Tóm tắt công thức Xác suất - Thống kê
- 1 -
Tóm tắt công thức
Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê
I. Phần Xác Suất
1. Xác suất cổ điển
Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
A , A ,…, A xung khắc từng đôi P(A +A +…+A )=P(A )+P(A )+…+P(A ).
1
2
n
1
2
n
1
2
n
Ta có
o A, B xung khắc P(A+B)=P(A)+P(B).
o A, B, C xung khắc từng đôi P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
o P(A) 1 P(A).
P(AB)
P(B)
P(AB)
P(A/ B)
P(B / A)
Công thức xác suất có điều kiện:
,
.
P(A)
Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).
A , A ,…, A độc lập với nhau P(A .A ….A )=P(A ).P(A ).….P( A ).
1
2
n
1
2.
n
1
2
n
Ta có
o A, B độc lập P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C độc lập với nhau P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
Công thức Bernoulli: B(k;n; p) Cnk pkqnk , với p=P(A): xác suất để biến cố A
xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.
Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An được gọi là một phép phân
A .A i j;i, j 1,n
i
j
hoạch của
A A2 ... An
1
o Công thức xác suất đầy đủ:
n
P(B) P(A ).P(B / A ) P(A ).P(B / A ) P(A ).P(B / A ) ... P(A ).P(B / A )
i
i
1
1
2
2
n
n
i1
oCông thức Bayes:
P(A ).P(B / A )
i
i
P(A / B)
i
P(B)
với P(B) P(A ).P(B / A ) P(A2).P(B / A2) ... P(An ).P(B / An )
1
1
2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Luật phân phối xác suất
X
P
x1 x2
p1 p2
…
…
xn
pn
với pi P(X xi ),i 1,n.
Ta có:
n
và P{a f(X) b}=
pi
p 1
af(xi b
i
i1
- 1 -
XSTK
- 2 -
Tóm tắt công thức
Hàm phân phối xác suất
F (x) P(X x)
p
X
i
xi x
Mode
ModX x0 p0 max{pi :i 1,n}
Median
p 0,5
xi xe
i
P(X x ) 0,5
e
MedX x
e
P(X xe ) 0,5
p 0,5
i
x xe
i
Kỳ vọng
n
EX (x .p ) x .p x .p ... x .p
n
i
i
1
1
2
2
n
i1
n
E((X )) ((x ).p ) (x ).p (x ).p ...(x ).p
n
i
i
1
1
2
2
n
i1
Phương sai
VarX E(X 2) (EX )2
n
E(X 2) (x2.p ) x2.p x2.p ... x2.p
với
i
i
1
1
2
2
n
n
i1
b. Biến ngẫu nhiên liên tục.
f(x) là hàm mật độ xác suất của X
f (x)dx 1,
b
P{a X b} f (x).dx
a
Hàm phân phối xác suất
x
f (t)dt
F (x) P(X x)
X
Mode
ModX x0 Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x0.
Median
xe
1
2
1
2
.
MedX xe FX (xe )
f (x)dx
Kỳ vọng
EX x. f (x)dx .
E((X ))
(x). f (x)dx
- 2 -
XSTK
- 3 -
Tóm tắt công thức
Phương sai
VarX E(X 2) (EX )2 với EX2 x2. f (x)dx .
c. Tính chất
- E(C) C,Var(C) 0 , C là một hằng số.
- E(kX ) kEX,Var(kX ) k2VarX
- E(aX bY) aEX bEY
- Nếu X, Y độc lập thì E(XY) EX.EY,Var(aX bY) a2VarX b2VarY
- (X ) VarX : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX.
3. Luật phân phối xác suất
a. Phân phối Chuẩn (X ~ N(;2))
X () , EX=ModX=MedX= , VarX 2
(x)2
1
2 2
Hàm mđxs f (x,, )
e
Với 0, 1:
2
x2
e (Hàm Gauss)
1
2
f (x)
2
t2
x
P(a X b) (
) (
e 2 dt (Hàm Laplace)
1
b
a
) với (x)
2
0
Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối
xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc
Tác vụ
Khởi động gói Thống kê
Tính
Máy CASIO 570MS
Mode…(tìm)…SD
Máy CASIO 570ES
Mode…(tìm)…STAT 1-Var
t2
x
e 2 dt
1
(x)
Shift 1 7 2 x ) =
Shift 3 2 x ) =
2
0
t2
x
F(x)
e 2 dt
1
Shift 1 7 1 x ) =
Mode 1
Shift 3 1 x ) =
Mode 1
2
Thoát khỏi gói Thống kê
Lưu ý: F(x) 0,5(x)
b. Phân phối Poisson (X ~ P())
X () ,
P(X=k)=e
EX VarX .ModX=k -1 k
k
,k
k!
- 3 -
XSTK
- 4 -
c. Phân phối Nhị thức (X ~ B(n; p))
Tóm tắt công thức
X () {0..n}, EX=np, VarX=npq, ModX=k (n 1)p 1 k (n 1)p
P(X=k)=Ckn.pk .qnk ,q p0 k n,k
Nếu (n 30;0,1 p 0,9;np 5,nq 5) thì X ~ B(n; p) N(;2) với
n.p, npq
1
k
b
.
.
P(X=k) f (
),0 k n,k
a
P(a X<b) (
) (
)
Nếu (n 30,p np 5) thì X ~ B(n; p) P() với np
k
k!
.
P(X=k) e
,k
Nếu (n 30,p 0,9,nq 5)
nk
(n k)!
P(X=k) e
,k với nq
d. Phân phối Siêu bội (X ~ H(N; NA;n))
X () {max{0;n (N NA )}..min{n;NA}}
NA
N
N n
N 1
EX=np, VarX=npq
với p
, q=1-p.
(NA 1)(n 1) 2
(NA 1)(n 1) 2
N 2
ModX k
1 k
.
N 2
Ck Cnk
NA NNA
P(X=k)=
,k X ()
CNn
NA
N
Nếu
20 thì X ~ H(N;NA;n) B(n; p) với p
.
n
N
P(X=k) Ckn.pk .qnk ,k X (),q 1 p .
- 4 -
XSTK
- 5 -
Tóm tắt công thức
Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông
dụng:
Siêu bội: X~H(N;NA;n)
Ck .Cnk
NA
N NA
CNn
P(X k)
N>20n
NA
p=
, q=1-p
N
n30, np<5
p0,1
Nhị thức: X~B(n;p)
Poisson: X~ P()
=np
k
P(X k)
e
P(X k) Cnk .pk .qnk
k!
n30, np
, nq
1
5
5
0,1<p<0,9
k
P(X k) f (
)
b
a
P(a X b) (
) (
)
với np, npq
X
Chuẩn: X~ N(; 2 )
Y
Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1)
y2
( x )2
2 2
1
f (x;; )
.e
2
1
f (y)
.e
2
2
- 5 -
XSTK
- 6 -
Tóm tắt công thức
II. Phần Thống Kê.
1. Lý thuyết mẫu.
a. Các công thức cơ bản.
Các giá trị đặc trưng
Giá trị trung bình
Mẫu ngẫu nhiên
Mẫu cụ thể
X1 ... Xn
x1 ... xn
X
x
n
n
(X1 X )2 ... (Xn X )2
(x1 x)2 ... (xn x)2
Phương sai không hiệu chỉnh
Phương sai hiệu chỉnh
2
ˆ2
ˆ
SX
sx
n
(X1 X )2 ... (Xn X )2
n 1
n
(x1 x)2 ... (xn x)2
n 1
SX2
sx2
b. Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau:
…
xi
ni
x1
n1
x2
n2
xk
nk
…
Khi đó
Các giá trị đặc trưng
Mẫu cụ thể
x1n1 ... xk nk
x
Giá trị trung bình
n
(x1 x)2 n1 ... (xk x)2 nk
Phương sai không hiệu chỉnh
Phương sai hiệu chỉnh
ˆ2
sx
n
(x1 x)2 n1 ... (xk x)2 nk
n 1
sx2
c. Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu
- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [a;b) hay (a;b] thì ta sử dụng giá
a b
trị đại diện cho miền đó là
để tính toán.
2
Tác vụ
Dòng CASIO MS
Dòng CASIO ES
Bật chế độ nhập tần số
Không cần
Shift Mode 4 1
Khởi động gói Thống kê
Mode…(tìm)…SD
Mode…(tìm)…STAT 1-Var
x1 Shift , n1 M+
X
x1 =
FREQ
n1 =
xk Shift , nk M+
Nhập số liệu
xk =
nk =
Nếu ni 1 thì chỉ cần
nhấn
xi M+
- 6 -
XSTK
- 7 -
Tóm tắt công thức
Xóa màn hình hiển thị
AC
AC
Xác định:
Shift 1 3 =
Shift 2 1 =
Shift 2 2 =
Shift 2 3 =
Mode 1
Shift 1 5 1 =
Kích thước mẫu (n)
Giá trị trung bình
Shift 1 5 2 =
Shift 1 5 3 =
Shift 1 5 4 =
Mode 1
( )
x
Độ lệch chuẩn không
ˆ
hiệu chỉnh ( sx )
Độ lệch chuẩn hiệu
chỉnh ( sx )
Thoát khỏi gói Thống kê
2. Ước lượng khoảng.
a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình.
Trường hợp 1. ( đã biết)
Ước lượng đối xứng.
1
2
(z )
z z .
x ;x )
n
2
2
2
Ước lượng chệch trái.
(z ) 0,5 z z.
;x )
x )
n
Ước lượng chệch phải.
(z ) 0,5 z z.
n
Trường hợp 2. ( chưa biết,
Ước lượng đối xứng.
1
)
n 30
s
(z )
z z .
x ;x )
2
n
2
2
2
Ước lượng chệch trái.
s
(z ) 0,5 z z.
;x )
x )
n
Ước lượng chệch phải.
s
(z ) 0,5 z z.
n
Trường hợp 3. ( chưa biết, n<30)
Ước lượng đối xứng.
2
s
1 t
t
.
2
x ;x )
(n1; )
(n1; )
n
2
Ước lượng chệch trái.
s
1 t(n1;) t(n1;)
.
;x )
n
- 7 -
XSTK
- 8 -
Tóm tắt công thức
Ước lượng chệch phải.
1 t(n1;) t(n1;)
b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ.
s
.
x ; )
n
Ước lượng đối xứng.
1
f (1 f )
(z )
z z .
f ; f )
2
n
2
2
2
Ước lượng chệch trái.
f (1 f )
(z ) 0,5 z z.
Ước lượng chệch phải.
; f )
f )
n
f (1 f )
(z ) 0,5 z z.
n
c) Khoảng tin cậy cho phương sai.
Trường hợp 1. ( chưa biết)
- Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác định s (bằng máy
tính).
Ước lượng không chệch.
2
2
1 2
, 1 1 2
2
2
2
1
(n1; )
(n1;1
)
(n 1)s2 (n 1)s2
(
;
)
2
1
Ước lượng chệch trái.
(n 1)s2
1 1 2(n1;1) (0;
)
1
Ước lượng chệch phải.
1 2 2(n1;) (
Trường hợp 2. ( đã biết)
(n 1)s2
;)
2
k
2
(n 1)s n .(x )2
- Tính
i
i
i1
Ước lượng không chệch.
2
2
1 2 2
, 1 1 1 2
2
(n;
)
(n;1
)
2
(n 1)s2 (n 1)s2
(
;
)
2
1
- 8 -
XSTK
- 9 -
Tóm tắt công thức
Ước lượng chệch trái.
1 1 2(n;1) (0;
Ước lượng chệch phải.
(n 1)s2
)
1
(n 1)s2
1 2 2
(
;)
(n;)
2
3. Kiểm định tham số.
a) Kiểm định giá trị trung bình.
Trường hợp 1. ( đã biết)
Ho : o,H1 : o
1
x
(z )
z ,z
o . n
2
2
2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
2
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
2
Ho : o,H1 : o
x
(z ) 0,5 z,z
o . n
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Ho : o,H1 : o
x
(z ) 0,5 z,z
o . n
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 2. ( chưa biết,
)
n 30
Ho : o,H1 : o
x
1
2
(z )
z ,z
o . n
s
2
2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
2
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
2
Ho : o,H1 : o
x
(z ) 0,5 z,z
o . n
s
- 9 -
XSTK
- 10 -
Tóm tắt công thức
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Ho : o,H1 : o
x
(z ) 0,5 z,z
o . n
s
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 3. ( chưa biết, n<30)
Ho : o,H1 : o
x
2
t
,t
o . n
2
(n1; )
s
- Nếu t t
: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
: Chấp nhận Ho.
2
(n1; )
- Nếu t t
2
(n1; )
Ho : o,H1 : o
x
t(n1;),t
o . n
s
- Nếu t t(n1;) : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu t t(n1;) : Chấp nhận Ho.
Ho : o,H1 : o
x
t(n1;),t
o . n
s
- Nếu t t(n1;) : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu t t(n1;) : Chấp nhận Ho.
b) Kiểm định tỉ lệ.
Ho : p po,H1 : p po
f po
1
2
k
(z )
z , f ,z
. n
n
po(1 po )
2
2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
2
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
2
Ho : p po,H1 : p po
f po
po (1 po)
k
(z ) 0,5 z, f ,z
. n
n
- 10 -
XSTK
- 11 -
Tóm tắt công thức
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Ho : p po,H1 : p po
f po
po (1 po)
k
(z ) 0,5 z, f ,z
. n
n
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
c) Kiểm định phương sai.
Trường hợp 1. ( chưa biết)
- Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính để xác
định s.
Ho :2 o2,H1 :2 o2
2
2
(n 1)s2
1 12 2
, 22 2
2
,
2
2
o2
(n1;1
)
(n1;
)
2
2
- Nếu
2 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1.
2 12
- Nếu 12 2 22 : Chấp nhận Ho.
Ho :2 o2,H1 :2 o2
(n 1)s2
1 12 2
,
2
(n1;1)
o2
- Nếu 2 12 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1.
- Nếu 2 12 : Chấp nhận Ho.
Ho :2 o2,H1 :2 o2
(n 1)s2
22 2
,
2
(n1;)
o2
- Nếu 2 22 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1.
- Nếu 2 22 : Chấp nhận Ho.
4. Kiểm định so sánh tham số.
a) Kiểm định so sánh giá trị trung bình.
Trường hợp 1. (1,2 đã biết)
Ho :1 2,H1 :1 2
1
x1 x2
(z )
z ,z
12 22
2
2
2
n
n2
1
- 11 -
XSTK
- 12 -
Tóm tắt công thức
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
2
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
2
Ho :1 2,H1 :1 2
x1 x2
(z ) 0,5 z,z
12 22
n1 n2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Ho :1 2,H1 :1 2
x1 x2
(z ) 0,5 z,z
12 22
n1 n2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 2. (1,2 chưa biết, n n2 30)
1
Ho :1 2,H1 :1 2
1
x1 x2
(z )
z ,z
s12 s22
2
2
2
n1 n2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
2
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
2
Ho :1 2,H1 :1 2
x1 x2
(z ) 0,5 z,z
s12 s22
n1 n2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Ho :1 2,H1 :1 2
x1 x2
(z ) 0,5 z,z
s12 s22
n1 n2
- 12 -
XSTK
- 13 -
Tóm tắt công thức
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 3. (1 2 chưa biết, n ,n2 30 )
1
Ho :1 2,H1 :1 2
2
x1 x2
(n 1).s12 (n2 1).s22
s2
, với
1
t
,t
(n1n22; )
2
n n2 2
1
1
s2(
)
1
n1 n2
- Nếu t t
- Nếu t t
: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
: Chấp nhận Ho.
2
(n1n22;
)
(n1n2 2; )
2
Ho :1 2,H1 :1 2
x1 x2
(n 1).s12 (n2 1).s22
s2
, với
1
t(n n 2;),t
1
2
n n2 2
1
1
s2(
)
1
n1 n2
- Nếu t t
- Nếu t t
: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
: Chấp nhận Ho.
2
(n1n22;
(n1n22;
)
)
2
Ho :1 2,H1 :1 2
x1 x2
(n 1).s12 (n2 1).s22
s2
, với
1
t(n n 2;),t
1
2
n n2 2
1
1
s2(
)
1
n1 n2
- Nếu t t
- Nếu t t
: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
: Chấp nhận Ho.
2
(n1n2 2;
)
)
2
(n1n22;
b) Kiểm định so sánh tỉ lệ.
k
k
k1 k2
n1 n2
f1 1 , f2 2 , f
n1 n2
Ho : p1 p2,H1 : p1 p2
1
f1 f2
(z )
z ,z
2
1
1
2
2
f (1 f ).(
)
n1 n2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
2
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
2
- 13 -
XSTK
- 14 -
Tóm tắt công thức
Ho : p1 p2,H1 : p1 p2
(z ) 0,5 z,z
f1 f2
1
1
f (1 f ).(
)
)
n1 n2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Ho : p1 p2,H1 : p1 p2
f1 f2
(z ) 0,5 z,z
1
1
f (1 f ).(
n1 n2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
c. Kiểm định so sánh phương sai.
- 1,2 chưa biết nên tính s1 và s2 từ mẫu (sử dụng máy tính) nếu đề bài chưa
cho.
Ho :12 22,H1 :12 22
s12
s22
2
2
-
f , f1 f (n1 1;n2 1;1 ), f2 f (n 1;n2 1; )
1
f f
-
-
Nếu
1 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
f f2
Nếu f1 f f2 : Chấp nhận Ho.
Ho :12 22,H1 :12 22
s12
s22
-
f , f1 f (n1 1;n2 1;1 )
-
-
Nếu f f1: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
Nếu f1 f : Chấp nhận Ho.
Ho :12 22,H1 :12 22
s12
s22
-
f , f2 f (n1 1;n2 1;)
-
-
Nếu f f2 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
Nếu f f2 : Chấp nhận Ho.
5. Hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu.
- 14 -
XSTK
- 15 -
Tóm tắt công thức
n
n
n
n
x y
x
y
i
i
i
i
i1
i1
i1
a. Hệ số tương quan mẫu: r
n
n
n
n
n
x2 ( x )2
n
y2 ( y )2
i
i
i
i
i1
i1
i1
i1
Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: yx A Bx với
n
n
n
n
n
n
x y
x
y
y B.
x
i
i
i
i
i
i
i1
i1
n
i1
i1
i1
B
và A
.
n
n
n
x2 ( x )2
i
i
i1
i1
b. Trong trường hợp sử dụng bảng tần số:
…
…
…
xi
yi
ni
x1
y1
n1
x2
y2
n2
xk
yk
nk
Ta tính theo công thức thu gọn như sau:
k
k
k
n
n x y n x
n y
i
i
i
i
i
i
i
i1
i1
i1
Hệ số tương quan mẫu: r
k
k
k
k
n
n x2 ( n x )2
n
n y2 ( n y )2
i
i
i
i
i
i
i
i
i1
i1
i1
i1
Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: yx A Bx với
k
k
k
k
k
n
n x y n x
n y
n y B. n x
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i i
i1
i1
i1
i1
i1
B
và A
.
k
k
n
n
n x2 ( n x )2
i
i
i i
i1
i1
- 15 -
XSTK
- 16 -
Tóm tắt công thức
c. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy
tuyến tính mẫu:
Tác vụ
Dòng CASIO MS
Dòng CASIO ES
Bật chế độ nhập tần số
Không cần
Shift Mode 4 1
Khởi động gói Hồi quy
tuyến tính
Mode…(tìm)…REG
Lin
Mode…(tìm)…STAT
A+BX
x1 , y1 Shift , n1 M+
X
x1 =
Y
y1 =
FREQ
n1 =
xk , yk Shift , nk M+
Nhập số liệu
xk =
yk =
nk =
ni 1 thì chỉ cần nhấn
xi , yi M+
Xóa màn hình hiển thị
AC
AC
Xác định:
Shift 2 3 =
Shift 1 7 3 =
Hệ số tương quan
mẫu (r)
Shift 2 1 =
Shift 2 2 =
Shift 1 7 1 =
Shift 1 7 2 =
Hệ số hằng: A
Hệ số ẩn (x): B
Thoát khỏi gói Hồi quy
Mode 1
Mode 1
Lưu ý: Máy ES nếu đã kích hoạt chế độ nhập tần số ở phần Lý thuyết mẫu rồi thì
không cần kích hoạt nữa.
……………………………………….
- 16 -
XSTK
16 trang
26680
Free
Bạn đang xem tài liệu "Tóm tắt công thức Xác suất - Thống kê", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- tom_tat_cong_thuc_xac_suat_thong_ke.pdf
