Bài tập Toán kỹ thuật - Chương 8: Tích phân phức
Chương 8: Tích phân phức
P8.1: Tính tích phân hàm phức biến thực :
1+i
1+iπ
1
a) (e2z )dz b) (cosz)dz
c) (ez )dz
∫
∫
∫
iπ
0
0
(Ans: (a) [e2(cos2 + isin2) – 1]/2 (b) (sin1coshπ + icos1sinhπ) (c) e + 1 )
3+i (z2 )dz
P8.2: Tính :
∫
0
a) Dùng công thức thứ nhất (tìm một nguyên hàm).
b) Dùng công thức thứ hai với đường (c) là đoạn thẳng nối từ
điểm z = 0 đến z = 3+ i . (Biểu diễn đường (c) có phương trình
z(t) = x(t) + i.y(t) với a ≤ t ≤ b )
(Ans: (a) = (b) = (18 + 26i)/3 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
1
Chương 8: Tích phân phức
P8.3: Tính :
zdz
∫
C
Với đường (C) như hình bên .
(Ans: 0,375 – 0,5i )
P8.4: Tính :
zdz
∫
-1
1
C
Với đường (C) như hình bên .
(C)
(Ans: πi )
- i
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
2
Chương 8: Tích phân phức
1+i (x + y)dz
P8.5: Tính :
∫
0
Với đường lấy tích phân :
a) Dọc theo trục Oy, từ 0 đến i, sau đó dọc theo đường y = 1 đến
1+ i .
b) Đoạn thẳng từ z = 0 đến z = 1+ i.
(Ans: (a) (3 + i)/2 (b) (1 + i) )
i
P8.6: Tính :
(x2 + iy2 )dz
∫
−i
Với đường lấy tích phân là :
a) Nửa đường tròn |z| = 1 trong nửa trên mặt phẳng phức.
b) Dọc theo đường thẳng x = 0 .
(Ans: (a) (-2 + i4)/3 (b) – 2/3 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
3
Chương 8: Tích phân phức
P8.7: Dùng công thức tích phân Cauchy để tính :
2
z3
a)
c)
z +1 dz b)
z2 +6z+5 dz
z
∫ ∫
|z|=4
|z|=4
2z
z
(4−z2 )(2z−i) dz d)
(z−1)2 (z−i) dz
∫
∫
|z|=1
|z|=2
(Ans: (a) 2πi (b) – πi/2 (c) – 4π/17 (d) 0 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
4
Chương 8: Tích phân phức
P8.8:
a) Xác định các nghiệm của phương trình : z3 – 1 = 0 ?
b) Dùng công thức tích phân Cauchy để tính :
1
I = dz
(z3 −1)2
∫
|z−1|=1
(Ans: (a) 1; 1∠120o; 1∠-120o
(b) chỉ nghiệm 1 là bên trong C, ta có I = – 4πi/9 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
5
Chương 8: Tích phân phức
P8.9: Dùng công thức tích phân Cauchy để tính :
2z−1
z
a)
(z2 −z) dz
c)
(z2 +4)(z−6) dz
∫
∫
|z|=2
|z|=4
z2 +1
dz
1
b)
d)
z3 (z+4) dz
z2 −1
∫
∫
|z|=2
|z|=2
(Ans: (a) 4πi (b) 0 (c) – 3πi/10 (d) πi/32 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
6
Chương 8: Tích phân phức
P8.10: Dùng công thức tích phân Cauchy để tính :
z3 +3z+1
z2 (z2 −5)
z
a)
b)
(z2 +7z+6) dz
d)
dz
∫
∫
|z|=2
|z|=2
z3
(z2 +1)(z2 +z+1) dz
∫
∫
|z−i|=0,5
(z−1)
c)
z(z−2)2 (z−3) dz
|z|=1
(Ans: (a) -2πi/5 (b) – π (c) πi/6) (d) -6πi/5
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
7
Chương 8: Tích phân phức
P8.11: Dùng công thức tích phân Cauchy để tính :
1
z
b)
z2 +4 dz
a)
(9−z2 )(z+i) dz
∫
∫
|z|=2
|z−i|=2
2z
z
d)
(2z−1)(z+2) dz
c)
(z−1)(z+2i) dz
∫
∫
|z|=1
|z+2i|=1
(Ans: (a) π/5 (b) π/2 (c) 2πi[4/5+2i/5] (d) 4πi/5 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
8
Chương 8: Tích phân phức
P8.12: Dùng công thức tích phân Cauchy để tính :
5z
(z+1)(z−2)(z+4i) dz
∫
C
Với C là:
a) Đường tròn |z| = 3 ?
b) Đường tròn |z| = 5 ?
(Ans: (a) (4π/17)[9 + 2i] (b) 0 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
9
Chương 8: Tích phân phức
P8.13: Dùng công thức tích phân Cauchy để tính :
cosz
(C: hình chữ nhật giới hạn bởi x = ± 2,
y = ± 2 , theo chiều dương )
a)
b)
z(z2 +8) dz
∫
C
sin2z
z2 +4z+5 dz
(C: đường tròn |z – 2i| = 3, , theo chiều
dương )
∫
C
sin2z
z2 +4z+5 dz
(C: đường tròn |z – 1 + 2i| = 2, , theo
chiều dương )
c)
∫
C
(Ans: (a) πi/4 (b) – πsin2(2 – i) (c) 0 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
10
Chương 8: Tích phân phức
P8.14: Dùng công thức tích phân Cauchy để tính :
z+1
a)
b)
c)
d)
z2 (z−2) dz
(C: đường tròn đơn vị |z | = 1 )
(C: đường tròn |z – 2 – i | = 2 )
(C: đường tròn |z – 1 – 2i | = 2 )
∫
C
C
C
z+1
z2 (z−2) dz
∫
z+1
z2 (z−2) dz
∫
1
(2z−3i)(z+i) dz
(C: đường tròn |z + i | = 1 )
∫
C
(Ans: (a) – 3iπ/2 (b) 3iπ/2 (c) 0 (d) 2πi/5 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
11
Chương 8: Tích phân phức
P8.15: Dùng công thức tích phân Cauchy để tính :
z3 +z
1
a)
dz
(z2 +4)2
c)
dz
(2z+1)3
∫
|z−i|=2
∫
|z|=1
z4
4z
d)
dz
b) dz
(z−1)(z+2)2
(z−1)3
∫
∫
|z|=3
|z|=2
(Ans: (a) π/16 (b) 12πi (c) -3πi/8 (d) 0 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
12
Chương 8: Tích phân phức
P8.16: Dùng công thức tích phân Cauchy để tính :
1
5z−2
a)
b)
z3 (z−2) dz
c)
(z2 −z) dz
∫
∫
|z−i|=2
|z|=3
|z|=1
1
z10
z2 +4iz+1 dz d)
(z−0,5)(z10 +2) dz
∫
∫
|z|=1
(Ans: (a) – πi/4 (b) π/√5 (c) 10πi d) 2πi/(211 + 1) ))
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
13
13 trang
18540
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập Toán kỹ thuật - Chương 8: Tích phân phức", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_tap_toan_ky_thuat_chuong_8_tich_phan_phuc.pdf
