Giáo trình môn Xác suất thống kê
Chu’o’ng 1
`
ˆ ´
˜
’
’
´
ˆ
ˆ
´
’
NHUNG KHAI NIEM CO BAN VE XAC SUAT
.
’
ˆ
`
ˆ
’
ˆ
’
´
´
’
1. BO TUC VE GIAI TICH TO HOP
.
´
˘
1.1 Qui tac nhˆan
’
’
Gia su mˆot cˆong viˆec n`ao d¯o´ d¯uoc chia th`anh k giai d¯oan. C´o
’ ’
c´ach thuc hiˆen giai
’
.
’
1
.
.
.
.
.
´
´
´
´
c´ach thuc hiˆen giai d¯oan thu
d¯oan thu nhˆat,
c´ach thuc hiˆen giai d¯oan thu hai,...,
’
’
.
’
’
.
’
2
.
.
.
.
.
k. Khi d¯o´ ta c´o
=
1
2
c´ach thuc hiˆen cˆong viˆec.
’
.
.
.
’
’
´
’
´
`
`
’
’
˘
• V´ı du 1 Gia su d¯ˆe d¯i tu A d¯ˆen C ta bat buˆoc phai d¯i qua d¯iˆem B. C´o 3 d¯uong kh´ac
’ ’
’
’
.
.
’
’
´
`
’
´
`
’
`
’
`
nhau d¯ˆe d¯i tu A d¯ˆen B v`a c´o 2 d¯uong kh´ac nhau d¯ˆe d¯i tu B d¯ˆen C. Vˆay c´o = 3 2 ca´ch
’ ’
kh´ac nhau d¯ˆe d¯i tu A d¯ˆen C.
.
’
´
A
B
C
’
1.2 Chinh hop
’
.
’
´
˜
’
’
`
’
’
`
Dinh nghia 1 Chinh hop chˆap k cua n phaˆn tu ( ≤ ) l`a mˆot nh´om (bˆo) c´o thu tu
’
’
’ ’
.
’
.
.
¯ .
.
.
’
’
`
`
`
gˆom k phˆan tu kh´ac nhau chon tu n phˆan tu d¯a˜ cho.
.
´
’
’
`
’
’
Sˆo chinh hop chˆap k cua n phˆan tu k´ı hiˆeu l`a
.
’
.
.
.
!
´
ꢀ Cˆong thuc t´ınh:
=
= ( − 1) ( − + 1)
’
( − )!
’
´
`
`
’
’
• V´ı du 2 Mˆot buˆoi hop gˆom 12 nguoi tham du. Hoi c´o mˆay c´ach chon mˆot chu toa
’ ’
’
.
.
.
.
.
.
.
v`a mˆot thu k´y?
’
.
’
Giai
Mˆoi c´ach chon mˆot chu toa v`a mˆot thu ky´ tu 12 nguoi tham du buˆoi hop l`a mˆot
’
˜
`
’
`
’ ’
’
’
’
.
.
.
.
.
.
.
’
’
`
’
’
chinh hop chaˆp k cua 12 phˆan tu.
’
.
.
1
2
Chu’o’ng 1.
2
12
´
Do d¯´o sˆo c´ach chon l`a
.
= 12 11 = 132.
’
´
˜
´
´
`
• V´ı du 3 Voi c´ac chu sˆo 0,1,2,3,4,5 c´o thˆe lˆap d¯uoc bao nhiˆeu sˆo kh´ac nhau gˆom 4
’
’
’ ’
.
.
.
´
˜
chu sˆo.
’
’
Giai
´
`
˘
´
´
´
´
˜
`
`
˜
’
˘
C´ac sˆo bat d¯ˆau bang chu sˆo 0 (0123, 0234,...) khˆong phai l`a sˆo gˆom 4 chu sˆo.
’
’
´
´
´
˜
’
`
˜
˜
’
Chu sˆo d¯ˆau tiˆen phai chon trong c´ac chu sˆo 1,2,3,4,5. Do d¯o´ c´o 5 c´ach chon chu sˆo
’
’
.
.
`
d¯ˆau tiˆen.
3
5
’
´ ´ ´
´
˜
’
˜
Ba chu sˆo kˆe tiˆep c´o thˆe chon tu`y y´ trong 5 chu sˆo c`on lai. C´o
c´ach chon.
.
’
.
.
3
5
´
Vˆay sˆo c´ach chon l`a 5
= 5 (5 4 3) = 300
.
.
’
˘
1.3 Chinh hop lap
’
.
.
’
´
˜
`
`
’
’
˘
Dinh nghia 2 Chinh hop lap chˆap k cua n phˆan tu l`a mˆot nh´om c´o thu tu gˆom k
’
.
’
’ ’
.
.
.
¯ .
.
’
’
’
’
’
’
’
˜
`
`
’
`
`
`
˘
.
phˆan tu chon tu n phˆan tu d¯a˜ cho, trong d¯´o moˆi phˆan tu c´o thˆe c´o mat 1,2,...,k lˆan trong
.
nh´om.
´
’
’
`
’
’
˘
˘
.
Sˆo chinh hop lap chap k cua n phˆan tu d¯uoc k´ı hiˆeu
’ ’
.
’
.
.
.
.
´
ꢀ Cˆong thuc t´ınh
’
=
´
´
´
’
˘
• V´ı du 4 Xˆep 5 cuˆon s´ach v`ao 3 ngan. Hoi c´o bao nhiˆeu c´ach xˆep ?
.
’
Giai
´
´
˜
˜
`
’
’
˘
˘
.
˘
Mˆoi c´ach xˆep 5 cuˆon s´ach v`ao 3 ngan l`a mˆot chinh hop lap chˆap 5 cua 3 (Mˆoi lˆan
’
.
.
.
´
´
´
˘
˘
xˆep 1 cuˆon s´ach v`ao 1 ngan xem nhu chon 1 ngan trong 3 ngan. Do c´o 5 cuˆon s´ach nˆen
viˆec chon ngan d¯uoc tiˆen h`anh 5 lˆan).
’
.
´
`
˘
’ ’
.
.
.
5
3
= 35 = 243.
´
´
Vˆay sˆo c´ach xˆep l`a
.
1.4 Ho´an vi
.
’
´
˜
`
`
`
’
’
˘
Dinh nghia 3 Ho´an vi cua m phˆan tu l`a mˆot nh´om c´o thu tu gˆom d¯u mat m phˆan
’
’ ’
.
.
.
¯ .
.
’
tu d¯a˜ cho.
’
´
’
’
`
’
Sˆo ho´an vi cua m phˆan tu d¯uoc k´ı hiˆeu l`a
.
’ ’
.
.
.
´
ꢀ Cˆong thuc t´ınh
’
=
!
´
´
˜
`
’
• V´ı du 5 Mˆot ba`n c´o 4 hoc sinh. Hoi c´o mˆay c´ach xˆep chˆo ngˆoi ?
.
.
.
’
Giai
´
Mˆoi c´ach xˆep chˆo cua 4 hoc sinh o mˆot b`an l`a mˆot ho´an vi cua 4 phˆan tu. Do d¯´o sˆo
´
’
’
˜
˜
’
’
’
`
’
.
.
.
.
´
c´ach xˆep l`a
= 4! = 24.
4
3
’
1.5 Tˆo hop
’
.
’
’
`
˜
`
’
Dinh nghia 4 Tˆo hop chˆap k cua n phˆan tu ( ≤ ) l`a mˆot nh´om khˆong phˆan biˆet
’
.
’
.
.
.
¯ .
´
’
’
’
`
`
`
’
thu tu, gˆom k phˆan tu kh´ac nhau chon tu n phaˆn tu d¯a˜ cho.
’ ’
’
.
.
’
´
’
’
`
’
Sˆo tˆo hop chˆap k cua n phˆan tu k´ı hiˆeu l`a
.
’
.
.
.
´
ꢀ Cˆong thuc t´ınh
’
!
( − 1) ( − + 1)
=
=
!( − )!
!
ꢀ Chu´ y´
´
i) Qui uoc 0! = 1.
’ ’
ii)
iii)
−
=
.
−1
=
+
.
−1
−1
’
´
´
˜
`
`
`
’
’
’
• V´ı du 6 Moˆi d¯ˆe thi gˆom 3 cˆau hoi lˆay trong 25 cˆau hoi cho truoc. Hoi c´o thˆe lˆap
’ ’
.
.
nˆen bao nhiˆeu d¯ˆe thi kh´ac nhau ?
’
Giai
25!
25 24 23
1 2 3
3
25
’
´
`
Sˆo d¯ˆe thi c´o thˆe lˆap nˆen l`a
=
=
= 2 300.
.
3! (22)!
’
’
’
’
´
˜
’
˜
`
’
˘
• V´ı du 7 Moˆt m´ay t´ınh c´o 16 coˆng. Gia su tai mˆoi thoi d¯iˆem baˆt k`y mˆoi cˆong hoac
’
’
.
.
.
.
’
’
’
’
’
˘
.
˘
.
trong su dung hoac khˆong trong su dung nhung c´o thˆe hoat d¯ˆong hoac khˆong thˆe hoat
d¯oˆng. Hoi c´o bao nhiˆeu cˆau h`ınh (c´ach chon) trong d¯´o 10 cˆong trong su dung, 4 khˆong
’
.
.
.
.
.
’
´
’
’
’
’
.
.
.
’
trong su dung nhung c´o thˆe hoat d¯oˆng v`a 2 khoˆng hoat d¯ˆong?
’
’
.
.
.
.
.
’
Giai
’
´
´
Dˆe x´ac d¯inh sˆo c´ach chon ta qua 3 buoc:
’ ’
.
.
¯
10
16
’
´
’
’
Buoc 1: Chon 10 cˆong su dung: c´o
’ ’
= 8008 c´ach.
.
.
’
’
’
´
’
’
Buoc 2: Chon 4 cˆong khˆong trong su dung nhung c´o thˆe hoat d¯ˆong trong 6 cˆong c`on
’ ’
’
.
.
.
.
4
lai: c´o
= 15 c´ach.
.
6
2
2
’
’
´
Buoc 3: Chon 2 cˆong khˆong thˆe hoat d¯ˆong: c´o
= 1 c´ach.
’ ’
.
.
.
10
16
4
6
2
2
´
˘
Theo qui tac nhˆan, ta c´o
= (8008) (15) (1) = 120 120 c´ach.
´
1.6 Nhi thuc Newton
’
.
’
’
˘
’
`
´
´
´
’
˘
O phˆo thˆong ta d¯a˜ biˆet c´ac hang d¯ang thuc d¯´ang nho
’
’
1
1
+
=
=
=
+
( + )2
( + )3
2 + 2
+
1 1
2
3 + 3 2 1 + 3
’
´
+
1 2
3
’
`
˘
´
`
’
˘
C´ac hˆe sˆo trong c´ac hang d¯ang thuc trˆen c´o thˆe x´ac d¯inh tu tam gi´ac Pascal
’
.
.
4
Chu’o’ng 1.
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
0
1
2
3
4
−1
’
´
´
´
Newton d¯a˜ chung minh d¯uoc cˆong thuc tˆong qu´at sau (Nhi thuc Newton):
’
’ ’
.
’
’
.
−
( + )
=
=
=
0
1
−1
2
−2 2
−
−1
−1
+
+
+
+
+
+
+
´
´
(a,b l`a c´ac sˆo thuc; l`a sˆo tu nhiˆen)
’
.
’
.
´
´
´
´
ˆ
ˆ
ˆ
`
ˆ
´
ˆ
˜’
2. BIEN CO VA QUAN HE GIUA CAC BIEN CO
.
’
´
´
2.1 Ph´ep thu v`a biˆen cˆo
’
’
`
’
’
’
Viˆec thuc hiˆen mˆot nh´om c´ac d¯iˆeu kiˆen co ban d¯ˆe quan s´at mˆot hiˆen tuong n`ao d¯o´
’ ’
’
.
.
.
.
.
.
.
.
’
’
’
´
’
’
´
´
’
’
d¯uoc goi mˆot ph´ep thu. C´ac kˆet qua c´o thˆe xay ra cua ph´ep thu d¯uoc goi l`a biˆen cˆo (su
’ ’
’ ’
.
’
.
.
.
.
.
kiˆen).
.
• V´ı du 8
.
’
’
´
’
’
`
`
`
`
˘
.
i) Tung d¯oˆng tiˆen lˆen l`a mˆot ph´ep thu. Doˆng tiˆen lˆat mat n`ao d¯´o (xˆap, ngua) l`a mˆot
.
.
.
¯
´
´
biˆen cˆo.
´
’
˘
ii) Ban mˆot ph´at su´ng v`ao mˆot c´ai bia l`a mˆot ph´ep thu. Viˆec viˆen d¯an tru´ng (trˆat)
’
.
.
.
.
.
.
´
´
bia l`a mˆot biˆen cˆo.
.
´
´
´
´
˜
2.2 C´ac biˆen cˆo v`a quan hˆe giua c´ac biˆen cˆo
’
.
i) Quan hˆe k´eo theo
.
´
´
´
´
´
’ ’
, nˆeu A xay ra th`ı B xay
Biˆen cˆo A d¯uoc goi l`a k´eo theo biˆen cˆo B, k´ı hiˆeu
⊂
’ ’
.
.
.
ra.
ii) Quan hˆe tuong d¯uong
’ ’ ’ ’
.
´
´
´
´
Hai biˆen cˆo A v`a B d¯uoc goi l`a tuong d¯uong voi nhau nˆeu
’ ’ ’ ’ ’ ’
⊂
v`a ⊂ , k´ı hiˆeu
’
.
.
.
=
.
´
´
´
iii) Biˆen cˆo so cˆap
’
’
´
´
´
´
´
˜
Biˆen cˆo so cˆap l`a biˆen cˆo khˆong thˆe phˆan t´ıch d¯uoc nua d¯uoc nua.
’ ’ ’ ’
’
’
’
.
.
´
´
˘
´
´
˘
iv) Biˆen cˆo chac chan
´
´
´
’
’
’
L`a biˆen cˆo nhˆat d¯inh se˜ xay ra khi thuc hiˆen ph´ep thu. K´ı hiˆeu Ω.
’
.
.
.
.
5
´
´
˘
´
´
´
´
˘
˘
• V´ı du 9 Tung mˆot con xu´c xac. Biˆen coˆ mat con xu´c xac c´o sˆo chˆam b´e hon 7 l`a
’
.
.
.
´
˘
´
˘
´
´
biˆen cˆo chac chan.
’
´
´
v) Biˆen cˆo khˆong thˆe
´
´
´
’
’
’
L`a biˆen cˆo nhˆat d¯inh khˆong xay ra khi thuc hiˆen ph´ep thu. K´ı hiˆeu ∅.
’
.
.
.
.
’
´
´
´
’
´
´
’
˜
⊕ Nhˆan x´et Biˆen cˆo khˆong thˆe ∅ khˆong bao h`am mˆot biˆen cˆo so cˆap n`ao, nghia l`a
.
.
´
´
´
´
khˆong c´o biˆen cˆo so cˆap n`ao thuaˆn loi cho biˆen cˆo khˆong thˆe.
’
’
.
.
´
´
˜
vi) Biˆen cˆo ngˆau nhiˆen
’
´
´
’
’
’
’
’
˘
´
L`a biˆen cˆo c´o thˆe xay ra hoac khˆong xay ra khi thuc hiˆen ph´ep thu. Ph´ep thu m`a
’
.
’
.
.
´
´
’
’
˜
˜
’ ’
c´ac kˆet qua cua n´o l`a c´ac biˆen cˆo ngˆau nhiˆen d¯uoc goi l`a ph´ep thu ngˆau nhiˆen.
’ ’
.
.
’
´
´
vii) Biˆen cˆo tˆong
’
´
´
´
´
´
´
´
’
+ , nˆeu C xay
’
Biˆen cˆo C d¯uoc goi l`a tˆong cua hai biˆen cˆo A v`a B, k´ı hiˆeu
’ ’
=
.
.
.
´
’
’
ra khi v`a chi khi ´ıt nhˆat mˆot trong hai biˆen cˆo A v`a B xay ra.
.
´
´
´
´
´
`
`
’ ’
+
˘
˘
• V´ı du 10 Hai nguoi tho san cu`ng ban v`ao mˆot con thu´. Nˆeu goi A l`a biˆen cˆo nguoi
’ ’
’
.
.
.
.
´
˘
´
˘
´
´
´
´
`
’ ’
thu nhˆat ban tru´ng con thu´ v`a B l`a biˆen cˆo nguoi thu hai ban tru´ng con thu´ th`ı
=
’
’
´
´
´
˘
l`a biˆen cˆo con thu´ bi ban tru´ng.
.
ꢀ Chu´ y´
’
’
´
´
´
´
´
´
˜
˜
`
’
i) Moi biˆen cˆo ngˆau nhiˆen A d¯ˆeu biˆeu diˆen d¯uoc duoi dang tˆong cua mˆot sˆo biˆen cˆo
’ ’ ’ ’
.
.
.
.
’
´
´
´
´
´
´
so cˆap n`ao d¯o´. C´ac biˆen cˆo so cˆap trong tˆong n`ay d¯uoc goi l`a c´ac biˆen cˆo thuˆan loi cho
’ ’
’
’
’
.
.
.
.
´
´
biˆen cˆo A.
’
’
´
´
˘
´
`
´
´
´
´
´
´
’
´
˜
´
’
˘
ii) Biˆen cˆo chac chan Ω l`a tˆong cua moi biˆen cˆo so cˆap c´o thˆe, nghia l`a moi biˆen cˆo
’
.
.
´
´
so cˆap d¯ˆeu thuˆan loi cho Ω. Do d¯o´ Ω c`on d¯uoc goi l`a khˆong gian c´ac biˆen cˆo so cˆap.
’
’
.
’ ’
.
.
.
´
´
´
´
’
˘
• V´ı du 11 Tung mˆot con xu´c xac. Ta c´o 6 biˆen cˆo so cˆap
6, trong
1
2
3
4
5
.
.
´
´
´
˘
.
d¯o´
l`a biˆen cˆo xu´at hiˆen mat j chˆam = 1 2
6.
.
˜
´
´
´
´
´
´
´
´
˘
˘
Goi A l`a biˆen cˆo xuaˆt hiˆen mat voi sˆo chˆam chan th`ı A c´o 3 biˆen cˆo thuˆan loi l`a
’
’
.
.
.
.
.
.
6
2
4
Ta c´o
=
+
+
4
2
6
´
´
´
´
´
´
´
´
´
˘
Goi B l`a biˆen cˆo xuaˆt hiˆen mat voi sˆo chaˆm chia hˆet cho 3 th`ı B c´o 2 biˆen cˆo thuˆan
’
.
.
.
.
loi l`a
.
6
’
3
.
Ta c´o
=
+
3
6
´
´
viii) Biˆen cˆo t´ıch
´
´
´
´
´
’
’
Biˆen cˆo C d¯uoc goi l`a t´ıch cua hai biˆen cˆo A v`a B, k´ı hiˆeu AB, nˆeu C xay ra khi v`a
’ ’
.
.
.
˜
’
’
’
chi khi ca A lˆan B cu`ng xay ra.
6
Chu’o’ng 1.
´
`
˘
• V´ı du 12 Hai nguoi cu`ng ban v`ao moˆt con thu´.
’ ’
.
.
´
´
˘
´
´
´
´
´
´
´
`
`
˘
Goi A l`a biˆen cˆo nguoi thu nhaˆt ban truot, B l`a biˆen cˆo nguoi thu hai ban truot th`ı
’ ’
’
’ ’
.
’ ’
’
’ ’
.
.
´
´
´
˘
=
l`a biˆen cˆo con thu´ khˆong bi ban tru´ng.
.
´
´
ix) Biˆen cˆo hiˆeu
.
´
’
´
´
´
´
´
’
’
Hiˆeu cua biˆen cˆo A v`a biˆen cˆo B, k´ı hiˆeu A \ B l`a biˆen cˆo xay ra khi v`a chi khi A
.
.
’
’
xay ra nhung B khˆong xay ra.
’
´
´
´
˘
x) Biˆen cˆo xung khac
´
´
´
´
´
´
`
`
˘
Hai biˆen cˆo A v`a B d¯uoc goi l`a hai biˆen cˆo xung khac nˆeu chu´ng khˆong d¯ˆong thoi
’ ’
.
’
.
’
’
’
xay ra trong mˆot ph´ep thu.
.
`
`
• V´ı du 13 Tung moˆt d¯ˆong tiˆen.
.
.
´
´
´
´
´
´
´
’
’
˘
˘
.
Goi A l`a biˆen cˆo xuˆat hiˆen mat xˆap, B l`a biˆen cˆo xuˆat hiˆen mat ngua th`ı
= ∅.
.
.
.
.
´
´ ´
xi) Biˆen cˆo d¯ˆoi lˆap
.
´
´
´
´
´
´ ´
´
´
´
’
Biˆen cˆo khˆong xay ra biˆen cˆo A d¯uoc goi l`a biˆen cˆo d¯ˆoi lˆap voi biˆen cˆo A. K´ı hiˆeu .
’ ’
.
’
.
.
.
Ta c´o
+
= Ω
= ∅
⊕ Nhˆan x´et
.
’
´
´
´
´
´
´
’
Qua c´ac kh´ai niˆem trˆen ta thˆay c´ac biˆen cˆo tˆong, t´ıch, hiˆeu, d¯ˆoi lˆap tuong ung voi
’ ’
’
.
.
.
’
´
’
’
`
’
tˆap hop, giao, hiˆeu, phˆan bu` cua ly´ thuyˆet tˆap hop. Do d¯´o ta c´o thˆe su dung c´ac ph´ep
to´an trˆen c´ac tˆap hop cho c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac biˆen cˆo.
’
.
’
.
.
.
.
.
´
´
’
.
.
’
’
’
´
´
`
’
Ta c´o thˆe du`ng biˆeu d¯ˆo Venn d¯ˆe miˆeu ta c´ac biˆen cˆo.
Ω
Ω
Ω
´
´
˘
AB
A+B
˘
Bc chac chan
Ω
Ω
Ω
A
A
A
B
B
´
´
Dˆoi lˆap
A=⇒B
˘
A,B xung khac
.
¯
7
´
ˆ
´
3. XAC SUAT
’
’
´
´
˜
3.1 Dinh nghia x´ac suˆat theo lˆoi cˆo d¯iˆen
¯
.
’
’
’
’
´
´
`
˜
’
’
˘
Dinh nghia 5 Gia su ph´ep thu c´o n biˆen coˆ d¯ˆong kha nang c´o thˆe xay ra, trong d¯´o
’
’
¯ .
’
´
´
´
´
´
´
´
`
’
’
˘
c´o m biˆen cˆo d¯ˆong kha nang thuˆan loi cho biˆen cˆo A (A l`a tˆong cua m biˆen cˆo so cˆap
n`ay). Khi d¯´o x´ac suˆat cua biˆen cˆo A, k´ı hiˆeu ( ) d¯uoc d¯inh nghia bang cˆong thuc sau:
’ ’
’
.
’
.
´
`
˘
´
´
´
˜
’
’
.
.
.
´
`
Sˆo truong hop thuˆan loi cho A
’ ’
’
.
’
.
.
( ) =
=
’
´
`
’
Sˆo truong hop c´o thˆe xay ra
’ ’
’
.
´
´
´
´
´
`
˘
˘
.
• V´ı du 14 Gieo mˆot con xu´c xac cˆan d¯ˆoi, d¯ˆong chˆat. T´ınh x´ac suˆat xuaˆt hiˆen mat
.
.
.
˜
˘
chan.
’
Giai
˜
˘
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´
˘ ˘
l`a biˆen cˆo xuˆat hiˆen mat i chˆam v`a A l`a biˆen cˆo xuˆat hiˆen mat chan th`ı
. . . .
Goi
.
=
+
+
4
2
6
’
´
’
´
´
´
’
`
’
’
˘
Ta thˆay ph´ep thu c´o 6 biˆen cˆo so cˆap d¯ˆong kha nang c´o thˆe xay ra trong d¯´o c´o 3
’
´
´
biˆen cˆo thuˆan loi cho A.
’
.
.
3
6
1
2
( ) =
=
´
´
´
`
`
’
• V´ı du 15 Mˆot nguoi goi d¯iˆen thoai nhung lai quˆen 2 sˆo cuˆoi cua sˆo d¯iˆen thoai cˆan
’ ’
´
’
.
.
.
.
.
.
˜
.
.
’
´
’
´
’
`
’ ’
goi m`a chi nho l`a 2 soˆ d¯´o kh´ac nhau. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe nguoi d¯o´ quay ngaˆu nhiˆen mˆot
.
.
´
`
`
lˆan tru´ng sˆo cˆan goi.
.
’
Giai
´
´
´
`
˜
`
`
Goi A l`a biˆen cˆo nguoi d¯´o quay ngˆau nhiˆen mˆot lˆan tru´ng sˆo cˆan goi.
’ ’
.
.
.
2
10
’
´ ´
´
´
´
´
´
`
’
’
˘
Sˆo biˆen cˆo so cˆap d¯ˆong kha nang c´o thˆe xay ra (sˆo c´ach goi 2 sˆo cuˆoi) l`a
=
= 90.
’
.
´
´
´
Sˆo biˆen cˆo thuˆan loi cho A l`a = 1.
’
.
.
1
90
Vˆay ( ) =
.
.
’
´
´
´
`
˘
• V´ı du 16 Trong hˆop c´o 6 bi trang, 4 bi d¯en. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe lˆay tu hoˆp ra d¯uoc
’
’ ’
.
.
.
.
i) 1 viˆen bi d¯en.
´
˘
ii) 2 viˆen bi trang.
’
Giai
´
´ ´
´
´ ´
`
`
’
Goi A l`a biˆen cˆo lˆay tu hˆop ra d¯uoc 1 viˆen bi d¯en v`a B l`a biˆen cˆo lˆay tu hˆop ra 2
’
’ ’
.
.
.
.
´
˘
viˆen bi trang.
Ta c´o
8
Chu’o’ng 1.
1
4
1
10
2
=
i) ( ) =
ii) ( ) =
5
2
6
2
10
1
=
3
´
˜
˜
`
• V´ı du 17 Ru´t ngˆau nhiˆen tu mˆot cˆo b`ai tu´ lo kho 52 l´a ra 5 l´a. T`ım x´ac suˆat sao
’
’
’
.
.
cho trong 5 l´a ru´t ra c´o
’
a) 3 l´a d¯o va` 2 la´ d¯en.
`
b) 2 con co, 1 con rˆo, 2 con chuˆon.
’
’
Giai
´
´
’
Goi A l`a biˆen cˆo ru´t ra d¯uoc 3 l´a d¯o v`a 2 l´a d¯en.
’ ’
.
.
´
´
`
B l`a biˆen cˆo ru´t ra d¯uoc 2 con co, 1 con rˆo, 2 con chuˆon.
’ ’
.
’
5
52
’
´
´
´
’
Sˆo biˆen cˆo c´o thˆe xay ra khi ru´t 5 l´a b`ai l`a
.
3
26
2
´
´
´
a) Sˆo biˆen cˆo thuˆan loi cho A l`a
.
26
’
.
.
3
26
2
26
845000
( ) =
=
= 0 3251
5
52
2598960
2
13
1
13
2
13
´
´
´
b) Sˆo biˆen cˆo thuˆan loi cho B l`a
’
.
.
2
13
1
2
13
79092
13
( ) =
=
= 0 30432
5
52
2598960
’
´
`
`
• V´ı du 18 (B`ai to´an ng`ay sinh) Mˆot nh´om gˆon nguoi. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe c´o ´ıt
’ ’
.
.
´
`
’ ’
nhˆat hai nguoi c´o cu`ng ng`ay sinh (cu`ng nga`y va` cu`ng th´ang).
’
Giai
’
´
´
`
’ ’
’
˘
Goi l`a tˆap hop c´ac danh s´ach ng`ay sinh c´o thˆe cua nguoi v`a l`a biˆen cˆo c´o ´ıt
’
.
.
.
´
`
nhˆat hai nguoi trong nh´om c´o cu`ng ng`ay sinh trong nam.
’ ’
´
´
´
`
Ta c´o l`a biˆen cˆo khˆong c´o hai nguoi bˆat ky` trong nh´om c´o cu`ng ng`ay sinh.
’ ’
´
`
’
Sˆo c´ac truong hop cua l`a
’ ’
’
.
( ) = 365 365 365 = 365
´
`
Sˆo truong hop thuaˆn loi cho l`a
’ ’
’
.
’
.
.
( ) = 365 364 363
[365 − ( − 1)]
[365 364 363
(366 − )](365 − )!
=
(365 − )!
365!
=
(365− )!
9
´
`
’
˘
V`ı c´ac biˆen cˆo d¯ˆong kha nang nˆen
365!
(365− )!
365
( )
365!
( ) =
´
=
=
( )
365 (365 − )!
’
´
`
Do d¯´o x´ac suˆat d¯ˆe ´ıt nhˆat c´o hai nguoi c´o cu`ng ng`ay sinh l`a
’ ’
365!
(365− )!
365
365!
( ) = 1 − ( ) = 1 −
=
365 (365 − )!
’
Bang b`ai to´an ng`ay sinh
’
’
´
´
´
´
˜
ꢀ Chu´ y´ Dinh nghia x´ac suˆat theo lˆoi cˆo d¯iˆen c´o mˆot sˆo han chˆe:
.
.
.
¯
´
´
´
’
’
˜
i) N´o chi x´et cho hˆe huu han c´ac biˆen cˆo so cˆap.
’
.
.
`
’
’
’
˘
ii) Khˆong phai lu´c n`ao viˆec ”d¯ˆong kha nang” cu˜ng xay ra.
.
´
´
´
˜
3.2 Dinh nghia x´ac suˆat theo lˆoi thˆong kˆe
¯
.
’
’
’
’ ’
.
´
´
´
˜
`
`
’
Dinh nghia 6 Thuc hiˆen ph´ep thu n lˆan. Gia su biˆen cˆo A xuaˆt hiˆen m lˆan. Khi
’
’
.
.
¯ .
d¯o´ m d¯uoc goi l`a tˆan soˆ cua biˆen coˆ A v`a ty sˆo
´
.
´
´
´
´
´
´
´
`
`
’
’
d¯uoc goi l`a tˆan suaˆt xuˆat hiˆen biˆen
’ ’
.
.
.
.
’
’
cˆo A trong loat ph´ep thu.
.
´
’
´
´
´
´
´
`
`
`
˘
’
Cho sˆo ph´ep thu tang lˆen vˆo han, tˆan suˆat xuˆat hiˆen biˆen cˆo A dˆan vˆe mˆot sˆo x´ac
’
.
.
.
´
´
´
d¯inh goi l`a x´ac suˆat cua biˆen cˆo A.
.
.
( ) = l→im∞
´
´
’
’
´
˘
˘
• V´ı du 19 Mˆot xa thu ban 1000 viˆen d¯an v`ao bia. C´o xˆap xi 50 viˆen tru´ng bia. Khi
.
.
’
.
.
50
1000
’
´
d¯o´ x´ac suˆat d¯ˆe xa thu ban tru´ng bia l`a
= 5%.
.
’
´
`
´
´
`
´
`
`
’
`
˘
`
˘
.
• V´ı du 20 Dˆe nghiˆen cuu kha nang xuˆat hiˆen mat sˆap khi tung mˆot d¯ˆong tiˆen, nguoi
’ ’
’
.
.
.
¯
´
´
`
’
’
’
’
ta tiˆen h`anh tung d¯ˆong tiˆen nhiˆeu lˆan v`a thu d¯uoc kˆet qua cho o bang duoi d¯ˆay:
’ ’ ’ ’
.
10
Chu’o’ng 1.
´
´
´
`
`
`
`
Nguoi l`am Sˆo lˆan Sˆo lˆan d¯uoc Tˆan suˆat
’ ’ ’ ’
.
´
˘
.
th´ı nghiˆem tung
mat sˆap
( )
.
Buyffon
Pearson
Pearson
4040
12.000
24.000
2.048
6.019
12.012
0,5069
0,5016
0,5005
’
´
˜
3.3 Dinh nghia x´ac suˆat theo quan d¯iˆem h`ınh hoc
¯
.
.
’
’
´
´
´
˜
˜
Dinh nghia 7 X´et mˆot ph´ep thu c´o khˆong gian c´ac biˆen cˆo so caˆp Ω d¯uoc biˆeu diˆen
’
’
’ ’
.
.
¯ .
’
´
´
’
’
`
’
˜
’
boi miˆen h`ınh hoc Ω c´o d¯ˆo d¯o (d¯ˆo d`ai, diˆen t´ıch, thˆe t´ıch) huu han kh´ac 0, biˆen cˆo A
.
’
’
.
.
.
.
´
´
´
˜
`
’
’
’
d¯uoc biˆeu diˆen boi miˆen h`ınh hoc A. Khi d¯´o x´ac suˆat cua biˆen coˆ A d¯uoc xa´c d¯inh boi:
’ ’
’ ’
.
.
.
.
`
’
Dˆo d¯o cua miˆen A
.
¯
( ) =
`
’
Dˆo d¯o cua miˆen Ω
.
¯
’
’
˜
´
˘
• V´ı du 21 Trˆen d¯oan thang
ta gieo ngˆau nhiˆen hai d¯iˆem v`a c´o toa d¯ˆo tuong
’ ’
.
.
.
.
´
’
ung
= ,
=
( ≥ ). T`ım x´ac suˆat sao cho d¯ˆo da`i cua d¯oan
b´e hon d¯ˆo
’
.
’
.
.
’
d`ai cua d¯oan
.
.
’
Giai
y
’
’
’
= . C´ac toa d¯ˆo v`a phai
. .
Gia su
’
’
`
thoa ma˜n c´ac d¯iˆeu kiˆen:
.
0 ≤
≤
˜
0 ≤
≤
≥
(*)
’
Biˆeu diˆen v`a lˆen hˆe truc toa d¯oˆ vuˆong
g´oc. C´ac d¯iˆem c´o toa d¯oˆ thoa ma˜n (*) thuoˆc
.
.
.
.
’
’
.
.
.
’
´
´
´
˘
tam gi´ac
chan).
(c´o thˆe xem nhu biˆen cˆo chac
’
´
˘
x
’
`
Mat kh´ac, theo yˆeu cˆau b`ai to´an ta phai c´o −
˜
2 (**). Nhung d¯iˆem
’
’
˘
.
hay
´
´
`
`
`
’
c´o toa d¯ˆo thoa ma˜n (*) v`a (**) thuoˆc miˆen c´o gach. Miˆen thuaˆn loi cho biˆen cˆo cˆan t`ım
’
.
.
.
.
.
.
´
`
. Vˆay x´ac suˆat cˆan t´ınh
.
l`a tam gi´ac
diˆen t´ıch
1
2
.
=
=
diˆen t´ıch
.
`
˘
• V´ı du 22 (B`ai to´an hai nguoi gap nhau)
’’
.
.
’
´
’
’
`
’
`
´
`
’
`
’
’
`
’
´
˘
.
Hai nguoi hen gap nhau o mˆot d¯ia d¯ıˆem x´ac d¯inh v`ao khoang tu 19 gio d¯ˆen 20 gio.
’ ’
Mˆoi nguoi d¯ˆen (chac chan se˜ d¯ˆen) d¯iˆem hen trong khoang thoi gian trˆen mˆot c´ach d¯ˆoc
.
.
.
.
’
´
˘
´
˘
´
˜
`
’ ’
’
.
.
.
´
´
’
´
´
`
’
`
’ ’
’
lˆap voi nhau, cho trong 20 phu´t, nˆeu khˆong thˆay nguoi kia d¯ˆen se˜ bo d¯i. T`ım x´ac suˆat
.
’
`
’ ’
˘
.
d¯ˆe hai nguoi gap nhau.
11
’
Giai
’
´
˜
`
´
˜
`
’
Goi x, y l`a thoi gian d¯ˆen d¯iˆem hen cua mˆoi nguoi
’ ’
’
.
.
´
`
’ ’
˘
.
v`a A l`a biˆen cˆo hai nguoi gap nhau. Ro˜ r`ang x, y
l`a mˆot d¯iˆem ngˆau nhiˆen trong khoang [19 20], ta
’
’
.
y
c´o 19 ≤ ≤ 20;
19 ≤ ≤ 20.
20
D
’
`
˘
.
Dˆe hai nguoi gap nhau th`ı
’ ’
¯
A
19
1
3
`
| − | ≤ 20 phu´t = gio.
’
Do d¯´o
Ω = {(
) : 19 ≤ 20 19 ≤ ≤ 20}
o
20
x
19
1
) : | − | ≤ }
3
= {(
`
`
’
˘
Diˆen t´ıch cua miˆen Ω bang 1.
.
1
2
2
3
2
3
5
9
`
`
’
˘
Diˆen t´ıch cua miˆen A bang 1 − 2
=
.
diˆen t´ıch A
5 9
.
Vˆay ( ) =
=
= 0 555.
.
diˆen t´ıch Ω
.
1
´
˜
`
3.4 Dinh nghia x´ac suˆat theo tiˆen d¯ˆe
¯
.
´
´
˘
’
´
´
`
’
’
’
˘
Gia su Ω l`a biˆen cˆo chac chan. Goi A l`a ho c´ac tˆap con cua Ω thoa c´ac d¯iˆeu kiˆen
’
.
.
.
.
sau:
´
i) A chua Ω.
’
´
ii) Nˆeu
∈ A th`ı
+
thuˆoc A.
.
´
`
’
Ho A thoa c´ac tiˆen d¯ˆe i) v`a ii) th`ı A d¯uoc goi l`a d¯ai sˆo.
’ ’
.
.
.
.
’
´
’
`
’
iii) Nˆeu
v`a
l`a c´ac phˆan tu cua A th`ı tˆong v`a t´ıch vˆo han
+
+
2
’
1
1
2
1
.
+
cu˜ng thuˆoc A.
2
.
´
´
`
’
Nˆeu A thoa c´ac d¯iˆeu kiˆen i), ii), iii) th`ı A d¯uoc goi l`a d¯ai sˆo.
’ ’
.
.
.
.
´
´
˜
Dinh nghia 8 Ta goi x´ac suˆat trˆen (Ω A) l`a mˆot h`am sˆo x´ac d¯inh trˆen A c´o gi´a
.
.
.
¯ .
`
’
tri trong [0,1] v`a thoa ma˜n 3 tiˆen d¯ˆe sau:
.
i) (Ω) = 1.
´
´
˘
ii) ( + ) = ( ) + ( ) (voi A, B xung khac).
’
´
´
iii) Nˆeu da˜y { } c´o t´ınh chˆat
⊃
⊃
⊃
⊃
v`a
= ∅ th`ı
1
2
1
2
l→im∞ ) = 0.
(
12
Chu’o’ng 1.
´
´
’
3.5 C´ac t´ınh chˆat cua x´ac suˆat
´
´
´
i) 0 ≤ ( ) ≤ 1 voi moi biˆen cˆo A
’
.
ii) (Ω) = 1
iii) (∅) = 0
´
iv) Nˆeu
⊂
th`ı ( ) ≤ ( ).
v) ( ) + ( ) = 1.
vi) ( ) = (
) + (
).
´
ˆ
´
ˆ
ˆ
ˆ
´
´
´
’
4. MOT SO CONG THUC TINH XAC SUAT
.
´
´
4.1 Cˆong thuc cˆong x´ac suˆat
’
.
´
ꢀ Cˆong thuc 1
’
´
˘
’
´
´
’
Gia su v`a la` hai biˆen cˆo xung khac (
= ∅). Ta c´o
’
( + ) = ( ) + ( )
´
Chung minh
’
’
’
’
’
´
´
´
´
`
’
’
˘
Gia su ph´ep thu c´o biˆen cˆo d¯ˆong kha nang c´o thˆe xay ra, trong d¯o´ c´o
biˆen cˆo
’
’
´
´
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´
biˆen cˆo thuaˆn loi cho biˆen cˆo . Khi d¯o´ sˆo biˆen cˆo thuaˆn
’
. .
.
thuˆan loi cho biˆen cˆo v`a
’
.
.
´
´
loi cho biˆen cˆo
+
l`a
=
+
+
.
’
.
Do d¯´o
( + ) =
=
+
= ( ) + ( )
˜
Dinh nghia 9
¯ .
´
´
´
´
´
`
`
’
’
˘
i) C´ac biˆen cˆo
´
d¯uoc goi l`a nh´om c´ac biˆen cˆo d¯ˆay d¯u xung khac tung
’ ’
1
2
.
.
’
´
˘
´
´
˘
´
´
`
’
’
˘
d¯ˆoi nˆeu chu´ng xung khac tung d¯ˆoi v`a toˆng cua chu´ng l`a biˆen cˆo chac chan. Ta c´o
+
+
2
+
= Ω
= ∅
1
´
´
´
´
´
´
`
’
`
ii) Hai biˆen cˆo A v`a B d¯uoc goi l`a hai biˆen cˆo d¯oˆc lˆap nˆeu su tˆon tai hay khˆong tˆon
’ ’
.
.
.
.
.
.
´
´
´
´
’
’ ’
`
`
’
’
’
tai cua biˆen cˆo n`ay khˆong anh huong d¯ˆen su tˆon tai hay khˆong toˆn tai cua biˆen cˆo kia.
’
.
.
.
.
´
´
´
´
´
˜
`
iii) C´ac biˆen cˆo
’
d¯uoc goi d¯oˆc lˆap to`an phaˆn nˆeu mˆoi biˆen cˆo d¯ˆoc lˆap
’ ’
1
2
.
.
.
.
.
.
´
’
´
´
´
’
voi t´ıch cua moˆt tˆo hop bˆat k`y trong c´ac biˆen cˆo c`on lai.
’
.
.
.
’
4 Hˆe qua 1
.
´
´ ´
`
˘
la` biˆen cˆo xung khac tung d¯ˆoi th`ı
’
´
i) Nˆeu
1
2
(
+
+
2
+
) = ( 1) + ( 2) +
+ (
)
1
13
´
´
´
´
`
`
’
˘
ii) Nˆeu
l`a nh´om c´ac biˆen cˆo d¯ˆay d¯u xung khac tung d¯ˆoi th`ı
’
1
2
( ) = 1
=1
iii) ( ) = 1 − ( ).
´
ꢀ Cˆong thuc 2
’
( + ) = ( ) + ( ) − (
)
´
Chung minh
’
’
’
’
’
´
´
´
´
´
`
´
’
’
´
˘
Gia su ph´ep thu c´o biˆen cˆo d¯ˆong kha nang c´o thˆe xay ra, trong d¯o´ c´o
biˆen cˆo
’
’
´
´
´
´
´
thuˆan loi cho biˆen cˆo
,
biˆen cˆo thuˆan loi cho biˆen cˆo v`a biˆen cˆo thuˆan loi cho
’
.
’
’
.
.
.
.
.
´
´
´
´
´
´
´
biˆen cˆo
. Khi d¯´o sˆo biˆen cˆo thuˆan loi cho biˆen cˆo
+
l`a
+
− .
’
.
.
Do d¯´o
+
−
( + ) =
=
+
−
= ( ) + ( ) − (
)
’
4 Hˆe qua 2
.
i)
(
+
+
(
+
) =
( ) −
(
) +
(
) +
+
1
2
=1
−1
(−1)
(
)
1
2
´
´
´
`
ii) Nˆeu
l`a c´ac biˆen cˆo d¯ˆoc lˆap toa`n phˆan th`ı
1
2
.
.
+
+
+
) = 1 − ( 1) (
)
2
(
)
1
2
’
’
´
´
˜
`
’
• V´ı du 23 Mˆot lˆo h`ang gˆom 10 san phˆam, trong d¯´o c´o 2 phˆe phaˆm. Lˆay ngaˆu nhiˆen
.
`
’
.
’
’
’
´
´
’
khˆong ho`an lai tu lˆo h`ang ra 6 san phˆam. T`ım x´ac suaˆt d¯ˆe c´o khˆong qu´a 1 phˆe phˆam
.
’
´
’
trong 6 san phaˆm d¯uoc lˆay ra.
’ ’
.
’
Giai
Goi
.
’
’
´
´
´
´
´
´
´
´
´
’
A l`a biˆen cˆo khˆong c´o phˆe phˆam trong 6 san phˆam lˆay ra.
’
B l`a biˆen cˆo c´o d¯u´ng 1 phˆe phˆam.
C l`a biˆen cˆo c´o khˆong qu´a mˆot phˆe phˆam
’
´
.
´
´
´
˘
th`ı A v`a B l`a hai biˆen cˆo xung khac v`a
=
+ .
Ta c´o
6
28
2
=
8
( ) =
=
6
10
210
15
14
Chu’o’ng 1.
1
2
5
8
112
210
8
( ) =
=
=
6
10
15
Do d¯´o
2
8
2
3
( ) = ( ) + ( ) =
+
=
15 15
´
’
˜
’
’
• V´ı du 24 Mˆot lop c´o 100 sinh viˆen, trong d¯o´ c´o 40 sinh viˆen gioi ngoai ngu, 30 sinh
’
.
.
.
’
´
˜
’
˜
’
’
viˆen gioi tin hoc, 20 sinh viˆen gioi ca ngoai ngu lˆan tin hoc. Sinh viˆen n`ao gioi ´ıt nhˆat
mˆot trong hai mˆon se˜ d¯uoc thˆem d¯iˆem trong kˆet qua hoc tˆap cua hoc k`y. Chon ngˆau
.
.
.
’
´
’
˜
’
’
’ ’
.
.
.
.
.
.
’
´
´
˘
nhiˆen mˆot sinh viˆen trong lop. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe sinh viˆen d¯´o d¯uoc tang d¯iˆem.
’ ’
’
.
.
’
Giai
Goi
.
’
´
´
´
´
´
´
˘
A l`a biˆen cˆo goi d¯uoc sinh viˆen d¯uoc tang d¯iˆem.
’ ’ ’ ’
.
.
.
’
’
˜
N l`a biˆen cˆo goi d¯uoc sinh viˆen gioi ngoai ngu.
’ ’
’ ’
.
’
.
.
.
.
T l`a biˆen cˆo goi d¯uoc sinh viˆen gioi tin hoc
.
th`ı
=
+
.
Ta c´o
30
40
20
50
( ) = ( ) + ( ) − (
) =
+
−
=
= 0 5
100 100 100
100
´
´
´
`
4.2 X´ac suˆat c´o d¯iˆeu kiˆen v`a cˆong thuc nhˆan x´ac suˆat
’
.
´
`
a) X´ac suˆat c´o d¯iˆeu kiˆen
.
´
´
´
´
´
´
´
˜
`
’
’
Dinh nghia 10 X´ac suaˆt cua biˆen cˆo A voi d¯iˆeu kiˆen biˆen coˆ B xay ra d¯uoc goi l`a
’ ’
’
.
.
¯ .
x´ac c´o d¯iˆeu kiˆen cua biˆen cˆo A. K´ı hiˆeu
.
´
`
’
(
).
.
.
´
´
`
´
˘
• V´ı du 25 Trong hˆop c´o 5 viˆen bi trang, 3 viˆen bi d¯en. Lˆay lˆan luot ra 2 viˆen bi
’ ’
´
.
.
.
’
´
´
´
´
´
`
`
˘
(khˆong ho`an lai). T`ım x´ac suˆat d¯ˆe lˆan thu hai lˆay d¯uoc viˆen bi trang biˆet laˆn thu nhˆat
’
’ ’
.
’
.
´
´
˘
d¯a˜ lˆay d¯uoc viˆen bi trang.
’ ’
.
’
Giai
´
´
´
´
´
´
´
`
`
˘
Goi A l`a biˆen cˆo lˆan thu hai lˆay d¯uoc viˆen bi trang
’
’ ’
.
.
´
´
´ ´
˘
B l`a biˆen cˆo lˆan thu nhˆat lˆay d¯uoc viˆen bi trang.
’
’ ’
.
Ta t`ım
´
(
).
´
´
˘
´ ´
`
’
Ta thˆay lˆan thu nhˆat lˆay d¯uoc viˆen bi trang (B d¯a˜ xay ra) nˆen trong hop c`on 7 viˆen
’
’ ’
.
’
.
´
˘
bi trong d¯ ´o c´o 4 viˆen bi trang. Do d¯´o
1
4
1
7
4
7
(
) =
=
15
´
ꢀ Cˆong thuc
’
(
(
)
)
(
) =
´
Chung minh
’
’
’
’
’
´
´
´
`
´
’
’
´
˘
Gia su ph´ep thu c´o biˆen cˆo d¯ˆong kha nang c´o thˆe xay ra trong d¯o´ c´o
biˆen c´o
’
’
´
´
´
´
´
´
thuˆan loi cho biˆen cˆo
,
biˆen cˆo thuˆan loi cho biˆen cˆo v`a biˆen cˆo thuˆan loi cho
’
.
’
.
’
.
.
.
.
´
´
biˆen cˆo
.
’
’
´
´
˜
Theo d¯inh nghia x´ac suˆat theo lˆoi cˆo d¯iˆen ta c´o
.
(
) =
( ) =
´
´
´
´
`
’
’
’
˘
Ta t`ım
(
). V`ı biˆen cˆo d¯a˜ xay ra nˆen biˆen cˆo d¯ˆong kha nang cua l`a
,
´
´
biˆen cˆo thuˆan loi cho l`a . Do d¯´o
’
.
.
(
)
(
) =
=
=
( )
’
´
˜
• V´ı du 26 Mˆot bˆo b`ai c´o 52 l´a. Ru´t ngˆau nhiˆen 1 l´a b`ai. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe ru´t d¯uoc
’ ’
.
.
.
.
`
˘
´
con ”a´t” biˆet rang la´ b`ai ru´t ra l`a l´a b`ai m`au d¯en.
’
Giai
´
´
´
´
Goi A l`a biˆen cˆo ru´t d¯uoc con ”´at”
’ ’
.
.
♣
♠
B l`a biˆen cˆo ru´t d¯uoc l´a b`ai m`au d¯en.
’ ’
.
´
Ta thˆay trong bˆo b`ai c´o
.
♣
♠
26
52
26 l´a b`ai d¯en nˆen ( ) =
2
52
2 con ”´at” d¯en nˆen
(
(
) =
.
♣
♠
)
2 52
1
Do d¯´o
(
) =
=
=
( )
26 52
13
´
´
b) Cˆong thuc nhˆan x´ac suˆat
’
´
´
`
`
Tu cˆong thuc x´ac suˆat c´o d¯iˆeu kiˆen ta c´o
’
’
.
i)
(
) = ( ) (
) = ( ) (
).
´
´
´
ii) Nˆeu A, B l`a hai biˆen cˆo d¯ˆoc lˆap th`ı
(
) = ( ) ( ).
.
.
iii)
(
(
) = ( ) (
) = ( 1) (
) (
)
(
)
−1).
1
2
2
1
1
2
´
´
˘
´
´
´
˘
• V´ı du 27 Hˆop thu nhˆat c´o 2 bi trang v`a 10 bi d¯en. Hˆop thu hai c´o 8 bi trang v`a 4
’
’
.
.
.
’
´
´
˜
`
’
bi d¯en. Tu moˆi hˆop lˆay ra 1 viˆen bi. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe
.
16
Chu’o’ng 1.
´
`
’
˘
a) Ca 2 viˆen bi d¯ˆeu trang,
´
˘
b) 1 bi trang, 1 bi d¯en.
’
Giai
´
´
´
´
´ ´
´ ´
´ ´
’
˘
Goi T l`a biˆen cˆo lˆay ra d¯uoc ca 2 bi trang
’ ’
.
.
´
´
´
`
˘
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi trang tu hˆop thu nhˆat
’ ’
.
’
’
1
2
.
´
˘
´
`
’
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi trang tu hˆop thu hai
’ ’
.
’
.
´
´
th`ı
l`a 2 biˆen cˆo d¯oˆc lˆap v`a
=
2. Ta c´o
1
1
2
.
.
1
6
2
3
( ) =
( ) =
1
2
1
6
2
3
1
Do d¯´o ( ) = (
2) = ( ) ( ) =
= .
9
1
1
2
´
´
´ ´
´ ´
´
´
´
´
’
˘
b) Goi
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi trang o hˆop thu nhˆat, thu hai
’ ’
.
’
’
’
1
2
.
.
´
´
´
’
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi d¯en o hˆop thu nhˆat, thu hai
’ ’
’ ’
’ ’
’
’
’
’
1
2
.
.
.
.
´
´
˘
´
´ ´
´ ´
´
´
´
’
’
˘
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi trang o hˆop thu nhˆat v`a bi d¯en o hˆop thu hai
’
’
’
’
1
2
2
.
.
.
´
´
´
´
’
’
’
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi trang o hˆop thu hai v`a bi d¯e n o hˆop thu nhˆat
’
’
1
.
th`ı
=
+
.
1
1
2
2
Ta c´o
1
6
2
3
( ) =
( ) =
1
2
5
1
(
1) = 1 − ( ) =
(
2) = 1 − ( ) =
1
2
6
3
Suy ra
( ) = (
2) + (
1) = ( ) ( 2) + ( ) ( )
1 2 1
1
2
1 1 2 5
+
11
8
=
=
6 3 3 6
´
´
’
´
`
’
• V´ı du 28 Mˆot hˆe thˆong d¯uoc cˆau th`anh boi th`anh phˆan riˆeng le d¯uoc goi l`a mˆot hˆe
’ ’
’
’ ’
.
.
.
.
.
.
`
.
.
´
´
`
thˆong song song nˆeu n´o hoat d¯ˆong khi ´ıt nhaˆt mˆot th`anh phˆan hoat d¯ˆong. Th`anh phˆan
thu (d¯oˆc lˆap voi c´ac th`anh phˆan kh´ac) hoat d¯oˆng voi x´ac suˆat . T`ım x´ac suˆat d¯ˆe hˆe
thˆong song song hoat d¯ˆong.
.
.
.
.
.
’
´
´
´
’
´
’
´
´
`
’
.
.
.
.
.
.
.
A
B
’
Giai
Goi
.
´
´
´
A l`a biˆen cˆo hˆe thˆong hoat d¯ˆong.
.
.
.
17
´
´
´
`
l`a biˆen cˆo th`anh phˆan thu i hoat d¯ˆong.
’
.
.
Ta c´o
P(A) = 1 − ( )
= 1 − (
)
1
2
= 1 −
( )
=1
= 1 − (1 − )
=1
´
´
`
`
• V´ı du 29 (H^e x´ıch) X´et mˆot hˆe thˆong goˆm hai th`anh phˆan. Hˆe thˆong hoat d¯ˆong
.
.
.
.
.
.
’
.
´
`
`
’
khi v`a chi khi ca hai th`anh phaˆn hoat d¯ˆong (c´ac tha`nh phˆan d¯uoc nˆoi theo x´ıch).
’ ’
.
.
.
A
B
´
´
`
`
’
’
Dˆo tin cˆay R(t) cua mˆot th`anh phˆan cua hˆe thˆong l`a x´ac suˆat m`a th`anh phˆan c´o
.
.
.
.
¯
’
´
`
’
’
thˆe hoat d¯oˆng ´ıt nhˆat khoang thoi gian .
.
.
´
´
´
´
`
’
’
`
Nˆeu k´ı hiˆeu biˆen cˆo ”th`anh phˆan hoat d¯oˆng ´ıt nhˆat t d¯on vi thoi gian” boi
th`ı
’
’
.
.
.
.
( ) = (
)
˜
`
’
l`a d¯oˆ tin cˆay cua th`anh phˆan v`a , nghia l`a
. .
Goi
.
v`a
´
`
= ( hoat d¯ˆong ´ıt nhˆat d¯on vi thoi gian),
’
’
.
.
.
´
`
= ( hoat d¯ˆong ´ıt nhˆat d¯on vi thoi gian).
’
’
.
.
.
´
´
`
’
Nˆeu c´ac th`anh phˆan hoat d¯ˆong d¯ˆoc lˆap th`ı d¯ˆo tin cˆay cua hˆe thˆong l`a
=
.
.
.
.
.
.
.
.
• V´ı du 30
.
´
’
’
X´et d¯ˆo tin cˆay cua hˆe thˆong cho boi
’
A
B
.
.
.
´
`
h`ınh bˆen. Th`anh phˆan nˆoi A v`a B trˆen
’
’
`
’
d¯inh c´o thˆe thay boi th`anh phˆan d¯on
’
’
´
`
voi d¯oˆ tin cˆay
. Th`anh phˆan song
’
.
.
’
´
˘
’
song cua ngat C v`a D c´o thˆe thay boi
’
’
C
D
´
´
’
˘
ngat d¯on voi d¯ˆo tin cˆay 1−(1− ) (1−
’
.
.
).
´
’
Dˆo tin cˆay cua hˆe thoˆng song song n`ay l`a
.
.
.
¯
1 − (1 −
)[1 − (1 − (1 − ) (1 − ))]
18
Chu’o’ng 1.
´
´
´
`
’
4.3 Cˆong thuc x´ac suˆat d¯ˆay d¯u v`a cˆong thuc Bayes
’
’
´
´
`
’
a) Cˆong thuc x´ac suˆat d¯ˆay d¯u
’
´
ꢀ Cˆong thuc
’
´
’
’
´
´
´
`
`
’
˘
Gia su
´ ´
l`a nh´om c´ac biˆen cˆo d¯ˆay d¯u xung khac tung d¯ˆoi v`a B l`a biˆen
’
’
1
2
’
’
’
’
cˆo bˆat ky` c´o thˆe xay ra trong ph´ep thu. Khi d¯´o ta c´o
( ) =
( ) (
)
=1
´
Chung minh
’
V`ı
+
+
2
+
= Ω nˆen
1
=
(
+
+
+
) =
`
+
+
2
+
1
2
1
´
˘
´
´
´
´
Do c´ac biˆen cˆo
xung khac tung d¯ˆoi nˆen c´ac biˆen cˆo t´ıch
,
’
1
2
1
2
´
`
’
˘
cu˜ng xung khac tung d¯ˆoi.
´
Theo d¯inh ly´ cˆong x´ac suˆat ta c´o ( ) =
(
).
.
.
=1
´
˘
Mat kh´ac theo cˆong thuc nhˆan x´ac suˆat th`ı
(
) = ( ) (
).
’
.
Do d¯´o ( ) =
( ) (
).
=1
´
´
`
’
’
ꢀ Chu´ y´ Cˆong thuc trˆen c`on d¯u´ng nˆeu ta thay d¯iˆeu kiˆen
+
+
2
+
= Ω boi
’
1
.
⊂
+
+
2
+
.
1
’
’
´
´
´
’
’
’
• V´ı du 31 X´et mˆot lˆo san phaˆm trong d¯´o sˆo san phˆam do nh`a m´ay I san xuˆat chiˆem
.
.
´
´
´
´
´
´
’
’
20%, nh`a m´ay II san xuˆat chiˆem 30%, nh`a m´ay III san xuˆat chiˆem 50%. X´ac suˆat phˆe
phˆam cua nh`a m´ay I l`a 0,001; nh`a m´ay II la` 0,005; nh`a m´ay III l`a 0,006. T`ım x´ac suaˆt
d¯ˆe lˆay ngˆau nhiˆen d¯uoc d¯u´ng 1 phˆe phˆam.
’ ’
’
´
’
’
’
´
´
˜
.
’
Giai
’
’
´
´
´
´
’
Goi B l`a biˆen cˆo san phˆam lˆay ra l`a phˆe phˆam
.
’
´
´ ´
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc san phˆam cua nh`a m´ay I, II, III
3
´
´ ´
`
˘
l`a nh´om c´ac biˆen cˆo xung khac tung d¯ˆoi. Ta c´o
’
’
’
’ ’
.
1
2
th`ı
1
2
3
(
1) = 0 2;
(
2) = 0 3;
(
3) = 0 5
( 3) = 0 006
(
1) = 0 001;
(
2) = 0 005;
Do d¯´o
( ) =
(
1) (
1) + ( 2) (
2) + ( 3) (
)
3
= 0 2 0 001 + 0 3 0 005 + 0 5 0 006
= 0 0065
19
´
´
´
`
˘
• V´ı du 32 Mˆot hˆop chua 4 bi trang, 3 bi v`ang v`a 1 bi xanh. Lˆay laˆn luot (khˆong ho`an
’
’ ’
.
.
.
.
’
´
˘
´
´
`
’
lai) tu hˆop ra 2 bi. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe lˆay d¯uoc 1 bi trang v`a 1 bi v`ang.
’ ’
.
.
.
’
Giai
´
´
´ ´
´
´ ´
˘
Goi T l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi trang, V l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi v`ang.
’ ’
.
’ ’
.
.
Ta c´o
4
1
3
( ) = = ;
( ) = ;
8
8
2
3
4
) =
7
(
) = ;
(
7
’
´
˘
´
´
X´ac xuˆat d¯ˆe lˆay d¯uoc 1 bi trang v`a 1 bi v`ang l`a
’ ’
.
1 3 3 4
+ =
3
7
(
) = ( ) (
) + ( ) (
) =
2 7 8 7
´
Cˆay x´ac suˆat
´
’
´
´
´
´
`
`
Trong thuc tˆe c´o nhiˆeu ph´ep thu chua mˆot da˜y nhiˆeu biˆen cˆo. Cˆay x´ac suˆat cung
’
.
’
’
.
´
´
cˆap cho ta mˆot cˆong cu thuˆan loi cho viˆec x´ac d¯inh cˆau tru´c c´ac quan hˆe bˆen trong c´ac
ph´ep thu khi t´ınh x´ac suˆat.
’
.
.
.
.
.
.
.
’
’
´
´
´
’
Cˆau tru´c cua cˆay x´ac suˆat d¯uoc x´ac d¯inh nhu sau:
’ ’
’
.
.
’
´
´
´
´
’
’
`
’ ’
i) Ve˜ biˆeu d¯ˆo cˆay x´ac suˆat tuong ung voi c´ac kˆet qua cua da˜y ph´ep thu.
’ ’
’
’
´
´
’
˜
˜
ii) G´an mˆoi x´ac suˆat voi mˆoi nh´anh.
´
Cˆay x´ac suˆat sau minh hoa cho v´ı du 32.
.
.
T
1
2
3
7
V
X
T
V
X
3
8
4
7
T
V
X
T
V
´
b) Cˆong thuc Bayes
’
´
ꢀ Cˆong thuc
’
´
’
’
´
´
´
`
`
’
˘
Gia su
l`a nh´om c´ac biˆen cˆo d¯ˆay d¯u xung khac tung d¯ˆoi v`a B l`a biˆen
’
’
1
2
’
´ ´
’
’
’
cˆo bˆat ky` c´o thˆe xay ra trong ph´ep thu. Khi d¯´o ta c´o
( ) (
( ) (
)
(
) =
= 1 2
)
=1
20
Chu’o’ng 1.
´
Chung minh
’
´
´
`
Theo cˆong thuc x´ac suˆat c´o d¯iˆeu kiˆen ta c´o
’
.
(
)
( ) (
( )
)
(
) =
=
’
( )
´
`
˘
.
Mat kh´ac theo cˆong thuc x´ac suˆat d¯ˆay d¯u th`ı ( ) =
( ) (
).
’
=1
( ) (
( ) (
)
Do d¯´o
(
) =
.
)
=1
’
´
’
• V´ı du 33 Gia su c´o 4 hˆop nhu nhau d¯ung cu`ng mˆot chi tiˆet m´ay, trong d¯o´ c´o mˆot
’
’
’
’
.
.
.
.
.
´
´
´ ´
´
˜
hˆop 3 chi tiˆet xˆau, 5 chi tiˆet toˆt do m´ay I san suˆat; c`on ba hˆop c`on lai mˆoi hˆop d¯ung 4
chi tiˆet xˆau, 6 chi tiˆet tˆot do m´ay II san suaˆt. Lˆay ngaˆu nhiˆen mˆot hˆop rˆoi tu hˆop d¯´o
’
.
.
.
.
.
´
´
´ ´
´
´
˜
` `
’
’
.
.
.
´
´
lˆay ra mˆot chi tiˆet m´ay.
.
’
´
´
´
´
a) T`ım x´ac suˆat d¯ˆe chi tiˆet m´ay laˆy ra l`a tˆot.
’
´
´ ´
´
´
’
`
’
’
b) Voi chi tiˆet tˆot o cˆau a, t`ım x´ac suaˆt d¯ˆe n´o d¯uoc lˆay ra tu hˆop cua m´ay I.
’ ’
’
’
.
.
’
Giai
´
´ ´
´
´
´
Goi B l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc chi tiˆet tˆot
’ ’
.
.
´ ´
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc hˆop d¯ung chi tiˆet m´ay cua m´ay I, II
2
´
´ ´
`
˘
l`a nh´om c´ac biˆen cˆo xung khac tung d¯ˆoi.
’
´
’
’ ’
.
’
.
1
.
th`ı
a)
1
2
( ) = ( 1) (
1) + ( 2) (
)
2
1
5
1) = ;
8
3
6
(
1) = ;
(
(
2) = ;
4
(
2) =
4
10
Do d¯´o
1 5 3 6
97
=
( ) =
+
4 8 4 10
160
1
4
97
160
5
8
(
1) (
( )
)
26
97
1
b)
(
) =
´
=
’
=
1
’
* Cˆay x´ac suˆat cua cˆau a) cho boi
’
5
8
1
4
5
8
T
1
4
I
X
T
6
10
3
4
6
10
3
4
II
X
Tải về để xem bản đầy đủ
116 trang
24600
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình môn Xác suất thống kê", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_mon_xac_suat_thong_ke.pdf
