Bài giải Xác suất thống kê - Chương 3: Lý thuyết mẫu và ước lượng - Trần Ngọc Hội
vì trong
n = 100 con coù m = 10 + 10 + 10 = 30 con coù troïng löôïng töø
BAØI GIAÛI
60kg trôû leân, nghóa laø coù 30 con ñaït tieâu chuaån.
XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
(GV: Traàn Ngoïc Hoäi – 2009)
a) Öôùc löôïng troïng löôïng trung bình cuûa loaïi vaät nuoâi treân vôùi ñoä tin caäy
96%.
CHÖÔNG 3
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy
γ = 1- α = 96% = 0,96.
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng
cho kyø voïng:
LYÙ THUYEÁT MAÃU VAØ ÖÔÙC LÖÔÏNG
S
S
(X − zα
;X + zα
),
Baøi 3.1. Ñeå khaûo saùt troïng luôïng X cuûa moät loaïi vaät nuoâi trong noâng traïi,
ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quûa sau:
n
n
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
X(kg)
Soá con
36
15
42
12
48
25
54
18
60
10
66
10
72
10
ñöôïc zα = 2,06. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
11,0608
100
11,0608
100
(51,96 − 2,06
; 51,96 + 2,06
) = (49,68; 54,24).
a) Öôùc löôïng troïng löôïng trung bình cuûa loaïi vaät nuoâi treân vôùi ñoä tin caäy
96%.
b) Vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi
treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu?
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 96%, troïng löôïng trung bình cuûa moät con
naèm trong khoaûng töø 49,68kg ñeán 54,24kg.
c) Nhöõng con vaät coù troïng löôïng töø 60kg trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng con
“ñaït tieâu chuaån”. Haõy öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä tin caäy
95%.
d) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä tin caäy 99% vaø ñoä
chính xaùc 10% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu con vaät nöõa?
e) Vôùi ñoä tin caäy 90%, tæ leä con ñaït tieâu chuaån toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi
treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu?
b) Vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi
treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu?
Ta coù ñoä tin caäy γ = 1 - α = 95% = 0,95 (α = 0,05).
-
Ñeå bieát troïng löôïng trung bình toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi treân laø bao
nhieâu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho kyø voïng μ = M(X).
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng
khoaûng beân traùi cho kyø voïng:
S
(−∞;X + z2α
) ,
Lôøi giaûi
n
Ta coù:
trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = (1- 2.0,05)/2 = 0,90/2 = 0,45. Tra baûng giaù
trò haøm Laplace ta ñöôïc z2α = 1,65. Suy ra troïng löôïng trung bình toái ña
laø:
n = 100;
X n =5196;
X 2n =282096.
i i
∑
∑
i
i
• Kyø voïng maãu cuûa X laø
1
n
S
n
11,0608
X =
X n = 51,96(kg).
i i
X + z2α
= 51,96 + 1,65
= 53,7850(kg)
.
∑
100
• Phöông sai maãu cuûa X laø:
Vaäy vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi
treân laø 53,7850kg.
- Ñeå bieát troïng löôïng trung bình toái thieåu cuûa loaïi vaät nuoâi treân laø bao
nhieâu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho kyø voïng μ = M(X).
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng
2
1
S
=
X 2n − X2 =(11,0054)2(kg2).
i i
ꢀ
∑
n
• Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø:
2
n
n − 1
S2
=
S
= (11,0608)2 (kg2).
ꢀ
khoaûng beân traùi cho kyø voïng:
• Tæ leä maãu con ñaït tieâu chuaån laø
S
n
(X − z2α
;+∞),
m
30
Fn =
=
= 0,3
n
100
trong ñoù z2α = 1,65. Suy ra troïng löôïng trung bình toái thieåu laø:
1
2
S
n
11,0608
100
Ta coù ñoä tin caäy γ = 1 - α = 90% = 0,90 (α = 0,1).
Ñeå bieát tæ leä toái ña con ñaït tieâu chuaån cuûa loaïi vaät nuoâi treân laø bao
X − z2α
= 51,96 − 1,65
= 50,1350(kg)
.
-
nhieâu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä p con ñaït tieâu chuaån.
Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä p :
Fn(1 − Fn)
Vaäy vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình toái thieåu cuûa loaïi vaät nuoâi
treân laø 50,1350kg.
(−∞;Fn + z2α
),
n
c) Nhöõng con vaät coù troïng löôïng töø 60kg trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng con
“ñaït tieâu chuaån”. Haõy öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä tin caäy
95%.
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä
tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng :
trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,80/2 = 0,40. Tra baûng giaù trò haøm Laplace
ta ñöôïc z2α = 1,28. Suy ra tæ leä toái ña con ñaït tieâu chuaån laø:
Fn(1 − Fn)
0,3(1 − 0,3)
Fn + z2α
= 0,3 + 1,28
= 0,3587.
n
100
Vaäy vôùi ñoä tin caäy 90%, tæ leä toái ña con ñaït tieâu chuaån cuûa loaïi vaät nuoâi
treân laø 35,87%.
Fn(1 − Fn)
Fn(1 − Fn)
(Fn − zα
;Fn + zα
),
-
Ñeå bieát tæ leä toái thieåu con ñaït tieâu chuaån cuûa loaïi vaät nuoâi treân laø bao
n
n
nhieâu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä p con ñaït tieâu chuaån.
Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä p:
Fn(1 − Fn)
trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
0,3(1 − 0,3)
0,3(1 − 0,3)
(Fn − z2α
;+∞),
(0,3 − 1,96
; 0,3 + 1,96
) = (21,02%; 38,98%).
n
100
100
trong ñoù z2α = 1,28. Suy ra tæ leä toái thieåu con ñaït tieâu chuaån laø:
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä con ñaït tieâu chuaån naèm trong
khoaûng töø 21,02% ñeán 38,98%.
Fn(1 − Fn)
0,3(1 − 0,3)
Fn − z2α
= 0,3 − 1,28
= 0,2413.
n
100
Vaäy vôùi ñoä tin caäy 90%, tæ leä toái thieåu con ñaït tieâu chuaån cuûa loaïi vaät nuoâi
treân laø 24,13%.
d) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä tin caäy 99% vaø ñoä
chính xaùc 10% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu con vaät nöõa?
Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu
chuaån vôùi ñoä chính xaùc ε = 10% = 0,1 vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99.
Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng:
Baøi 3.2. Caân thöû 100 traùi quít cuûa moät vöôøn, ta coù baûng keát quaû sau:
X(g)
Soá traùi
40
3
50 60
10 12
70
15
80
28
90 100 110
16 11
5
Fn(1 − Fn)
ε = zα
,
trong ñoù X chæ troïng löôïng (ñôn vò tính gam).
a) Haõy öôùc löôïng troïng löôïng trung bình cuûa moät traùi quít trong vöôøn quít
treân vôùi ñoä tin caäy 94%.
b)Nhöõng traùi quít coù troïng löôïng X > 75g laø traùi loaïi I. Haõy öôùc löôïng tæ
leä traùi loaïi I trong vöôøn quít treân vôùi ñoä tin caäy 95%.
c) Nhöõng traùi quít coù troïng löôïng X < 65g laø traùi loaïi III. Haõy öôùc löôïng
troïng luôïng trung bình cuûa moät traùi quít loaïi III trong vöôøn quít treân vôùi
ñoä tin caäy 99% (Giaû söû X coù phaân phoái chuaån).
n
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0,495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
ñöôïc zα = 2,58. Suy ra
z2αFn(1 − Fn)
n =
ε2
Thöïc teá yeâu caàu:
z2αFn (1 − Fn) 2,582.0,3(1 − 0,3)
n ≥
=
≈ 139,7844.
ε2
0,12
Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoaû baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 140. Vì n1 =
140 > 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø
140 -100 = 40 con vaät nöõa.
Lôøi giaûi
Ta coù:
n = 100;
X n =7720;
X 2n =625800.
i i
∑
∑
i
i
• Kyø voïng maãu cuûa X laø
e) Vôùi ñoä tin caäy 90%, tæ leä con ñaït tieâu chuaån toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi
treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu?
3
4
1
n
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä traùi loaïi I töø 50,40% ñeán 69,60%.
X =
X n = 77,2(g).
i i
∑
• Phöông sai maãu cuûa X laø:
c) Nhöõng traùi quít coù troïng löôïng X < 65g laø traùi loaïi III. Haõy öôùc löôïng
troïng luôïng trung bình cuûa moät traùi quít loaïi III trong vöôøn quít treân vôùi
ñoä tin caäy 99% (Giaû söû X coù phaân phoái chuaån).
2
1
S =
X 2n − X2 =(17,2673)2(g2).
ꢀ
∑
i i
n
• Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø:
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μIII = M(XIII
) cuûa chæ
2
n
S2
=
S
= (17,3543)2(kg2).
tieâu X = XIII cuûa nhöõng traùi quít loaïi III vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% =
0,99.
ꢀ
n − 1
• Tæ leä maãu traùi loaïi I laø
Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XIII
:
m
n
60
100
XIIIi
nIIIi
40
3
50
10
60
12
Fn =
=
= 0,6.
vì trong n = 100 traùi coù m = 28 + 16 + 11 + 5 = 60 traùi coù troïng löôïng
töø 75g trôû leân, nghóa laø coù 60 traùi loaïi I.
Töø baûng treân ta tính ñöôïc:
nIII = 25;
X
IIIinIIIi =1340;
X2IIIinIIIi =73000.
∑
∑
• Kyø voïng maãu cuûa XIII laø
XIII
a) Haõy öôùc löôïng troïng löôïng trung bình cuûa moät traùi quít trong vöôøn
quít treân vôùi ñoä tin caäy 94%.
1
=
X
IIIinIIIi = 53,6 (g).
∑
nIII
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin
caäy γ = 1- α = 94% = 0,94.
• Phöông sai maãu cuûa XIII laø:
ꢀ2
1
nIII
2
X2IIIinIIIi − XIII =(6,8586)2(g2).
Vì n = 100 ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng
khoaûng cho kyø voïng:
SIII
=
∑
• Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa XIII laø:
S
n
S
n
(X − zα
;X + zα
)
2
nIII
nIII − 1
S2III
=
SIII = 72 (g2).
ꢀ
trong ñoù ϕ(zα) = γ/2 = 0,94/2 = 0,47. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
ñöôïc zα = 1,88. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
Vì nIII < 30, XIII coù phaân phoái chuaån, σIII2 = D(XIII) chöa bieát, neân ta coù
17,3543
17,3543
100
coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng:
(77,2 − 1,88
;77,2 + 1,88
) = (73,94; 80,46).
SIII
SIII
100
(XIII -tαk
;XIII +tαk
)
,
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 94%, troïng löôïng trung bình cuûa moät traùi
quyùt töø 73,94g ñeán 80,46g.
nIII
nIII
tαk
trong ñoù
ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student vôùi k = nIII –1= 24
vaø α = 1 - γ = 1 – 0,99 = 0,01. Tra baûng phaân phoái Student ta ñöôïc
b) Nhöõng traùi quít coù troïng löôïng X > 75g laø traùi loaïi I. Haõy öôùc löôïng tæ
leä traùi loaïi I trong vöôøn quít treân vôùi ñoä tin caäy 95%.
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc traùi loaïi I vôùi ñoä tin
caäy γ = 1- α = 95% = 0,95.
tαk = 2,797. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
7
7
(53,6 − 2,797
;53,6 + 2,797
) = (49,68; 57,52).
25
25
Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng:
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 99%, troïng löôïng trung bình cuûa moät traùi
quít loaïi III töø 49,68g ñeán 57,52g.
Fn(1 − Fn)
Fn(1 − Fn)
(Fn − zα
;Fn + zα
)
n
n
trong ñoù ϕ(zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm
Laplace ta ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
Baøi 3.3. Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm cuûa xí nghieäp I,
ngöôøi ta quan saùt moät maãu trong kho vaø coù keát quûa sau:
X(cm)
Soá sphaåm
11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39
20 16 16 13 18
0,6(1 − 0,6)
0,6(1 − 0,6)
8
9
(0,60 − 1,96
; 0,60 + 1,96
) = (50,40%; 69,60%)
100
100
5
6
a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa loaïi saûn phaåm treân
vôùi ñoä tin caäy 96%.
a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa loaïi saûn phaåm treân
vôùi ñoä tin caäy 96%.
b) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa X vôùi ñoä chính xaùc 1,8cm thì seõ ñaït ñöôïc
ñoä tin caäy laø bao nhieâu?
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy
γ = 1- α = 96% = 0,96.
c) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa
X
vôùi ñoä chính xaùc 1,5cm vaø ñoä tin caäy
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng
cho kyø voïng:
99% thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu saûn phaåm nöõa?
d) Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19cm trôû xuoáng ñöôïc goïi laø nhöõng
saûn phaåm loaïi B. Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng
saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 98% (GS X coù phaân phoái chuaån).
e) Haõy öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 92%. Baûng soá lieäu
treân ñöôïc choïn ngaãu nhieân töø moät kho trong ñoù coù 1000 saûn phaåm loaïi B.
Haõy öôùc löôïng soá saûn phaåm trong kho vôùi ñoä tin caäy 92%.
S
n
S
n
(X − zα
;X + zα
)
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
ñöôïc zα = 2,06. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
7,4827
100
7,4827
100
(26,36 − 2,06
; 26,36 + 2,06
) = (24,82; 27,90).
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 96%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X naèm
trong khoaûng töø 24,82cm ñeán 27,93 cm.
f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng sp loaïi B vôùi ñoä chính xaùc 6% thì seõ ñaït
ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu?
g) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 96% vaø ñoä
chính xaùc 8% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu saûn phaåm nöõa?
h) Giaû söû trong kho ñeå laãn 1000 saûn phaåm cuûa xí nghieäp II vaø trong 100
saûn phaåm laáy töø kho coù 9 saûn phaåm cuûa xí nghieäp II. Haõy öôùc löôïng soá
saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho vôùi ñoä tin caäy 82%.
b) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa X vôùi ñoä chính xaùc 1,8cm thì seõ ñaït ñöôïc ñoä
tin caäy laø bao nhieâu?
Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa
chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 1,8cm.
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc
cuûa öôùc löôïng:
Lôøi giaûi
S
n
Laäp baûng
ε = zα
Xi
ni
13
8
17
9
21
20
25
16
29
16
33
13
37
18
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2. Suy ra
ε
n
S
1,8. 100
7,4827
zα
=
=
= 2,41.
Ta coù:
Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø
n =100;
X n =2636;
X 2n =75028.
i i
∑
∑
i
i
γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 41) = 2.0, 4920 = 98, 40%.
Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø 98,40%.
•
•
•
Kyø voïng maãu cuûa X laø
1
X =
X n = 26,36(cm).
i i
∑
n
c) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa X vôùi ñoä chính xaùc 1,5cm vaø ñoä tin caäy 99%
thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu saûn phaåm nöõa?
Phöông sai maãu cuûa X laø:
2
1
n
X 2n − X2 =(7,4452)2(cm2).
ꢀ
Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu X
vôùi ñoä chính xaùc ε = 1,5cm vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99. Vì n ≥ 30,
S =
∑
i i
σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöcù tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng:
Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa X laø:
S
n
ε = zα
,
2
S
n
n − 1
S2
=
= (7,4827)2(cm2).
ꢀ
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0,495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
ñöôïc zα = 2,58. Suy ra
7
8
2
⎛
⎞
trong ñoù tαk ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student vôùi k = nB–1=16
z S
ε
α
n =
⎜
⎝
⎟
⎠
vaø α = 1 - γ = 1 – 0,98 = 0,02. Tra baûng phaân phoái Student ta ñöôïc
tαk = 2,583. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
Thöïc teá yeâu caàu:
2
2
z S
ε
2,58.7,4827
1,5
⎛
⎞
⎛
⎞
α
2,0580
17
2,0580
17
n ≥
=
≈ 165,64.
⎜
⎝
⎟
⎠
⎜
⎟
(15,1176 − 2,583
; 15,1176 + 2,583
) = (13,83; 16,41).
⎝
⎠
Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoûa baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 166. Vì n1 =
166 > 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø
166 – 100 = 66 saûn phaåm nöõa.
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 98%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa
nhöõng saûn phaåm loaïi B naèm trong khoaûng töø 13,83cm ñeán 16,41cm.
e) Haõy öôùc löôïng tæ leä nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 92%. Baûng
soá lieäu treân ñöôïc choïn ngaãu nhieân töø moät kho trong ñoù coù 1000 saûn phaåm
loaïi B. Haõy öôùc löôïng soá saûn phaåm trong kho vôùi ñoä tin caäy 92%.
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc saûn phaåm loaïi B vôùi
ñoä tin caäy γ = 1- α = 92% = 0,92. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng :
d) Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19cm trôû xuoáng ñöôïc goïi laø nhöõng
saûn phaåm loaïi B. Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng
saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 98% (GS X coù phaân phoái chuaån).
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μB = M(XB) cuûa chæ tieâu
X = XB cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 98% = 0,98.
Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XB:
Fn(1 − Fn)
Fn(1 − Fn)
(Fn − zα
;Fn + zα
),
n
n
XBi 13
nBi
17
9
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,92/2 = 0,46. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
ñöôïc zα = 1,75. Maët khaùc, trong n =100 saûn phaåm coù m = 17 saûn phaåm
loaïi B neân tæ leä maãu saûn phaåm loaïi B laø Fn = 0,17. Vaäy öôùc löôïng khoaûng
laø:
8
Töø baûng treân ta tính ñöôïc:
nB =17;
X n =257;
X
2nBi =3,953.
Bi
0,17(1 − 0,17)
0,17(1 − 0,17)
∑
∑
Bi Bi
(0,17 − 1,75
; 0,17 + 1,75
) = (10,43%; 23,57%).
100
100
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 92%, tæ leä saûn phaåm loaïi B naèm trong
khoaûng töø 10,43% ñeán 23,57%.
•
•
Kyø voïng maãu cuûa XB laø
1
XB =
X n =15,1176 (cm).
∑
Bi Bi
n
Khi trong kho coù 1000 saûn phaåm loaïi B, goïi N laø soá saûn phaåm coù trong
kho, ta coù tæ leä saûn phaåm loaïi B laø 1000/N. Theo keát quaû treân, vôùi ñoä tin
caäy 92%, tæ leä caùc saûn phaåm loïai B töø 10,43% ñeán 23,57%, do ñoùù:
Phöông sai maãu cuûa XB laø:
ˆ2
1
n
ꢀ
2
SB
=
X
2nBi − XB =(1,9965)2(cm2).
∑
Bi
1000
N
10,43
100
100.1000
23,57
1000
N
23,57
100
100.1000
10,430
•
Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa XB laø:
10,43%
≤
≤
23,57%
⇔
⇔
≤
≤
ꢀ2
SB = (2,0580)2 (cm2).
nB
nB − 1
≤ N ≤
2
SB
=
⇔ 4242,68 ≤ N ≤ 9587,73
Vì nB < 30, XB coù phaân phoái chuaån, σ2B= D(XB) chöa bieát, neân ta coù coâng
thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng:
⇔
4243 ≤ N ≤ 9587
Vaäy vôùi ñoä tin caäy 92%, ta öôùc löôïng trong kho coù töø 4243 ñeán 9587 saûn
phaåm.
SB
SB
(XB − tαk
; XB + tαk
),
nB
nB
f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng sp loaiï B vôùi ñoä chính xaùc 6% thì seõ ñaït
ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu?
9
10
Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α khi löôïng tæ leä caùc saûn
phaåm loaïi B vôùi ñoä chính xaùc ε = 6% = 0,06. Ta coù coâng thöùc tính ñoä
chính xaùc cuûa öôùc löôïng:
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,82/2 = 0,41. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
ñöôïc zα 1,34. Maët khaùc, theo giaû thieát, trong n =100 saûn phaåm coù 9
saûn phaåm cuûa xí nghieäp II töùc laø coù 91 saûn phaåm cuûa xí nghieäp I, neân tæ
=
Fn(1 − Fn)
leä maãu saûn phaåm cuûa xí nghieäp I laø Fn
khoaûng laø:
= 91/100 = 0,91. Vaäy öôùc löôïng
ε = zα
,
n
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2. Suy ra:
0, 91(1 − 0, 91)
0, 91(1 − 0, 91)
(0,91 − 1,34
;0,91 + 1,34
) = (87,17%;94,83%).
100
100
n
100
0,17(1 − 0,17)
zα = ε
= 0,06.
= 1,60.
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 92%, tæ leä saûn phaåm cuûa xí nghieäp I naèm
trong khoaûng töø 87,17% ñeán 94,83%.
Fn(1 − Fn)
Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø
Baây giôø goïi N laø soá saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho. Khi ñoù:
γ = 2ϕ(zα )= 2ϕ(1,60)= 2.0,4452= 89,04%.
-
Toång soá saûn phaåm coù trong kho laø N + 1000ø.
-
Tæ leä saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho laø N/(N+1000).
g) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 96% vaø ñoä
chính xaùc 8% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu saûn phaåm nöõa?
Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng tæ leä caùc saûn phaåm loaïi
B vôùi ñoä chính xaùc ε = 8% = 0,08 vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 96% = 0,96. Ta
coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng:
Theo keát quaû treân, vôùi ñoä tin caäy 82%, tæ leä saûn phaåm cuûa xí nghieäp I
coù trong kho naèm trong khoaûng töø 87,17% ñeán 94,83%, do ñoùù:
N
N
87,17%
≤
≤
94,83% ⇔ 87,17%
≤
≤
94,83%
N + 1000
N + 1000
1000
N + 1000
1000
N + 1000
⇔ 87,17% ≤ 1 −
≤
94,83%
Fn(1 − Fn)
ε = zα
,
n
⇔ 5,17%
≤
≤
12,83%
1000
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
1000
12,83%
ñöôïc zα = 2,06. Suy ra
⇔
-1000 ≤ N ≤
-1000
z2αFn(1 − Fn)
n =
5,17%
ε2
⇔ 6794,23 ≤ N ≤ 18342,36
⇔ 6795 ≤ N ≤ 18342
Thöïc teá yeâu caàu:
z2αFn (1 − Fn ) 2,062.0,17(1 − 0,17)
Vaäy vôùi ñoä tin caäy 82%, ta öôùc löôïng soá saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù
trong kho naèm trong khoaûng töø 6795 ñeán 18342.
n ≥
=
≈ 93,56.
ε2
0,082
Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoaû baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 94. Vì n1
94 < 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta khoâng caàn ñieàu tra theâm saûn
phaåm nöõa.
=
Baøi 3.4. Ñeå khaûo saùt chieàu cao X cuûa moät gioáng caây troàng, ngöôøi ta quan
saùt moät maãu vaø coù keát quûa sau:
X(cm)
Soá caây
95-105
10
105-115 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165
10 15 30 10 10 15
h) Giaû söû trong kho ñeå laãn 1000 saûn phaåm cuûa xí nghieäp II vaø trong 100
saûn phaåm laáy töø kho coù 9 saûn phaåm cuûa xí nghieäp II. Haõy öôùc löôïng soá
saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho vôùi ñoä tin caäy 82%.
Tröôùc heát ta öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho vôùi
ñoä tin caäy 82%. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng :
a) Öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä tin
caäy 96%.
b) Neáu muoán öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi
ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc 4 cm thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao
nhieâu caây nöõa?
c) Neáu öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä
chính xaùc 4,58cm thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu?
Fn(1 − Fn)
Fn(1 − Fn)
(Fn − zα
;Fn + zα
)
n
n
11
12
d) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 135cm trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng caây
“cao”. Haõy öôùc löôïng tæ leä nhöõng caây “cao”vôùi ñoä tin caäy 95%.
e) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä chính xaùc 10% thì
seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu?
f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä tin caäy 95% vaø ñoä
chính xaùc 11% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu caây nöõa?
g) Öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa caùc caây cao cuûa gioáng caây troàng
treân vôùi ñoä tin caäy 94%.
b) Neáu muoán öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi
ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc 4cm thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu
caây nöõa?
Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu X
vôùi ñoä chính xaùc ε = 4cm vaø ñoä tin caäy γ = 99% = 0,99.
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc
cuûa öôùc löôïng:
S
n
ε = zα
,
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0, 495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
Lôøi giaûi
ñöôïc zα = 2,58. Suy ra
Ta coù:
2
X 2n =1749000.
α
z S
ε
⎛
⎞
X n =13100;
n =100;
∑
∑
i
i
i
i
n =
.
⎜
⎝
⎟
⎠
Thöïc teá yeâu caàu:
1
n
2
2
•
•
Kyø voïng maãu cuûa X laø X =
X n = 131(cm).
i i
∑
z S
ε
2,58.18,2297
4
⎛
⎞
⎛
⎞
α
n ≥
=
≈ 138,254.
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Phöông sai maãu cuûa X laø:
ˆ
2
Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoûa baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 139. Vì n1 =
139 > 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø
139 – 100 = 39 caây nöõa.
1
n
ꢀ
S
=
X2n − X2 =(18,1384)2(cm2).
i i
∑
•
Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø:
ˆ
2
n
n − 1
ꢀ
S
= (18,2297)2(cm2).
S2
=
c) Neáu öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä
chính xaùc 4,58cm thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu?
Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa
chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 4,58cm.
a) Öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä tin
caäy 96%.
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy
γ = 1- α = 96% = 0,96.
cuûa öôùc löôïng:
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng
cho kyø voïng:
S
n
ε = zα
,
S
n
S
n
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 . Suy ra
ε n 4,58. 100
(X − zα
;X + zα
),
zα
=
=
= 2,5123.
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
ñöôïc zα = 2,06. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
S
18,2297
Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø
γ = 2ϕ(zγ )= 2ϕ(2,5123)= 2ϕ(2,52)= 2.0,4941= 98,82%.
18, 2297
100
18, 2297
100
(131 − 2, 06
; 131 + 2, 06
) = (127, 2447; 134,7553).
d) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 135cm trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng caây
“cao”. Haõy öôùc löôïng tæ leä nhöõng caây “cao”vôùi ñoä tin caäy 95%.
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc caây cao vôùi ñoä tin caäy
γ = 1- α = 95% = 0,95. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng :
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 96%, chieàu cao trung bình cuûa moät caây naèm
trong khoaûng töø 127,2447cm ñeán 134,7553cm.
13
14
Fn(1 − Fn)
Fn(1 − Fn)
Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoaû baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 73. Vì n1 =
73 < 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta khoâng caàn ñieàu tra theâm caây
naøo nöõa.
(Fn − zα
;Fn + zα
),
n
n
trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
ñöôïc zα 1,96. Trong = 100 caây coù m = 10 + 10 + 15 = 35 caây coù
=
n
chieàu cao töø 135cm trôû leân neân tæ leä maãu caùc caây cao laø Fn = 35/100 =
0,35. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
g) Öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa caùc caây cao cuûa gioáng caây troàng
treân vôùi ñoä tin caäy 94%.
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μC = M(XC) cuûa chæ
tieâu X = XC cuûa nhöõng caây cao vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 94% = 0,94. Ta
laäp baûng soá lieäu cuûa XC:
0,35(1 − 0,35)
0,35(1 − 0,35)
(0,35 − 1,96
; 0,35 + 1,96
) = (25,65%; 44,35%).
100
100
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä caây cao naèm trong khoaûng töø
25,65% ñeán 44,35%.
XCi 140 150 160
nCi 10
10
15
e) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä chính xaùc 10% thì seõ
ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu?
Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy khi löôïng tæ leä caây cao vôùi ñoä
chính xaùc ε = 10% = 0,1.
Töø baûng treân ta tính ñöôïc:
nC = 35;
X
CinCi = 5300;
XC2inCi = 805000.
∑
∑
•
•
•
Kyø voïng maãu cuûa XC laø:
XC
1
n
=
XCinCi = 151,4286(cm).
∑
Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng:
Fn(1 − Fn)
Phöông sai maãu cuûa XC laø:
1
ε = zα
,
ꢀ2
n
SC
=
XC2inCi − XC2 =(8,3299)2(cm2).
∑
n
trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 . Ta coù tæ leä maãu caây cao laø: Fn = 0,35. Suy ra
Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa XC laø:
n
100
0,35(1 − 0,35)
2
zα = ε
= 0,1.
= 2,0966.
nC
nC − 1
SC2
=
SC = (8,4515)2 (cm2).
ꢀ
Fn(1 − Fn)
Vì nC = 35 > 30, σ2C = D(XC) chöa bieát, neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng
Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø
khoaûng cho kyø voïng:
γ = 2ϕ(zα )= 2ϕ(2,0966)= 2ϕ(2,1) = 2.0,4821 = 96,42%.
SC
nC
SC
nC
(XC − zα
;XC + zα
),
f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä tin caäy 95% vaø ñoä
chính xaùc 11% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu caây nöõa?
Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng tæ leä caây cao vôùi ñoä
chính xaùc ε = 11% = 0,11 vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95.
Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng:
trong ñoù ϕ(zα)
ñöôïc zα = 1,88. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
= γ /2 = 0,94/2 = 0,47. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
8,4515
8,4515
35
(151,4286 − 1,88
; 151,4286 + 1,88
) = (148,74; 154,11).
35
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 94%, chieàu cao trung bình cuûa caây cao naèm
trong khoaûng töø 148,74cm ñeán 154,11cm.
Fn(1 − Fn)
ε = zα
,
n
trong ñoù ϕ(zα)
ñöôïc zα = 1,96. Suy ra
= γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
Baøi 3.5. Traùi caây cuûa moät chuû haøng ñöôïc ñöïng trong caùc soït, moãi soït 100
traùi. Ngöôøi ta kieåm tra 50 soït thì thaáy coù 450 traùi khoâng ñaït tieâu chuaån.
a) Öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån cuûa loâ haøng treân vôùi ñoä tin
caäy 95%.
b) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä chính xaùc
0,5% thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu?
zα2Fn(1 − Fn)
n =
.
ε 2
Thöïc teá yeâu caàu:
z2αFn(1 − Fn) 1,962.0,35(1 − 0,35)
n ≥
=
≈ 72,23.
ε2
0,112
15
16
c) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä chính xaùc
1% vaø ñoä tin caäy 99% thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu soït nöõa?
c) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä chính xaùc
1% vaø ñoä tin caäy 99% thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu soït nöõa?
Yeâu caàu cuûa baøi toùan: Xaùc ñònh côõ maãu.
Lôøi giaûi
Giaû thieát: - Öôùc khoûang cho tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån.
- Ñoä chính xaùc ε = 1% = 0,01.
Soá traùi trong 100 soït laø 50×100 = 5000. Do ñoù:
• Côõ maãu n = 5000.
- Ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99.
• Soá traùi khoâng ñaït tieâu chuaån laø: m = 450.
• Tæ leä maãu caùc traùi khoâng ñaït tieâu chuaån laø:
Fn = m/n = 450/5000 = 0,09.
Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng:
Fn(1 − Fn)
ε = zα
n
trong ñoù ϕ(zα) = (1- α) /2 = 0,99/2 = 0,495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace
ta ñöôïc zα = 2,58. Suy ra
a) Öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån cuûa loâ haøng treân vôùi ñoä tin
caäy 95%.
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc traùi khoâng ñaït tieâu
chuaån vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95.
Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng:
z2αFn(1− Fn)
n =
ε2
Thöïc teá yeâu caàu:
z2αFn(1 − Fn) 2,582.0,09(1 − 0,09)
n ≥
=
≈ 5451,6.
ε2
0,012
Fn(1 − Fn)
Fn(1 − Fn)
(Fn − zα
;Fn + zα
)
n
n
Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoaû baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 5452.
Vì n1 = 5452 > 5000 (5000 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm
ít nhaát laø 5452 – 5000 = 452 traùi, nghóa laø khoaûng 5 soït nöõa.
trong ñoù ϕ (zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm
Laplace ta ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
0,09(1 − 0,09)
0,09(1 − 0,09)
.
) = (8,21%; 9,79%)
(0,09 − 1,96
; 0,09 + 1,96
5000
5000
Baøi 3.6. Ñeå nghieân cöùu nhu caàu cuûa moät loaïi haøng ôû moät khu vöïc, ngöôøi
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån töø
8,21% ñeán 9,79%.
b) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä chính xaùc
0,5% thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu?
ta khaûo saùt 400 hoä gia ñình. Keát quaû nhö sau:
Nhu caàu (kg/thaùng/hoä) 0-1
1-2
2-3
3-4 4-5
5-6 6-7
31 18
7-8
10
Soá hoä 10
35
86
132 78
Cho bieát trong khu vöïc coù 4000 hoä.
a) Öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc trong
moät naêm vôùi ñoä tin caäy 95%.
b) Khi öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc
trong moät naêm, neáu ta muoán ñaït ñöôïc ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc laø
4,8taán thì caàn khaûo saùt ôû ít nhaát bao nhieâu hoä gia ñình?
Yeâu caàu cuûa baøi toùan: Xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α.
Giaû thieát: - Öôùc khoûang cho tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån.
- Ñoä chính xaùc ε = 0,5% = 0,005.
Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng:
Fn(1 − Fn)
ε = zα
n
Lôøi giaûi
trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 . Suy ra
n
5000
0,09(1 − 0,09)
Goïi X(kg) laø nhu caàu cuûa moät hoä veà loaïi haøng treân trong moät thaùng. Ta coù:
zα = ε
= 0,005.
= 1,24.
Fn(1 − Fn)
Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø:
Xi
ni
0,5
10
1,5
35
2,5
86
3,5
132 78
4,5
5,5 6,5
31 18
7,5
10
γ = 2ϕ(zα )= 2ϕ(1,24)= 2.0,3925 = 79,5%.
Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø 79,5%.
17
18
n = 400;
X n =1448;
X 2n =6076.
i i
trong moät thaùng vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 0,99 vaø ñoä chính xaùc ε =
4800/(4000×12) = 0,1kg. Nhö vaäy, ta ñöa veà baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu
khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 0,1 vaø ñoä tin
caäy γ = 1- α = 99% = 0,99.
∑
∑
i
i
1
n
•
•
Kyø voïng maãu cuûa X laø X =
X n = 3,62.
i i
∑
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc
Phöông sai maãu cuûa X laø:
ˆ
2
1
n
cuûa öôùc löôïng:
S
=
X2n − X2 =(1,4442)2.
i i
ꢀ
∑
S
n
ε = zα
,
•
Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø:
ˆ
2
n
n − 1
S2
=
= (1,4460)2.
ꢀ
S
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0, 495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
ñöôïc zα = 2,58. Suy ra
2
a) Öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc trong
moät naêm vôùi ñoä tin caäy 95%.
z S
ε
⎛
⎞
α
n =
.
⎜
⎝
⎟
⎠
Tröôùc heát ta öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa moät
hoä trong khu vöïc trong moät thaùng vôùi ñoä tin caäy 95%.
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy
γ = 1- α = 95% = 0,95.
Thöïc teá yeâu caàu:
2
2
z S
ε
2,58× 1,4460
⎛
⎞
⎛
⎞
α
n ≥
=
≈ 1391,8.
⎜
⎝
⎟
⎠
⎜
⎟
0,1
⎝
⎠
Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoûa baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 1392. Vaäy
caàn khaûo saùt ít nhaát laø 1392 hoä gia ñình.
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng
cho kyø voïng:
S
n
S
n
(X − zα
;X + zα
),
Baøi 3.7. Ñeå bieát soá löôïng caù trong hoà lôùn ngöôøi ta baét leân 2000 con ñaùnh
daáu xong roài thaû chuùng xuoáng hoà. Sau ñoù ngöôøi ta baét leân 400 con vaø thaáy
coù 80 con ñöôïc ñaùnh daáu.
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
a) Vôùi ñoä tin caäy 95%, haõy öôùc löôïng soá caù coù trong hoà.
b) Öôùc löôïng soá caù toái ña coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 96%.
c) Öôùc löôïng soá caù toái thieåu coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 94%.
1,4460
400
1,4460
400
(3,62 − 1,96
;3,62 + 1,96
) = (3,4783; 3,7617).
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy
cuûa moät hoä trong khu vöïc trong moät thaùng naèm trong khoaûng töø
3,4783kg ñeán 3,7617kg. Xeùt 4000 hoä trong moät naêm 12 thaùng, ta coù caùc
nhu caàu töông öùng laø:
3,4783×4000×12 = 166958,4kg = 166,9584taán;
3,7617×4000×12 = 180561,6kg = 180,5616taán.
Keát luaän: Vôùi ñoä tin caäy 95%, nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa
toaøn khu vöïc trong moät naêm naèm trong khoaûng töø 166,9584taán ñeán
180,5616taán.
Lôøi giaûi
Goïi N laø soá caù coù trong hoà. Khi ñoù tæ leä caù ñöôïc ñaùnh daáu coù trong hoà
laø p = 2000/N.
Vôùi maãu thu ñöôïc, ta coù:
• Côõ maãu n = 400.
• Soá con ñöôïc ñaùnh daáu trong maãu laø: m = 80.
• Tæ leä maãu con ñöôïc ñaùnh daáu laø:
Fn = m/n = 80/400 = 0,2.
b) Khi öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc
trong moät naêm, neáu ta muoán ñaït ñöôïc ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc
laø 4,8taán thì caàn khaûo saùt ôû ít nhaát bao nhieâu hoä gia ñình?
a) Vôùi ñoä tin caäy 95%, haõy öôùc löôïng soá caù coù trong hoà.
Tröôùc heát ta öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc con ñöôïc ñaùnh daáu vôùi
ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95.
Khi öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc
trong moät naêm vôùi ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc laø 4,8 taán= 4800kg,
nghóa laø ta öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa moät hoä
Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng:
19
20
Fn(1 − Fn)
Fn(1 − Fn)
trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = γ/2 = 0,88/2 = 0,44. Tra baûng giaù trò haøm
(Fn − zα
;Fn + zα
) ,
n
n
Laplace ta ñöôïc z2α
daáu laø:
= 1,56. Suy ra giaù trò toái ña cuûa tæ leä con ñöôïc ñaùnh
trong ñoù ϕ(zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm
Laplace ta ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
Fn(1 − Fn)
0,2(1 − 0,2)
Fn + z2α
= 0,2 + 1,56
= 0,2312.
n
400
0, 2(1 − 0, 2)
0, 2(1 − 0, 2)
(0,2 − 1,96
; 0,2 + 1,96
) = (16,08%; 23,92%)
400
400
Nhö vaäy, vôùi ñoä tin caäy 94%, ta coù
2000
N
2000
0,2312
Nhö vaäy, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä con ñöôïc ñaùnh daáu naèm trong khoaûng
töø 16,08% ñeán 23,92%, do ñoùù:
≤ 0,2312 ⇔ N ≥
= 8650,5
Vaäy vôùi ñoä tin caäy 94%, soá caù toái thieåu coù trong hoà laø 8651.
2000
N
2000
23,92%
⇔ 8361,20 ≤ N ≤ 12437,81
⇔ 8362 ≤ N ≤ 12437
2000
16,08%
16,08% ≤
≤
23,92% ⇔
≤ N ≤
Baøi 3.8. Tröôùc kyø baàu cöû toång thoáng ngöôøi ta phoûng vaán ngaãu nhieân 1800
cöû tri thì thaáy coù 1180 ngöôøi uûng hoä cöû tri A. Vôùi ñoä tin caäy 99%, hoûi öùng
cöû vieân A coù theå thu ñöôïc toái thieåu bao nhieâu phaàn traêm soá phieáu baàu? Vaø
toái ña laø bao nhieâu?
Vaäy vôùi ñoä tin caäy 95%, ta öôùc löôïng soá caù coù trong hoà khoaûng töø 8362
ñeán 12437 con.
Lôøi giaûi
b) Öôùc löôïng soá caù toái ña coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 96%.
Soá caù toái ña coù trong hoà töôg öùng vôùi giaù trò toái thieåu cuûa tæ leä con ñöôïc
ñaùnh daáu. Do ñoù tröôùc heát ta öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä p caùc
con ñöôïc ñaùnh daáu vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 96% = 0,96 (α = 0,04).
Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân phaûi:
Vôùi maãu thu ñöôïc, ta coù:
• Côõ maãu n = 1800.
• Soá ngöôøi uûng hoä öùng cöû vieân A laø m = 1180.
• Tæ leä maãu soá ngöôøi uûng hoä laø:
Fn = m/n = 1180/1800 = 0.6556.
Fn(1 − Fn)
(Fn − z2α
;+∞)
Vôùi ñoä tin caäy 99%, ñeå bieát öùng cöû vieân A coù theå thu ñöôïc toái thieåu bao
nhieâu phaàn traêm soá phieáu baàu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä
p nhöõng ngöôøi uûng hoä vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99 (α = 0,01).
Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân phaûi:
n
trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = γ /2 = 0,92/2 = 0,46. Tra baûng giaù trò haøm
Laplace ta ñöôïc z2α = 1,75. Suy ra giaù trò toái thieåu cuûa tæ leä con ñöôïc ñaùnh
daáu laø:
Fn(1 − Fn)
Fn(1 − Fn)
0,2(1 − 0,2)
(Fn − z2α
;+∞)
Fn − z2α
= 0,2 − 1,75
= 0,165.
n
n
400
trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = γ /2 = 0,98/2 = 0,49. Tra baûng giaù trò haøm
Laplace ta ñöôïc z2α = 2,33. Suy ra giaù trò toái thieåu cuûa tæ leä ngöôøi uûng hoä
laø:
Nhö vaäy, vôùi ñoä tin caäy 96%, ta coù
2000
2000
0,165
≥ 0,165 ⇔ N ≤
= 12121,2
N
Fn(1 − Fn)
0,6556(1 − 0,6556)
Vaäy vôùi ñoä tin caäy 96%, soá caù toái ña coù trong hoà laø 12121.
c) Öôùc löôïng soá caù toái thieåu coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 94%.
Soá caù toái thieåu coù trong hoà töông öùng vôùi giaù trò toái ña cuûa tæ leä con
ñöôïc ñaùnh daáu. Do ñoù tröôùc heát ta öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä p
caùc con ñöôïc ñaùnh daáu vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 94% = 0,94 (α = 0,06).
Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân traùi:
Fn − z2α
= 0,6556 − 2,33
= 0,6295.
n
1800
Nhö vaäy, vôùi ñoä tin caäy 99%, öùng cöû vieân A coù theå thu ñöôïc toái thieåu laø
62,95% soá phieáu baàu.
Vôùi ñoä tin caäy 99%, ñeå bieát öùng cöû vieân A coù theå thu ñöôïc toái ña bao
nhieâu phaàn traêm soá phieáu baàu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä
p nhöõng ngöôøi uûng hoä vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99 (α = 0,01).
Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân traùi:
Fn(1 − Fn)
(−∞;Fn + z2α
),
n
21
22
Fn(1 − Fn)
a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc cuûa
moät hoä gia ñình vôùi ñoä tin caäy 95% .
(−∞;Fn + z2α
),
n
trong ñoù z2α = 2,33. Suy ra giaù trò toái ña cuûa tæ leä ngöôøi uûng hoä laø:
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy
γ = 1- α = 95% = 0,95.
Fn(1 − Fn)
0,6556(1 − 0,6556)
Fn + z2α
= 0,6556 + 2,33
= 0,6817.
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng
cho kyø voïng:
n
1800
Nhö vaäy, vôùi ñoä tin caäy 99%, öùng cöû vieân A coù theå thu ñöôïc toái ña laø
68,17% soá phieáu baàu.
SX
n
S
(X − zα
;X + zα X ),
n
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
Baøi 3.9. Khaûo saùt thu nhaäp vaø tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc ôû 350 hoä
gia ñình, ta thu ñöôïc caùc soá lieäu ôû baûng sau:
ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
8,7910
350
8,7910
350
X
10
20
30
40
50
(29,7143 − 1,96
; 29,7143 + 1,96
) = (28,7933;30,6353).
Y
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, giaù trò trung bình cuûa tyû leä thu nhaäp
chi cho giaùo duïc cuûa moät hoä gia ñình töø 28,7933% ñeán 30,6353%.
150 - 250
250 - 350
350 - 450
450 - 550
10
40
40
20
20
60
30
30
20
40
30
b) Nhöõng gia ñình coù thu nhaäp bình quaân ngöôøi treân 450 laø hoä coù thu
nhaäp cao. Öôùc löôïng tyû leä hoä coù thu nhaäp cao vôùi ñoä tin caäy 97%.
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc hoä coù thu nhaäp cao
vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 97% = 0,97.
10
trong ñoù : X laø tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc (tính theo %)
Y laø thu nhaäp bình quaân 1 ngöôøi/thaùng cuûa moät hoä (ñôn vò tính
ngaøn ñoàng).
a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc cuûa
moät hoä gia ñình vôùi ñoä tin caäy 95% .
b) Nhöõng gia ñình coù thu nhaäp bình quaân ngöôøi treân 450 laø hoä coù thu
nhaäp cao. Öôùc löôïng tyû leä hoä coù thu nhaäp cao vôùi ñoä tin caäy 97%.
c) Ñeå öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc vôùi
ñoä chính xaùc ε = 0,8% thì ñaûm baûo ñoä tin caäy laø bao nhieâu?
Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng :
Fn(1 − Fn)
Fn(1 − Fn)
(Fn − zα
;Fn + zα
)
n
n
trong ñoù ϕ(zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,97/2 = 0,485.
• Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 2,17.
• Côõ maãu n = 350.
• Trong n = 350 hoä coù m = 30 + 30 + 10 = 70 hoä coù thu nhaäp bình
quaân ngöôøi treân 450 neân coù m = 70 hoä coù thu nhaäp cao. Do ñoù tæ leä maãu
hoä coù thu nhaäp cao laø:
Lôøi giaûi
•
•
Côõ maãu: n = 350.
Kyø voïng maãu cuûa X laø
Fn = m/n = 70/350 = 0,2.
Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
1
n
X =
X n = 29,7143.
i Xi
∑
0,2(1 − 0,2)
0,2(1 − 0,2)
.
) = (15,36%; 24,64%).
(0,2 − 2,17
; 0,2 + 2,17
•
•
Phöông sai maãu cuûa X laø:
350
350
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 97%, tæ leä hoä coù thu nhaäp cao töø 15,36% ñeán
24,64%.
2
SX
1
n
ꢀ
=
X 2n − X2 =(8,7785)2.
i Xi
∑
Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa X laø:
c) Ñeå öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc vôùi
ñoä chính xaùc ε = 0,8% thì ñaûm baûo ñoä tin caäy laø bao nhieâu?
2
n
n − 1
S2X
=
SX = (8,7910)2.
ꢀ
Yeâu caàu cuûa baøi toùan: Xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α.
23
24
Giaû thieát: - Öôùc khoûang cho kyø voïng cuûa X.
Fn = m/n = 27/134 = 0,2015.
Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng:
- Ñoä chính xaùc ε = 0,8 (%).
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa
öôùc löôïng:
Fn(1 − Fn)
Fn(1 − Fn)
(Fn − zα
;Fn + zα
)
S
n
n
n
ε = zα
,
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta
ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
trong ñoù ϕ (zα) = (1- α)/2 = γ /2 . Suy ra
0,2015(1 − 0,2015)
0,2015(1 − 0,2015)
ε
n
0,8. 350
8,7910
(0,2015 − 1,96
; 0,2015 + 1,96
)
zα
=
=
= 1,70
134
134
S
= (0,1336; 0,2694) = (13,36%; 26,94%).
Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø:
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä saûn phaåm loaïi A töø 13,36% ñeán
26,94%.
γ = 2ϕ(zα )= 2ϕ(1,70)= 2.0,4554= 91,08%.
Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø 91,08%.
b) Öôùc löôïng giaù trò trung bình chæ tieâu Y cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi A vôùi
ñoä tin caäy 95% (Giaû söû Y coù phaân phoái chuaån).
Baøi 3.10. X(%) vaø Y(kg/mm2 ) laø hai chæ tieâu chaát löôïng cuûa moät loaïi saûn
phaåm. Quan saùt moät soá saûn phaåm ta coù baûng soá lieäu nhö sau:
X
0-5 5-10 10-15 15-20
20-25
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μYA = M(YA) cuûa chæ
Y
tieâu Y = YA cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi A vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% =
0,95.
120
130
140
150
160
7
12
8
20
19
10
15
16
Ta laäp baûng soá lieäu cuûa YA:
2
9
8
5
3
YAi
nAi
140
2
150
14
160
11
Saûn phaåm coù chæ tieâu X ≥ 15% laø loaïi A.
a) Öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm loaïi A ñoä tin caäy 95%.
Töø baûng treân ta tính ñöôïc:
b) Öôùc löôïng giaù trò trung bình chæ tieâu Y cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi A
vôùi ñoä tin caäy 95% (Giaû söû Y coù phaân phoái chuaån).
nA = 27;
Y n =4140;
Y
2nAi =635800.
Ai
∑
∑
Ai Ai
•
•
Kyø voïng maãu cuûa YA laø
c) Neáu muoán öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu Y vôùi ñoä chính
1
xaùc 1,6 kg/mm2 thì seõ ñaûm baûo ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu?
YA
=
Y n = 153,3333.
∑
Ai Ai
n
Phöông sai maãu cuûa YA laø:
Lôøi giaûi
2
2
1
n
a) Öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm loaïi A ñoä tin caäy 95%.
Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc saûn phaåm loaïi A vôùi
ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95.
SYA
=
Y
2nAi − YA =(6,0858)2.
ꢀ
∑
Ai
•
Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa YA laø:
Töø baûng soá lieäu ñaõ cho ta tính ñöôïc:
2
nA
nA − 1
S2YA
=
SYA = (6,2017)2.
ꢀ
•
Côõ maãu: n = 134.
•
Trong n = 134 saûn phaåm coù m = 2 + 9 + 8 + 5 + 3 = 27 saûn phaåm
coù chæ tieâu X ≥ 15% neân coù m = 27 saûn phaåm loaïi A. Do ñoù tæ leä maãu
saûn phaåm loaïi A laø:
Vì nA < 30, YA coù phaân phoái chuaån, σ2YA= D(XA) chöa bieát, neân ta coù coâng
thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng:
25
26
SYA
nA
SYA
nA
(YA − tαk
;YA + tkα
),
trong ñoù tαk ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student vôùi k = nA–1=26
vaø α = 1- γ = 1–0,95 = 0,05. Tra baûng phaân phoái Student ta ñöôïc
tαk = 2,056. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
6,2017
27
6,2017
27
(153,3333 − 2,056
; 153,3333 + 2,056
) = (150,8794; 155,7872).
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu Y cuûa
nhöõng saûn phaåm loaïi A töø 150,8794kg/mm2 ñeán 155,7872kg/mm2.
c) Neáu muoán öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu Y vôùi ñoä chính
xaùc 1,6 kg/mm2 thì seõ ñaûm baûo ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu?
Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa
chæ tieâu Y vôùi ñoä chính xaùc ε = 1,6kg/mm2.
Töø baûng soá lieäu ñaõ cho ta tính ñöôïc:
•
Côõ maãu: n = 134.
•
Kyø voïng maãu cuûa Y laø
1
n
Y =
Yn = 142,0149.
∑
j
Yj
•
•
Phöông sai maãu cuûa Y laø:
2
SY
1
Y2n − Y2 =(10,4224)2.
ꢀ
=
∑
i
Yi
n
Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa Y laø:
2
n
n − 1
S2Y
=
SY = (10,4615)2.
ꢀ
Vì n ≥ 30, σ2Y= D(Y) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc
cuûa öôùc löôïng:
SY
n
ε = zα
,
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2. Suy ra
ε n 1,6. 134
zα
=
=
= 1,77
SY
10,4615
Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø:
γ = 2ϕ(zα )= 2ϕ(1,77) ≈ 2.0,4646= 92,92%.
Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø 92,92%.
-----------------------------------------
27
14 trang
25820
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giải Xác suất thống kê - Chương 3: Lý thuyết mẫu và ước lượng - Trần Ngọc Hội", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giai_xac_suat_thong_ke_chuong_3_ly_thuyet_mau_va_uoc_luo.pdf
