Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương IV: Ánh xạ tuyến tính
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016
Chương 4
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
FB: fb.com/daisob1
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
1/29
Nội dung
Chương 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. Định nghĩa
2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
2/29
4.1. Định nghĩa
1
Ánh xạ
2
Ánh xạ tuyến tính
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
3/29
4.1.1. Ánh xạ
Định nghĩa. Một ánh xạ f từ tập X vào tập Y là một phép liên kết
từ X vào Y sao cho mỗi phần tử x của X được liên kết với duy nhất
một phần tử y của Y, ký hiệu: y = f(x)
f : X −→ Y
x
−→ y = f(x).
Khi đó X được gọi là tập nguồn, Y được gọi là tập đích.
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
4/29
Không là ánh xạ
Ví dụ.
• f : R → R xác định bởi f(x) = x2 + 2x − 1 là ánh xạ.
• g : R3 → R2 xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ.
• h : Q → Z xác định bởi h(mn ) = m không là ánh xạ.
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
5/29
4.1.2. Ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói ánh
xạ f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu thỏa hai điều kiện
sau:
i) f(u + v) = f(u) + f(v) với mọi u, v ∈ V ;
ii) f(αu) = αf(u) với mọi α ∈ R và với mọi u ∈ V.
Nhận xét. Điều kiện i) và ii) trong định nghĩa có thể được thay thế
bằng một điều kiện :
f(αu + v) = αf(u) + f(v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V.
Ký hiệu.
• L(V, W ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V vào W.
• Nếu f ∈ L(V, V ) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V.
Viết tắt f ∈ L(V ).
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
6/29
Ví dụ. Cho ánh xạ f : R3 −→ R2 xác định bởi
f(x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z).
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.
Giải. Với mọi u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3. Ta có
f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= ((x1 + x2) + 2(y1 + y2) − 3(z1 + z2), 2(x1 + x2) + (z1 + z2))
= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2, 2x1 + 2x2 + z1 + z2)
= (x1 + 2y1 − 3z1, 2x1 + z1) + (x2 + 2y2 − 3z2, 2x2 + z2)
= f(u) + f(v).
Tính chất ∀α ∈ R, f(αu) = αf(u) được kiểm tra tương tự.
Ví dụ.(tự làm) Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi
f(x, y, z) = (x + y + z, x − 2y, y − 3z).
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
7/29
Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó
(i) f(0) = 0;
(ii) Với mọi u ∈ V, ta có f(−u) = −f(u);
(iii) Với mọi u1, . . . , um ∈ V và với mọi α1, . . . αm, ta có
f(α1u1 + · · · + αmum) = α1f(u1) + · · · + αmf(um).
Ví dụ. Cho f ∈ L(R3, R2) và
f(1, 2, 1) = (2, 1); f(−1, 2, 3) = (4, −3).
Tính f(5, 2, −3)?
Giải. Ta có (5, 2, −3) = 3(1, 2, 1) − 2(−1, 2, 3). Suy ra
f(5, 2, −3) = 3(2, 1) − 2(4, −3) = (−2, 9).
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
8/29
Định lý. Cho V và W là hai không gian vectơ, B = {u1, u2, . . . , un} là
cơ sở của V. Khi đó, nếu S = {v1, v2, . . . , vn} là một tập hợp của W thì
tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : V → W sao cho
f(u1) = v1, f(u2) = v2, . . . , f(un) = vn.
α1
α2
.
.
.
Hơn nữa, nếu [u] =
thì
B
αn
Ví dụ. Trong không gian R3 cho các vectơ:
u1 = (1, −1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (2, −1, 3).
a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R3.
b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa:
f(u1) = (2, 1, −2); f(u2) = (1, 2, −2); f(u3) = (3, 5, −7).
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
9/29
Giải.
3
a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R .
u1
1 −1 1
Lập A = u2
u3
=
1
0 1 . Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập tuyến
2 −1 3
tính. Vì dimR3 = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của R3.
3
3
b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R −→ R thỏa:
f(u1) = (2, 1, −2); f(u2) = (1, 2, −2); f(u3) = (3, 5, −7).
Cho u = (x, y, z) ∈ R3, ta sẽ tìm [u]B. Lập ma trận mở rộng
1 1
2 x
1 0 0 x − y − z
>
>
>
>
(u1 u2 u3 |u ) = −1 0 −1 y → 0 1 0 2x + y − z .
1 1
3
z
0 0 1 −x + z
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
10/29
x − y − z
Vậy [u]B = 2x + y − z . Suy ra
−x + z
u = (x − y − z)u1 + (2x + y − z)u2 + (−x + z)u3.
Vậy, ta có
f(u) = (x − y − z)f(u1) + (2x + y − z)f(u2) + (−x + z)f(u3)
= (x − y − z)(2, 1, −2) + (2x + y − z)(1, 2, −2)
+ (−x + z)(3, 5, −7)
= (x − y, y + 2z, x − 3z).
Ví dụ.(tự làm) Cho
B = (u1 = (1, −2, 2); u2 = (−2, 5, −4); u3 = (0, −1, 1)) là một cơ sở của
R3. Tìm f ∈ L(R3, R3) thỏa
f(u1) = (1, 1, −2); f(u2) = (1, −2, 1); f(u3) = (1, 2, −1).
Đáp án. f(x, y, z) = (−x + 3y + 4z, −3x + 2z, −3y − 4z).
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
11/29
4.2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
1
Không gian nhân
2
Không gian ảnh
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
12/29
4.2.1. Không gian nhân
Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt
Kerf = {u ∈ V | f(u) = 0}
Khi đó Kerf là không gian con của V, ta gọi Kerf là không gian
nhân của f.
Nhận xét. Dựa vào định nghĩa, ta được
u ∈ Kerf ⇔ f(u) = 0.
Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:
f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z).
Tìm một cơ sở của Kerf?
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
13/29
f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z)
Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R3. Ta có
u ∈ Kerf ⇔ f(u) = 0
x + y − z = 0
⇔
2x + 3y − z = 0
3x + 5y − z = 0
1 1 −1
1 0 −2
˜
Ma trận hóa ta được A = 2 3 −1 → 0 1
1 .
3 5 −1
0 0
0
Hệ phương trình có nghiệm
(x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R.
Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1).
Vậy, Kerf có một cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}.
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
14/29
Ví dụ.(tự làm) Cho f : R4 → R3 được xác định bởi:
f(x, y, z, t) = (x + 2y + 3z + 2t, x + 3y + 3z − t, 2x + 3y + 6z + 7t).
Tìm một cơ sở của Kerf?
Hướng dẫn. Xét hệ phương trình thuần nhất với ma trận mở rộng
1 2 3
2
1 0 3
8
˜
A = 1 3 3 −1 → 0 1 0 −3
2 3 6
7
0 0 0
0
Hệ phương trình có nghiệm
(x, y, z, t) = (−3a − 8b, 3b, a, b) với a, b ∈ R.
Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (−3, 0, 1, 0) và u2 = (−8, 3, 0, 1).
Vậy, Kerf có một cơ sở là {u1 = (−3, 0, 1, 0); u2 = (−8, 3, 0, 1)}.
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
15/29
4.2.1. Không gian ảnh
Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt
Imf = {f(u) | u ∈ V }.
Khi đó Imf là không gian con của W, ta gọi Imf là không gian ảnh
của f.
Định lý. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, nếu
S = {u1, u2, . . . , um}
là tập sinh của V thì
f(S) = {f(u1), f(u2), . . . , f(um)}
là tập sinh của Imf.
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
16/29
Nhận xét. Dựa vào Định lý trên, để tìm cơ sở Imf, ta chọn một tập
sinh S của V (để đơn giản ta có thể chọn cơ sở chính tắc). Khi đó Imf
sinh bởi tập ảnh của S.
Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:
f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z).
Tìm một cơ sở của Imf?
Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R3. Ta có
f(e1) = f(1, 0, 0) = (1, 2, 3),
f(e2) = f(0, 1, 0) = (1, 3, 5),
f(e3) = f(0, 0, 1) = (−1, −1, −1).
Ta có Imf sinh bởi {f(e1), f(e2), f(e3)}.
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
17/29
f(e1)
1
1
2
3
3
1 2 3
Lập ma trận A = f(e2) =
f(e3)
5 → 0 1 2 .
−1 −1 −1
0 0 0
Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}.
Ví dụ.(tự làm) Cho f : R3 → R4 được xác định bởi:
f(x, y, z) = (x + 2y − 3z, 3x + 2y, 2x + 2y − z, 4x − y + 5z).
Tìm một cơ sở của Imf?
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
18/29
4.3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa. Cho B = (u1, u2, . . . , un) là cơ sở của V,
C = (v1, v2, . . . , vm) là cơ sở của W và f ∈ L(V, W). Ta đặt
P = ([f(u1)]C [f(u2)]C . . . [f(un)]C).
Khi đó ma trận P được gọi là ma trận biểu diễn của ánh xạ f theo
cặp cơ sở B, C, ký hiệu P = [f]B,C (hoặc [f]CB).
Nhận xét. Khi V = Rn, W = Rm, ta có phương pháp tìm [f]B,C như
sau:
Tính f(u1), f(u2), . . . , f(un).
Đặt M = (v1> v2> . . . vm> | f(u1)> f(u2)> . . . f(un)>).
Dùng thuật toán Gauss-Jordan, đưa M về dạng (Im | P)
Khi đó [f]B,C = P.
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
26/04/2016
19/29
Ví dụ. Xét ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định bởi
f(x, y, z) = (x − y, 2x + y + z)
và cặp cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)),
C = (v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)). Tìm [f]B,C?
Giải. Ta có
f(u1) = (0, 3),
f(u2) = (−1, 3),
f(u3) = (0, 4).
ꢀ
ꢁ
1 2 0 −1 0
Lập
(v1> v2> | f(u1)> f(u2)> f(u3)>) =
3 5 3
3 4
ꢀ
ꢁ
1 0
6
11
8
→
.
0 1 −3 −6 −4
Vậy
ꢀ
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
ꢁ
6
11
8
[f]B,C
=
.
−3 −6 −4
26/04/2016
20/29
Tải về để xem bản đầy đủ
30 trang
15/01/2024
9440
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương IV: Ánh xạ tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_iv_anh_xa_tuyen_tinh.pdf
