Bài giảng Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân cấp 2

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 4.

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một.

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)

[email protected]n

Nội dung

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 tổng quát.

II – Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng.

III- Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

I. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Định nghĩa phương trình không thuần nhất

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

y^'' p(x)y^' q(x)y  f (x), (1)

trong đó

là các hàm liên tục.

p(x),q(x), f (x)

Định nghĩa phương trình thuần nhất

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

y^'' p(x)y^' q(x)y  0, (2)

trong đó

là các hàm liên tục.

p(x),q(x)

I. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Cấu trúc nghiệm của phương trình không thuần nhất

y_tq y₀ y_r

là nghiệm tổng quát của pt không thuần nhất.

y_tq

là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất.

y₀

là nghiệm riêng của pt không thuần nhất.

y_r

Tập hợp các nghiệm của phương trình thuần nhất là

y₀ c₁y₁(x)  c₂y₂(x)

không gian 2 chiều:

y (x)

là nghiệm riêng của pt thuần nhất (2)

1

Tìm nghiệm thứ hai ở dạng:

y₂ y₁(x)u(x)

y₂^' y₁^'u  y₁u^'; y₂^'' y₁^''u  2y₁^'u^' y₁u^''

 y^''u  2y^'u^' y u^'' p y^'u  y u^' qy u  0





1

y u^'' 2y^' py u^' 0

y^'' py^' qy u  y u^'' 2y^' py u^' 0



₁



1



₁





₁



1

, có phương trình tách biến y z^' 2y^' py z  0

z



u

^'

Đặt



₁



1

e^{ p(x)dx}

y₁²(x)

1

e^{ p(x)dx}

^{ y (x)  y (x)}

dx

^{ u }

dx

2

1

y₁²(x)

I. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Tìm nghiệm riêng của (1) bằng phương pháp biến thiên

hằng số:

y_r c₁(x)y₁(x)  c₂(x) y₂(x)

 y_r^' C₁^'(x)y₁ C₁(x)y₁^'(x)  C₂^'(x)y₂ C₂(x)y₂^'(x)

 y_r^'' C^''y  C^'y^' C^'y^' C^'y^'' C^''y  C^'y^' C^'y^'C₂y₂^''

1 1

2 2

y_r^'' p(x)y_r^' q(x)y_r f (x)

Thay vào pt (1):

'

Giải hệ tìm

Suy ra

.

C₁,C₂





C₁y₁ C₂y₂ 0



C^'y^' C^'y^' f (x)

.

C₁(x),C₂(x)

 ¹1

2 2

y

y_tq y₀ y_r

Nghiệm riêng: Nghiệm tổng quát của (1):

r

KẾT LUẬN:

y^'' p(x)y^' q(x)y  f (x)

Để giải phương trình

chỉ cần tìm một nghiệm riêng của pt thuần nhất.

y₁(x)

e^{ p(x)dx}



Từ nghiệm

suy ra:

dx

^{y (x)  y (x)}

y₁(x)

2

1

y₁²(x)

Tìm nghiệm y_r c₁(x)y₁(x)  c₂(x)y₂(x)

'





C₁y₁ C₂y₂ 0

C^'y^' C^'y^' f (x)

 y_r

 C₁(x),C₂(x)

 ¹1

2 2

Nghiệm tổng quát của pt không thuần nhất:

y_tq y₀ y_r

x²y^'' xy^' y  4x³(1)

Ví dụ Giải phương trình

Phương trình chuẩn:

1 1

y^'' y^' y  4x

x

²

x

1 1

Phương trình thuần nhất: y^'' y^' y  0 (2)

x

²

x

y (x)  x

Đoán một nghiệm riêng của pt thuần nhất:

Tìm nghiệm riêng thứ hai của (2):

1

dx

e^

e^{ p(x)dx}



x

dx

^{ x}

^{y (x)  y (x)}

dx

 xln x

2

1

x

²

y₁²(x)

Tìm nghiệm riêng của pt (1) bằng PP biến thiên hằng số

y  x³

Trong bài này ta đoán được:

y  y  y  C x  C xln | x | x³

Nghiệm tổng quát của (1):

tq

0

r

1

2

y^'' tan x y^' 2 y  0

 

Ví dụ Giải phương trình

y (x)  sin x

Đoán một nghiệm riêng:

1

Tìm nghiệm riêng thứ hai của (2):

e^{ p(x)dx}



tan xdx

e^

dx

^{y (x)  y (x)}

 sin x

dx

2

1

y₁²(x)



sin

²

x

2x

2 y

y^''

y^'

 0

Ví dụ Giải phương trình

Đoán một nghiệm riêng:

x

²



1

x

²



1

y₁(x)  x

Tìm nghiệm riêng thứ hai của (2):

2x

x²1

dx

e^{ p(x)dx}

e^



^{y (x)  y (x)}

dx

2

1

y₁²(x)

dx

^{ x}

x

²

II. Ptrình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

Định nghĩa phương trình không thuần nhất hệ số hằng

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình

y^'' py^' qy  f (x), (1)

p,q

trong đó

là hằng số, và f(x) là hàm liên tục.

Định nghĩa phương trình thuần nhất hệ số hằng

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình

y^'' py^' qy  0, (2)

p,q

trong đó là các hằng số.

y^'' py^' qy  0, (2)

Giải phương trình thuần nhất:

Phương trình đặc trưng:

k² pk  q  0

TH 1: PTĐT có hai nghiệm thực phân biệt

k₁,k₂

y₀ C₁e^k¹^x C₂e^k²^x

Nghiệm tổng quát:

TH 2: PTĐT có một nghiệm kép

Nghiệm tổng quát:

k₀

y₀ C₁e^k⁰^x C₂xe^k⁰^x

TH 3: PTĐT có một nghiệm phức

k₁ a  bi

y  e^axC cosbx  C sinbx

Nghiệm tổng quát:





0

1

2

Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

Trường hợp chung: Phương pháp biến thiên hằng số.

Xét hai trường hợp đặc biệt:

f (x)  P (x)e^{ x}

TH 1:

, P_n(x) là đa thức bậc n.

n

y_r x^se^{ x}Q_n(x)

y

Tìm ở dạng:

r

s = 0, nếu không là nghiệm của pt đặc trưng.



s = 1, nếu là nghiệm đơn của pt đặc trưng.



s = 2, nếu là nghiệm kép của pt đặc trưng.



Q_n(x)

là đa thức cùng bậc

với các hệ số cần tìm.

P (x)

n

y

Để tìm các hệ số này, thay vào pt (1).

r

f (x)  e^{ x}P (x)cos x Q (x)sin  x

TH 2:





n

m

y  x^se^xH (x)cos x T (x)sin  x

y

Tìm ở dạng:





r

k

r

s = 0, nếu

s = 1, nếu

không là nghiệm của pt đặc trưng.

  i

là nghiệm đơn của pt đặc trưng.

với các hệ số cần tìm.

H ,T

: hai đa thức bậc

k  max{m,n}

k k

Để tìm các hệ số này, thay y_rvào pt (1):

y_r^'' py_r^' qy_r f (x)

Vì sinx và cosx độc lập tuyến tính nên các hệ số tương

ứng bằng nhau.

Chú ý:1) Có nguyên lý cộng dồn (chồng chất) nghiệm:

y^'' py^' qy  f (x)  f₁(x)  f₂(x)

y_r y_r y_r

nghiệm riêng của (1) có dạng

1

2

y^'' py^' qy  f₁(x)

y_r

nghiệm riêng của pt:

1

y^'' py^' qy  f₂(x)

y_r

2

f (x)  e^0xP (x)

2)

là trường hợp 1:

f (x)  P (x)

n

3)

là trường hợp 2:

f (x)  P (x)cos x

n

f (x)  e^0xP (x)cos x  0sin  x





n

y^''5y^' 6y  e^x

Ví dụ Giải phương trình

Phương trình đặc trưng:

k

²



5

k



6



0

 k₁ 2 k₂ 3

y₀ C₁e^2x C₂e^3x

Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất:

f (x)  e^x P (x)e^x

  1,P (x)

bậc 0.

n

y_r x^se^xQ_n(x)

  1,Q_n(x)  A

(vì P_nbậc 0)

s = 0, vì

không là nghiệm pt đặc trưng.



 

1

y_r x⁰e^xA  Ae^x

y_r^' Ae^x, y_r^'' Ae^x

1

y_r^''5y_r^' 6y_r e^x



Ae

^x



5

Ae

^x



6

Ae

^x



e

^x

 A 

12

1

 C₁e^2x C₂e^3x e^x

y_tq y₀ y_r

Kluận: Nghiệm t/quát:

12

y^'' 4y  x²

 k₁ 2i  k₂ 2i

Ví dụ Giải phương trình

k

²



4



0

Phương trình đặc trưng:

y  e^0xC cos2x  C sin2x

Nghiệm t/quát của pt th/nhất:





0

1

2

f (x)  x² P (x)e^0x

bậc 2.

  0,P (x)

n

y_r x^se^xQ_n(x)

2

(vì P bậc 2)

  0,Q_n(x)  Ax  Bx  C

n

s = 0, vì

không là nghiệm pt đặc trưng.





0

y_r^' 2Ax  B, y_r^'' 2A

y  x⁰e^0xAx² Bx  C  Ax² Bx  C





r

1

1

8

y_r^'' 4y_r x²

 2A 4(Ax² Bx  C)  x²

 A  ,B  0,C 

4

1 1

_r C₁cos2x  C₂sin2x  x²

y  y  y

Nghiệm t/quát:

tq

0

4 8

y^'' 2y^' 3x

Ví dụ Giải phương trình

Phương trình đặc trưng:

k

²



2

k



0

 k₁ 0 k₂ 2

y₀ C₁e^0x C₂e^2x

Nghiệm t/quát của pt th/nhất:

f (x)  3x  P (x)e^0x

bậc 1.

  0,P (x)

n

y_r x^se^xQ_n(x)

  0,Q_n(x)  Ax  B

(vì P_nbậc 1)

s = 1, vì

là nghiệm đơn pt đặc trưng.





0

y_r^' 2Ax  B, y_r^'' 2A

y  x¹e^0xAx  B  Ax² Bx





r

3 3

y_r^'' 2y^' 3x

 A  ,B 

 2A 2(2Ax  B)  3x

4

3 3

 C₁ C₂e^2x x 

y  y  y

Nghiệm t/quát:

tq

0

r

4 4

y^'' 2y^' y  2e^x

Ví dụ Giải phương trình

2

 k₁ k₂1

Phương trình đặc trưng:

k



2

k



1



0

y₀ C₁e^x C₂xe^x

Nghiệm t/quát của pt th/nhất:

f (x)  2e^x P (x)e^1x

bậc 0.

 1,P (x)

n

y_r x^se^xQ_n(x)

 1,Q_n(x)  A

(vì P_nbậc 0)

s = 2, vì

là nghiệm kép pt đặc trưng.





1

y_r x²e^xA  Ax²e^x

y_r^'' 2y_r^' y_r 2e^x

y_r^' Ae^x(2x  x²), y_r^'' Ae^x(2  4x  x²)

3 3

 A  ,B 

4

3 3

 C₁ C₂e^2x x 

4 4

y  y  y

Nghiệm t/quát:

tq

0

r

y^'' 4 y^' 3y  sin 2x

Ví dụ Giải phương trình

Phương trình đặc trưng:

2

 k₁1 k₂ 3

k



4

k



3



0

y₀ C₁e^x C₂e^3x

Nghiệm t/quát của pt th/nhất:

f (x)  e^0x(0.cos2x sin 2x)

bậc 0.

  0,  2,P (x),Q_m(x)

n

y  x^se^xT (x)cos2x  H (x)sin2x





r

k

  0,T_k A,H_k B

k  max{m,n}  0

s = 0, vì

không là nghiệm pt đặc trưng.

  i  2i

y_r Acos2x  Bsin 2x

y_r^' 2Asin2x  2Bcos2x, y_r^'' 4Acos2x  4Bsin2x

y_r^'' 4y_r^' 3y_r sin2x

4Acos2x  4Bsin2x  4 2Asin2x  2Bcos2x 



 



3 Acos2x  Bsin2x  sin2x





(A8B)cos2x  (8A B)sin2x  sin 2x

A8B  0

8A B 1







8

1

 A  ,B   y_r cos2x  sin2x

65 65

8

1

8

1

x

3x

y  y  y

_r C₁e  C₂e  cos2x  sin2x

65 65

Nghiệm t/quát:

tq

0