›
›

Sự cân bằng tiệm cận của các phương trình vi - Tích phân trong không gian Banach

Download
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015  
SỰ CÂN BẰNG TIỆM CẬN CỦA CÁC PHƢƠNG TRÌNH  
VI - TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH  
Lê Anh Minh1, Đỗ Văn Lợi2, Lê Trần Tình1  
TÓM TẮT  
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự cân bằng tiệm cận của một số lớp  
phương trình vi - tích phân trong không gian Banach, thỏa mãn một số điều kiện thích hợp.  
Từ khóa: Phương trình vi - tích phân, không gian Banach  
1. GIỚI THIỆU  
Bài toán cân bằng tiệm cận của các phƣơng trình vi phân từ lâu đã đƣợc nhiều  
nhà toán học quan tâm và đã có một số công trình đƣợc công bố. Mitchell trong [4],  
đƣa ra một số điều kiện dựa vào độ đo của tập không compact để thu đƣợc kết quả về  
sự cân bằng tiệm cận của các phƣơng trình vi phân thƣờng trong không gian Banach.  
Bên cạnh đó, ta có thể tìm thấy một số kết quả về sự cân bằng tiệm cận của các dạng  
phƣơng trình vi phân khác nhau: phƣơng trình vi phân đa trị, phƣơng trình vi phân mờ,  
phƣơng trình vi phân hàm,..., ở các tài liệu ([3], [6], [7],…). Tuy nhiên, sự cân bằng  
tiệm cận của các lớp phƣơng trình vi - tích phân vẫn chƣa đƣợc trình bày rõ ràng. Bài  
báo này, xét sự cân bằng tiệm cận của một số lớp phƣơng trình vi - tích phân trong  
không gian Banach bằng cách đề xuất một số điều kiện phù hợp cho từng lớp. Cụ thể,  
với A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert  
H
ta xét lớp phƣơng trình  
t
dx(t)  
(1)  
A(t) x(t) m(t s)x(s)ds , t
dt  
t0  
và trong không gian Banach tổng quát  
X
ta xét lớp phƣơng trình  
t
dx(t)  
(2)  
f (t,x(t)) k(t,s,x(s))ds, t
dt  
t0  
trong đó f ,k là các toán tử phi tuyến compact.  
Trƣớc tiên, ta nhắc lại một số khái niệm và mệnh đề sau (xem [4],[8])  
Định nghĩa 1.1 ([8]). Phƣơng trình (1) (hay (2)) đƣợc gọi là có sự cân bằng tiệm cận  
nếu mọi nghiệm của nó đều có giới hạn hữu hạn tại vô cùng và với mọi  
(hay  
X
h H  
0
tƣơng ứng), đều tồn tại nghiệm x(t) của (1) (hay (2)) sao cho  
khi  
.
x(t) h0  
t   
1
ThS. Giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức  
TS. Giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức  
2
5
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015  
Mệnh đề 1.2. ([8]). Cho f :[0,T]X X là một toán tử compact. Khi đó,  
toán tử  
t
(Fx)(t) x f (,x())d, t [0,T], xD  
0
0
cũng là một toán tử compact, với  
D
là tập hợp tất cả các hàm liên tục  
.
x:[0,T]X  
Mệnh đề 1.3. ([5]) Cho  
với  
u, f :[0,T]
là các hàm khả tích và g(r) với  
là một hàm giá trị dương, liên tục,  
t0
r 0  
không giảm. Giả sử  
t
s
u(t)
(3)  
(s)g(u(s)) k(s,)g(u())dds  
t0  
t0  
với mọi  
, ở đây  
t
c
là một hằng số không âm. Khi đó  
u(t)  
t
s
ds  
(4)  
k(s,)dds.  
g(s)  
c
t0  
t0  
2. SỰ CÂN BẰNG TIỆM CẬN CỦA MỘT LỚP PHƢƠNG TRÌNH DẠNG  
TUYẾN TÍNH  
Xét phƣơng trình (1) trong không Hilbert  
H
.
Giả sử:  
(M ) Với mỗi  
là toán tử tuyến tính liên tục mạnh và tự liên hợp;  
t
1
(M2) Hàm  
m
thỏa mãn  
  
L:|m()| d .  
0
(M ) Tồn tại số dƣơng sao cho  
q
3
1
sup || A(t)h|| dt q   
với T 0, trong đó L 1.  
hS(0,1)  
T
Ta có kết quả sau:  
6
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015  
Định lý 2.1. Nếu các điều kiện (M1), (M2) và (M3) thỏa mãn thì phương trình (1)  
có sự cân bằng tiệm cận.  
Chứng minh. Trƣớc hết, ta chứng minh nếu các điều kiện (M1), (M2) và (M3)  
đƣợc thỏa mãn thì mọi nghiệm của phƣơng trình (1) đều có giới hạn hữu hạn tại vô  
cùng. Thật vậy, phƣơng trình (1) có thể đƣợc viết lại dƣới dạng:  
t0  
t
x(t) x(t ) A() x()   
m()x()dd.  
0
t0  
0
Khi đó, với t ta có:  
s  
t
x(t) x(s) A() x() m()x()dd  
s
0
và  
s  
t
x t sup x(s) A() x()   
m()x()dd,h  
   
hS(0,1)  
s
0
s  
t
sup  
A() x() m()x()dd,h  
hS(0,1)  
s
0
s  
t
sup  
A() x() m()x()d,h d  
hS(0,1)  
s
0
s  
t
sup  
x() m()x()d, A()h d  
hS(0,1)  
s
0
qsup || x() ||  
[0,t]  
Ta đặt  
||| x(t)|||sup|| x()||  
[0,t]  
Khi đó, từ bất đẳng thức ở trên ta suy ra  
||| x(t)||| q||| x(t)|||  
hay  
|| x(s)||  
||| x(t)|||  
(5)  
1q  
7
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015  
Do  
1
0 q   q1  
nên từ (5), ta thấy x(t)là bị chặn.  
Bây giờ, ta đặt  
M sup || x(t)||  
t[t0 ,)  
Suy ra, với  
tùy ý và  
t1,t2
t2 t1  
|| x(t2 ) x(t1)|| sup x(t2 ) x(t1),h  
hS(0,1)  
t2  
t0  
A() x() m()x()d,h d  
hS(0,1)  
t1  
0
t2  
p || A()h|| d0  
hS(0,1)  
t1  
khi  
. Nhƣ vậy, tồn tại hữu hạn lim x(t)  
.
t2
t  
Tiếp theo, ta chỉ ra rằng với  
tùy ý, tồn tại nghiệm x(t) của (1) sao  
h H  
0
cho lim x(t) h0. Thật vậy, với  
, ta chọn  
và xét phiếm hàm  
h H  
x0(t) h0  
0
t  
t0  
  
A() x () m()x ()d,h d  
g (t,h) h ,h   
1
0
0
0
t
0
Ta có  
t0  
  
m()x0()d|| A()h|| d  
g (t,h) || x ()   
1
0
t
0
Từ  
ta đƣợc  
x0() h0  
g (t,h) h|| q.  
1
Lúc này, theo định lý Riesz, tồn tại  
sao cho  
x (t)H  
1
g1(t,h) x (t),h  
1
Dễ thấy  
|| x (t)|| q  
1
8
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015  
Bây giờ, ta xét phiếm hàm  
t0  
  
A() x () m()x ()d,h d  
g (t,h) h ,h   
2
0
1
1
t
0
Ta lại có  
t0  
  
x1() m()x1()d|| A()h|| d  
g (t,h) ||   
2
t
0
|| (1q)|| h0 || q  
2   
h|| q(q)  
Khi đó, lại theo định lý Riesz, tồn tại  
sao cho  
x2(t)H  
g t,h x t , h  
2   2    
|| x2(t)|| q(q)2)  
và  
Tiếp tục quá trình này, ta thu đƣợc các phiếm hàm hàm tuyến tính liên tục  
t0  
  
(6)  
A() x () m()x ()d,h d  
g (t,h) h ,h   
n
0
n1  
n1  
t
0
và dãy các  
sao cho  
xn(t)H  
gn(t,h)  xn(t),h   
thỏa mãn đánh giá  
|| h||  
|| xn (t)||
Hơn nữa, xn (t) xn1(t) )n  
Từ đó suy ra  
là hội tụ đều trên [T,) . Đặt  
{xn(t)}  
x(t) lim xn (t)  
n  
Trong (6), cho  
ta đƣợc  
n  
9
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015  
t0  
  
A() x() m()x()d,h d  
(7)  
x(t),h h ,h   
0
t
0
và do  
t0  
  
xn (t),h0   
) m()xn1()dA()h d  
T
0
hay  
|| h|| q  
xn (t),h0   
1q
ta suy ra  
khi q 0. Định lý đƣợc chứng minh.  
xn(t) h0  
3. SỰ CÂN BẰNG TIỆM CẬN CỦA MỘT LỚP PHƢƠNG TRÌNH PHITUYẾN  
Xét lớp phƣơng trình trong không gian Banach tổng quát X:  
t
dx(t)  
dt  
(8)  
f (t,x(t)) k(t,s,x(s))ds, t
t0  
Trong đó f,k là các tuyến tử phi tuyến compact.  
Giả sử: (N1) || f (t, x)|| x(t)||) ở đây là một hàm giá trị dƣơng,  
g
liên tục và không giảm thỏa mãn  
  
du  
   
g(u)  
u0  
và  
(N2) || k(t,s, x)|| || x(s)||)  
với  
  
s
(9)  
a(s) b(s,)dds    
t0  
t0  
Khi đó, ta có: Định lý 3.1. Nếu các điều kiện (N1) và (N2) thỏa mãn, thì phương trình  
(2) có sự cân bằng tiệm cận.  
10  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015  
Chứng minh. Ta viết (2) dƣới dạng  
t
s
f (s,x(s)) k(s,,x())dds.  
x(t) x(t0 )   
t0  
t0  
Khi đó  
t
s
|| x(t)|| a(s)g(|| x(s)||) b(s,)g(|| x()||)dds  
  
t0  
t0  
Áp dụng Mệnh đề 1.3, ta đƣợc  
x(t)  
t
s
ds  
b(s,)dds    
g(s)  
x(t0 )  
t0  
t0  
suy ra x(t) bị chặn và do vậy ta có thể giả sử tồn tại  
để || x(t)|| với mọi  
M 0  
. Giả sử  
t
là số dƣơng bất kỳ cho trƣớc và  
đủ gần sao cho  
t1,t2 t0  
t2  
s
.
a(s) b(s,)dds   
g(M)  
t1  
t0  
Khi đó, ta có  
|| x(t2 ) x(t1)||   
t2  
s
f (s, x(s)) k(s,, x())dds  
t1  
t0  
t2  
s
(|| x(s)||) b(s,)g(|| x()||)dds  
t1  
t0  
t2  
s
a(s) b(s,)dds   
t1  
t0  
Nhƣ vậy lim x(t) tồn tại hữu hạn.  
t  
Bây giờ, cho  
là một phần tử tùy ý của  
X
, nếu lim x(t) h0 thì  
h0  
t  
  
s
f (s,x(s)) k(s,,x())dds  
h0 x(0)   
t0  
t0  
Do đó  
11  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015  
  
s
(10)  
f (s,x(s)) k(s,, x())dds  
x(t) h0   
t
t0  
nên ta chỉ cần chứng minh sự tồn tại nghiệm của (9). Thật vậy, ta đặt  
  xC(t ,):|| x(t)||
0
và xây dựng ánh xạ  
  
s
f (s,x(s)) k(s,, x())dds.  
(x)(t):h0   
t
t0  
Khi đó  
  
s
f (s, x(s)) k(s,, x())dds  
|| (x)(t)||
t0  
t0  
  
s
a(s) b(s,)dds  
g(R)  
t0  
t0  
R
R
R)  
R  
2g(R)  
:  
trong đó  
với  
và đủ lớn, tức  
. Cho  
là số thực cho trƣớc, ta  
R 2|| h || t0  
T t0  
0
phân tích  
thành  
  1  2  
T
s
(11)  
(12)  
f (s,x(s)) k(s,, x())dds  
(1x)(t):h0   
t   
t0  
  
s
(2x)(t):   
f (s, x(s)) k(s,, x())dds  
T
t0  
Theo (8), ta có thể chọn  
và khi đó  
T
  
đủ lớn sao cho  
s
a(s) b(s,)dds   
g(R)  
T
t0  
  
s
, x(s)) k(s,, x())dds  
|| (2x)(t) ||  
T
t0  
  
s
(13)  
a(s) b(s,)dds  
g(R)  
T
t0  
   
12  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015  
Do f ,k là các toán tử compact nên từ Mệnh đề 1.2 ta có  
là compact và  
1  
theo (12) ta đƣợc  
compact. Áp dụng định lý Schauder, suy ra tồn tại  
sao cho  
x  
hay  
x  x  
  
s
f (s,x(s)) k(s,, x())dds  
x(t) h0   
t
t0  
Định lý đƣợc chứng minh.  
4. KẾT LUẬN  
Bài báo đã phát biểu và chứng minh một tiêu chuẩn để một lớp phƣơng trình  
dạng tuyến tính trong không gian Hilbert có sự cân bằng tiệm cận. Bài toán cũng đƣợc  
mở rộng cho trƣờng hợp hệ phi tuyến trong không gian Banach tổng quát.  
TÀI LIỆU THAM KHẢO  
[1]  
W. Desch, R. Grimmer and W. Schappacher, Wellposedness and wave  
propagation for a class of integrodifferential equations in Banach space,  
Journal of Differential Equations, 74, 391 - 411, 1988.  
[2]  
[3]  
[4]  
[5]  
[6]  
D. E. Edmunds, V. Kokilashvili and A. Meskhi, Bounded and Compact  
Integral Operators, Springer, 2002.  
P. Gonzalez and M. Pinto, Asymptotic equilibrium for certain type of  
differential equations with maximum, Proyecciones, 21, 9 - 19, 2002.  
A. R. Mitchell, R. W. Mitchell, Asymptotic equilibrium of ordinary differential  
systems in a Banach space, Theory of Computing Systems, 9 (3), 308 - 314, 1975.  
B. G. Pachpatte, Inequalities for Differential and Integral Equations,  
Academic Press, 1998.  
S. W. Seah, Existence of solutions and asymptotic equilibrium of multivalued  
differential systems, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 89,  
648 - 663, 1982.  
[7]  
[8]  
S. Song and C. Wu, Asymptotic equilibrium and stability of fuzzy differential  
equations, Computers and Mathematics with Applications, 49, 1267 - 1277,  
2005.  
N.S Bay, N.T. Hoan and N.M. Man, On the asymptotic equilibrium and  
asymptotic equivalence of diferential equations in Banach spaces, Ukrainian  
Mathematical Journal, Vol. 60, No. 5, 2008.  
13  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015  
ASYMPTOTIC EQUILIBRIUM OF INTEGO-DIFFERENTIAL  
EQUATION IN BANACH SPACES  
Le Anh Minh, Do Van Loi, Le Tran Tinh  
ABSTRACT  
In this paper, we investigate the asymptotic equilibrium of integro-differential  
equations which satisfy some suitable conditions  
Key words: Intego-differential equation, banach spaces  
14  
pdf 10 trang Mãnh Khiết 15/01/2024 2240
Download
Bạn đang xem tài liệu "Sự cân bằng tiệm cận của các phương trình vi - Tích phân trong không gian Banach", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfsu_can_bang_tiem_can_cua_cac_phuong_trinh_vi_tich_phan_trong.pdf