Bài tập môn Xác suất và thống kê - Trần Ngọc Hội (Có lời giải)
P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,7.0,2.0,5 = 0,07;
P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,3.0,8.0,5 = 0,12;
P(A1A2A3) = P(A1)P(A23)P(A3) = 0,3.0,2.0,5 = 0,03.
BAØI GIAÛI
XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
(GV: Traàn Ngoïc Hoäi – 2009)
Suy ra P(A) = 0,22.
b) Goïi B laø bieán coá coù 2 khaåu truùng. Ta coù
CHÖÔNG 1
B = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3
Tính toaùn töông töï caâu a) ta ñöôïc P(B) = 0,47.
c) Goïi C laø bieán coá coù 3 khaåu truùng. Ta coù
C = A1A2A3.
NHÖÕNG ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN TRONG
LYÙ THUYEÁT XAÙC SUAÁT
Tính toaùn töông töï caâu a) ta ñöôïc P(C) = 0,28.
d) Goïi D laø bieán coá coù ít nhaát 1 khaåu truùng. Ta coù
Baøi 1.1: Coù ba khaåu suùng I, II vaø III baén ñoäc laäp vaøo moät muïc tieâu. Moãi
khaåu baén 1 vieân. Xaùc suaát baén truùng muïc tieâu cuaû ba khaåu I, II vaø III laàn
löôït laø 0,7; 0,8 vaø 0,5. Tính xaùc suaát ñeå
a) coù 1 khaåu baén truùng.
b) coù 2 khaåu baén truùng.
c) coù 3 khaåu baén truùng.
D = A + B + C.
Chuù yù raèng do A, B, C xung khaéc töøng ñoâi, neân theo coâng thöùc Coäng xaùc
suaát ta coù:
P(D) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,22 + 0,47 + 0,28 = 0,97.
e) Gæa söû coù 2 khaåu truùng. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát
ñeå khaåu thöù 2 truùng trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän
P(A2/B).
d) ít nhaát 1 khaåu baén truùng.
e) khaåu thöù 2 baén truùng bieát raèng coù 2 khaåu truùng.
Theo coâng thöùc Nhaân xaùc suaát ta coù:
P(A2B) = P(B)P(A2/B)
Lôøi giaûi
Suy ra
Toùm taét:
P(A2B)
P(B)
P(A2/B) =
.
Khaåu suùng
Xaùc suaát truùng
I
IIù
III
0,5
0,7 0,8
Maø A2B = A1A2A3 + A1A2A3 neân lyù luaän töông töï nhö treân ta ñöôïc
Goïi Aj (j = 1, 2, 3) laø bieán coá khaåu thöù j baén truùng. Khi ñoù A1, A2, A3 ñoäc
laäp vaø giaû thieát cho ta:
P(A2B)=0,4
Suy ra P(A2/B) =0,851.
P(A1) = 0,7; P(A1) = 0, 3;
P(A2) = 0, 8;P(A2) = 0, 2;
Baøi 1.2: Coù hai hoäp I vaø II moãi hoäp chöùa 10 bi, trong ñoù hoäp I goàm 9 bi
ñoû, 1 bi traéng; hoäp II goàm 6 bi ñoû, 4 bi traéng. Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp
2 bi.
P(A3) = 0,5;P(A3) = 0,5.
a) Goïi A laø bieán coá coù 1 khaåu truùng. Ta coù
A = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3
Vì caùc bieán coá A1A2A3,A1A2A3,A1A2A3 xung khaéc töøng ñoâi, neân
theo coâng thöùc Coäng xaùc suaát ta coù
a) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 4 bi ñoû.
b) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 2 bi ñoû vaø 2 bi traéng.
c) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng.
d) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Haõy tìm xaùc suaát ñeå bi traéng
coù ñöôïc cuûa hoäp I.
P(A) = P(A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3)
= P(A1A2A3) + P(A1A2A3) + P(A1A2A3)
Vì caùc bieán coá A1, A2, A3 ñoäc laäp neân theo coâng thöùc Nhaân xaùc suaát ta
coù
1
2
B = A0B2 + A1B1 + A2B0
Do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá A0B2 , A1B1 , A2B0, coâng
thöùc Coäng xaùc suaát cho ta:
Lôøi giaûi
Goïi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) laàn löôït laø caùc bieán coá coù i bi ñoû vaø (2 - i) bi
P(B) = P(A0B2 + A1B1 + A2B0) = P(A0B2 ) + P(A1B1) + P(A2B0)
Töø ñaây, do tính ñoäc laäp , Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù nhaát cho ta:
P(B) = P(A0)P(B2 ) + P(A1)P(B1) + P(A2)P(B0) = 0,2133.
traéng coù trong 2 bi ñöôïc choïn ra töø hoäp I, hoäp II.
Khi ñoù
- A0, A1, A2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(A0) = 0;
1
1
c) Goïi C laø bieán coá choïn ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Ta coù:
C = A1B2 + A2B1.
Lyù luaän töông töï nhö treân ta ñöôïc
9
45
C9C1
P(A1) =
P(A2) =
=
=
;
2
C10
2
0
P(C) = P(A1)P(B2 ) + P(A2)P(B1) = 0,4933.
36
45
C9C1
.
2
C10
d) Giaû söû ñaõ choïn ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Khi ñoù bieán coá C ñaõ
xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå bi traéng coù ñöôïc thuoäc hoäp I trong tröôøng hôïp
naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/C). Theo Coâng thöùc nhaân xaùc
suaát , ta coù
- B0, B1, B2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
0
2
6
45
C6C4
P(B0) =
P(B1) =
P(B2) =
=
=
=
;
;
.
2
P(A1C) = P(C)P(A1/C) .
C10
Suy ra
1
1
24
45
C6C4
P(A1C)
P(C)
2
P(A1/C) =
.
C10
2
0
Maø A1C = A1B2 neân
15
45
C6C4
2
C10
9
15
P(A1C) = P(A1B2) = P(A1)P(B2) =
.
= 0,0667.
- Ai vaø Bj ñoäc laäp.
45 45
- Toång soá bi ñoû coù trong 4 bi choïn ra phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá Ai vaø
Bj theo baûng sau:
Do ñoù xaùc suaát caàn tìm laø: P(A1/C) = 0,1352.
B0 B1 B2
Baøi 1.3: Moät loâ haøng chöùa 10 saûn phaåm goàm 6 saûn phaåm toát vaø 4 saûn
phaåm xaáu. Khaùch haøng kieåm tra baèng caùch laáy ra töøng saûn phaåm cho
ñeán khi naøo ñöôïc 3 saûn phaåm toát thì döøng laïi.
a) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 3.
b) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4.
b) Giaû söû khaùch haøng ñaõ döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Tính xaùc suaát ñeå
ôû laàn kieåm tra thöù 3 khaùch haøng gaëp saûn phaåm xaáu.
A0
A1
A2
0
1
2
1
2
3
2
3
4
a) Goïi A laø bieán coá choïn ñöôïc 4 bi ñoû. Ta coù:
A = A2 B2 .
Töø ñaây, do tính ñoäc laäp , Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù nhaát cho ta:
Lôøi giaûi
36 15
45 45
P(A) = P(A2)P(B2) =
.
= 0,2667.
Goïi Ti, Xi laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc saûn phaåm toát, xaáu ôû laàn kieåm
tra thöù i.
a) Goïi A laø bieán coá khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 3. Ta coù:
b) Goïi B laø bieán coá choïn ñöôïc 2 bi ñoû vaø 2 bi traéng. Ta coù:
3
4
A = T1T2T3.
Lôøi giaûi
Suy ra P(A) = P(T1T2T3) = P(T1) P(T2/T1) P(T3/ T1T2)
= (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667.
Goïi Di, Ti, Xi laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc bi ñoû, bi traéng, bi xanh ôû
laàn ruùt thöù i.
b) Goïi B laø bieán coá khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Ta coù:
B = X1T2T3T4 + T1X2T3T4 + T1T2X3T4 .
a) Goïi A laø bieán coá ruùt ñöôïc 2 bi traéng, 1 bi xanh vaø 1 bi ñoû. Ta coù:
T − T − X − D
A xaûy ra ⇔ Ruùt ñöôïc T − X − T − D
⎡
⎢
⎢
Suy ra
⎢
X − T − T − D
⎣
P(B) = P(X1T2T3T4 ) + P(T1X2T3T4 ) + P(T1T2X3T4 )
= P(X1) P(T2/X1) P(T3/X1T2) P(T4/X1T2T3)
+ P(T1) P(X2/T1) P(T3/T1X2) P(T4/T1X2T3)
+ P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3)
= (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7)+(6/10)(5/9)(4/8)(4/7)
= 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857.
Suy ra
A = T1T2X3D4 + T1X2T3D4 + X1T2T3D4
Töø ñaây, do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá thaønh phaàn, ta coù:
P(A) = P(T1T2X3D4)+ P(T1X2T3D4) + P(X1T2T3D4 )
Theo Coâng thöùc Nhaân xaùc suaát, ta coù
P(T1T2X3D4) = P(T1)P(T2/T1)P(X3/T1T2)P(D4/T1T2X3)
= (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66;
c) Giaû söû khaùch haøng ñaõ döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Khi ñoù bieán
coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå ôû laàn kieåm tra thöù
gaëp saûn phaåm xaáu trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän
P(X3/B).
3 khaùch haøng
P(T1X2T3D4) = P(T1)P(X2/T1)P(T3/T1X2)P(D4/T1X2T3)
= (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66;
Theo Coâng thöùc nhaân xaùc suaát , ta coù
P(X1T2T3D4) = P(X1)P(T2/X1)P(T3/X1T2)P(D4/X1T2T3)
= (3/12)(4/11)(3/10)(5/9) = 1/66.
P(X3B) = P(B)P(X3/B) .
Suy ra
P(X3B)
P(B)
P(X3/B) =
.
Suy ra P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455.
Maø X3B = T1T2X3T4 neân
b) Goïi B laø bieán coá khoâng coù bi traéng naøo ñöôïc ruùt ra. Ta coù:
P(X3B) = P(T1T2X3T4 ) = P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3)
= (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 0,0952.
D
X − D
X − X − D
X − X − X − D
⎡
⎢
⎢
⎢
Suy ra P(X3/B) = 0,3333.
B xaûy ra ⇔ Ruùt ñöôïc
⎢
⎣
Baøi 1.4: Moät hoäp bi goàm 5 bi ñoû, 4 bi traéng vaø 3 bi xanh coù cuøng côõ. Töø
hoäp ta ruùt ngaãu nhieân khoâng hoøan laïi töøng bi moät cho ñeán khi ñöôïc bi ñoû
thì döøng laïi. Tính xaùc suaát ñeå
a) ñöôïc 2 bi traéng, 1 bi xanh vaø 1 bi ñoû.
b) khoâng coù bi traéng naøo ñöôïc ruùt ra.
Suy ra
B = D1 + X1D2 + X1X2D3+ X1X2X3 D4
Töø ñaây, do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá thaønh phaàn, ta coù:
P(B) = P(D1)+ P(X1D2) + P(X1X2D3 ) + P(X1X2X3 D4)
Theo Coâng thöùc Nhaân xaùc suaát, ta coù
5
6
P(B) = P(D1) + P(X1)P(D2/X1) + P(X1)P(X2/X1)P(D3/X1X2)
+ P(X1)P(X2/X1)P(X3/X1X2)P(D4/X1X2X3)
= 5/12+ (3/12)(5/11) + (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9)
= 5/9
Suy ra P(B) = 0,66 = 66%. Vaäy tæ leä saûn phaåm loaïi A noùi chung do nhaø
maùy saûn xuaát laø 66%.
b) Choïn mua ngaãu nhieân moät saûn phaåm X ôû thò tröôøng. Giaû söû ñaõ mua
ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, saûn phaåm aáy coù khaû naêng do phaân
xöôûng naøo saûn xuaát ra nhieàu nhaát?
Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù,
ñeå bieát saûn phaåm loaïi A ñoù coù khaû naêng do phaân xöôûng naøo saûn xuaát ra
nhieàu nhaát ta caàn so saùnh caùc xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/B), P(A2/B) vaø
P(A3/B). Neáu P(Ai/B) laø lôùn nhaát thì saûn phaåm aáy coù khaû naêng do phaân
xöôûng thöù i saûn xuaát ra laø nhieàu nhaát. Theo coâng thöùc Bayes ta coù:
Baøi 1.5: Saûn phaåm X baùn ra ôû thò tröôøng do moät nhaø maùy goàm ba phaân
xöôûng I, II vaø III saûn xuaát, trong ñoù phaân xöôûng I chieám 30%; phaân
xöôûng II chieám 45% vaø phaân xöôûng III chieám 25%. Tæ leä saûn phaåm loaïi
A do ba phaân xöôûng I, II vaø III saûn xuaát laàn löôït laø 70%, 50% vaø 90%.
a) Tính tæ leä saûn phaåm loïai A noùi chung do nhaø maùy saûn xuaát.
b) Choïn mua ngaãu nhieân moät saûn phaåm X ôû thò tröôøng. Giaû söû ñaõ mua
ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, saûn phaåm aáy coù khaû naêng do phaân
xöôûng naøo saûn xuaát ra nhieàu nhaát?
P(A1)P(B/A1) 0,3.0,7 21
P(A1/B) =
P(A2/B) =
P(A3/B) =
=
=
;
P(B)
0,66
66
c) Choïn mua ngaãu nhieân 121 saûn phaåm X (trong raát nhieàu saûn phaåm X)
ôû thò tröôøng.
P(A2)P(B/A2) 0,45.0,5 22,5
=
=
;
.
P(B)
0,66
66
1) Tính xaùc suaát ñeå coù 80 saûn phaåm loaïi A.
2) Tính xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeán 85 saûn phaåm loaïi A.
P(A3)P(B/A3) 0,25.0,9 22,5
=
=
P(B)
0,66
66
Lôøi giaûi
Vì P(A2/B) = P(A3/B) > P(A1/B) neân saûn phaåm loaïi A aáy coù khaû naêng
do phaân xöôûng II hoaëc III saûn xuaát ra laø nhieàu nhaát.
Toùm taét:
Phaân xöôûng
Tæ leä saûn löôïng 30% 45% 25%
Tæ leä loaïi A 70% 50% 90%
I
II
III
c) Choïn mua ngaãu nhieân 121 saûn phaåm X (trong raát nhieàu saûn phaåm X)
ôû thò tröôøng.
1) Tính xaùc suaát ñeå coù 80 saûn phaåm loaïi A.
2) Tính xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeán 85 saûn phaåm loaïi A.
a) Ñeå tính tæ leä saûn phaåm loaïi A noùi chung do nhaø maùy saûn xuaát ta
choïn mua ngaãu nhieân moät saûn phaåm ôû thò tröôøng. Khi ñoù tæ leä saûn phaåm
loaïi A chính laø xaùc suaát ñeå saûn phaåm ñoù thuoäc loaïi A.
Aùp duïng coâng thöùc Bernoulli vôùi n = 121, p = 0,66, ta coù:
1) Xaùc suaát ñeå coù 80 saûn phaåm loaïi A laø
Goïi B laø bieán coá saûn phaåm choïn mua thuoäc loaïi A.
A1, A2, A3 laàn löôït laø caùc bieán coá saûn phaåm do phaân xöôûng I, II, III saûn
xuaát. Khi ñoù A1, A2, A3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø
P(A1) = 30% = 0,3; P(A2) = 45% = 0,45; P(A3) = 25% = 0,25.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P
121(80) = C80 p80q41 = C80 (0,66)80(0,34)41 = 0,076.
121 121
2) Xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeán 85 saûn phaåm loaïi A laø
P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3)
85
85
85
P121(k) =
C1k21pkq121−k
=
C1k21(0,66)k (0,34)121−k = 0,3925.
∑
∑
∑
k=80
k=80
k=80
Theo giaû thieát,
P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A2) = 50% = 0,5; P(B/A3) = 90% = 0,9.
7
8
P(A2/B) vaø P(A3/B). Neáu P(Ai/B) laø lôùn nhaát thì cöûa haøng thöù i coù nhieàu
khaû naêng ñöôïc choïn nhaát.
Theo coâng thöùc Bayes ta coù:
Baøi 1.6: Coù ba cöûa haøng I, II vaø III cuøng kinh doanh saûn phaåm Y. Tæ leä
saûn phaåm loaïi A trong ba cöûa haøng I, II vaø III laàn löôït laø 70%, 75% vaø
50%. Moät khaùch haøng choïn nhaãu nhieân moät cöûa haøng vaø töø ñoù mua moät
saûn phaåm
P(A1)P(B/A1) (1/ 3).0,7
70
195
a) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A.
b) Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, khaû naêng ngöôøi
khaùch haøng aáy ñaõ choïn cöûa haøng naøo laø nhieàu nhaát?
P(A1/B) =
P(A2/B) =
P(A3/B) =
=
=
;
P(B)
0,65
P(A2)P(B/A2) (1/ 3).0,75
75
195
=
=
;
P(B)
0,65
Lôøi giaûi
P(A3)P(B/A3) (1/ 3).0,5
50
195
=
=
.
P(B)
0,65
Toùm taét:
Cöûa haøng
Tæ leä loaïi A 70% 75% 50%
I
II
III
Vì P(A2/B) > P(A1/B) > P(A3/B) neân cöûa haøng II coù nhieàu khaû naêng ñöôïc
choïn nhaát.
Choïn nhaãu nhieân moät cöûa haøng vaø töø ñoù mua moät saûn phaåm.
a) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A.
Baøi 1.7: Coù hai hoäp I vaø II moãi hoäp chöùa 12 bi, trong ñoù hoäp I goàm 8 bi
ñoû, 4 bi traéng; hoäp II goàm 5 bi ñoû, 7 bi traéng. Laáy ngaãu nhieân töø hoäp I
ba bi roài boû sang hoäp II; sau ñoù laáy ngaãu nhieân töø hoäp II boán bi.
a) Tính xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc ba bi ñoû vaø moät bi traéng töø hoäp II.
b) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc ba bi ñoû vaø moät bi traéng töø hoäp II. Tìm xaùc suaát
ñeå trong ba bi laáy ñöôïc töø hoäp I coù hai bi ñoû vaø moät bi traéng.
Goïi B laø bieán coá saûn phaåm choïn mua thuoäc loaïi A.
A1, A2, A3 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn cöûa haøng I, II, III. Khi ñoù A1, A2,
A3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø
Lôøi giaûi
P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/ A2)+ P(A3)P(B/A3)
Theo giaû thieát,
Goïi A laø bieán coá choïn ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II.
Ai (i = 0, 1, 2, 3) laø bieán coá coù i bi ñoû vaø (3-i) bi traéng coù trong 3 bi choïn
ra töø hoäp I. Khi ñoù A0, A1, A2, A3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø
ta coù:
P(B/A1) = 70% = 0,7;
P(B/A2) = 75% = 0,75;
P(B/A3 = 50% = 0,5.
0
3
4
220
C8C4
P(A0) =
P(A1) =
P(A2) =
P(A3) =
=
=
=
=
;
;
;
.
3
C12
Suy ra P(B) = 0,65 = 65%. Vaäy xaùc suaát ñeå khaùch haøng mua ñöôïc saûn
phaåm loaïi A laø 65%.
1
2
48
220
C8C4
3
C12
2
1
b) Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, khaû naêng ngöôøi
khaùch haøng aáy ñaõ choïn cöûa haøng naøo laø nhieàu nhaát?
112
220
C8C4
3
C12
3
0
Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù,
ñeå bieát saûn phaåm loaïi A ñoù coù khaû naêng khaùch haøng aáy ñaõ choïn cöûa
haøng naøo laø nhieàu nhaát ta caàn so saùnh caùc xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/B),
56
220
C8C4
3
C12
a) Tính xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II.
9
10
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
Lôøi giaûi
P(A)=P(A0)P(A/A0)+P(A1)P(A/A1)+P(A2)P(A/A2)+P(A3)P(A/A3)
Theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn, ta coù
a) Goïi Aj (j = 1, 2, 3) laø bieán coá laáy ñöôïc bi traéng töø hoäp thöù j. Khi ñoù A1,
A2, A3 ñoäc laäp vaø
3
1
100
1365
C5C10
P(A / A0) =
P(A / A1) =
P(A / A2) =
P(A / A3) =
=
;
4
1
5
2
4
5
3
5
2
5
P(A1) = ; P(A1) =
;
;
.
C15
3
1
180
1365
C6C9
=
;
P(A2) = ;P(A2) =
4
5
3
C15
3
1
P(A3) = ;P(A3) =
280
1365
C7C8
5
=
=
;
.
4
C15
1) Goïi A laø bieán coá laáy ñöôïc caû 3 bi traéng. Ta coù
3
1
A = A1A2A3.
392
1365
C8C7
Suy ra P(A) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0,048.
4
C15
2) Goïi B laø bieán coá laáy 2 bi ñen, 1 bi traéng. Ta coù
B = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3
Suy ra P(B) =0,464 .
Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø P(A) = 0,2076.
b) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II. Tìm xaùc suaát ñeå
trong 3 bi laáy ñöôïc töø hoäp I coù 2 bi ñoû vaø 1 bi traéng.
3) Giaû söû trong 3 vieân laáy ra coù ñuùng 1 bi traéng. Khi ñoù bieán coá B
ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå bi traéng ñoù laø cuûa hoäp thöù nhaát trong tröôøng
hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/B). Theo coâng thöùc Nhaân xaùc
suaát ta coù:
P(A1B) = P(B)P(A1/B)
Suy ra
Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II. Khi ñoù bieán coá A ñaõ
xaûy ra. Do doù xaùc suaát ñeå trong 3 bi laáy ñöôïc töø hoäp I coù 2 bi ñoû vaø 1 bi
traéng trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A2/A). Aùp
duïng coâng thöùc Bayes, ta coù:
112 280
.
P(A1B)
P(B)
P(A2)P(A/A2)
220 1365
P(A1/B) =
.
P(A2/A) =
=
= 0,5030.
P(A)
0,2076
Maø A1B = A1A2A3 neân lyù luaän töông töï nhö treân ta ñöôïc P(A1B) = 0,048.
Suy ra
Vaäy xaùc suaát caàn tìm laø P(A2/A) = 0,5030.
P(A1/B) =0,1034 .
Baøi 1.8: Coù ba hoäp moãi hoäp ñöïng 5 vieân bi trong ñoù hoäp thöù nhaát coù 1 bi
traéng, 4 bi ñen; hoäp thöù hai coù 2 bi traéng, 3 bi ñen; hoäp thöù ba coù 3 bi
traéng, 2 bi ñen.
b) Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ngaãu nhieân ra 3 bi.
Tính xaùc suaát ñöôïc caû 3 bi ñen.
a) Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp moät bi.
Goïi A laø bieán coá laáy ñöôïc caû 3 bi ñen.
1) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc caû 3 bi traéng.
A1, A2, A3 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc hoäp I, II, III. Khi ñoù A1, A2,
A3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø
P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/ A2)+ P(A3)P(A/A3)
Theo coâng thöùc xaùc suaát löïa choïn, ta coù:
2) Tính xaùc suaát ñöôïc 2 bi ñen, 1 bi traéng.
3) Giaû söû trong 3 vieân laáy ra coù ñuùng 1 bi traéng.Tính xaùc suaát ñeå bi
traéng ñoù laø cuûa hoäp thöù nhaát.
b) Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ngaãu nhieân ra 3 bi.
Tính xaùc suaát ñöôïc caû 3 bi ñen.
11
12
Aùp duïng Coâng thöùc Bayes vaø söû duïng keát quaû vöøa tìm ñöôïc ôû caâu a) ta
C10C34
C53
4
10
C02C33
C53
1
10
coù
P(A/A1) =
=
;P(A/A2) =
=
;P(A/A3) =0.
P(A1)P(A/A1) (10/20).0,375
P(A1/A) =
=
= 0,4630.
P(A)
0,4050
Suy ra P(A) = 0,1667.
Baøi 1.10: Coù 10 sinh vieân ñi thi, trong ñoù coù 3 thuoäc loaïi gioûi, 4 khaù vaø 3
trung bình. Trong soá 20 caâu hoûi thi qui ñònh thì sinh vieân loïai gioûi traû lôøi
ñöôïc taát caû, sinh vieân khaù traû lôøi ñöôïc 16 caâu coøn sinh vieân trung bình
ñöôïc 10 caâu. Goïi ngaãu nhieân moät sinh vieân vaø phaùt moät phieáu thi goàm
4 caâu hoûi thì anh ta traû lôøi ñöôïc caû 4 caâu hoûi. Tính xaùc suaát ñeå sinh vieân
ñoù thuoäc loaïi khaù.
Baøi 1.9: Coù 20 hoäp saûn phaåm cuøng loïai, moãi hoäp chöùa raát nhieàu saûn
phaåm, trong ñoù coù 10 hoäp cuûa xí nghieäp I, 6 hoäp cuûa xí nghieäp II vaø
4 hoäp cuûa xí nghieäp III. Tæ leä saûn phaåm toát cuûa caùc xí nghieäp laàn
löôït laø 50%, 65% vaø 75%. Laáy ngaãu nhieân ra moät hoäp vaø choïn ngaãu
nhieân ra 3 saûn phaåm töø hoäp ñoù.
a) Tính xaùc suaát ñeå trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaåm
toát.
b) Giaû söû trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaååm toát. Tính
xaùc suaát ñeå 2 saûn phaåm toát ñoù cuûa xí nghieäp I.
Lôøi giaûi
Toùm taét:
Xeáp loaïi sinh vieân
Soá löôïng
Gioûi Khaù Trung bình
Lôøi giaûi
3
4
3
Soá caâu traû lôøi ñöôïc/20
20
16
10
Goïi A laø bieán coá trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaåm toát.
Aj (j = 1, 2, 3) laø bieán coá choïn ñöôïc hoäp cuûa xí nghieäp thöù j.
Khi ñoù A1, A2, A3 laø moät ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
Goïi A laø bieán coá sinh vieân traû lôøi ñöôïc caû 3 caâu hoûi.
A1, A2, A3 laàn löôït laø caùc bieán coá sinh vieân thuoäc loaïi Gioûi, Khaù;
Trung bình.
1
10
20
C10
P(A1) =
P(A2) =
P(A3) =
=
=
=
;
1
C20
1
Yeâu caàu cuûa baøi toaùn laø tính xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A2/A).
6
20
C6
;
1
Caùc bieán coá A1, A2, A3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi, vaø ta coù:
P(A1) = 3/10; P(A2) = 4/10; P(A3) = 3/10.
Theo coâng thöùc Bayes, ta coù
C20
1
4
20
C4
.
1
C20
P(A2)P(A/A2)
P(A2/A) =
.
Maët khaùc, töø giaû thieát, theo coâng thöùc Bernoulli, ta coù
P(A)
Maët khaùc, theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3).
P(A / A1) = C32(0,5)2(1 − 0,5) = 0,375
P(A / A2) = C23(0,65)2(1 − 0,65) = 0,443625
P(A / A3) = C23(0,75)2(1 − 0,25) = 0,421875
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3)
= (10/20).0,375 + (6/20). 0,443625 + (4/20). 0,421875 = 0,4050.
b) Giaû söû trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaååm toát. Khi ñoù,
bieán coá A ñaõ xaûy ra. Do ñoù, xaùc suaát ñeå 2 saûn phaåm toát ñoù cuûa xí
nghieäp I chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/A).
Theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn, ta coù:
C420
P(A / A1) =
P(A / A2) =
P(A / A3) =
= 1;
C420
C146C04 1820
=
;
C420
4845
C140C100
210
4845
=
.
C420
13
14
Suy ra P(A2/A) = 0,3243.
- Bi vaø Cj ñoäc laäp.
Baøi 1.11: Coù hai hoäp I vaø II, trong ñoù hoäp I chöùa 10 bi traéng vaø 8 bi ñen;
hoäp II chöùa 8 bi traéng vaø 6 bi ñen. Töø moãi hoäp ruùt ngaãu nhieân 2 bi boû ñi,
sau ñoù boû taát caû caùc bi coøn laïi cuûa hai hoäp vaøo hoäp III (roãng). Laáy ngaãu
nhieân 2 bi töø hoäp III. Tính xaùc suaát ñeå trong 2 bi laáy töø hoäp III coù 1
traéng, 1 ñen.
- Toång soá bi traéng coù trong 4 bi choïn ra phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá Bi vaø
Cj theo baûng sau:
C0 C1 C2
B0
B1
B2
0
1
2
1
2
3
2
3
4
Lôøi giaûi
Goïi A laø bieán coá bi laáy ñöôïc 1 traéng, 1 ñen.
Aj (j = 0, 1, 2, 3, 4) laø bieán coá coù j bi traéng vaø (4-j) bi ñen coù trong 4
A0 = B0C0
⇒ P(A0) = P(B0)P(C0) = 20/663.
bi boû ñi (töø caû hai hoäp I vaø II). Khi ñoù A0, A1, A2 , A3, A4 laø moät heä ñaày ñuû,
A1 = B0C1 + B1C0
⇒ P(A1) = P(B0)P(C1 ) + P(B1)P(C0) = 848/4641.
xung khaéc töøng ñoâi.
A2 = B0C2 + B1C1 + B2C0 ⇒ P(A2) = P(B0)P(C2)+P(B1)P(C1)+P(B2)P(C0)
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2)+ P(A3)P(A/A3) +
=757/1989.
A3 = B1C2 + B2C1
A4 = B2C2
⇒ P(A3) = P(B1)P(C2)+P(B2)P(C1) = 4400/13923.
⇒ P(A4) = P(B2)P(C2) = 20/221.
P(A4)P(A/A4).
trong ñoù
C118C110 10
Töø ñoù suy ra P(A) = 0,5080.
P(A/A0) =
=
(Vì khi A0 ñaõ xaûy ra thì trong hoäp III coù 28 bi goàm
C228
21
18 traéng , 10 ñen).
Töông töï,
Baøi 1.12: Coù hai hoäp cuøng côõ. Hoäp thöù nhaát chöùa 4 bi traéng 6 bi xanh,
hoäp thöù hai chöùa 5 bi traéng vaø 7 bi xanh. Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài
töø hoäp ñoù laáy ra 2 bi thì ñöôïc 2 bi traéng. Tính xaùc suaát ñeå vieân bi tieáp
theo cuõng laáy töø hoäp treân ra laïi laø bi traéng.
C117C111 187
C116C112 32
P(A/A1) =
=
;P(A/A2) =
;P(A/A4) =
=
;
.
C228
C228
378
63
C115C113
65
126
C114C114 14
P(A/A3) =
=
=
C228
C228
27
Lôøi giaûi
Baây giôø ta tính P(A0); P(A1); P(A2); P(A3); P(A4).
Goïi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) laàn löôït laø caùc bieán coá coù i bi traéng vaø (2 - i) bi
ñen coù trong 2 bi ñöôïc choïn ra töø hoäp I, hoäp II. Khi ñoù
Goïi A1 laø bieán coá 2 bi laáy ñaàu tieân laø bi traéng.
A2 laø bieán coá bi laáy laàn sau laø bi traéng.
Baøi toùan yeâu caàu tính P(A2/A1).
Theo coâng thöùc nhaân xaùc suaát, ta coù P(A1A2) = P(A1) P(A2/A1). Suy ra
- B0, B1, B2 xung khaéc vaø ta coù:
0
2
1
1
2
0
28
153
80
153
5
17
C10C8
C10C8
C10C8
P(A1A2)
P(A1)
P(B0) =
=
; P(B1) =
=
;P(B2) =
=
.
2
2
2
P(A2 / A1) =
.
C18
C18
C18
Baây giôø ta tính caùc xaùc suaát P(A1) vaø P(A1A2).
- C0, C1, C2 xung khaéc vaø ta coù:
Goïi B1, B2 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc hoäp I, hoäp II. Khi ñoù B1, B2
laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: P(B1) = P(B2) = 0,5.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
0
2
1
1
2
0
15
91
48
91
28
91
C8C6
C8C6
C8C6
P(C0) =
=
;P(C1) =
=
;P(C2) =
=
.
2
2
2
P(A1) = P(B1) P(A1/ B1) + P(B2) P(A1/ B2)
C14
C14
C14
15
16
a
a −1
Maø
.
a −1
a + b−1
2
0
a + b a + b−1
P(A1 / A) =
=
6
45
C4C6
a
a −1
b
a
P(A1 / B1) =
P(A1 / B2) =
=
=
;
.
.
+
.
.
2
a + b a + b−1 a + b a + b−1
C10
2
0
10
66
C5C7
Baøi 1.14: Coù 3 hoäp phaán, trong ñoù hoäp I chöùa 15 vieân toát vaø 5 vieân xaáu,
hoäp II chöùa 10 vieân toát vaø 4 vieân xaáu, hoäp III chöùa 20 vieân toát vaø 10 vieân
xaáu. Ta gieo moät con xuùc xaéc caân ñoái. Neáu thaáy xuaát hieän maët 1 chaám thì
ta choïn hoäp I; neáu xuaát hieän maët 2 hoaëc 3 chaám thì choïn hoäp II, coøn xuaát
hieän caùc maët coøn laïi thì choïn hoäp III. Töø hoäp ñöôïc choïn laáy ngaãu nhieân
ra 4 vieân phaán. Tìm xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc ít nhaát 2 vieân toát.
2
C12
neân
P(A1) = 47/330.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(A1A2) = P(B1) P(A1A2/ B1) + P(B2) P(A1A2/ B2).
Maø
6 2
45 8 30
10 3
1
P(A1A2 / B1) = P(A1 / B1)P(A2 / A1B1) =
=
;
Lôøi giaûi
1
P(A1A2 / B2) = P(A1 / B2)P(A2 / A1B2) =
=
.
Goïi A laø bieán coá choïn ñöôïc ít nhaát 2 vieân phaán toát.
Aj (j =1,2, 3) laø bieán coá choïn ñöôïc hoäp thöù j. Khi ñoù A1, A2, A3 laø heä
ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
66 10 22
neân P(A1A2) = 13/330. Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø P(A2/A1) =13/47= 0,2766.
-
-
A1 xaûy ra khi vaø chæ khi thaûy con xuùc xaéc, xuaát hieän maët 1 chaám, do
ñoù P(A1) = 1/6.
Baøi 1.13: Moät loâ haøng goàm a saûn phaåm loaïi I vaø b saûn phaåm loaïi II ñöôïc
ñoùng gôùi ñeå göûi cho khaùch haøng. Nôi nhaän kieåm tra laïi thaáy thaát laïc 1
saûn phaåm. Choïn ngaãu nhieân ra 1 saûn phaåm thì thaáy ñoù laø saûn phaåm loaïi
I. Tính xaùc suaát ñeå saûn phaåm thaát laïc cuõng thuoäc loaïi I.
Töông töï,
P(A2) = 2/6;
P(A3) = 3/6.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3).
Töø giaû thieát ta coù:
Lôøi giaûi
C125C52 C135C15 C145C50 4690
Goïi A laø bieán coá saûn phaåm ñöôïc choïn ra thuoäc loïai I.
P(A / A1) =
+
+
=
;
;
C420
C420
C240
4845
A1, A2 laàn löôït laø caùc bieán coá saûn phaåm thaát laïc thuoäc loaïi I, loaïi II.
Yeâu caàu cuûa baøi toaùn laø tính xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/A).
Ta thaáy A1, A2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø
C120C42 C130C14 C140C40
960
1001
P(A / A2) =
P(A / A3) =
+
+
=
C144
C144
C144
C1aC0b
C1a+b
a
C0aC1b
C1a+b
b
P(A1) =
=
;
P(A2) =
=
.
C220C120 C230C110 C240C100 24795
+
+
=
.
a + b
a + b
C430
C430
C430
27405
Theo coâng thöùc Bayes, ta coù
P(A1)P(A / A1)
P(A1)P(A / A1)
P(A1 / A) =
=
Suy ra P(A) =0,9334.
P(A)
P(A1)P(A / A1) + P(A2)P(A / A2)
Maø
Baøi 1.15: Coù hai kieän haøng I vaø II. Kieän thöù nhaát chöùa 10 saûn phaåm,
trong ñoù coù 8 saûn phaåm loaïi A. Kieän thöù hai chöùa 20 saûn phaåm, trong ñoù
coù 4 saûn phaåm loaïi A. Laáy töø moãi kieän 2 saûn phaåm. Sau ñoù, trong 4 saûn
phaåm thu ñöôïc choïn ngaãu nhieân 2 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå trong 2
saûn phaåm choïn ra sau cuøng coù ñuùng 1 saûn phaåm loaïi A.
C1a−1C0b
C1aC0b−1
a − 1
a + b − 1
a
P(A / A1) =
=
;
P(A / A2) =
=
.
C1a+b−1
C1a+b−1
a + b − 1
neân
Lôøi giaûi
17
18
0
2
120
190
C4C16
P(C0) =
P(C1) =
P(C2) =
=
=
=
;
;
;
2
Goïi C laø bieán coá trong 2 saûn phaåm choïn ra sau cuøng coù ñuùng 1 saûn
phaåm loaïi A.
Aj (j = 0, 1, 2, 3, 4 ) laø bieán coá coù j saûn phaåm loïai A vaø (4-j) saûn
phaåm loïai B coù trong 4 saûn phaåm laáy töø hai kieän I vaø II. Khi ñoù A0, A1,
A2, A3, A4 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi. Theo coâng thöùc xaùc suaát
ñaày ñuû, ta coù
C20
1
1
64
190
C4C16
2
C20
2
0
6
190
C4C16
2
C20
P(C) = P(A0)P(C/A0) + P(A1)P(C/A1) + P(A2)P(C/A2) + P(A3)P(C/A3)
+ P(A4)P(C/A4).
- Bi vaø Cj ñoäc laäp.
- Toång soá sp A coù trong 4 sp choïn ra phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá Bi vaø
Cj theo baûng sau:
Ta coù:
P(C/A0) = 0;
C11C13
3
6
C0 C1 C2
P(C/A1) =
P(C/A2) =
P(C/A3) =
=
=
=
C42
B0
B1
B2
0
1
2
1
2
3
2
3
4
C12C12
4
6
C42
C13C11
C42
Ta coù:
3
6
A1 = B0C1 + B1C0 .
A2 = B0C2 + B1C1 + B2C0 .
A3 = B1C2 + B2C1 .
P(C/A4) =0.
Baây giôø ta tính P(A1); P(A2); P(A3).
Goïi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) laàn löôït laø caùc bieán coá coù i sp A vaø (2 - i) sp B
coù trong 2 sp ñöôïc choïn ra töø kieän I, kieän II. Khi ñoù
- B0, B1, B2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
Töø ñaây, nhôø caùc coâng thöcù coäng vaø nhaân xaùc suaát ta tính ñöôïc:
P(A1) = 0,2320 ; P(A2) = 0,5135
; P(A3) = 0,2208 .
0
2
1
45
Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø P(C) = 0,5687.
C8C2
P(B0) =
P(B1) =
P(B2) =
=
=
=
;
;
.
2
C10
Baøi 1.16: Moät xaï thuû baén 10 vieân ñaïn vaøo moät muïc tieâu. Xaùc suaát ñeå 1
vieân ñaïn baén ra truùng muïc tieâu laø 0,8 . Bieát raèng: Neáu coù 10 vieân truùng
thì muïc tieâu chaéc chaén bò dieät. Neáu coù töø 2 ñeán 9 vieân truùng thì muïc tieâu
bò dieät vôiù xaùc suaát 80%. Neáu coù 1 vienâ truùng thì muïc tieâu bò dieät vôùi xaùc
suaát 20%.
1
1
16
45
C8C2
2
C10
2
0
28
45
C8C2
2
a) Tính xaùc suaát ñeå muïc tieâu bò dieät.
b) Giaû söû muïc tieâu ñaõ bò dieät. Tính xaùc suaát coù 10 vieân truùng.
C10
- C0, C1, C2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
Lôøi giaûi
Toùm taét:
-
-
Soá vieân baén ra: 10 vieân.
Xaùc suaát truùng cuûa moãi vieân: 0,8.
19
20
Lôøi giaûi
Soá vieân truùng
1
2-9
10
Xaùc suaát muïc tieâu bò dieät 20% 80% 100%
Goïi Aj (j = 0, 1, 2) laø caùc bieán coá coù j saûn phaåm loaïi A vaø (2-j) saûn
phaåm khoâng thuoäc loaïi A coù trong 2 saûn phaåm do maùy saûn xuaát.
Goïi Bj (j = 0, 1, 2, 3) laø caùc bieán coá coù j saûn phaåm loaïi A vaø (3-j) saûn
phaåm khoâng thuoäc loaïi A coù trong 3 saûn phaåm laáy töø loâ haøng.
Khi ñoù
a) Goïi A laø bieán coá muïc tieâu bò dieät.
A0, A1, A2, A3 laàn löôït laø caùc bieán coá coù 0; 1; 2-9; 10 vieân truùng. Khi
ñoù, A0, A1, A2, A3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø giaû thieát cho
ta:
- A0, A1, A2 xung khaéc töøng ñoâi vaø theo coâng thöùc Bernoulli vôùi n = 2; p
= 0,6; q = 0,4 ta coù:
P(A/A0) = 0; P(A/A1) = 20% = 0,2;
P(A/A2) = 80%= 0,8; P(A/A3) = 100% = 1.
P(A0) = 0p0q2 = (0,4)2 = 0,16;
C2
P(A1) = 1p1q1 = 2(0,6)(0,4) = 0,48;
C2
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(A2) = 2p2q0 = (0,6)2 = 0,36.
C2
P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3).
- B0, B1, B2 , B3 xung khaéc töøng ñoâi vaø theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa
choïn vôùi N = 10, NA = 6, n= 3 ta coù (vì loâ haøng goàm 10 saûn phaåm vôùi tæ
leä saûn phaåm loaïi A laø 60%, nghóa laø loâ haøng goàm 6 saûn phaåm loaïi A vaø 4
saûn phaåm khoâng thuoäc loaïi A):
Theo coâng thöùc Bernoulli vôùi n =10; p = 0,8, q = 0,2, ta coù
P(A0) = q10 = (0,2)10;
1
P(A1) = C pq9 = 10(0,8)(0,2)9;
0
3
10
4
120
C6C4
P(B0) =
P(B1) =
P(B2) =
P(B3) =
=
=
=
=
;
;
;
.
P(A3) = p10 = (0,8)10;
3
C10
P(A2) = 1− P(A0) − P(A1) − P(A3) = 1− (0,2)10 −10(0,8)(0,2)9 − (0,8)10.
1
2
36
120
C6C4
3
Suy ra P(A) = 0,8215.
C10
2
1
b) Giaû söû muïc tieâu ñaõ bò dieät. Khi ñoù bieán coá A ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc
suaát coù 10 vieân truùng trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän
P(A3/A).
60
120
C6C4
3
C10
3
0
20
120
Theo coâng thöùc Bayes, ta coù:
C6C4
3
C10
P(A3)P(A / A3)
P(A3 / A) =
- Ai vaø Bj ñoäc laäp.
P(A)
Töø ñaây ta tính ñöôïc P(A3/A) = 0,1307.
a) Goïi C laø bieán coá soá saûn phaåm loaïi A coù trong 2 saûn phaåm do maùy saûn
xuaát baèng soá saûn phaåm loaïi A coù trong 2 saûn phaåm ñöôïc laáy ra töø loâ haøng.
Ta coù:
Baøi 1.17: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm loaïi A laø 60%.
Moät loâ haøng goàm 10 saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm loaïi A laø 60%. Cho maùy
saûn xuaát 2 saûn phaåm vaø töø loâ haøng laáy ra 3 saûn phaåm.
C = A0B0 + A1B1 + A2B2.
a) Tính xaùc suaát ñeå soá saûn phaåm loaïi A coù trong 2 saûn phaåm do maùy saûn
xuaát baèng soá saûn phaåm loaïi A coù trong 3 saûn phaåm ñöôïc laáy ra töø loâ haøng.
b) Giaû söû trong 5 saûn phaåm thu ñöôïc coù 2 saûn phaåm loaïi A. Tính xaùc suaát
ñeå 2 saûn phaåm loaïi A ñoù ñeàu do maùy saûn xuaát.
Töø ñaây, do tính xung khaéc vaø ñoäc laäp, caùc coâng thöùc coäng vaø nhaân xaùc
suaát cho ta:
P(C) = P(A0)P(B0)+ P(A1)P(B1)+ P(A2)P(B2) = 0,3293.
21
22
b) Goïi D laø bieán coá coù 2 saûn phaåm loaïi A trong 5 saûn phaåm coù ñöôïc.
Giaû söû trong 5 saûn phaåm treân coù 2 saûn phaåm loaïi A. Khi ñoù bieán coá D ñaõ
xaûy ra. Do ñoù, xaùc suaát ñeå 2 saûn phaåm loaïi A ñoù ñeàu do maùy saûn xuaát
chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A2/D).
a) Goïi A laø bieán coá laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3).
Theo coâng thöùc nhaân xaùc suaát ta coù:
P(A2D)
P(D)
Töø giaû thieát ta suy ra trong loâ I coù 15.60% = 9 sp toát vaø 6 sp xaáu. Do ñoù
theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn, ta coù:
P(A2/D) =
.
C19C19
C128
81
Nhaän xeùt raèng toång soá saûn phaåm loaïi A coù trong 5 saûn phaåm thu ñöôïc
phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá Ai vaø Bj theo baûng sau:
P(A / A0) =
P(A / A1) =
P(A / A2) =
P(A / A3) =
=
;
153
C110C18
80
153
=
;
;
.
B0 B1 B2 B3
C128
A0
A1
A2
0
1
2
1
2
3
2
3
4
3
4
5
C111C17
C128
77
153
=
=
C112C16
72
153
Suy ra
C128
D = A0 B2 + A1B1 + A2B0
vaø
A2D = A2B0 .
Töø ñaây, ta tính ñöôïc P(D) = 0,236 ; P(A2D) = 0,012. Suy ra xaùc suaát caàn
tìm laø
Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø: P(A) = 0,5035
b) Goïi B laø bieán coá laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I, trong ñoù sp toát coù
trong loâ I töø tröôùc. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(A2/D) = 0,0508.
Baøi 1.18: Coù hai loâ haøng, moãi loâ chöùa 60% saûn phaåm toát, trong ñoù loâ I
chöùa 15 saûn phaåm, loâ II chöùa raát nhieàu saûn phaåm. Töø loâ II laáy ra 3 saûn
phaåm boû vaøo loâ I, sau ñoù töø loâ I laáy ra 2 saûn phaåm.
P(B) = P(A0)P(B/A0) + P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3).
Ta coù:
a)
b)
Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I.
Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I, trong ñoù sp toát coù
trong loâ I töø tröôùc.
C19C19
C128
81
153
P(B / A0) =
P(B / A1) =
P(B / A2) =
P(B / A3) =
=
=
=
=
;
;
;
.
C19C18
72
153
c)
Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I. Tính xaùc suaát ñaõ laáy
ñöôïc 2sp toát, 1sp xaáu töø loâ II.
C128
C19C17
C128
63
153
Lôøi giaûi
Goïi Aj (j = 0,1, 2, 3) laø bieán coá coù j saûn phaåm toát vaø (3-j) saûn phaåm xaáu coù
trong 3 saûn phaåm ñöôïc choïn ra töø loâ II. Khi ñoù A0, A1, A2, A3 laø moät heä
ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi. Theo coâng thöùc Bernoulli ta coù:
P(A0) = C03p0q3 = (0,4)3 = 0,064;
C19C16
54
153
C128
Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø: P(B) = 0,4235.
P(A1) = C13p1q2 = 3(0,6)1(0,4)2 = 0,288;
P(A2) = C23p2q1 = 3(0,6)2(0,4)1 = 0,432;
P(A3) = C33p3q0 = (0,6)3 = 0,216.
c) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I. Khi ñoù bieán coá A ñaõ xaûy ra.
Do ñoù xaùc suaát ñaõ laáy ñöôïc 2sp toát, 1sp xaáu töø loâ II trong tröôøng hôïp naøy
chính laø XS coù ñieàu kieän P(A2/A). Theo coâng thöùc Bayes, ta coù:
23
24
77
153
0,5035
0,432.
P(A2)P(A / A2)
P(A)
P(A2 / A) =
=
= 0,4318.
-------------- * -------------
25
a) Xaùc suaát coù ít nhaát 1 chai bia Saøi Goøn bò beå laø
e−220
BAØI GIAÛI
XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
P(X1 ≥ 1) = 1 − P(X1 = 0) = 1 −
= 1 − e−2 = 0,8647.
(GV: Traàn Ngoïc Hoäi – 2009)
0!
b) Tính xaùc suaát ñeå laùi xe ñöôïc thöôûng.
Theo giaû thieát, laùi xe ñöôïc thöôûng khi coù khoâng quaù 1 chai bò beå, nghóa
laø
CHÖÔNG 2
ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN
VAØ PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT
X1 + X2 + X3 ≤ 1.
Vì X1 ∼ P(2);X2 ∼ P(2,2); X3 ∼ P(2,4) neân X1 + X2 + X3 ∼ P(2+2,2 + 2,4) =
P(6,6)
Baøi 2.1: Nöôùc giaûi khaùt ñöôïc chôû töø Saøi Goøn ñi Vuõng Taøu. Moãi xe chôû
1000 chai bia Saøi Goøn, 2000 chai coca vaø 800 chai nöôùc traùi caây. Xaùc suaát
ñeå 1 chai moãi loaïi bò beå treân ñöôøng ñi töông öùng laø 0,2%; 0,11% vaø 0,3%.
Neáu khoâng quaù 1 chai bò beå thì laùi xe ñöôïc thöôûng.
a) Tính xaùc suaát coù ít nhaát 1 chai bia Saøi Goøn bò beå.
b) Tính xaùc suaát ñeå laùi xe ñöôïc thöôûng.
Suy ra xaùc suaát laùi xe ñöôïc thöôûng laø:
P(X1 + X2 + X3 ≤ 1) = P[(X1 + X2 + X3 =0) + P(X1 + X2 + X3 = 1)]=
e
− 6,6 (6, 6)0
0 !
e
− 6,6 (6, 6)1
1 !
c) Laùi xe phaûi chôû ít maát maáy chuyeán ñeå xaùc suaát coù ít nhaát moät chuyeán
ñöôïc thöôûng khoâng nhoû hôn 0,9?
= 0,0103.
+
Lôøi giaûi
c) Laùi xe phaûi chôû ít maát maáy chuyeán ñeå xaùc suaát coù ít nhaát moät chuyeán
ñöôïc thöôûng khoâng nhoû hôn 0,9?
Toùm taét:
Loaïi
Bia
Saøi Coca
Nöôùc traùi caây
Goøn
1000
1 chai 0,2%
Goïi n laø soá chuyeán xe caàn thöïc hieän vaø A laø bieán coá coù ít nhaát 1 chuyeán
ñöôïc thöôûng. Yeâu caàu baøi toaùn laø xaùc ñònh n nhoû nhaát sao cho P(A) ≥ 0,9.
Bieán coá ñoái laäp cuûa A laø: A khoâng coù chuyeán naøo ñöôïc thöôûng.
Theo caâu b), xaùc suaát ñeå laùi xe ñöôïc thöôûng trong moät chuyeán laø p =
0,0103. Do ñoù theo coâng thöùc Bernoulli ta coù:
Soá löôïng/chuyeán
Xaùc suaát
beå
2000 800
0,11% 0,3%
P(A) = 1 − P(A) = 1 − qn = 1 − (1 − 0,0103)n
-
Goïi X1 laø ÑLNN chæ soá chai bia SG bò beå trong moät chuyeán. Khi ñoù,
X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1,p1) vôùi n1 = 1000 vaø p1 = 0,2% =
0,002. Vì n1 khaù lôùn vaø p1 khaù beù neân ta coù theå xem X1 coù phaân phaân
phoái Poisson:
X1 ∼ P(a1) vôùi a1 = n1p1 = 1000.0,002 = 2, nghóa laø
X1 ∼ P(2).
Töông töï, goïi X2 , X3 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá chai bia coca, chai
nöôùc traùi caây bò beå trong moät chuyeán. Khi ñoù, X2 , X3 coù phaân phoái
Poisson:
= 1 − (0,9897)n.
Suy ra
P(A) ≥ 0,9 ⇔ 1 − (0,9897)n ≥ 0,9
⇔ (0,9897)n ≤ 0,1
⇔ n ln(0, 9897) ≤ ln 0,1
ln0,1
-
⇔ n ≥
≈ 222,3987
X2 ∼ P(2000.0,0011) = P(2,2);
X3 ∼ P(800.0,003) = P(2,4).
ln(0,9897)
⇔ n ≥ 223.
1
2
Vaäy laùi xe phaûi chôû ít nhaát laø 223 chuyeán.
Theo giaû thieát, maùy tính ngöng hoaït ñoäng khi soá linh kieän hoûng nhieàu
hôn 1, nghóa laø khi
X1 + X2 + X3 > 1.
Baøi 2.2: Moät maùy tính goàm 1000 linh kieän A, 800 linh kieän B vaø 2000
linh kieän C. Xaùcsuaát hoûng cuûa ba linh kieän ñoù laàn löôït laø 0,02%; 0,0125%
vaø 0,005%. Maùy tính ngöng hoaït ñoäng khi soá linh kieän hoûng nhieàu hôn 1.
Caùc linh kieän hoûng ñoäc laäp vôùi nhau.
a) Tính xaùcsuaát ñeå coù ít nhaát 1 linh kieän B bò hoûng.
b) Tính xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng.
Vì X1 ∼ P(0,2);X2 ∼ P(0,1); X3 ∼ P(0,1) neân X1 + X2 + X3 ∼ P(0,2+0,1 +
0,1) = P(0,4)
Suy ra xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng laø:
P(X1 + X2 + X3 > 1) = 1 - P(X1 + X2 + X3 ≤ 1)
c) Giaû söû trong maùy ñaõ coù 1 linh kieän hoûng. Tính xaùc suaát ñeå maùy tính
ngöng hoaït ñoäng.
= 1- [P(X1 + X2 + X3 = 0) + P(X1 + X2 + X3 = 1)] =
e
−0,4(0,4)0
0!
e
−0,4(0,4)1
1!
1 −
−
Lôøi giaûi
= 1-1,4.e-0,4 = 0,0615 = 6,15%.
Toùm taét:
Loaïi linh kieän
Soá löôïng/1maùy
Xaùc suaát 1linh kieän hoûng 0,02% 0,0125% 0,005%
A
1000
B
800
C
2000
c) Giaû söû trong maùy ñaõ coù 1 linh kieän hoûng. Khi ñoù maùy tính ngöng
hoaït ñoäng khi coù theâm ít nhaát 1 linh kieän hoûng nöõa, nghóa laø khi
X1 + X2 + X3 ≥ 1.
-
-
Goïi X1 laø ÑLNN chæ soá linh kieän A bò hoûng trong moät maùy tính. Khi
ñoù, X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1,p1) vôùi n1 = 1000 vaø p1
=
Suy ra xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng trong tröôøng hôïp naøy laø:
0,02% = 0,0002. Vì n1 khaù lôùn vaø p1 khaù beù neân ta coù theå xem X1 coù
phaân phaân phoái Poisson:
P(X1 + X2 + X3 ≥ 1) = 1 - P(X1 + X2 + X3 < 1) = 1- P(X1 + X2 + X3 = 0)
X1 ∼ P(a1) vôùi a1 = n1p1 = 1000.0,0002 =0,2, nghóa laø
e
−0,4(0,4)0
0!
= 1 −
= 1-e-0,4 = 0,3297 = 32,97%.
X1 ∼ P(0,2).
Töông töï, goïi X2, X3 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá linh kieän B, C bò
hoûng trong moät maùy tính. Khi ñoù, X2 , X3 coù phaân phoái Poisson nhö
sau:
Baøi 2.3: Troïng löôïng cuûa moät loaïi saûn phaåm ñöôïc quan saùt laø moät ñaïi
löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån vôùi trung bình 50kg vaø phöông sai
100kg2 . Nhöõng saûn phaåm coù troïng löôïng töø 45kg ñeán 70kg ñöôïc xeáp vaøo
loaïi A. Choïn ngaãu nhieân 100 saûn phaåm (trong raát nhieàu saûn phaåm). Tính
xaùc suaát ñeå
X2 ∼ P(800.0,0125%) = P(0,1);
X3 ∼ P(2000.0,005%) = P(0,1).
a) coù ñuùng 70 saûn phaåm loaïi A.
b) coù khoâng quaù 60 saûn phaåm loaïi A.
c) coù ít nhaát 65 saûn phaåm loaïi A.
a) Xaùc suaát coù ít nhaát 1 linh linh kieän B bò hoûng laø:
Lôøi giaûi
e
−0,1(0,1)0
0!
P(X2 ≥ 1) = 1 − P(X2 = 0)= 1 −
= 1 − e−0,1 = 0,0952.
Tröôùc heát ta tìm xaùc suaát ñeå moät saûn phaåm thuoäc loaïi A.
b) Tính xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng.
3
4
Goïi X0 laø troïng löôïng cuûa loaïi saûn phaåm ñaõ cho. Töø giaû thieát ta suy ra
c) Xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 65 saûn phaåm loaïi A laø:
2
2
X0 coù phaân phoái chuaån X0 ∼ N(μ0, σ0 ) vôùi μ0 = 50, σ0 = 100 (σ0 = 10).
Vì moät saûn phaåm ñöôïc xeáp vaøo loaïi A khi coù troïng löôïng töø 45kg ñeán
70kg neân xaùc suaát ñeå moät saûn phaåm thuoäc loaïi A laø P(45 ≤ X0 ≤ 70).
100 − μ
65 − μ
σ
100 − 66,87
4,7068
65 − 66,87
4,7068
P (65 ≤ X ≤ 100) = ϕ(
) − ϕ(
) = ϕ(
) − ϕ(
)
σ
= ϕ(7,0388) − ϕ(−0,40) = ϕ(5) + ϕ(0,4) = 0,5 + 0,1554 = 0,6554 = 65,54%.
(Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ (7,7068)≈ ϕ (5) = 0,5; ϕ(0,4) =
0,1554).
Ta coù
70 − μ
σ0
45 − μ
σ0
70 − 50
10
45 − 50
10
P(45 ≤ X0 ≤ 70) = ϕ(
0 ) − ϕ(
0 ) = ϕ(
) − ϕ(
)
Baøi 2.4: Saûn phaåm trong moät nhaø maùy ñöôïc ñoùng thaønh töøng kieän, moãi
kieän goàm 14 saûn phaåm trong ñoù coù 8 saûn phaåm loaïi A vaø 6 saûn phaåm loaïi
B. Khaùch haøng choïn caùch kieåm tra nhö sau: töø moãi kieän laáy ra 4 saûn
phaåm; neáu thaáy soá saûn phaåm thuoäc loaïi A nhieàu hôn soá saûn phaåm thuoäc
loaïi B thì môùi nhaän kieän ñoù; ngöôïc laïi thì loaïi kieän ñoù. Kieåm tra 100
kieän (trong raát nhieàu kieän). Tính xaùc suaát ñeå
= ϕ(2) − ϕ(−0,5) = ϕ(2) + ϕ(0,5) = 0,4772 + 0,1915 = 0,6687.
(Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ (2) = 0,4772; ϕ (0,5) = 0,1915).
Vaäy xaùc suaát ñeå moät saûn phaåm thuoäc loaïi A laø p =0,6687.
a) coù 42 kieän ñöôïc nhaän.
b) coù töø 40 ñeán 45 kieän ñöôïc nhaän.
c) coù ít nhaát 42 kieän ñöôïc nhaän.
Baây giôø, kieåm tra 100 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi A coù trong
100 saûn phaåm ñöôïc kieåm tra, thì X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p)
Lôøi giaûi
vôùi n = 100,
p = 0,6687. Vì n = 100 khaù lôùn vaø p = 0,6687 khoâng
quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem
X coù phaân phoái
Tröôùc heát ta tìm xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän.
chuaån nhö sau:
Theo giaû thieát, moãi kieän chöùa 14 saûn phaåm goàm 8A vaø 6B. Töø moãi kieän
laáy ra 4 saûn phaåm; neáu thaáy soá saûn phaåm A nhieàu hôn soá saûn phaåm B,
nghóa laø ñöôïc 3A,1B hoaëc 4A, thì môùi nhaän kieän ñoù. Do ñoù xaùc suaát ñeå
moät kieän ñöôïc nhaän laø:
X ∼ N(μ, σ2)
vôùi
μ = np = 100.0,6687 = 66,87;
σ = npq = 100.0,6687.(1 − 0,6687) = 4,7068.
a) Xaùc suaát ñeå coù 70 saûn phaåm loaïi A laøø:
1
P (X = 70) = f(
σ
70 − μ
1
70 − 66,87
4,7068
C38C16 C48C06
) =
f(
)
P4(3 ≤ k ≤ 4) = P4(3) + P4(4) =
+
= 0,4056
σ
4,7068
C144
C144
1
0,3209
4,7068
=
f(0,66) =
= 0,0681 = 6,81%.
Vaäy xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän laø p = 0,4056.
4,7068
(Tra baûng giaù trò haøm Gauss ta ñöôïc f(0,66) = 0,3209).
Baây giôø, kieåm tra 100 kieän. Goïi X laø soá kieän ñöôïc nhaän trong 100 kieän
ñöôïc kieåm tra, thì X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) vôùi n = 100, p =
0,4056. Vì n = 100 khaù lôùn vaø p = 0,4056 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng
quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem X coù phaân phoái chuaån nhö sau:
X ∼ N(μ, σ2)
b) Xaùc suaát ñeå coù khoâng quaù 60 saûn phaåm loaïi A laø:
60 − μ
σ
0 − μ
σ
60 − 66,87
4,7068
0 − 66,87
4,7068
P (0 ≤ X ≤ 60) = ϕ(
) − ϕ(
) = ϕ(
) − ϕ(
)
vôùi
μ = np = 100.0,4056 = 40,56;
= ϕ(−1,46) − ϕ(−14,21) = −ϕ(1,46) + ϕ(14,21) = −ϕ(1,46) + ϕ(5)
= −0,4279 + 0,5 = 0,0721 = 7,21%.
σ = npq = 100.0,4056.(1 − 0,4056) = 4,9101.
a) Xaùc suaát ñeå coù 42 kieän ñöôïc nhaän laøø:
(Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ (14,21) = ϕ (5) = 0,5; ϕ(1,46) =
0,4279).
5
6
1
P (X = 42) = f(
σ
42 − μ
σ
1
42 − 40,56
4,9101
1
Lôøi giaûi
) =
f(
) =
f(0,29)
4,9101
4,9101
Tröôùc heát ta tìm xaùc suaát p ñeå moät kieän ñöôïc nhaän.
Goïi C laø bieán coá kieän haøng ñöôïc nhaän. Ta caàn tìm p = P(C).
Töø giaû thieát ta suy ra coù hai loaïi kieän haøng:
Loaïi I: goàm 6A, 4B chieám 0,9 = 90%.
0,3825
4,9101
=
= 0,0779 = 7,79%.
(Tra baûng giaù trò haøm Gauss ta ñöôïc f(0,29) = 0,3825).
Loaïi II: goàm 8A, 2B chieám 0,1 = 10%.
Goïi A1, A2 laàn löôït laø caùc bieán coá kieän haøng thuoäc loaïi I, II. Khi ñoù A1,
A2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù
P(A1) = 0,9; P(A2) = 0,1.
b) Xaùc suaát ñeå coù töø 40 ñeán 45 kieän ñöôïc nhaän laøø
45 − μ
40 − μ
45 − 40,56
40 − 40,56
P (40 ≤ X ≤ 45) = ϕ(
) − ϕ(
) = ϕ(
) − ϕ(
)
σ
σ
4,9101
4,9101
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû ta coù:
= ϕ(0,90) − ϕ(−0,11) = ϕ(0,90) + ϕ(0,11) = 0,3159 + 0,0438 = 0,3597 = 35,97%.
P(C) = P(A1) P(C/A1) + P(A2) P(C/A2).
(Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ (0,9) = 0,3519; ϕ (0,11) =
0,0438).
Theo giaû thieát, töø moãi kieän laáy ra 2 saûn phaåm; neáu caû 2 saûn phaåm thuoäc
loaïi A thì môùi nhaän kieän ñoù. Do ñoù:
c) Xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 42 kieän ñöôïc nhaän laøø
C26C04
C120
1
3
P(C / A1) = P2(2) =
=
;
100 − μ
42 − μ
100 − 40,56
42 − 40,56
4,9101
P (42 ≤ X ≤ 100) = ϕ(
) − ϕ(
) = ϕ(
) − ϕ(
)
σ
σ
4,9101
= ϕ(12) − ϕ(0,29) = 0,50 − 0,1141 = 0,3859 = 38,59%.
C28C02 28
P(C / A2) = P2(2) =
=
.
C120
45
(Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ(12) = ϕ(5) = 0,5; ϕ(0,29) =
0,1141).
Suy ra
P(C) = 0,9. (1/3) + 0,1.(28/45) = 0,3622.
Vaäy xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän laø p = 0,3622.
Baây giôø, kieåm tra 144 kieän. Goïi X laø soá kieän ñöôïc nhaän trong 144 kieän
ñöôïc kieåm tra, thì X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) vôùi n = 144, p =
0,3622. Vì n = 144 khaù lôùn vaø p = 0,3622 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng
quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem X coù phaân phoái chuaån nhö sau:
X ∼ N(μ, σ2)
Baøi 2.5: Saûn phaåm trong moät nhaø maùy ñöôïc ñoùng thaønh töøng kieän, moãi
kieän goàm 10 saûn phaåm Soá saûn phaåm loaïi A trong caùc hoäp laø X coù phaân
phoái nhö sau:
X
P
6
8
vôùi
μ = np = 144.0,3622 = 52,1568;
σ = npq = 144.0,3622.(1 − 0,3622) = 5,7676.
0,9
0,1
a) Xaùc suaát ñeå coù 53 kieän ñöôïc nhaän laø P(X=53) = 6,84% (Töông töï Baøi
21).
b) Xaùc suaát ñeå coù töø 52 ñeán 56 kieän ñöôïc nhaän laø P(52 ≤ X ≤ 56) =
26,05% (Töông töï Baøi 21).
c) Phaûi kieåm tra ít nhaát bao nhieâu kieän ñeå xaùc suaát coù ít nhaát 1 kieän
ñöôïc nhaän khoâng nhoû hôn 95%?
Khaùch haøng choïn caùch kieåm tra nhö sau: töø moãi kieän laáy ra 2 saûn phaåm;
neáu thaáy caû 2 saûn phaåm ñeàu loaïi A thì môùi nhaän kieän ñoù; ngöôïc laïi thì
loaïi kieän ñoù. Kieåm tra 144 kieän (trong raát nhieàu kieän).
a) Tính xaùc suaát ñeå coù 53 kieän ñöôïc nhaän.
b)Tính xaùc suaát ñeå coù töø 52 ñeán 56 kieän ñöôïc nhaän.
c) Phaûi kieåm tra ít nhaát bao nhieâu kieän ñeå xaùc suaát coù ít nhaát 1 kieän
ñöôïc nhaän khoâng nhoû hôn 95%?
Goïi n laø soá kieän caàn kieåm tra vaø D laø bieán coá coù ít nhaát 1 kieän ñöôïc nhaän.
Yeâu caàu baøi toaùn laø xaùc ñònh n nhoû nhaát sao cho P(D) ≥ 0,95.
7
8
•
•
X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1,p1) vôùi n1 = 100, p1 = 80% =
0,8. Vì n1 = 100 khaù lôùn vaø p1 = 0,8 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng
quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem X1 coù phaân phoái chuaån nhö sau:
Bieán coá ñoái laäp cuûa D laø D: khoâng coù kieän naøo ñöôïc nhaän.
Theo chöùng minh treân, xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän laø p = 0,3622.
Do ñoù
2
X1 ∼ N(μ1, σ1 )
Theo coâng thöùc Bernoulli ta coù:
P(D) = 1 − P(D) = 1 − qn = 1 − (1 − 0,3622)n = 1 − (0,6378)n.
vôùi
μ1 = n1p1 = 100.0,8 = 80;
σ1 = n1p1q1
=
100.0,8.0,2 = 4.
Suy ra
X2 coù phaân phoái nhò thöùc X2 ∼ B(n2,p2) vôùi n2 = 100, p2 = 60% =
0,60. Vì n2 = 100 khaù lôùn vaø p2 = 0,60 khoâng quaù gaàn 0 cuõng
khoâng quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem X2 coù phaân phoái chuaån nhö
sau:
P(D) ≥ 0,95 ⇔ 1 − (0,6378)n ≥ 0,95
⇔ (0,6378)n ≤ 0,05
⇔ nln(0,6378) ≤ ln0,05
ln0,05
2
X2 ∼ N(μ2, σ2 )
vôùi
σ2 = n2p2q2
a) Xaùc suaát ñeå coù 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån laø:
μ2 = n2p2 = 100.0,60 = 60;
⇔ n ≥
≈ 6,6612
ln(0,6378)
⇔ n ≥ 7.
=
100.0,60.0,40 = 4,8990.
1
2
1
2
1 1 70 − μ
1 1 70 − μ2
P(X = 80) = P(X1=70)+ P(X2=70) =
f(
1 ) +
f(
)
Vaäy phaûi kieåm tra ít nhaát 7 kieän.
2 σ1
σ1
2 σ2
σ2
f(2,04)
1 1 70 − 80
1
1
70 − 60 1 1
1
1
=
=
.
f(
) +
.
f(
)=
.
f(−2,5) +
.
Baøi 2.6: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm ñaït tieâu chuaån
laø 80% vaø moät maùy khaùc cuõng saûn xuaát loaïi saûn phaåm naøy vôùi tæ leä saûn
phaåm ñaït tieâu chuaån laø 60%. Choïn ngaãu nhieân moät maùy vaø cho saûn xuaát
100 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå
2 4
4
2 4,8990 4,8990 2 4
2 4,8990
1 1
2 4
1
.
1
.
0,0175 +
0,0498 = 0,000727
2 4,8990
a) coù 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån.
b) coù töø 70 ñeán 90 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån.
c) coù khoâng ít hôn 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån.
b) Xaùc suaát ñeå coù töø 70 ñeán 90 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån laø:
1
1
P(70 ≤ X ≤ 90) = P(70 ≤ X1 ≤ 90)+ P(70 ≤ X2 ≤ 90)
2
2
1
2
1
2
90 − μ
σ1
70 − μ
σ1
1
2
1
2
90 − μ
σ2
70 − μ
σ2
=
=
[ϕ(
[ϕ(
1 ) − ϕ(
1 )] + [ϕ(
2 ) − ϕ(
2 )]
Lôøi giaûi
90 − 80
70 − 80
90 − 60
4,899
70 − 60
4,899
) − ϕ(
)] + [ϕ(
) − ϕ(
)]
Goïi X laø ÑLNN chæ soá saûn phaåm ñaït tieâu chuaån trong 100 saûn phaåm.
A1, A2 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc maùy 1, maùy 2.
Khi ñoù A1, A2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(A1) = P(A2) = 0,5.
4
4
1
2
1
=
=
[ϕ(2,5) − ϕ(−2,5) + ϕ(6,12) − ϕ(2,04)]
(0,49379 + 0,49379 + 0,5 − 0,47932)
Theo coâng thöùc xaùc xuaát ñaày ñuû, vôùi moãi 0 ≤ k ≤ 100, ta coù:
2
= 0,50413
P(X = k) = P(A1)P(X=k/A1) + P(A2)P(X= k/A2)
c) Xaùc suaát coù khoâng ít hôn 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån laø
1
2
1
2
(1)
=
P(X=k/A1)+ P(X=k/A2)
P(70 ≤ X ≤ 100) =0,5072
(Töông töï caâu b)
Nhö vaäy, goïi X1, X2 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá saûn phaåm ñaït tieâu
chuaån trong tröôøng hôïp choïn ñöôïc maùy 1, maùy 2. Khi ñoù:
Baøi 2.7: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm laø 1% vaø moät
maùy khaùc cuõng saûn xuaát loaïi saûn phaåm naøy vôùi tæ leä pheá phaåm laø 2%.
1
2
1
2
P(X = k) = P(X1=k)+ P(X2=k)
•
(1) cho ta
9
10
Choïn ngaãu nhieân moät maùy vaø cho saûn xuaát 1000 saûn phaåm. Tính xaùc
suaát ñeå
a) coù 14 pheá phaåm.
b)coù töø 14 ñeán 20 pheá phaåm.
Lôøi giaûi
Baøi 2.8: Moät xí nghieäp coù hai maùy I vaø II. Trong ngaøy hoäi thi, moãi coâng
nhaân döï thi ñöôïc phaân moät maùy vaø vôùi maùy ñoù seõ saûn xuaát 100 saûn
phaåm. Neáu soá saûn phaåm loaïi A khoâng ít hôn 70 thì coâng nhaân ñoù seõ ñöôïc
thöôûng. Giaû söû ñoái vôùi coâng nhaân X, xaùc suaát saûn xuaát ñöôïc 1 saûn phaåm
loaïi A vôùi caùc maùy I vaø II laàn löôït laø 0,6 vaø 0,7.
a) Tính xaùc suaát ñeå coâng nhaân X ñöôïc thöôûng.
b) Giaû söû coâng nhaân X döï thi 50 laàn. Soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát laø
bao nhieâu?
Goïi X laø ÑLNN chæ soá pheá phaåm trong 1000 saûn phaåm.
A1, A2 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc maùy 1, maùy 2.
Khi ñoù A1, A2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(A1) = P(A2) = 0,5.
Lôøi giaûi
Theo coâng thöùc xaùc xuaát ñaày ñuû, vôùi moãi 0 ≤ k ≤ 100, ta coù:
Goïi Y laø ÑLNN chæ soá saûn phaåm loaïi A coù trong 100 saûn phaåm ñöôïc saûn
xuaát.
P(X = k) = P(A1)P(X=k/A1) + P(A2)P(X= k/A2)
A1, A2 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc maùy I, maùy II.
Khi ñoù A1, A2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(A1) = P(A2) = 0,5.
1
2
1
(1)
=
P(X=k/A1)+ P(X=k/A2)
2
Nhö vaäy, goïi X1, X2 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá pheá phaåm trong tröôøng
hôïp choïn ñöôïc maùy 1, maùy 2. Khi ñoù:
Theo coâng thöùc xaùc xuaát ñaày ñuû, vôùi moãi 0 ≤ k ≤ 100, ta coù:
1
2
1
2
P(X = k) = P(X1=k)+ P(X2=k)
•
•
(1) cho ta
P(Y = k) = P(A1)P(Y=k/A1) + P(A2)P(Y= k/A2)
X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1,p1) vôùi n1 = 1000 vaø p1 = 1% =
0,001. Vì n1 khaù lôùn vaø p1 khaù beù neân ta coù theå xem X1 coù phaân
phaân phoái Poisson:
(1)
1
2
1
2
=
P(Y=k/A1)+ P(Y=k/A2)
Nhö vaäy, goïi X1, X2 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá saûn phaåm loaïi A coù
trong 100 saûn phaåm ñöôïc saûn xuaát trong tröôøng hôïp choïn ñöôïc maùy I,
maùy II. Khi ñoù:
X1 ∼ P(a1) vôùi a1 = n1p1 = 1000.0,01 = 10, nghóa laø X2 ∼ P(10).
•
X2 coù phaân phoái nhò thöùc X2 ∼ B(n2,p2) vôùi n2 = 1000 vaø p2 = 2% =
0,002. Vì n2 khaù lôùn vaø p2 khaù beù neân ta coù theå xem X2 coù phaân
phaân phoái Poisson:
1
2
1
2
P(Y = k) = P(X1=k)+ P(X2=k)
•
•
(1) cho ta
X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1,p1) vôùi n1 = 100, p1 = 0,6. Vì
n1 = 100 khaù lôùn vaø p1 = 0,6 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn
1 neân ta coù theå xem X1 coù phaân phoái chuaån nhö sau:
X1 ∼ P(a2) vôùi a2 = n2p2 = 1000.0,02 = 20, nghóa laø X2 ∼ P(20).
2
a) Xaùc suaát ñeå coù 14 pheá phaåm laø:
X1 ∼ N(μ1, σ1 )
1
1
1 e−101014 1 e−20 2014
vôùi
μ1 = n1p1 = 100.0,6 = 60;
P(X = 14) = P(X1=14)+ P(X2=14) =
+
= 0,0454
2
2
2
14!
2
14!
σ1 = n1p1q1
=
100.0,6.0,4 = 4,8990.
•
X2 coù phaân phoái nhò thöùc X2 ∼ B(n2,p2) vôùi n2 = 100, p2 = 0,7. Vì n2
= 100 khaù lôùn vaø p2 = 0,7 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1
neân ta coù theå xem X2 coù phaân phoái chuaån nhö sau:
b) Xaùc suaát ñeå coù töø 14 ñeán 20 pheá phaåm laø:
1
1
P(14 ≤ X ≤ 20) = P(14 ≤ X1 ≤ 20)+ P(14 ≤ X2 ≤ 20)
2
2
2
X2 ∼ N(μ2, σ2 )
20
20
1
2
e
−1010k
k!
1
2
e
−2020k
k!
vôùi
μ1 = n2p2 = 100.0,7 = 70;
=
+
= 31,35%
∑
∑
σ2 = n2p2q2
=
100.0,7.0,3 = 4,5826.
k=14
k=14
a) Xaùc suaát ñeå coâng nhaân X ñöôïc thöôûng laø:
11
12
1
2
1
2
P(70 ≤ Y ≤ 100) = P(70 ≤ X1 ≤ 100)+ P(70 ≤ X2 ≤ 100)
P(X = k) = P(A1)P(X=k/A1) + P(A2)P(X= k/A2)
1
2
1
2
1
2
100 − μ
70 − μ
σ1
1
2
100 − μ
70 − μ
σ2
1
2
1
(1)
=
=
=
[ϕ(
[ϕ(
1 ) − ϕ(
1 )] + [ϕ(
2 ) − ϕ(
2 )]
=
P(X=k/A1)+ P(X=k/A2)
2
σ1
σ2
100 − 60
4,899
70 − 60
4,899
1
)] + [ϕ(
2
100 − 70
4,5826
1
70 − 70
4,5826
Nhö vaäy, goïi X1, X2 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá vieân truùng trong 100
vieân ñöôïc baén ra trong tröôøng hôïp choïn ñöôïc khaåu loaïi I, II. Khi ñoù:
) − ϕ(
) − ϕ(
)]
1
2
1
2
P(X = k) = P(X1=k)+ P(X2=k)
•
•
(1) cho ta
[ϕ(8,16) − ϕ(2,04) + ϕ(6,55) − ϕ(0)]= (0,5 − 0,47932 + 0,5) = 0,2603
2
X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1,p1) vôùi n1 = 100, p1 = 0,6. Vì n1
= 100 khaù lôùn vaø p1 = 0,6 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1
neân ta coù theå xem X1 coù phaân phoái chuaån nhö sau:
b) Giaû söû coâng nhaân X döï thi 50 laàn. Soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát laø
bao nhieâu?
2
X1 ∼ N(μ1, σ1 )
vôùi
μ1 = n1p1 = 100.0,6 = 60;
Goïi Z laø ÑLNN chæ soá laàn coâng nhaân X ñöôïc thöôûng. Khi ñoù Z coù
phaân phoái nhò thöùc Z ∼ B(n,p) vôùi n = 50, p = 0,2603. Soá laàn ñöôïc
thöôûng tin chaéc nhaát chính laø Mod(Z). Ta coù:
σ1 = n1p1q1
=
100.0,6.0,4 = 4,8990.
•
X2 coù phaân phoái nhò thöùc X2 ∼ B(n2,p2) vôùi n2 = 100, p2 = 0,5. Vì n2
= 100 khaù lôùn vaø p2 = 0,5 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1
neân ta coù theå xem X2 coù phaân phoái chuaån nhö sau:
Mod(Z) = k ⇔ np − q ≤ k ≤ np − q + 1
2
⇔ 50.0,2603 − 0,7397 ≤ k ≤ 50.0,2603 − 0,7397 + 1
⇔ 12,2753 ≤ k ≤ 13,2753 ⇔ k = 13
X2 ∼ N(μ2, σ2 )
μ1 = n2p2 = 100.0,5 = 50;
vôùi
σ2 = n2p2q2
=
100.0,5.0,5 = 5.
Vaäy soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát cuûa coâng nhaân X laø 13 laàn.
a) Xaùc suaát ñeå chieán só A ñöôïc thöôûng laø:
Baøi 2.9: Trong ngaøy hoäi thi, moãi chieán só seõ choïn ngaãu nhieân moät trong
hai loaïi suùng vaø vôùi khaåu suùng choïn ñöôïc seõ baén 100vieân ñaïn. Neáu coù töø
65 vieân trôû leân truùng bia thì ñöôïc thöôûng. Giaû söû ñoái vôùi chieán só A, xaùc
suaát baén 1 vieân truùng bia baèng khaåu suùng loaïi I laø 60% vaø baèng khaåu
suùng loaïi II laø 50%.
a) Tính xaùc suaát ñeå chieán só A ñöôïc thöôûng.
b) Giaû söû chieán só A döï thi 10 laàn. Hoûi soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát
laø bao nhieâu?
1
1
P(65 ≤ X ≤ 100) = P(65 ≤ X1
≤
100)+ P(65 ≤ X2
≤
100)
2
2
1
2
1
2
1
2
100 − μ
65 − μ
1
100 − μ
65 − μ
=
=
=
[ϕ(
[ϕ(
1 ) − ϕ(
1 )] + [ϕ(
2 ) − ϕ(
2 )]
σ1
σ1
2
σ2
σ2
100 − 60
4,899
65 − 60
4,899
1
2
100 − 50
5
1
65 − 50
) − ϕ(
)] + [ϕ(
) − ϕ(
)]
5
[ϕ(8,16) − ϕ(1,02) + ϕ(10) − ϕ(3)]= (0,5 − 0,34614 + 0,5 − 0,49865) = 0,0776.
2
c) Chieán só A phaûi tham gia hoäi thi ít nhaát bao nhieâu laàn ñeå xaùc suaát coù
ít nhaát moät laàn ñöôïc thöôûng khoâng nhoû hôn 98%?
b) Giaû söû chieán só A döï thi 10 laàn. Soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát laø
bao nhieâu?
Goïi Y laø ÑLNN chæ soá laàn chieán só A ñöôïc thöôûng. Khi ñoù Y coù phaân
phoái nhò thöùc Y ∼ B(n,p) vôùi n = 10, p = 0,0776. Soá laàn ñöôïc thöôûng tin
chaéc nhaát chính laø mod(Y). Ta coù:
Lôøi giaûi
Goïi X laø ÑLNN chæ soá vieân truùng trong 100 vieân ñöôïc baén ra.
Goïi A1, A2 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc khaåu suùng loaïi I, II.
Khi ñoù A1, A2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(A1) = P(A2) = 0,5.
mod(Y) = k ⇔ np − q ≤ k ≤ np − q + 1
⇔ 10.0,0776 − 0,9224 ≤ k ≤ 10.0,0776 − 0,9224 + 1
⇔ −0,1464 ≤ k ≤ 0,8536 ⇔ k = 0
Theo coâng thöùc xaùc xuaát ñaày ñuû, vôùi moãi 0 ≤ k ≤ 100, ta coù:
13
14
Tải về để xem bản đầy đủ
39 trang
24200
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập môn Xác suất và thống kê - Trần Ngọc Hội (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_tap_mon_xac_suat_va_thong_ke_tran_ngoc_hoi_co_loi_giai.pdf
