Bài giảng Phương pháp số - Bài 5: Đạo hàm và tích phân

BÀI 5

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

ĐẶT VẤN ĐỀ (1)

1. PHÉP THẾ GIẢI TÍCH:

Ứng dụng chính của các đa thức xấp xỉ là thay thế một hàm

phức tạp, hay một hàm cho dƣới dạng bảng bởi một đa thức

để các phép toán cơ bản của giải tích có thể thực hiện đƣợc

dễ dàng hơn. Chúng bao gồm

b

I(f) f(x)dx và D(f) f ^'(a)



a

Kí hiệu L một trong các phép toán này trên các hàm, xấp xỉ

L(f) bởi L(p), với p(x) là một đa thức xấp xỉ của f(x)

 L có thể thực hiện đƣợc dễ dàng hơn trên p(x) vì nó là

một đa thức và L là một trong hai phép toán đạo hàm và tích

phân

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

2

ĐẶT VẤN ĐỀ (2)

2. SAI SỐ L(f) – L(p):

Do tính tuyến tính của phép toán L

L(f + g) = L(f) + L(g)

L(af) = aL(f)

trong đó f(x) và g(x) là các hàm và a là một hằng số.

Tính tuyến tính dẫn đến

L(f) – L(p) = L(e)

trong đó e(x) là sai số trong xấp xỉ p(x) của f(x),

f(x) = p(x) + e(x)

p(x) là một đa thức nội suy bậc ≤ n của f(x) tại các điểm

x₀, … , x_n.

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

3

ĐẶT VẤN ĐỀ (3)

2. SAI SỐ L(f) – L(p):

Sử dụng đa thức nội suy Newton

Sai số E(f) = L(f) – L(p) tính đƣợc bằng cách áp dụng toán

tử L vào hàm sai số của đa thức nội suy – các công thức

(2.16) và (2.18)

e_n(x)  f(x)  p_n(x)

n

^{ f[x ,..., x , x]}Π^{(x  x )}

0

n

j

j0

f^(n1)(ξ)

n



(x  x ), ξ [c, d]

_{(n  1)!}

j

j0

[c; d] là khoảng chứa các mốc nội suy x₀, x₁, …, x_n

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

5

ĐẠO HÀM (1)

1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:

Cho f(x) khả vi liên tục trên [c; d]. Nếu x₀, …, x_kє [c; d],

thì theo công thức nội suy Newton (2.37)

f(x) = p_k(x) + f[x₀, . . . , x_k, x] Ψ_k(*)

trong đó p_k(x) là đa thức bậc ≤ k nội suy hàm f(x) tại x₀, …, x_k, và

k

Ψ_k(x) (x  x _j)



j0

d

Do f[x₀,,x_k,x] f[x₀,,x_k,x,x]

dx

nếu f(x) đủ trơn, lấy đạo hàm (*) ta nhận đƣợc

'

f '(x)  p'_k(x)  f[x ,,x ,x,x] Ψ (x)  f[x ,,x ,x] Ψ (x)

0

k

0

k

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

6

ĐẠO HÀM (2)

1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:

 Nếu chúng ta xấp xỉ

thì sai số trong xấp xỉ là

f '(a)  p'_k(a)

f[x₀,,x_k,a,a]_k(a) f[x₀,,x_k,a]^'(a)

E(f) = D(f) – D(p_k) =

k

,

f^(k2)(ξ) (a) f^(k1)(η) (a)

ψ_k

,(c,d).





,

(Đ.lí 2.5)

(k  2)!

(k 1)!

TH1: Khi a là một mốc nội suy, a = x_ivới i nào đó.

Do Ψ_k(x) chứa thừa số (x – x_i), suy ra Ψ_k(a) = 0.

Hơn nữa, Ψ’_k(a) = q(a) trong đó

ψ_k(x)

q(x) 

 (x  x₀)(x  x_i1)(x  x_i1)(x  x_k)

x  x_i

 E(f) 

f^(k1)()

k

(x_i x_j) (1)

_{(k 1)!}

j0

ji

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

7

ĐẠO HÀM (3)

1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:

TH2: : Khi a không là một mốc nội suy, có thể chọn a

sao cho Ψ’_k(a) = 0, chẳng hạn khi k lẻ, và các x_iđối xứng

xung quanh a, tức là

k 1

x_{k j} a  a  x_jj  0,,

2

( x – x_j) (x – x_k–j) = (x – a + a – x_j) (x – a + a – x_k–j)

k 1

= (x – a)²– (a – x_j)²

j  0,,

^(k^1)/2

2





ψ_k(x) 

(x  a)  (a  x _j)

j0

d

2

'





Do (x  a)  (a x_j)  2(x  a)

 0 j  ψ_k(a)  0

x  a

dx

f^(k2)(ξ) ^(k1)/2

2





E(f) 

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

 (a  x_j) (2)



(k  2)!

j0

8

ĐẠO HÀM (4)

1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:

• k = 1: p_k(x) = f(x₀) + f[x₀, x₁] (x – x₀)

Nếu a = x₀và với h = x₁– x₀, thì

f(a  h)  f(a)

f ^'(a)  f[a,a h]

,

h

1

E(f)  hf^"(η)

h nên là 5%, 1% của x_ihay nhỏ hơn

2

Nếu a = (x₀+ x₁)/2

thì x₀= a – h, x₁= a + h, h = (x₁- x₀)/2. và

h²

f(a  h)  f(a  h)

f ^'(a)  f[a  h,a  h]

,

E(f)   f '''(η)

2h

6

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

9

ĐẠO HÀM (5)

1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:

• k = 2: P_k(x) = f(x₀) + f[x₀, x₁](x – x₀) + f[x₀, x₁, x₂](x – x₀)(x – x₁)

Nếu x₀= a , x₁= a + h, x₂= a + 2h thì

f(x)

 3f(a) 4f(a  h)  f(a  2h)

f ^'(a) 

2h

h²

E(f)  f^'''(ξ), a  ξ  a  2h

3

Nếu x₀= a – h, x₁= a, x₂= a + h

h = (x₂– x₁) /2 thì

x₀

a

x₂

h²

f(a  h)  f(a  h)

E(f)  f ^'''(ξ), |ξ  a| h

f ^'(a) 

,

2h

6

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

10

ĐẠO HÀM (6)

1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:

• Trường hợp a є [x_i-1, x_i]: bất kì và các điểm x_ikhông

cách đều:, tính gần đúng f’(a) bằng cách:

a) Sử dụng các đạo hàm g’₃(x) của các đa thức

ghép trơn bậc ba SPLINE trên [x_i-1, x_i]

b) Sử dụng đạo hàm của xấp xỉ tốt nhất của f(x)

theo nghĩa bình phƣơng bé nhất

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

11

TÍCH PHÂN (1)

1 MỘT SỐ QUY TẮC CƠ BẢN

b

^I(f)^f(x)dx

Bài toán: Tìm một ƣớc lƣợng

a

khi không thể tính đƣợc một cách chính xác hay khi chỉ biết

f(x) tại một số hữu hạn điểm trên khoảng [a, b].

Giải: Về nguyên tắc, ta xấp xỉ I(f) bởi I(p_k), trong đó p_k(x) là

một đa thức bậc ≤ k, trùng với f(x) tại các điểm x₀, .., x_k:

I(p_k) = A₀f(x₀) + A₁f(x₁) + · · · + A_kf(x_k)

Các trọng số A_i= I(l_i), với l_i(x) là đa thức Lagrange thứ i.

Giả sử f(x) là đủ trơn trên khoảng [c, d] chứa a và b, ta có

thể viết f(x) = p_k(x) + f[x₀, …, x_k, x] Ψ_k(x)

k

trong đó

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

ψ_k(x)  (x  x _j)

j0

12

TÍCH PHÂN (2)

1 MỘT SỐ QUY TẮC CƠ BẢN

k = 0: p₀(x) = f(x₀)

Nếu x₀= a: quy tắc hình chữ nhật

I(f) ≈ R = (b – a)f(a), từ (7.20)

b

f ^'(η) (b  a)²

E^R f ^'(η) (x  a)dx 



2

a

Nếu x₀= (a + b)/2: quy tắc trung điểm

a  b









từ (7.22)

I(f) M  (b  a)f

2





f''(η) (b  a)³

E^M

với η∈(a, b)

24

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

13

TÍCH PHÂN (3)

1 MỘT SỐ QUY TẮC CƠ BẢN

k = 1: p₁(x) = f(x₀) + f[x₀, x₁] (x – x₀) quy tắc hình thang

1

I(f) T  (b  a)[f(a) f(b)]

2

f ^''(η) (b  a)³

E^T 

, η[a,b]

12

k = 2: p₂(x) = f(x₀) + f[x₀, x₁] (x – x₀) + f[x₀, x₁, x₂](x – x₀)(x – x₁)

quy tắc Simpson













b  a

a  b





I(f) S 

f(a) 4f

 f(b)





6

2



5



(iv)





f (η) (b  a)/2

90

E^S 

, η[a,b]

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

14

TÍCH PHÂN (4)

2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP:

Các quy tắc cơ bản tính tích phân số không tạo ra các ƣớc

lƣợng đủ chính xác, khi khoảng [a, b] là tương đối lớn

Giải pháp: Chia [a,b] thành N khoảng đều nhau:

a = x₀< x₁< x₂< · · · < x_N= b

và áp dụng các quy tắc cơ bản đối với từng khoảng con.

Kí hiệu g_k(x) là một hàm đa thức từng khúc với các điểm

cách đều {x_i} (i = 1, …, N – 1). Gọi P_i,k(x) (i = 0, …, N) là các

đa thức bậc ≤ k trùng với g_k(x) trên [x_i–1, x_i]

N

b

x

i

I(f) f(x)dx

f(x)dx



_a_x

i1

i1

N

x

i

N

x

i

 I(g_k) 

g_k(x)dx 

P_i,k(x)dx



_x

i1

i1

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

15

TÍCH PHÂN (5)

2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP:

b

Sai số:

^{E(f) I(f) I(p ) }^{f[x ,,x ,x]ψ (x)dx}

k

0

k

a

- Nếu Ψ_k(x) giữ dấu không đổi trên (a,b), thì theo định lí giá

trị trung bình đối với tích phân, tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho

b

^{f[x ,,x ,x]ψ (x)dx  f[x ,,x ,ξ] ψ (x)dx}



a

0

k

0

k

a

và nếu f(x) khả vi liên tục đến cấp k + 1 trên (a, b), thì

b

1

(k 1)!

với η ∈ (a, b)

E(f)

f ^(k1)(η) ψ_k(x)dx



a

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

16

TÍCH PHÂN (7)

2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP:

• Quy tắc hình thang tổng hợp: Lập công thức

Áp dụng quy tắc hình thang trên mỗi khoảng con [x_i–1, x_i],

f ^''(η) h³

_x^xi

1

f(x)dx (x_i x_i1)[f(x )  f(x_i1)]

, x_i1 η  x_i

i

2

12

i1

Lấy tổng theo i = 1, . . . , N ta nhận đƣợc

N

N1

1

h

I(f) T_N h [f_i f_i1]  h f_i [f₀ f_N] và

 

2

i1

f ^''(η) h³

f ^''(η) h²(b  a)

E^T_N n

 

với η ∈ (a, b)

12

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

18

TÍCH PHÂN (8)

2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP:

Quy tắc hình thang tổng hợp:

6

Ví dụ 1: tính

I  (3  1.5x  0.25x²) dx

với n = 6



0

x_i

0

1

2

3

4

5

6

f(a), f(b)

f(x_i)

4.25

6

5

4

3

2

1

0

3

5.00

5.25

5.00

4.25

3

0

1

2

3

4

5

6

x

Tổng

6

23.75

26.75

19

I =

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

TÍCH PHÂN (9)

2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP:

Quy tắc hình thang tổng hợp:

Ví dụ 2: Tìm số điểm chia N tối thiểu để quy tắc hình

thang tổng hợp cho giá trị gần đúng của tích phân

1

2

e^xdx chính xác đến 10^-4

₀

2

Do f'''(x)  4xe ^x(3  2x²)  0 khi x  0hay x   1.5

 max|f^’’(x)| trên [0, 1] phải xảy ra tại x = 0 hay x = 1,tức là

max|f ^''(η)|  max{|f ^''(0)|,|f ^''(1)|} max{2, 2e^1} 2

0η1

|f^''(η) N^2| 2N^2

1

 E_N= |–f^’’(η) N ^{– 2}/ 12 |

 max





 10^4

12 6 N²

0η1

12

 N ≥ 41

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

20

TÍCH PHÂN (10)

2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP:

Quy tắc hình thang tổng hợp: Chương trình tính

double Thang (double f(double), double a, double b, int N) {

assert(a < b && N > 0);

double h = (b - a) / N, S = 0.5 * f(a); // i=0

for (int i = 1; i < N; i ++) {

double x = a + i * h;

S = S + f(x);

}

S = S + 0.5 * f(b);

return h * S;

}

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

21

TÍCH PHÂN (11)

2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP:

• Quy tắc Simpson tổng hợp: Lập công thức

Kí hiệu a = x_i–1, b = x_i, và x_i– x_i–l= h đối với mỗi khoảng con

f ^(iv)(η_i)(h/2)⁵

_x^xi

h

f(x)dx [f_i1 4f_i1/2 f_i] 

, x_i1 η_i x_i

6

90

i1

trong đó f_i= f(x_i), f_{i -1/2}= f(x_i-h/2), lấy tổng theo i = 1 .., N

N

N (iv)

f (η_i)(h/2)⁵

x

h

i

I(f)

f(x)dx

[f_i1 4f_i1/2 f_i] 



₆



_x

90

i1

i1

N1

N







(iv)

4

h

f (ξ) (h/2) (b  a)

N

S  f  f  2 f  4 f

,



E  

 

N

0 N

i

i1/2

S

6

180

với ξ∈ (a, b)







i1



PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5

22