.2. TËp hîp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh

Gi¶i c¸c bÊt phu¬ng tr×nh sau:

x −1

x

1

x

1

x

Bµi 1

<

x + − x −

.

Bµi 2 2 x²− 4x + 5 ≤ x²− 4x + 2 .

Bµi 3 1+ x − 1− x ≤ x .

Bµi 4 1− x ≤ x⁴− 2x²+1 .

πx

4

4 − x²− x









tan

+ 2x + 3





Bµi 5 0 <

.

Bµi 6 50 ≤ 25^−x+ 5^−x+1

2x²−11x +15

.

Bµi 7

< 0 .

2^x− 6

3^x− 2

Bµi 8 0 <

.

5x²+ 22x −15

2(x−1)

−







x³−1





2

1

 



 

Bµi 9

<

.

 

2

 

2

 

1

64





12





log

₂

log_3+x₂(x²− 6)²



Bµi 10

< 2 +

.

2

6.3. TËp hîp nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh

T×m tËp hîp nghiÖm cña c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau:



x + y + xy = 5

x + y = 5





Bµi 1

Bµi 2









x + 2 − y =

2 − x + y =

2







6.4. TËp hîp nghiÖm cña hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh

T×m tËp hîp nghiÖm cña c¸c hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh sau:



4x − 7 < x





Bµi1





4 < x + 5 + x − 5

2





− 3 ≤ x + 2xy − 7y

Bµi 2



2



3x +10xy − 5y ≤ −2



19

Bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh Ch−¬ng 1

____________________

7. Thùc hµnh tÝnh to¸n trªn m¸y

Trong gi¸o tr×nh nµy chóng ta sÏ sö dông m¸y tÝnh ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n khã trong chuyªn

ngµnh gi¶i tÝch. HiÖn nay cã nhiÒu bé ch−¬ng tr×nh ®−îc thiÕt lËp cho môc ®Ých nµy. Mçi

ch−¬ng tr×nh cã mét thÕ m¹nh riªng. ChØ cÇn sö dông thµnh th¹o mét ch−¬ng tr×nh lµ sÏ dÔ

dµng sö dông c¸c ch−¬ng tr×nh kh¸c. Trong khu«n khæ gi¸o tr×nh nµy chóng t«i giíi thiÖu bé

ch−¬ng tr×nh Maple V, hiÖn ®ang ®−îc sö dông réng r·i trong c¸c tr−êng häc ë n−íc ngoµi.

7.0. S¬ l−îc vÒ Maple V

Maple V lµ bé ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n ®a n¨ng kh¸ ®å sé, nh−ng cã thÓ cµi ®−îc trªn

tr×nh trªn m¸y lµ phÇn viÖc cña c¸c nhµ cung cÊp phÇn mÒm, chóng ta chØ cÇn quan

dµng nh− bÊt kú ch−¬ng tr×nh øng dông nµo kh¸c (nh− Word, Excel,...).

C¸c lÖnh cña Maple rÊt gÇn víi c¸c ng«n ng÷ to¸n häc, cho nªn ng−êi sö dông chØ cÇn

n¾m v÷ng c¸c kh¸i niÖm to¸n häc c¬ b¶n vµ nh÷ng qui −íc th«ng th−êng vÒ thø tù thùc

hiÖn c¸c phÐp tÝnh, mµ kh«ng cÇn ph¶i biÕt tr−íc mét ng«n ng÷ lËp tr×nh nµo. ViÖc viÕt

tªn c¸c kh¸i niÖm to¸n häc b»ng tiÕng Anh kh«ng ph¶i lµ ®iÒu phiÒn hµ, v× c¸c kh¸i

niÖm nµy vèn kh«ng nhiÒu, vµ ta còng kh«ng cÇn ph¶i biÕt tr−íc v× sÏ ®−îc giíi thiÖu

trong qu¸ tr×nh thùc hµnh tÝnh to¸n. C¸c biÓu thøc to¸n häc ®−îc viÕt trùc tiÕp vµo

®−îc biÓu diÔn b»ng dÊu sao (thÝ dô, ab ®−îc viÕt lµ a*b), phÐp luü thõa b»ng dÊu mò

(thÝ dô, a²®−îc viÕt lµ a^2), phÐp chia biÓu thÞ b»ng g¹ch chÐo (thÝ dô a chia cho b

®−îc viÕt lµ a/b), c¨n bËc 2 cña sè a ®−îc viÕt lµ sqrt(a), v.v... KÕt thóc dßng lÖnh

ph¶i lµ dÊu chÊm phÈy (;), trõ phi ta kh«ng muèn cho kÕt qu¶ cña lÖnh hiÖn ra mµn

h×nh (®Ó kh«ng ph¶i xem c¸c kÕt qu¶ tÝnh to¸n trung gian) th× ta kÕt thóc lÖnh b»ng dÊu

2 chÊm (:). Thùc hiÖn lÖnh b»ng c¸ch nhÊn phÝm “Enter”, khi con trá ®ang ë trªn dßng

lÖnh.

C¸c tÝnh to¸n ®èi víi tõng chuyªn môc cô thÓ sÏ ®−îc h−íng dÉn song song víi c¸c

phÇn lý thuyÕt. Ng−êi häc sÏ thÊy c«ng viÖc tÝnh to¸n còng nhÑ nhµng vµ hÊp dÉn, chø

kh«ng ®¸ng ng¹i nh− tra b¶n sè vµ rót th−íc logarit.

Ta b¾t ®Çu viÖc tÝnh to¸n thùc hµnh (cho chuyªn môc nµy còng nh− cho bÊt cø chuyªn

môc nµo sau nµy) víi viÖc ®−a vµo mét côm xö lý b»ng c¸ch Ên chuét vµo nót cã biÓu

t−îng “[>” (hoÆc b»ng chøc n¨ng Insert/Execution Group/After Cursor cã s½n trªn thanh

lÖnh cña giao diÖn lµm viÖc). Mét dÊu nh¾c lÖnh "[>" sÏ hiÖn ra chê ®îi ta ®−a lÖnh vµo

thùc hiÖn.

7.1. C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp

ViÖc cho mét tËp hîp còng ®ång nghÜa víi viÖc ®Þnh nghÜa tËp hîp ®ã vµ ®−îc thùc

hiÖn b»ng lÖnh cã có ph¸p nh− sau

[> A:={ c¸c phÇn tö cña tËp hîp};

trong ®ã A lµ tªn cña tËp hîp vµ “:=” lµ dÊu ®Þnh nghÜa (gåm dÊu 2 chÊm ®i liÒn víi

dÊu b»ng). ThÝ dô, ta cho tËp A gåm 4 phÇn tö a,b,c,d b»ng dßng lÖnh sau:

[> A:={a,b,c,d};

20

Bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh Ch−¬ng 1

Sau khi Ên phÝm “Enter” ®Ó thùc hiÖn lÖnh, m¸y sÏ cho hiÖn kÕt qu¶ lµ

A:= a,b,c, d

{

}

vµ mét dÊu nh¾c lÖnh “[>” tù ®éng xuÊt hiÖn cho ta ®−a lÖnh kh¸c vµo thùc hiÖn. ThÝ

dô, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa tiÕp mét tËp hîp B gåm cã 6 phÇn tö c,d,e,f,g,h nh− sau

[> B:={c,d,e,f,g,h};

B :=

{

c, d,e, f , g, h

}

.

chØ xin l−u ý mÊy tõ tiÕng anh: hîp lµ union, giao lµ intersect, phÇn bï (trõ) lµ

minus.

ThÝ dô [> A union B ;

[> A intersect B ;

[> B minus A ;

{

a,b,c, d,e, f , g, h

}

{ }

c, d

{

e, f , g, h

}

.

Muèn biÕt phÇn tö nµy cã thuéc tËp hîp kia hay kh«ng ta dïng lÖnh member. NÕu

“cã” th× m¸y cho tr¶ lêi true (®óng), cßn nÕu “kh«ng” th× nã cho tr¶ lêi false (sai).

ThÝ dô [> member(a,A);

true

[> member(c,A);

[> member(a,B);

false .

7.2. TÝnh to¸n trªn tËp sè thùc

Mäi biÓu thøc sè häc ®Òu cã thÓ thùc hiÖn ®−îc trªn Maple mét c¸ch ®¬n gi¶n. ChØ

viÖc viÕt biÓu thøc cÇn tÝnh vµo sau dÊu nh¾c lÖnh theo qui t¾c ®· nãi ë trªn (®õng quªn

dÊu chÊm phÈy ë cuèi dßng lÖnh) vµ nhÊn phÝm “Enter”.

ThÝ dô [>(2^64+19!)/(31!-3^15+123456789);

9284194587059191808

4111419327088961408862781494553941

Maple cã kh¶ n¨ng tÝnh to¸n chÝnh x¸c trªn mäi sè thùc, vµ v× vËy kh«ng cÇn ph¶i ®−a

π, 3, π + 2 , ... ®−îc ®−a vµo tÝnh to¸n trùc tiÕp mµ kh«ng cÇn qua c«ng ®o¹n “xÊp

21