Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 1.2: Giải tích Fourier - Biến đổi Fourier - Nguyễn Phước Bảo Duy
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
Part 1:
Giải tích Fourier
I. Chuỗi Fourier
►II. Biến đổi Fourier
s
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
Biến đổi Fourier:
1. Biến đổi Fourier
. Tích phân Fourier
. Biến đổi Fourier
. Phổ tần số liên tục
2. Tính chất của phép biến đổi Fourier
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Biến đổi Fourier
a. Tích phân Fourier:
Giả sử f(t) là một hàm không tuần hoàn. Khi đó f(t)
có thể xem như ‘tuần hoàn’ với chu kỳ T
Chuỗi Fourier phức của hàm ‘tuần hoàn’ f(t):
T/2
1
f(t) c ejn0t ; c
f(t)e jn0tdt
n
n
T T/2
f( )e jn0 d ejn0t
n
T/2
1
f(t)
T
T/2
n
2
T
Đặt:
n n0 n ; n n1 0
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Biến đổi Fourier
a. Tích phân Fourier:
T/2
1
2
f(t)
f( )e jn d ejnt;
T/2
n
Khi T : ∆ω 0; ωn ω: là biến liên tục, khi đó:
1
2
f(t)
ejt
f( )e j d d
Đây chính là Tích phân Fourier, biểu diễn hàm f(t).
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Biến đổi Fourier
b. Biến đổi Fourier:
Tích phân Fourier có thể viết lại dưới dạng:
F() f(t)e jtdt
1
f(t)
F()ejtd
2
F(ω) được gọi là biến đổi Fourier của f(t).
f(t) được gọi là biến đổi Fourier ngược of F(ω).
Ký hiệu: F(ω) =
F{f(t)} f(t) =
F
-1{F(ω)}
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Biến đổi Fourier
b. Biến đổi Fourier:
Để tồn tại biến đổi Fourier, hàm f(t) cần thõa mãn
một số điều kiện, gọi là điều kiện Dirichlet.
Điều kiện Dirichlet:
Nếu hàm f(t) thõa các tính chất:
(a) Tích phân
f(t) dt
(b) Chỉ có một số hữu hạn các điểm cực đại, cực tiểu và
một số hữu hạn các điểm gián đoạn trong bất kỳ
một khoảng xác định nào
khi đó thể tìm biến đổi Fourier của f(t) .
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Biến đổi Fourier
Ví dụ 2.01:
Tìm biến đổi Fourier của hàm số sau:
at
e ; t 0
f(t)
; a 0
0 ; t 0
F() f(t)e jtdt eate jtdt
0
1
F()
a j
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Biến đổi Fourier
Ví dụ 2.02:
Tìm biến đổi Fourier của hàm xung hình chữ nhật:
A; t T
0 ; t T
f(t)
sinT
T
2AT
; 0
0
F() Ae jtdt
2ATsinc T
T
T
2AT;
sin x
; x 0
với hàm sincx định nghĩa bởi:
sinc x
x
1; x 0
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Biến đổi Fourier
c. Phổ Fourier liên tục:
Với F(ω) =
F(ω) thành dạng mũ phức:
F
{f(t)} là biến đổi Fourier của f(t), viết lại
F() F() ej() , with () arg F()
Đồ thị | F(ω)| và ϕ(ω) được gọi là phổ biên độ and phổ
pha của f(t).
Lưu ý:
- Nếu f(t) là hàm tuần hoàn, chúng ta có phổ tần số rời
rạc (tương ứng với chuỗi Fourier).
- Nếu f(t) không tuần hoàn, chúng ta có phổ tần số liên
tục (tương ứng với biến đổi Fourier).
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Biến đổi Fourier
Ví dụ 2.03: Xác định phổ biên độ và phổ pha của hàm số:
at
e ; t 0
0 ; t 0
f(t)
; a 0
1
F() ej()
Từ Ví dụ 2.01 ta có:
F()
a j
1
F()
;
a2 2
0
() tan1
tan1
tan1
1
a
a
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Biến đổi Fourier
Ví dụ 2.03 (tt):
Phổ biên độ:
Phổ pha:
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier của một số hàm cơ bản:
f(t)
F()
1
2π()
1
(t)
u(t)
1/(j) + π()
1/(a + j)
e-atu(t)
cos(0t)
sin(0t)
sign(t)
π[( + 0) + ( - 0)]
πj[( + 0) - ( - 0)]
2/(j)
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Tính chất của biến đổi Fourier
a. Tuyến tính
F
{a1f1(t) + a2f2(t)} = a1
F
{f1(t)} + a2
F
{f2(t)}
b. Dời thời gian
{f(t – t0)} = e-jωt
F
{f(t)} = e-jωt0F(ω)
0
F
c. Dời tần số
F
{e-jω0t f(t)} = F(ω – ω0)
d. Co giãn theo thời gian
F
{f(at)} = (1/a)F(ω/a)
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Tính chất của biến đổi Fourier
e. Đạo hàm theo thời gian
F
{f(n)(t)} = (jω)n F(ω)
f. Nhân với tn
F
{tn f(t)} = jnF(n)(ω)
g. Tính đối xứng
F
{f(t)} = F(ω)
F
{F(t)} = 2πf(-ω)
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Tính chất của biến đổi Fourier
h. Điều chế tín hiệu
F
F
{f(t)cos(0t)} = [F(ω + ω0) + F(ω – ω0]/2
{f(t)sin(0t)} = j[F(ω + ω0) - F(ω – ω0]/2
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Tính chất của biến đổi Fourier
Ví dụ 2.04:
F () 2ATsinc(T)
1
F () 2ATejTsinc(T)
2
F () 2ATe jTsinc(T)
3
F () 4ATsinc(2T)
4
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
Appendix 1: Two useful functions
a. The Unit Impluse Function δ(t):
The Unit Impulse Function (or Dirac Function) is
defined as:
0; t 0
; t 0
(t)
and (t)dt 1
No ordinary function behaves this way!
Some real impulse approximations:
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
Appendix 1: Two useful functions
Properties of the Unit Impulse Function:
i. Scale Impulse: αδ(t)
ii. Time-shifting: δ(t - T) is an impulse at t = T
iii. Multipication of a Function by an Impulse
f(t)δ(t – T) = f(T)δ(t – T)
iv. Sampling
f(t)(t T)dt f(T)
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
Appendix 1: Two useful functions
Fourier Tranform of the Unit Impulse Function:
F{δ(t)} = 1
F{δ(t - T)} = e-jωT
F{1} = 2πδ(ω)
Integral of impulsive functions:
Integral of a function with impulses has jump at each
impulse, equal to the magnitude of impulse.
Ex: f(t) = 1 + δ(t – 1) - 2δ(t – 2)
t
y(t) f( )d
0
y(t) t u(t 1) 2u(t 2)
Check : y'(t) f(t)
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
Appendix 1: Two useful functions
b. Unit Step Function u(t)
du(t)
1; t 0
(t)
u(t)
dt
0; t 0
Fourier Transform of Unit Step function:
1
j
()
F{u(t)} =
Tải về để xem bản đầy đủ
25 trang
21820
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 1.2: Giải tích Fourier - Biến đổi Fourier - Nguyễn Phước Bảo Duy", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_toan_ky_thuat_phan_1_giai_tich_fourier_bien_doi_fo.pdf
