Bài giảng Một số vấn đề chọn lọc trong toán cho kỹ sư - Phần II: Xác suất và thống kê

Một số vấn đề chọn lọc trong

toán cho kỹ sư

Nguyễn Linh Giang

Viện CNTT&TT

Phần II. Xác suất và thống kê

Mô tả khóa học

Dành cho sinh viên đại học

Xây dựng các mô hình xác suất và cơ sở

thống kê

Phân tích sự bất định

Suy diễn thống kê

Phân tích số liệu thực nghiệm

Nội dung

Phần I. Xác xuất trong tính toán và thuật toán

Phần II. Xác suất và thống kê

Khái niệm xác suất và các biến ngẫu nhiên

Khái niệm xác suất

Các biến ngẫu nhiên và các đặc trưng

Một số hàm phân bố xác suất quan trọng

Định luật số lớn

Hàm của biến ngẫu nhiên

Các định lý giới hạn

Ước lượng tham số cad sai số thống kê

Cơ sở thống kê toán học

Các quá trình ngẫu nhiên

Tài liệu

Papoulis, Probability, Random

variable, Stochastic Processes

Trossets M. W, An introductions to

statistical inference and data analysis.

J. S. Bendat, A. G. Piersol. Random Data:

analysis and measurement procedures.

II. Cơ sở lý thuyết xác suất

2.1. Khái niệm xác suất.

2.2. Các biến ngẫu nhiên.

2.3. Một số phân bố xác suất quan trọng

2.4. Định luật số lớn.

2.5. Phân bố tự nhiên ( phân bố Gauss).

2.6. Các định lý giới hạn trung tâm.

2.1. Khái niệm xác suất

Khái niệm xác suất

Định nghĩa kinh điển của Laplace về xác suất:

N_A

P(A) = ,

N

Định nghĩa xác suất theo tuần suất tương đối:

n_A

P(A) = lim

n → ∞

n

2.1. Khái niệm xác suất

Phát biểu tiên đề của Kolmogorov

Ω: không gian mẫu: tập hợp tất cả các kết cục thực

nghiệm – không gian các sự kiện cơ sở

Ω = { ξ₁, ξ₂, … ξ_k, …, ξ_n, … }

Sự kiện – là một tập con của Ω. Số tập con của không

gian mẫu: 2ⁿnếu n < ∞.

Trường-σ F của các tập con của Ω

P: độ đo xác suất trên các phần tử của trường-σ F

A – sự kiện bất kỳ

3 tiên đề xác suất

(i) P(A) ≥ 0

(ii) P(Ω) =1

(iii) If A∩ B = φ, then P(A∪ B) = P(A) + P(B).

< Ω, F, P >: mô hình xác suất

2.1. Khái niệm xác suất

Các sự kiện: A và B

Các sự kiện lợi trừ: A ∩ B = ∅

Phân hoạch của Ω:

A₁

n

A₂

A ∩ A = φ, and A = Ω

U

A_i

i

j

i

B

A

i=1

A _j

A_n

A ∩ B = φ

Ví dụ: thí nghiệm gieo hai đồng xu đồng thời

Các sự kiện cơ sở:

ξ₁= (S, S), ξ₂= (S, N), ξ₃= (N, S), ξ₄= (N, N)

Sự kiện A - tập con của Ω A = { ξ₁, ξ₂, ξ₃}

2.1. Khái niệm xác suất

Xác suất có điều kiện và các sự kiện độc lập

N thí nghiệm độc lập,

N_A, N_B, N_AB: số lần xuất hiện của các sự kiện

A, B và AB.

Với số lần thực nghiệm N lớn

N _A

N_B

N _AB

P(A) ≈ , P(B) ≈ , P(AB) ≈ .

N

Xác suất có điều kiện: P(A|B)

N _ABN_AB/ N P(AB)

P(A | B) = =

N_BN_B/ N P(B)

=

2.1. Khái niệm xác suất

Các tính chất của xác suất có điều kiện:

P(A|B) là đại lượng không âm:

P(AB) ≥ 0

P(A| B) =

≥ 0,

= 1,

P(B) > 0

P(Ω|B) = 1

P(ΩB) P(B)

=

P(Ω | B) =

P(B) P(B)

Nếu A∩B = ∅ ,

P(A ∪ C | B) = P(A | B) + P(C | B),

2.1. Khái niệm xác suất

Nếu B ⊂ A thì P( A|B ) = 1

B⊂A => AB = B => P( A|B ) = P( AB)/P(B) = P(B)/P(B)= 1.

Nếu A ⊂ B thì P( A|B ) > P( A )

A ⊂ B => AB = A =>

P(A|B) = P( AB )/P(B) = P(A)/P(B) > P(A)

Cho, A₁, A₂, …, A_nlà các sự kiện đôi một loại trừ và

hợp của chúng tạo thành Ω:

n

A ∩ A_j= ∅,

U^{A = Ω.}

i

Với B là một sự kiện bất kỳ, ta sẽ có

i=1

n

P(B) = P(BA ) = P(B | A )P(A ).

∑ ∑

i

i=1

2.1. Khái niệm xác suất

Ví dụ: thí nghiệm gieo quân xúc xắc.

Sự kiện A: {số trên mặt xúc xắc chẵn}

Sự kiện B: {số trên mặt xúc xắc bằng 2}

B ⊂ A => P(A|B) = 1

Ví dụ: thí nghiệm gieo quân xúc xắc,

Sự kiện A: {số trên mặt xúc xắc bằng 2} ,

Sự kiện B: {số trên mặt xúc xắc là chẵn},

A ⊂ B.

Việc sự kiện B xuất hiện làm cho khả năng xuất

hiện sự kiện A lớn hơn trong trường hợp không

có thông tin về B.

2.1. Khái niệm xác suất

Các sự kiện độc lập: cho hai sự kiện A và B

P(AB) = P(A) P(B)

Nếu A và B là hai sự kiện độc lập, :

P(A| B) = P(A)

Định lý Bayes

P(B | A)

P(A| B) =

⋅ P(A)

P(B)

Định lý Bayes tổng quát:

P ( B | A_i) P ( A_i)

P ( A_i| B ) =

=

,

n

P ( B )

P ( B | A ) P ( A )

∑

i

i =1

2.1. Khái niệm xác suất

Giải thích định lý Bayes:

P(A) là xác suất tiên nghiệm của sự kiện A.

Sự kiện B là những tri thức mới nhận được từ

kết quả thực nghiệm.

Xác suất có điều kiện P(A|B) của A với điều

kiện sự kiện B xảy ra.

Những tri thức mới sẽ được dùng để làm tăng

tri thức về sự kiện A.

2.1. Khái niệm xác suất

Ví dụ:

Trong hộp có 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen.

Loại bỏ ngẫu nhiên hai quả cầu không hoàn lại.

P{quả cầu thứ nhất là trắng và quả cầu thứ hai là

đen} = ?

Giải:

W₁= “quả cầu thứ nhất bị loại là trắng”

B₂= “quả cầu thứ hai bị loại là đen”

P(W₁∩B₂) = ?

Câu hỏi: hai sự kiện W₁và B₂có độc lập không ?

2.1. Khái niệm xác suất

Ví dụ: hai hộp B1 và B2 lần lượt chứa 100 và 200

bóng đèn. Hộp B1 có 15 bóng hỏng và B2 - 5. Giả

thiết, các hộp được lựa chọn ngẫu nhiên và một bóng

đèn được lấy ra ngẫu nhiên.

(a) Xác định xác suất để bóng đèn được lấy ra đó là

bóng bị lỗi?

(b) Giả sử chúng ta kiểm tra một bóng đèn và thấy

bóng đó bị lỗi, khả năng bóng đèn đó là từ hộp nào ?

2.1. Khái niệm xác suất

Các thí nghiệm lặp, thí nghiệm Bernoulli

Xét n thí nghiệm độc lập với các mô hình (Ω₁, F₁, P₁),

(Ω₂, F₂, P₂), ..., (Ω_n, F_n, P_n).

Cho ξ₁∈Ω₁, ξ₂∈Ω₂,..., ξ_n∈Ω₂: là các sự kiện cơ sở.

Liên hợp của n thí nghiệm tạo ra sự kiện cơ sở liên

hợp ω = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n).

Xét không gian liên hợp Ω = Ω₁× Ω₂× ... × Ω_n: ξ₁∈

Ω₁, ..., ξ_n∈ Ω_n,

Sự kiện trong không gian liên hợp Ω có dạng

A₁×A₂×...×A_n.

Nếu n thí nghiệm là độc lập, ta có

P(A₁×A₂×...×A_n)=P(A₁)×...×P(A_n)

2.1. Khái niệm xác suất

Vấn đề: sự kiện A với xác suất p xuất hiện trong thí

nghiệm đơn lẻ. Xác định xác suất để sự kiện A xuất hiện

đúng k lần, k ≤ n tại những lần xác định trong n thí

nghiệm.

P (ω) = P({ξ_i,ξ_i,L,ξ_i,L,ξ_i}) =

0

1

2

k

n

= P({ξ_i})P({ξ_i})LP({ξ_i})LP({ξ_i}) =

1

2

k

n

= P(A)P(A)LP(A) P(A)P(A)LP(A) = p^kq^n−k.

144424443 144424443

k

n−k

P{ A xuất hiện đúng k lần trong n thí nghiệm } = C^k_np^kq^n-k

Công thức Bernoulli.

2.1. Khái niệm xác suất

Định lý De Moivre - Laplace

Giả thiết n→∞ với p cố định.

npq

Với k trong lân cận

của np.

Có thể ước lượng xác suất Bernoulli bằng:

2

1

C_n^kp^kq^n−k≈

e^{−(k−np) /2npq}

.

2πnpq

Công thức Stirling ước lượng n!:

n+¹₂

n! ~ 2π n e⁻ⁿ

2.1. Khái niệm xác suất

Ước lượng công thức Bernoulli

n

n!

⎛ ⎞

p^kq^n−k=

p^kq^n−k,

⎜ ⎟

k

(n − k)!k!

⎝ ⎠

n

k

n−k

⎛ ⎞

np

nq

p^kq^n−k> c₁

n

( ) (_n−k)

2π (n−k)k k

⎜ ⎟

k

⎝ ⎠

n

k

n−k

⎛ ⎞

np

nq

p^kq^n−k< c₂

n

( ) (_n−k)

2π (n−k)k k

⎜ ⎟

k

⎝ ⎠

1

−

{

}

{

}

12n+1 12(n−k ) 12k

12n 12(n−k )+1 12k+1

c₁= e

c₂= e

.

Các hằng số c₁và c₂khá gần nhau.

Bài giảng Một số vấn đề chọn lọc trong toán cho kỹ sư - Phần II: Xác suất và thống kê - Nguyễn Linh Giang