Bài giảng Công thức Stokes

Công thức Stokes: Tóm tắt bài giảng  
Huỳnh Quang Vũ  
Ngày 15 tháng 10 năm 2017  
¹
¹
dω = ω  
M
M  
2
Đây khởi đầu là bài giảng cho môn cao học “Giải tích trên đa tạp” dựa trên bài giảng của R.  
Sjamaar [Sja15]. Tham gia đánh máy một phần bản đầu trong các năm 2015, 2016 có Phan Đình  
Hiếu (học viên cao học Toán Giải tích khóa 2014), Lê Chiêu Hoàng Nguyên (sinh viên ngành Toán  
khóa 2012), Phan Văn Phương (học viên cao học Toán Giải tích khóa 2012).  
Bài giảng đang được xây dựng để phục vụ cho sinh viên đại học năm cuối và học viên cao học,  
nhằm trình bày đề tài dạng vi phân một cách tương đối đơn giản, ngắn gọn, và đi kèm với ứng dụng.  
Tài liệu này có trên web ở địa chỉ:  
Huỳnh Quang Vũ, Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia  
Thành phố Hồ Chí Minh, email: hqvu@hcmus.edu.vn  
Mục lục  
1
Dạng vi phân trong không gian Euclid  
7
7
7
8
9
1.1 Định nghĩa dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
1.1.1 Không gian Euclid và đạo hàm trong không gian Euclid . . . . . . . . . . .  
1.1.2 Những dạng vi phân cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
1.1.3 Dạng vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
1.2 Tính chất và phép toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10  
1.2.1 Tính đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10  
1.2.2 Phép nhân của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11  
1.2.3 Đạo hàm của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11  
1.2.4 Đổi biến trên dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14  
1.2.5 Tích phân của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16  
1.2.6 Mối quan hệ giữa thể tích và định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17  
2
Dạng vi phân và tích phân trên đa tạp  
21  
2.1 Đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  
2.1.1 Không gian tiếp xúc và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  
2.1.2 Định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  
2.1.3 Đa tạp có biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  
2.2 Dạng vi phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  
2.2.1 Phiếm hàm đa tuyến tính trên không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 27  
2.2.2 Định thức trên không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  
2.2.3 Dạng vi phân trên đa tạp và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  
2.2.4 Dạng thể tích của đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  
2.3 Tích phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  
2.3.1 Định nghĩa địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  
2.3.2 Định nghĩa toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  
2.4 Công thức Stokes cho đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  
3
Ứng dụng  
45  
3.1 Ứng dụng trong Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  
3.1.1 Miền với biên trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  
3.1.2 Các công thức Green và tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  
3.1.3 Ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  
3.2 Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  
3.3 Dạng khớp và dạng đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  
3.3.1 Bổ đề Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  
3
4
MỤC LỤC  
Mở đầu  
Trong phép tính vi tích phân hàm nhiều biến ta xét những tích phân như D x2y3dxdy hay D x2ydA.  
Ở đó dxdy hay dA được gọi là “phần tử diện tích”. Chúng ta cũng thấy những biểu thức như γ xdy +  
ydx hay γ ds với ds là “phần tử chiều dài”, hay S dS với dS là “phần tử diện tích mặt”. Chúng chưa  
được định nghĩa rõ ràng.  
Các dạng vi phân mà ta đã thấy dx, dxdy, dxdydz, dA, dV, ds, dS không tách rời các tích phân.  
Các dạng này khi nằm cạnh các hàm thực chỉ loại tích phân có thể lấy. Chúng đều liên quan tới việc  
lấy tích phân và đo thể tích. Chẳng hạn, nếu D là một tập con của R2 thì hệ thức sau phải được thỏa  
º
1dxdy = diện tích(D).  
D
Lý thuyết về dạng vi phân nhằm đưa ra một cách hiểu và các cách làm việc thống nhất và tổng  
quát cao trên các đối tượng này.  
Các công thức Newton–Leibniz, Green, Stokes, Gauss–Ostrogradsky trong phép tính vi tích phân  
hàm nhiều biến được xây dựng cho không gian 1, 2, hay 3 chiều, gồm đường và mặt. Khóa học này  
nhằm thảo luận việc tổng quát hóa các công thức này lên không gian nhiều chiều. Chúng ta sẽ khảo  
sát dạng vi phân, đa tạp – tổng quát hóa của đường và mặt, và tích phân trên đó.  
Chúng ta sẽ xét vài ứng dụng, như ứng dụng trong Phương trình đạo hàm riêng, và đối đồng điều  
de Rham trong Tôpô.  
5
6
MỤC LỤC  
Chương 1 Dạng vi phân trong không gian  
Euclid  
1.1 Định nghĩa dạng vi phân  
1.1.1 Không gian Euclid và đạo hàm trong không gian Euclid  
Người đọc có thể xem lại nội dung này trong môn Vi tích phân hàm nhiều biến, hoặc [Lan97]. Trong  
môn này khi nói đến không gian Rn, n Z+, thì ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn, khoảng cách, và  
tích trong Euclid, cụ thể nếu x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn thì chuẩn (tức chiều dài) của x là  
kxk = (x12 + x22 +···+ xn2)1/2  
,
khoảng cách giữa x y = (y , y , ..., yn) ∈ Rn là  
1
2
1/2  
2
2
2
kx yk = (x1 y ) +(x2 y ) +···+(xn yn)  
,
1
2
và tích trong giữa x y là  
hx, yi = x1y + x2y +···+ xnyn.  
1
2
Cho D là một tập con của Rn, x là một điểm trong của D. Nhắc lại kí hiệu e1 = (1,0,0, ...,0),  
e2 = (0,1,0, ...,0), ...,en = (0, ...,0,1) là các vectơ tạo thành cơ sở tuyến tính chuẩn tắc của Rn. Đạo  
hàm riêng của f : D R theo biến thứ i tại x được định nghĩa là số thực  
f  
xi  
f (x + hei)f (x)  
(x) = lim  
.
h0  
h
Đây chính là đạo hàm một biến của hàm f khi xem f chỉ là hàm theo biến xi, là tỉ lệ, hay tốc độ thay  
đổi của giá trị của hàm so với giá trị của biến thứ i tại điểm đang xét.  
Tổng quát hơn xét hàm f : D Rm. Nếu tất cả các đạo hàm riêng của các hàm thành phần của  
f tồn tại và liên tục tại x thì ta nói f khả vi liên tục (continuously differentiable) hay trơn (smooth)  
tại x. Ma trận các đạo hàm riêng của f tại x được gọi là ma trận Jacobi của f tại x, kí hiệu là  
fi  
xj  
Jf (x) =  
(x)  
.
1im, 1j n  
Ví dụ 1.1.1. Khi m = 1 ma trận Jacobi Jf (x) chính là vectơ gradient  
f  
x1  
f  
xn  
f (x) =  
(x), ...,  
(x) .  
Nếu có một hàm tuyến tính f 0(x) : Rn Rm sao cho có một quả cầu B(x,) ⊂ D và một hàm  
r : B(x,) → Rm thỏa mãn:  
f (x + h) = f (x)+ f 0(x)(h)+r(h), h B(x,)  
r(h)  
limh0  
= 0, thì ánh xạ f 0(x) (còn được kí hiệu là df (x)) được gọi là đạo hàm (derivative -  
|h|  
dẫn xuất) của f tại x. Vậy đạo hàm cho một xấp xỉ tuyến tính của hàm:  
f (x + h) ≈ f (x)+ f 0(x)(h).  
7
8
CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID  
Rõ ràng nếu hàm có đạo hàm (khả vi) thì nó liên tục.  
Nếu f khả vi liên tục tại x thì f có đạo hàm tại x, và ánh xạ tuyến tính f 0(x) có thể biểu diễn  
trong cơ sở tuyến tính chuẩn tắc của Rn bởi ma trận Jacobi Jf (x), tức là f 0(x)(h) = Jf (x) · h, trong  
đó phép nhân bên vế phải là phép nhân ma trận.  
Cần nhấn mạnh rằng theo quan điểm tổng quát thì đạo hàm tại một điểm là một ánh xạ tuyến  
tính chứ không phải là một số thực hay một ma trận.  
Nếu v là một vectơ đơn vị (tức vectơ có chiều dài bằng 1) thì ta suy ra ngay  
f (x +tv)f (x)  
f 0(x)(v) = lim  
.
t0  
t
Vậy f 0(x)(v) là đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v, đo tỉ lệ thay đổi của f theo hướng v  
tại x.  
Cho U, V, W là tập mở của Rk, Rl, Rp theo thứ tự đó, cho f : U V and g : V W có đạo hàm  
khi đó ta có công thức đạo hàm hàm hợp  
(g f )0(x) = g0( f (x))f 0(x).  
Nếu viết theo ma trận biểu diễn thì công thức này cho  
Jgf (x) = Jg( f (x))· Jf (x).  
1.1.2 Những dạng vi phân cơ sở  
Dạng vi phân gắn bó chặt chẽ với đạo hàm và tích phân. Các tính chất của dạng vi phân và sự quan  
trọng của nó là từ điều này.  
Với hàm thực f : Rn R thì một đại diện cho dạng vi phân là df phải liên quan khắng khít với  
đạo hàm của f . Nhắc lại tại mỗi điểm x Rn thì đạo hàm của f tại x được kí hiệu là df (x) là một  
ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R:  
df (x) : Rn R  
v df (x)(v) = f (x)· v.  
dx là gì?  
Trên R xét ánh xạ đồng nhất. Nếu gọi x là tên biến thì đây là ánh xạ x x. Nếu đặt luôn tên hàm  
này là x thì dx chính là ánh xạ đạo hàm của hàm này. Ở đây d chính là toán tử đạo hàm.  
Vì đạo hàm của ánh xạ đồng nhất tại mỗi điểm là ánh xạ đồng nhất, nên tại mỗi x R thì  
(dx)(x) : R R  
v v.  
Vì lẽ đó với bất kì tên biến nào khác như y, u, t, thì dy, du, dt là cùng một ánh xạ: mang mỗi số thực  
thành ánh xạ đồng nhất trên tập hợp các số thực.  
dxi là gì?  
Trên Rn, lấy tên biến là x = (x1, x2, ..., xn), và gọi luôn xi là ánh xạ tương ứng mỗi điểm x với thành  
phần xi, tức là  
xi : Rn R  
(x1, x2, ..., xn) xi  
thì dxi là đạo hàm của ánh xạ này, như đã xét trong đạo hàm của hàm nhiều biến.  
xi = ei nên dxi là ánh xạ từ Rn vào (Rn)sao cho với mỗi x Rn thì dxi(x) = eitrong  
đó eilà ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R được biễu diễn bởi ei, tức là với v = (v ,v , ...,vn) thì  
1
2
e((v ,v , ...,vn)) = ei · v = vi. Tóm lại với mỗi x Rn:  
1
2
i
dxi(x) : Rn R  
v = (v ,v , ...,vn) → dxi(x)(v) = (∇xi)(x)· v = ei · v = e(v) = vi.  
1
2
i
Như vậy dxi là một ánh xạ cho tương ứng mỗi điểm với một phiếm hàm tuyến tính.  
1.1. ĐỊNH NGHĨA DẠNG VI PHÂN  
9
dxi dxi ···dxi là gì?  
1
2
k
Định nghĩa 1.1.2. Trên Rn thì dxi dxi ···dxi cho tương ứng x Rn với phiếm hàm dxi dxi ···dxi (x)  
1
2
k
1
2
k
xác định trên (Rn)k bởi  
vi ,1 vi ,2 ... vi ,k  
1
1
1
©
-
-
-
-
ª
®
®
®
®
vi ,1 vi ,2 ... vi ,k  
2
2
2
dxi dxi ···dxi (x)(v ,v , ...,vk) = det  
.
(1.1.3)  
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
2
1
2
k
v
ik,1  
v
ik,2  
...  
v
ik,k  
«
¬
Í
n
Ở đây mỗi vectơ vi được viết trong cơ sở như vi = j=1 vj,iej. Viết cách khác:  
dxi dxi ···dx (x)(v ,v , ...,vk) = det v  
ik  
1
2
ij,l  
1
2
1j k,1lk  
= det dxi (x)(vl)  
= det e(vl)  
.
j
ij  
1j k,1lk  
1j k,1lk  
Ghi chú 1.1.4. Vì giá trị của dạng dxi dxi ···dxi không phụ thuộc vào điểm x nên để kí hiệu giống  
như truyền thống đôi khi ta sẽ bỏ qua 1điểm x trong kí hiệu.  
2
k
Ví dụ 1.1.5. Trong R2 thì dxdy là ánh xạ cho tương ứng mỗi (x0, y ) ∈ R2 với ánh xạ  
0
dxdy(x0, y ) : R2 ×R2 R  
0
dx(x0, y )(v) dx(x0, y )(w)  
0
0
(v,w) → dxdy(x0, y )(v,w) = det  
0
dy(x0, y )(v) dy(x0, y )(w)  
0
0
v
1
v
2
w
1
w
2
= det  
= det(v,w).  
Ngắn gọn hơn:  
(x, y) ∈ R2, dxdy(x, y) = det.  
Hay gọn hơn nữa: dxdy = det.  
Ví dụ 1.1.6. Tương tự trên Rn thì  
dx1dx2 ···dxn(x)(v ,v , ...,vn) = det(v ,v , ...,vn).  
1
2
1
2
Ngắn gọn hơn:  
dx1dx2 ···dxn = det.  
Ví dụ 1.1.7. Trong R3 thì  
dx(x, y, z)(v) dx(x, y, z)(w)  
dxdy(x, y, z)(v,w) = det  
dy(x, y, z)(v) dy(x, y, z)(w)  
v
v
w
w
1
1
= det  
.
2
2
1.1.3 Dạng vi phân tổng quát  
Định nghĩa 1.1.8. Cho U là một tập mở trong Rn. Trong Rn với x = (x1, ..., xn). Khi đó với k Z+  
thì  
dxi dxi ···dxi , 1 i1,i2,··· ,ik n  
1
2
k
là một dạng bậc k. Một tổ hợp tuyến tính của các dạng này là một ánh xạ α cho bởi một tổng hữu  
hạn  
Õ
x α(x) =  
f
(i ,i ,...,i )(x)dxi dxi ···dxi (x)  
1
2
k
1
2
k
k
(i ,i ,...,ik )∈{1,2,...,n}  
1
2
trong đó f(i ,i ,...,i )(x) là một số thực, do đó f  
là một hàm thực trên U.  
(i ,i ,...,ik )  
1
2
k
1
2
10  
CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID  
Có thể viết tắt một dạng α bất kì là  
Õ
f dxi dxi ···dxi  
1
2
k
k
Ở đây để kí hiệu đơn giản hơn ta ngầm hiểu tổng được lấy trên mọi bộ (i1,i2, ...,ik) ∈ {1,2, ...,n} ,  
với f phụ thuộc vào bộ này có thể có giá trị 0. Tại mỗi x tổng này là tổng của hữu hạn hàm giá trị  
thực, nên được xác định.  
Ta nói α là một dạng vi phân hay một dạng trơn nếu mỗi hàm f là một hàm trơn. Nhắc lại, cho  
U Rk một tập mở, một ánh xạ f từ U vào R được gọi là trơn nếu nếu tất cả các đạo hàm riêng mọi  
cấp tồn tại và liên tục (do đó bản thân f cũng liên tục). Vì ta sẽ chỉ làm việc với dạng trơn nên về sau  
ta có thể chỉ gọi tắt là dạng.  
Dạng bậc không (0-dạng) là một hàm thực f : U Rn R.  
Với mỗi bậc k có một dạng 0 là dạng mà giá trị tại mỗi điểm là hàm hằng bằng số thực 0.  
Tập hợp tất cả các dạng vi phân bậc k trên U với k N được kí hiệu là k(U).  
Ví dụ 1.1.9. Trong R2 một dạng bậc 1 được cho bởi Pdx +Qdy trong đó P,Q : U R2 R. Còn  
Pdxdy +Qdydx là một dạng bậc 2.  
Ví dụ 1.1.10. Trong R3 thì xdxdy +(xy +1)dxdz là một dạng bậc 2.  
Ví dụ 1.1.11. Trong Rn thì dx1, dx2, ..., dxn, 2dx1 +3dx2, x12x2dx1 + x3dx4 là các dạng bậc 1.  
Ta có thể cộng dạng và nhân số thực với dạng như các phép toán quen thuộc trên hàm thực. Cụ  
thể hơn nếu ω ω là hai dạng cùng bậc trên cùng một tập con của Rn c là một số thực thì ta  
1
2
định nghĩa các phép toán:  
(ω +ω )(x) = ω (x)+ω (x),  
1
2
1
2
(cω)(x) = c(ω(x)).  
Với mỗi k 0 tập hợp k(U) tất cả các dạng vi phân bậc k trên U là một không gian vectơ trên  
trường số thực.  
Ghi chú 1.1.12. Ta không thể cộng trừ hai dạng khác bậc, vì tại mỗi điểm chúng là những hàm có  
miền xác định khác nhau. Chẳng hạn ta không thể xét một biểu thức như Pdx +Qdy + Rdxdy, vì nó  
không có nghĩa.  
1.2 Tính chất và phép toán cơ bản  
1.2.1 Tính đan dấu  
Từ định nghĩa (1.1.3) ta thấy ngay nếu đổi chổ hai thành phần dxi dxi bất kì thì dạng bị đổi dấu:  
r
s
dxi ···dxi ···dxi ···dxi = dxi ···dxi ···dxi ···dxi .  
1
r
s
k
1
s
r
k
Người ta gọi đây là tính chất đan dấu hay phản đối xứng (alternating, skew-symmetric, anti-  
commutative), thể hiện tóm tắt bởi công thức  
dxdy = dydx.  
Ví dụ 1.2.1. Trong R2 thì dxdy = dydx. Một hệ quả là dxdx = dxdx, nên dxdx = 0.  
Ví dụ 1.2.2. Trong R3:  
dxdydz = dxdzdy = dydzdx,  
dxdzdx = dxdxdz = 0.  
Một hệ quả đơn giản của tính đan dấu là mọi k-dạng với k > n đều bằng dạng 0. Vì vậy ta chỉ  
quan tâm tới dạng bậc k n.  
1.2. TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN CƠ BẢN  
11  
1.2.2 Phép nhân của dạng  
Người ta định nghĩa được một phép nhân trên các dạng vi phân, thường được kí hiệu bởi (wedge -  
chèn, nêm) và được gọi là phép nhân ngoài, nhưng ở đây ta bỏ qua kí hiệu đó cho đơn giản hơn.  
Õ
Õ
Định nghĩa 1.2.3. Cho α =  
f dxi dxi ···dxi là một k-dạng, β =  
gdxj dxj ···dxj là một  
1
2
k
1
2
l
Õ
l-dạng. Ta định nghĩa tích của α với β, kí hiệu αβ là  
(k +l)-dạng.  
f gdxi dxi ···dxi dxj dxj ···dxj , là một  
1
2
k
1
2
l
   
Õ
Õ
Õ
f dxi dxi ···dxi  
gdxj dxj ···dxj  
=
f gdxi dxi ···dxi dxj dxj ···dxj .  
1
2
k
1
2
l
1
2
k
1
2
l
Ví dụ 1.2.4. Giờ ta có thể hiểu dxdy = (dx)(dy).  
Ví dụ 1.2.5. Trong R3, ω = dx là một 1-dạng; ω = dydz là một 2-dạng, và ω ω = (dx)(dydz) =  
1
2
1
2
dxdydz là một 3-dạng.  
Rõ ràng phép nhân có những tính chất sau:  
Phép nhân của dạng rõ ràng có tính kết hợp: (ω ω )ω = ω (ω ω ) = ω ω ω .  
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Phép nhân có phần tử không, chính là hàm hằng bằng số thực 0: ω0 = 0ω = 0.  
Phép nhân của dạng rõ ràng cũng có tính phân phối: (ω +ω )ω = ω ω +ω ω .  
1
2
3
1
3
2
3
Ví dụ 1.2.6. dx(dy + dz) = dxdy + dxdz.  
Mệnh đề 1.2.7. Nếu ω là một k-dạng và ω là một l-dạng thì  
1
2
kl  
ω ω = (−1) ω ω .  
1
2
2
1
Chứng minh. Với  
Õ
ω =  
1
f dxi dxi ···dxi  
1
2
k
và  
Õ
ω =  
2
gdxj dxj ···dxj  
1
2
l
thì  
Õ
Õ
Õ
Õ
ω ω =  
1
( f dxi dxi ···dxi )(gdxj dxj ···dxj )  
2
1
2
k
1
2
l
k
=
f g(−1) dxj (dxi dxi ···dxi )(dxj ···dxj )  
1
1
2
k
2
l
2k  
=
=
(−1) dxj dxj (dxi dxi ···dxi )(dxj ···dxj )  
1
2
1
2
k
3
l
kl  
kl  
(−1) (dxj dxj ···dxj )(dxi dxi ···dxi ) = (−1) ω ω .  
2
1
1
2
l
1
2
k
1.2.3 Đạo hàm của dạng  
Trước hết ta định nghĩa đạo hàm của dạng bậc 0.  
Định nghĩa 1.2.8. Cho U Rn mở và f là một dạng trơn bậc 0 trên U, tức f : U R là một hàm  
trơn. Đạo hàm của dạng bậc 0 này được định nghĩa là  
n
Õ
f  
xi  
df =  
dxi.  
i=1  
Đây không gì khác hơn là đạo hàm của ánh xạ f trong phép tính vi phân hàm nhiều biến. Như vậy  
đạo hàm của một dạng bậc 0 là một dạng bậc 1.  
12  
CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID  
Ví dụ 1.2.9. Cho U Rn mở và f là một hàm hằng trên U thì df là dạng 0.  
Ví dụ 1.2.10. Trên R, nếu f là hàm của biến x thì df = f 0dx.  
Ví dụ với hàm u(x) = x2 thì đạo hàm của dạng u du = 2xdx. Chú ý là ta viết 2x để chỉ hàm  
mang mỗi số thực thành hai lần số thực đó, chứ không phải để chỉ một số thực nào. Cách lạm dụng  
kí hiệu này trước nay ta vẫn hay làm, chẳng hạn khi viết tắt “cho hàm u(x) = x2 ” thay vì viết “ cho  
hàm u xác định bởi qui tắc u(x) = x2 ”.  
Ví dụ 1.2.11. Với  
f : R2 R  
(x, y) → f (x, y)  
thì  
f  
x  
f  
y  
df =  
dx +  
dy.  
Trên là đạo hàm của 0-dạng, bây giờ ta nói về đạo hàm của k-dạng.  
Định nghĩa 1.2.12. Ta định nghĩa đạo hàm của một dạng bậc k là một dạng bậc (k +1) cho bởi  
Õ
Õ
d
f dxi ···dxi  
=
(df )dxi ···dxi .  
1
k
1
k
Nhiều tài liệu gọi đây là đạo hàm ngoài (exterior derivative).  
Ví dụ 1.2.13. Trên R2, với dạng Pdx +Qdy, ta có  
P  
x  
P  
y  
P  
y  
Q  
x  
Q  
y  
d(Pdx +Qdy) = (dP)dx +(dQ)dy =  
dx +  
dy dx +  
dx +  
dy dy  
Q  
Q P  
=
dydx +  
dxdy =  
dxdy.  
x  
x y  
Ví dụ 1.2.14. Trên R3, với dạng Pdydz +Qdzdx + Rdxdy thì  
d(Pdydz +Qdzdx + Rdxdy) = (dP)dydz +(dQ)dzdx +(dR)dxdy  
P  
x  
P  
y  
P  
z  
Q  
x  
Q  
y  
Q  
z  
R  
x  
R  
y  
R  
z  
=
dx +  
dy +  
dz dydz +  
dx +  
dy +  
dz dzdx +  
dx +  
dy +  
dz dxdy  
P Q R  
x y z  
=
+
+
dxdydz.  
P Q R  
Trong Vi tích phân hàm nhiều biến, với trường F = (P,Q, R) thì hàm  
divF (divergence).  
+
+
được gọi là  
x y z  
Ví dụ 1.2.15. Trên R3, với dạng Pdx +Qdy + Rdz thì  
d(Pdx +Qdy + Rdz) = (dP)dx +(dQ)dy +(dR)dz  
P  
x  
P  
y  
P  
Q  
x  
Q  
y  
Q  
z  
R  
x  
R  
y  
R  
z  
=
=
dx +  
dy +  
dz dx +  
dx +  
dy +  
dz dy +  
dx +  
dy +  
dz dz  
z  
Q P  
R Q  
P R  
dxdy +  
dydz +  
dzdx.  
x y  
y z  
z x  
Q P R Q P R  
x y y z z x  
Trong Vi tích phân hàm nhiều biến, với trường F = (P,Q, R) thì trường  
được gọi là curlF.  
,
,
Ví dụ 1.2.16. Một dạng bậc 1 trên R f dx. Đạo hàm của dạng này là  
d( f dx) = (df )dx = ( f 0dx)dx = f 0dxdx = 0.  
Tổng quát hơn, đạo hàm của một dạng bậc n bất kì trên Rn là một dạng bậc (n+1) trên Rn, nên bằng  
0.  
1.2. TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN CƠ BẢN  
13  
Mệnh đề 1.2.17. Đạo hàm dạng có những tính chất sau:  
(a) tính tuyến tính: d(aα + bβ) = adα + bdβ với a b là số thực và α β là dạng cùng bậc.  
(b) đạo hàm của tích:  
k
d(αβ) = (dα)β +(−1) αdβ  
(1.2.18)  
trong đó k là bậc của α.  
Í
Í
Chứng minh. Viết α = f dxi dxi ···dxi β = gdxj dxj ···dxj thì  
1
2
k
1
2
l
Õ
αβ =  
f gdxi dxi ···dxi dxj dxj ···dxj .  
1
2
k
1
2
l
Ta có  
d(αβ) =  
Õ
d( f g)dxi dxi ···dxi dxj dxj ···dxj  
1
2
k
1
2
l
 
!
Õ Õ  
f  
g  
=
g + f  
dxs dxi dxi ···dxi dxj dxj ···dxj  
1
2
k
1
2
l
xs  
xs  
s
"  
!
Õ
Õ
f  
xs  
=
dxs dxi dxi ···dxi gdxj dxj ···dxj +  
1
2
Õ
s
k
1
2
l
s
 
!
#
g  
k
+(−1) f dxi dxi ···dxi  
dxs dxj dxj ···dxj  
1
2
k
1
2
l
xs  
k
= (dα)β +(−1) αdβ.  
Ví dụ 1.2.19. Với dạng bậc 0 thì công thức đạo hàm của tích trở thành d( f g) = (df )g +g(df ), chính  
là công thức Leibniz cho đạo hàm của tích của hàm thực. Mặt khác trong chứng minh trên ta cũng  
đã dùng công thức Leibniz.  
Mệnh đề 1.2.20. Đạo hàm của đạo hàm của một dạng bất kì bằng 0, nghĩa là với dạng ω bất kì thì  
d(dω) = 0, hay ngắn gọn hơn:  
d2 = 0.  
(1.2.21)  
Chứng minh. Lấy ω = f dxi ···dxi , ta có  
1
k
    
!
!
Õ
f  
xi  
d(dω) = d (df )dxi ···dxi = d  
dxi dxi ···dxi  
1
k
1
k
i
 
 
 
!
 
!
Õ
ÕÕ  
f  
xi  
f  
xj xi  
=
=
=
d
dxi dxi ···dxi  
=
dxj dxi dxi ···dxi  
1
k
1
k
i
i
j
!
2 f  
Õ
dxj dxi dxi ···dxi  
1
k
xj xi  
i, j  
!
 
!
2 f  
xixi  
2 f  
2 f  
Õ
Õ
dxidxi dxi ···dxi +  
dxj dxi dxi ···dxi = 0.  
1
k
1
k
xj xi xixj  
i
i<j  
2 f  
xj xi  
2 f  
xi xj  
Ở bước cuối ta đã dùng tính chất dxidxj = dxj dxi và  
=
.
Ví dụ 1.2.22. d(dx) = 0. Ta có thể giải thích d(dx) = d(1· dx) = d(1)dx = 0dx = 0.  
f  
x  
f  
y  
Ví dụ 1.2.23. Trong R2 cho α = f , một dạng bậc 0. Ta có df =  
dx +  
dy, và  
2 f  
xy yx  
2 f  
d(df ) =  
dxdy = 0.  
14  
CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID  
Ví dụ 1.2.24. Trong R3 cho α = Pdx +Qdy + Rdz. Như trên  
Q P  
R Q  
P R  
dα =  
dxdy +  
dydz +  
dzdx.  
x y  
y z  
z x  
Do đó  
ꢂꢂ  
Q P  
R Q  
P R  
d(dα) = d  
x y  
dxdy +  
dydz +  
z x  
dzdx  
y z  
Q P  
R Q  
y z  
2Q  
xz  
2R  
yz  
2P  
z2  
P R  
= d  
dxdy + d  
dydz + d  
dzdx  
x y  
z x  
2Q  
2Q  
xy  
2R  
y2  
2P  
2P  
2P  
2P  
=
dx +  
dy +  
dz −  
dz −  
dx −  
dy −  
dy −  
dz dxdy+  
x2  
2R  
yx  
2P  
zx  
2Q  
y2  
2Q  
yx  
2Q  
zx  
2R  
x2  
yz  
2Q  
z2  
2R  
xz  
+
dx +  
dy +  
dx −  
dz dydz+  
zy  
2R  
xy  
+
dx +  
dy +  
dz −  
dx −  
dy −  
2Q  
dz dzdx.  
zy  
2P  
2R  
2P  
zy  
2R  
xy  
=
dzdxdy −  
dzdxdy +  
dxdydz −  
dxdydz +  
dydzdx −  
dydzdx  
xz  
yz  
yx  
zx  
= 0.  
1.2.4 Đổi biến trên dạng  
Trên R ta thường đổi biến trong tích phân như sau. Xét tích phân f (u)du. Đặt u = u(x), khi đó  
du = u0(x)dx, f (u)du = f (u(x))u0(x)dx, và  
¹
¹
b
ϕ(b)  
f (u(x))u0(x)dx =  
f (u)du.  
a
ϕ(a)  
¹
π/2  
Ví dụ 1.2.25. Tính  
sin2 t costdt. Đổi biến u = sint thì du = costdt, do đó  
0
¹
¹
1
π/2  
1
u3  
3
1
3
sin2 t costdt =  
u2du =  
=
.
0
0
0
Mục đích chính của phần này là chuẩn bị để tổng quát hóa công thức trên. Câu hỏi đặt ra là: Giả  
sử ω là một dạng theo biến y, nếu đổi biến y = ϕ(x) thì ω được viết theo biến x ra sao? Nói cách  
khác câu hỏi đặt ra là trên U có dạng nào “tương ứng” với ω hay không? Dưới đây ta xây dựng dạng  
tương ứng đó, gọi là dạng kéo lui của dạng ω.  
V
U
y
ϕ
x
ω
Định nghĩa 1.2.26. Giả sử U là một tập mở trong Rm, V là một tập mở trong Rn, và  
ϕ = (ϕ , ..., ϕn) : U V  
1
x y  
Õ
là một hàm trơn. Giả sử ω =  
f dyi ···dyi là một dạng vi phân trên V. Kéo lui (pull-back) của  
1
k
dạng ω, kí hiệu ϕω, là dạng trên U cho bởi  
Õ
ϕω =  
f ϕdϕi ···dϕi .  
1
k
1.2. TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN CƠ BẢN  
15  
Chúng ta có thể hiểu đơn giản là ϕω nhận được bằng cách thay y bởi ϕ(x). Để viết cụ thể hơn  
ta nhớ lại rằng  
n
Õ
yi  
xj  
dϕi =  
dxj .  
j=1  
Nói theo cách của vi tích phân hàm nhiều biến thì nếu ω là một dạng theo biến y thì khi đổi sang  
biến x chỉ cần viết lại mọi phần tử theo biến x.  
Ví dụ 1.2.27. Trên R xét dạng f du. Nếu  
ϕ : R R  
x u = ϕ(x)  
thì ϕ( f du) = ( f ϕ)dϕ = ( f ϕ)ϕ0dx. Chi tiết hơn thì  
(ϕ( f du))(x) = f (ϕ(x))ϕ0(x)(dx)(x) = f (u(x))u0(x)dx(x).  
Ta có thể viết tắt rằng nếu đổi biến u = u(x) thì f (u)du trở thành f (u(x))u0(x)dx, giống hình thức  
của công thức đổi biến trong tích phân hàm một biến.  
Ví dụ 1.2.28. Cho ánh xạ γ : R R2, γ(t) = (x(t), y(t)). Cho dạng bậc một ω = Pdx +Qdy xác định  
trên một tập mở của R2 chứa ảnh của γ. Ta có  
γω = γ(Pdx +Qdy) = P γdγ +Q γdγ  
1
2
= (P γ)γ10 dt +(Q γ)γ20 dt  
= (P(x, y)x0 +Q(x, y)y0)dt.  
Ví dụ 1.2.29. Xét ϕ : U R2 V R2, (x, y) → (u,v).  
u  
x  
u  
y  
Với dạng du thì ϕ(du) = dϕ =  
dx +  
dy.  
1
Với dạng dudv thì  
u  
   
u  
y  
v  
v  
u v u v  
ϕ(dudv) = dϕ dϕ =  
dx +  
dy  
dx +  
dy =  
dxdy  
1
2
x  
x  
y  
x y y x  
u u  
x y  
v v  
©
-
-
ª
(u,v)  
(x, y)  
®
®
=det  
dxdy = (det Jϕ)dxdy =  
dxdy,  
«
¬
x y  
dấu bằng cuối cùng dùng kí hiệu trong vi phân hàm nhiều biến.  
Ví dụ 1.2.30. Trong Rn, với dạng ω = du1du2 ···dun, với u = ϕ(x) thì  
 
!   
!
 
!
n
n
n
Õ
Õ
Õ
∂ϕ  
1 dxi  
xi  
∂ϕ  
∂ϕn  
ϕ(du1du2 ···dun) = dϕ dϕ ···dϕn =  
2 dxi ···  
dxi  
1
2
xi  
xi  
i=1  
i=1  
i=1  
Õ
∂ϕ ∂ϕ  
1
∂ϕn  
2
=
=
=
···  
dxi dxi ···dxi  
1
2
n
xi xi  
xi  
1
2
n
n
(i ,i ,...,in)∈{1,...,n}  
1
2
Õ
∂ϕ  
∂ϕ  
∂ϕn  
1
2
···  
dxσ(1)dxσ(2) ···dxσ(n)  
sign(σ)dx1dx2 ···dxn  
xσ(1) xσ(2)  
xσ(n)  
σSn  
Õ
∂ϕ  
∂ϕ  
∂ϕn  
1
2
···  
xσ(1) xσ(2)  
xσ(n)  
σSn  
∂ϕ  
∂ϕ  
1
1
...  
©
ª
x1  
xn  
-
-
-
-
-
-
-
®
®
®
®
®
®
®
∂ϕ  
∂ϕ  
2
2
...  
x1  
xn  
=det  
dx dx ···dx = det J dx dx ···dx .  
1
2
n
ϕ
1
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
-
®
®
∂ϕn  
∂ϕn  
...  
x1  
xn  
«
¬
16  
CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID  
Ở trên Sn là nhóm các hoán vị trên n phần tử. Tđó:  
ϕ( f du1du2 ···dun) = f ϕdet Jϕdx1dx2 ···dxn.  
(1.2.31)  
Mệnh đề 1.2.32. Tính chất của kéo lui:  
(a) ϕ(aω + bω ) = aϕω + bϕω , với a, b R (tính tuyến tính).  
1
2
1
2
(b) ϕ(ω ω ) = (ϕω )(ϕω ) (kéo lui của tích bằng tích của kéo lui).  
1
2
1
2
(c) (ψ ϕ)ω = ϕ(ψω), hay ngắn gọn hơn,  
(ψ ϕ)= ϕψ.  
(1.2.33)  
(1.2.34)  
(tính “tự nhiên”).  
(d) ϕ(dω) = d(ϕω), hay ngắn gọn hơn,  
ϕd = dϕ∗  
(đạo hàm và kéo lui giao hoán).  
Chứng minh. Hai tính chất đầu được để trong phần bài tập.  
ϕ
ψ
(c) Ta kiểm bằng cách tính toán ra công thức tường minh. Viết x y z. Trước tiên cho một  
hàm thực f theo biến x ta có ngay ϕ(ψ( f )) = ϕ( f ψ) = ( f ψ)ϕ = f (ψ ϕ) = (ψ ϕ)( f ).  
Do kéo lui của tích bằng tích của kéo lui, ta chỉ cần kiểm tra công thức (1.2.33) cho kéo lui của  
một dạng dzi. Theo công thức đạo hàm của hàm hợp:  
 
!
Õ
Õ
Õ
Õ
∂ϕj  
∂ψi  
yj  
∂ψi  
∂ψi  
ϕ(ψdzi) = ϕ∗  
dyj  
=
ϕdϕj =  
ϕ  
dxk  
yj  
!
yj  
xk  
j
j
j
k
 
Õ Õ  
Õ
Õ
∂ϕj  
∂ψi  
(ψi ϕ)  
(ψ ϕ)  
xk  
=
ϕ  
dxk =  
dxk =  
i dxk  
yj  
xk  
xk  
j
k
k
k
= d(ψ ϕ)i = (ψ ϕ)(dzi).  
(d) Trước hết nếu ω = f là một dạng bậc 0 thì ta kiểm được ϕ(df