Bài giải Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất - Trần Ngọc Hội
a) Xaùc suaát coù ít nhaát 1 chai bia Saøi Goøn bò beå laø
e−220
BAØI GIAÛI
XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
P(X1 ≥ 1) = 1 − P(X1 = 0) = 1 −
= 1 − e−2 = 0,8647.
(GV: Traàn Ngoïc Hoäi – 2009)
0!
b) Tính xaùc suaát ñeå laùi xe ñöôïc thöôûng.
Theo giaû thieát, laùi xe ñöôïc thöôûng khi coù khoâng quaù 1 chai bò beå, nghóa
laø
CHÖÔNG 2
ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN
VAØ PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT
X1 + X2 + X3 ≤ 1.
Vì X1 ∼ P(2);X2 ∼ P(2,2); X3 ∼ P(2,4) neân X1 + X2 + X3 ∼ P(2+2,2 + 2,4) =
P(6,6)
Baøi 2.1: Nöôùc giaûi khaùt ñöôïc chôû töø Saøi Goøn ñi Vuõng Taøu. Moãi xe chôû
1000 chai bia Saøi Goøn, 2000 chai coca vaø 800 chai nöôùc traùi caây. Xaùc suaát
ñeå 1 chai moãi loaïi bò beå treân ñöôøng ñi töông öùng laø 0,2%; 0,11% vaø 0,3%.
Neáu khoâng quaù 1 chai bò beå thì laùi xe ñöôïc thöôûng.
a) Tính xaùc suaát coù ít nhaát 1 chai bia Saøi Goøn bò beå.
b) Tính xaùc suaát ñeå laùi xe ñöôïc thöôûng.
Suy ra xaùc suaát laùi xe ñöôïc thöôûng laø:
P(X1 + X2 + X3 ≤ 1) = P[(X1 + X2 + X3 =0) + P(X1 + X2 + X3 = 1)]=
e
− 6,6 (6, 6)0
0 !
e
− 6,6 (6, 6)1
1 !
c) Laùi xe phaûi chôû ít maát maáy chuyeán ñeå xaùc suaát coù ít nhaát moät chuyeán
ñöôïc thöôûng khoâng nhoû hôn 0,9?
= 0,0103.
+
Lôøi giaûi
c) Laùi xe phaûi chôû ít maát maáy chuyeán ñeå xaùc suaát coù ít nhaát moät chuyeán
ñöôïc thöôûng khoâng nhoû hôn 0,9?
Toùm taét:
Loaïi
Bia
Saøi Coca
Nöôùc traùi caây
Goøn
1000
1 chai 0,2%
Goïi n laø soá chuyeán xe caàn thöïc hieän vaø A laø bieán coá coù ít nhaát 1 chuyeán
ñöôïc thöôûng. Yeâu caàu baøi toaùn laø xaùc ñònh n nhoû nhaát sao cho P(A) ≥ 0,9.
Bieán coá ñoái laäp cuûa A laø: A khoâng coù chuyeán naøo ñöôïc thöôûng.
Theo caâu b), xaùc suaát ñeå laùi xe ñöôïc thöôûng trong moät chuyeán laø p =
0,0103. Do ñoù theo coâng thöùc Bernoulli ta coù:
Soá löôïng/chuyeán
Xaùc suaát
beå
2000 800
0,11% 0,3%
P(A) = 1 − P(A) = 1 − qn = 1 − (1 − 0,0103)n
-
Goïi X1 laø ÑLNN chæ soá chai bia SG bò beå trong moät chuyeán. Khi ñoù,
X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1,p1) vôùi n1 = 1000 vaø p1 = 0,2% =
0,002. Vì n1 khaù lôùn vaø p1 khaù beù neân ta coù theå xem X1 coù phaân phaân
phoái Poisson:
X1 ∼ P(a1) vôùi a1 = n1p1 = 1000.0,002 = 2, nghóa laø
X1 ∼ P(2).
Töông töï, goïi X2 , X3 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá chai bia coca, chai
nöôùc traùi caây bò beå trong moät chuyeán. Khi ñoù, X2 , X3 coù phaân phoái
Poisson:
= 1 − (0,9897)n.
Suy ra
P(A) ≥ 0,9 ⇔ 1 − (0,9897)n ≥ 0,9
⇔ (0,9897)n ≤ 0,1
⇔ n ln(0, 9897) ≤ ln 0,1
ln0,1
-
⇔ n ≥
≈ 222,3987
X2 ∼ P(2000.0,0011) = P(2,2);
X3 ∼ P(800.0,003) = P(2,4).
ln(0,9897)
⇔ n ≥ 223.
1
2
Vaäy laùi xe phaûi chôû ít nhaát laø 223 chuyeán.
Theo giaû thieát, maùy tính ngöng hoaït ñoäng khi soá linh kieän hoûng nhieàu
hôn 1, nghóa laø khi
X1 + X2 + X3 > 1.
Baøi 2.2: Moät maùy tính goàm 1000 linh kieän A, 800 linh kieän B vaø 2000
linh kieän C. Xaùcsuaát hoûng cuûa ba linh kieän ñoù laàn löôït laø 0,02%; 0,0125%
vaø 0,005%. Maùy tính ngöng hoaït ñoäng khi soá linh kieän hoûng nhieàu hôn 1.
Caùc linh kieän hoûng ñoäc laäp vôùi nhau.
a) Tính xaùcsuaát ñeå coù ít nhaát 1 linh kieän B bò hoûng.
b) Tính xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng.
Vì X1 ∼ P(0,2);X2 ∼ P(0,1); X3 ∼ P(0,1) neân X1 + X2 + X3 ∼ P(0,2+0,1 +
0,1) = P(0,4)
Suy ra xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng laø:
P(X1 + X2 + X3 > 1) = 1 - P(X1 + X2 + X3 ≤ 1)
c) Giaû söû trong maùy ñaõ coù 1 linh kieän hoûng. Tính xaùc suaát ñeå maùy tính
ngöng hoaït ñoäng.
= 1- [P(X1 + X2 + X3 = 0) + P(X1 + X2 + X3 = 1)] =
e
−0,4(0,4)0
0!
e
−0,4(0,4)1
1!
1 −
−
Lôøi giaûi
= 1-1,4.e-0,4 = 0,0615 = 6,15%.
Toùm taét:
Loaïi linh kieän
Soá löôïng/1maùy
Xaùc suaát 1linh kieän hoûng 0,02% 0,0125% 0,005%
A
1000
B
800
C
2000
c) Giaû söû trong maùy ñaõ coù 1 linh kieän hoûng. Khi ñoù maùy tính ngöng
hoaït ñoäng khi coù theâm ít nhaát 1 linh kieän hoûng nöõa, nghóa laø khi
X1 + X2 + X3 ≥ 1.
-
-
Goïi X1 laø ÑLNN chæ soá linh kieän A bò hoûng trong moät maùy tính. Khi
ñoù, X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1,p1) vôùi n1 = 1000 vaø p1
=
Suy ra xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng trong tröôøng hôïp naøy laø:
0,02% = 0,0002. Vì n1 khaù lôùn vaø p1 khaù beù neân ta coù theå xem X1 coù
phaân phaân phoái Poisson:
P(X1 + X2 + X3 ≥ 1) = 1 - P(X1 + X2 + X3 < 1) = 1- P(X1 + X2 + X3 = 0)
X1 ∼ P(a1) vôùi a1 = n1p1 = 1000.0,0002 =0,2, nghóa laø
e
−0,4(0,4)0
0!
= 1 −
= 1-e-0,4 = 0,3297 = 32,97%.
X1 ∼ P(0,2).
Töông töï, goïi X2, X3 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá linh kieän B, C bò
hoûng trong moät maùy tính. Khi ñoù, X2 , X3 coù phaân phoái Poisson nhö
sau:
Baøi 2.3: Troïng löôïng cuûa moät loaïi saûn phaåm ñöôïc quan saùt laø moät ñaïi
löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån vôùi trung bình 50kg vaø phöông sai
100kg2 . Nhöõng saûn phaåm coù troïng löôïng töø 45kg ñeán 70kg ñöôïc xeáp vaøo
loaïi A. Choïn ngaãu nhieân 100 saûn phaåm (trong raát nhieàu saûn phaåm). Tính
xaùc suaát ñeå
X2 ∼ P(800.0,0125%) = P(0,1);
X3 ∼ P(2000.0,005%) = P(0,1).
a) coù ñuùng 70 saûn phaåm loaïi A.
b) coù khoâng quaù 60 saûn phaåm loaïi A.
c) coù ít nhaát 65 saûn phaåm loaïi A.
a) Xaùc suaát coù ít nhaát 1 linh linh kieän B bò hoûng laø:
Lôøi giaûi
e
−0,1(0,1)0
0!
P(X2 ≥ 1) = 1 − P(X2 = 0)= 1 −
= 1 − e−0,1 = 0,0952.
Tröôùc heát ta tìm xaùc suaát ñeå moät saûn phaåm thuoäc loaïi A.
b) Tính xaùc suaát ñeå maùy tính ngöng hoaït ñoäng.
3
4
Goïi X0 laø troïng löôïng cuûa loaïi saûn phaåm ñaõ cho. Töø giaû thieát ta suy ra
c) Xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 65 saûn phaåm loaïi A laø:
2
2
X0 coù phaân phoái chuaån X0 ∼ N(μ0, σ0 ) vôùi μ0 = 50, σ0 = 100 (σ0 = 10).
Vì moät saûn phaåm ñöôïc xeáp vaøo loaïi A khi coù troïng löôïng töø 45kg ñeán
70kg neân xaùc suaát ñeå moät saûn phaåm thuoäc loaïi A laø P(45 ≤ X0 ≤ 70).
100 − μ
65 − μ
σ
100 − 66,87
4,7068
65 − 66,87
4,7068
P (65 ≤ X ≤ 100) = ϕ(
) − ϕ(
) = ϕ(
) − ϕ(
)
σ
= ϕ(7,0388) − ϕ(−0,40) = ϕ(5) + ϕ(0,4) = 0,5 + 0,1554 = 0,6554 = 65,54%.
(Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ (7,7068)≈ ϕ (5) = 0,5; ϕ(0,4) =
0,1554).
Ta coù
70 − μ
σ0
45 − μ
σ0
70 − 50
10
45 − 50
10
P(45 ≤ X0 ≤ 70) = ϕ(
0 ) − ϕ(
0 ) = ϕ(
) − ϕ(
)
Baøi 2.4: Saûn phaåm trong moät nhaø maùy ñöôïc ñoùng thaønh töøng kieän, moãi
kieän goàm 14 saûn phaåm trong ñoù coù 8 saûn phaåm loaïi A vaø 6 saûn phaåm loaïi
B. Khaùch haøng choïn caùch kieåm tra nhö sau: töø moãi kieän laáy ra 4 saûn
phaåm; neáu thaáy soá saûn phaåm thuoäc loaïi A nhieàu hôn soá saûn phaåm thuoäc
loaïi B thì môùi nhaän kieän ñoù; ngöôïc laïi thì loaïi kieän ñoù. Kieåm tra 100
kieän (trong raát nhieàu kieän). Tính xaùc suaát ñeå
= ϕ(2) − ϕ(−0,5) = ϕ(2) + ϕ(0,5) = 0,4772 + 0,1915 = 0,6687.
(Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ (2) = 0,4772; ϕ (0,5) = 0,1915).
Vaäy xaùc suaát ñeå moät saûn phaåm thuoäc loaïi A laø p =0,6687.
a) coù 42 kieän ñöôïc nhaän.
b) coù töø 40 ñeán 45 kieän ñöôïc nhaän.
c) coù ít nhaát 42 kieän ñöôïc nhaän.
Baây giôø, kieåm tra 100 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi A coù trong
100 saûn phaåm ñöôïc kieåm tra, thì X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p)
Lôøi giaûi
vôùi n = 100,
p = 0,6687. Vì n = 100 khaù lôùn vaø p = 0,6687 khoâng
quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem
X coù phaân phoái
Tröôùc heát ta tìm xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän.
chuaån nhö sau:
Theo giaû thieát, moãi kieän chöùa 14 saûn phaåm goàm 8A vaø 6B. Töø moãi kieän
laáy ra 4 saûn phaåm; neáu thaáy soá saûn phaåm A nhieàu hôn soá saûn phaåm B,
nghóa laø ñöôïc 3A,1B hoaëc 4A, thì môùi nhaän kieän ñoù. Do ñoù xaùc suaát ñeå
moät kieän ñöôïc nhaän laø:
X ∼ N(μ, σ2)
vôùi
μ = np = 100.0,6687 = 66,87;
σ = npq = 100.0,6687.(1 − 0,6687) = 4,7068.
a) Xaùc suaát ñeå coù 70 saûn phaåm loaïi A laøø:
1
P (X = 70) = f(
σ
70 − μ
1
70 − 66,87
4,7068
C38C16 C48C06
) =
f(
)
P4(3 ≤ k ≤ 4) = P4(3) + P4(4) =
+
= 0,4056
σ
4,7068
C144
C144
1
0,3209
4,7068
=
f(0,66) =
= 0,0681 = 6,81%.
Vaäy xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän laø p = 0,4056.
4,7068
(Tra baûng giaù trò haøm Gauss ta ñöôïc f(0,66) = 0,3209).
Baây giôø, kieåm tra 100 kieän. Goïi X laø soá kieän ñöôïc nhaän trong 100 kieän
ñöôïc kieåm tra, thì X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) vôùi n = 100, p =
0,4056. Vì n = 100 khaù lôùn vaø p = 0,4056 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng
quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem X coù phaân phoái chuaån nhö sau:
X ∼ N(μ, σ2)
b) Xaùc suaát ñeå coù khoâng quaù 60 saûn phaåm loaïi A laø:
60 − μ
σ
0 − μ
σ
60 − 66,87
4,7068
0 − 66,87
4,7068
P (0 ≤ X ≤ 60) = ϕ(
) − ϕ(
) = ϕ(
) − ϕ(
)
vôùi
μ = np = 100.0,4056 = 40,56;
= ϕ(−1,46) − ϕ(−14,21) = −ϕ(1,46) + ϕ(14,21) = −ϕ(1,46) + ϕ(5)
= −0,4279 + 0,5 = 0,0721 = 7,21%.
σ = npq = 100.0,4056.(1 − 0,4056) = 4,9101.
a) Xaùc suaát ñeå coù 42 kieän ñöôïc nhaän laøø:
(Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ (14,21) = ϕ (5) = 0,5; ϕ(1,46) =
0,4279).
5
6
1
P (X = 42) = f(
σ
42 − μ
σ
1
42 − 40,56
4,9101
1
Lôøi giaûi
) =
f(
) =
f(0,29)
4,9101
4,9101
Tröôùc heát ta tìm xaùc suaát p ñeå moät kieän ñöôïc nhaän.
Goïi C laø bieán coá kieän haøng ñöôïc nhaän. Ta caàn tìm p = P(C).
Töø giaû thieát ta suy ra coù hai loaïi kieän haøng:
Loaïi I: goàm 6A, 4B chieám 0,9 = 90%.
0,3825
4,9101
=
= 0,0779 = 7,79%.
(Tra baûng giaù trò haøm Gauss ta ñöôïc f(0,29) = 0,3825).
Loaïi II: goàm 8A, 2B chieám 0,1 = 10%.
Goïi A1, A2 laàn löôït laø caùc bieán coá kieän haøng thuoäc loaïi I, II. Khi ñoù A1,
A2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù
P(A1) = 0,9; P(A2) = 0,1.
b) Xaùc suaát ñeå coù töø 40 ñeán 45 kieän ñöôïc nhaän laøø
45 − μ
40 − μ
45 − 40,56
40 − 40,56
P (40 ≤ X ≤ 45) = ϕ(
) − ϕ(
) = ϕ(
) − ϕ(
)
σ
σ
4,9101
4,9101
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû ta coù:
= ϕ(0,90) − ϕ(−0,11) = ϕ(0,90) + ϕ(0,11) = 0,3159 + 0,0438 = 0,3597 = 35,97%.
P(C) = P(A1) P(C/A1) + P(A2) P(C/A2).
(Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ (0,9) = 0,3519; ϕ (0,11) =
0,0438).
Theo giaû thieát, töø moãi kieän laáy ra 2 saûn phaåm; neáu caû 2 saûn phaåm thuoäc
loaïi A thì môùi nhaän kieän ñoù. Do ñoù:
c) Xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 42 kieän ñöôïc nhaän laøø
C26C04
C120
1
3
P(C / A1) = P2(2) =
=
;
100 − μ
42 − μ
100 − 40,56
42 − 40,56
4,9101
P (42 ≤ X ≤ 100) = ϕ(
) − ϕ(
) = ϕ(
) − ϕ(
)
σ
σ
4,9101
= ϕ(12) − ϕ(0,29) = 0,50 − 0,1141 = 0,3859 = 38,59%.
C28C02 28
P(C / A2) = P2(2) =
=
.
C120
45
(Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ϕ(12) = ϕ(5) = 0,5; ϕ(0,29) =
0,1141).
Suy ra
P(C) = 0,9. (1/3) + 0,1.(28/45) = 0,3622.
Vaäy xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän laø p = 0,3622.
Baây giôø, kieåm tra 144 kieän. Goïi X laø soá kieän ñöôïc nhaän trong 144 kieän
ñöôïc kieåm tra, thì X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) vôùi n = 144, p =
0,3622. Vì n = 144 khaù lôùn vaø p = 0,3622 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng
quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem X coù phaân phoái chuaån nhö sau:
X ∼ N(μ, σ2)
Baøi 2.5: Saûn phaåm trong moät nhaø maùy ñöôïc ñoùng thaønh töøng kieän, moãi
kieän goàm 10 saûn phaåm Soá saûn phaåm loaïi A trong caùc hoäp laø X coù phaân
phoái nhö sau:
X
P
6
8
vôùi
μ = np = 144.0,3622 = 52,1568;
σ = npq = 144.0,3622.(1 − 0,3622) = 5,7676.
0,9
0,1
a) Xaùc suaát ñeå coù 53 kieän ñöôïc nhaän laø P(X=53) = 6,84% (Töông töï Baøi
21).
b) Xaùc suaát ñeå coù töø 52 ñeán 56 kieän ñöôïc nhaän laø P(52 ≤ X ≤ 56) =
26,05% (Töông töï Baøi 21).
c) Phaûi kieåm tra ít nhaát bao nhieâu kieän ñeå xaùc suaát coù ít nhaát 1 kieän
ñöôïc nhaän khoâng nhoû hôn 95%?
Khaùch haøng choïn caùch kieåm tra nhö sau: töø moãi kieän laáy ra 2 saûn phaåm;
neáu thaáy caû 2 saûn phaåm ñeàu loaïi A thì môùi nhaän kieän ñoù; ngöôïc laïi thì
loaïi kieän ñoù. Kieåm tra 144 kieän (trong raát nhieàu kieän).
a) Tính xaùc suaát ñeå coù 53 kieän ñöôïc nhaän.
b)Tính xaùc suaát ñeå coù töø 52 ñeán 56 kieän ñöôïc nhaän.
c) Phaûi kieåm tra ít nhaát bao nhieâu kieän ñeå xaùc suaát coù ít nhaát 1 kieän
ñöôïc nhaän khoâng nhoû hôn 95%?
Goïi n laø soá kieän caàn kieåm tra vaø D laø bieán coá coù ít nhaát 1 kieän ñöôïc nhaän.
Yeâu caàu baøi toaùn laø xaùc ñònh n nhoû nhaát sao cho P(D) ≥ 0,95.
7
8
•
•
X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1,p1) vôùi n1 = 100, p1 = 80% =
0,8. Vì n1 = 100 khaù lôùn vaø p1 = 0,8 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng
quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem X1 coù phaân phoái chuaån nhö sau:
Bieán coá ñoái laäp cuûa D laø D: khoâng coù kieän naøo ñöôïc nhaän.
Theo chöùng minh treân, xaùc suaát ñeå moät kieän ñöôïc nhaän laø p = 0,3622.
Do ñoù
2
X1 ∼ N(μ1, σ1 )
Theo coâng thöùc Bernoulli ta coù:
P(D) = 1 − P(D) = 1 − qn = 1 − (1 − 0,3622)n = 1 − (0,6378)n.
vôùi
μ1 = n1p1 = 100.0,8 = 80;
σ1 = n1p1q1
=
100.0,8.0,2 = 4.
Suy ra
X2 coù phaân phoái nhò thöùc X2 ∼ B(n2,p2) vôùi n2 = 100, p2 = 60% =
0,60. Vì n2 = 100 khaù lôùn vaø p2 = 0,60 khoâng quaù gaàn 0 cuõng
khoâng quaù gaàn 1 neân ta coù theå xem X2 coù phaân phoái chuaån nhö
sau:
P(D) ≥ 0,95 ⇔ 1 − (0,6378)n ≥ 0,95
⇔ (0,6378)n ≤ 0,05
⇔ nln(0,6378) ≤ ln0,05
ln0,05
2
X2 ∼ N(μ2, σ2 )
vôùi
σ2 = n2p2q2
a) Xaùc suaát ñeå coù 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån laø:
μ2 = n2p2 = 100.0,60 = 60;
⇔ n ≥
≈ 6,6612
ln(0,6378)
⇔ n ≥ 7.
=
100.0,60.0,40 = 4,8990.
1
2
1
2
1 1 70 − μ
1 1 70 − μ2
P(X = 80) = P(X1=70)+ P(X2=70) =
f(
1 ) +
f(
)
Vaäy phaûi kieåm tra ít nhaát 7 kieän.
2 σ1
σ1
2 σ2
σ2
f(2,04)
1 1 70 − 80
1
1
70 − 60 1 1
1
1
=
=
.
f(
) +
.
f(
)=
.
f(−2,5) +
.
Baøi 2.6: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm ñaït tieâu chuaån
laø 80% vaø moät maùy khaùc cuõng saûn xuaát loaïi saûn phaåm naøy vôùi tæ leä saûn
phaåm ñaït tieâu chuaån laø 60%. Choïn ngaãu nhieân moät maùy vaø cho saûn xuaát
100 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå
2 4
4
2 4,8990 4,8990 2 4
2 4,8990
1 1
2 4
1
.
1
.
0,0175 +
0,0498 = 0,000727
2 4,8990
a) coù 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån.
b) coù töø 70 ñeán 90 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån.
c) coù khoâng ít hôn 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån.
b) Xaùc suaát ñeå coù töø 70 ñeán 90 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån laø:
1
1
P(70 ≤ X ≤ 90) = P(70 ≤ X1 ≤ 90)+ P(70 ≤ X2 ≤ 90)
2
2
1
2
1
2
90 − μ
σ1
70 − μ
σ1
1
2
1
2
90 − μ
σ2
70 − μ
σ2
=
=
[ϕ(
[ϕ(
1 ) − ϕ(
1 )] + [ϕ(
2 ) − ϕ(
2 )]
Lôøi giaûi
90 − 80
70 − 80
90 − 60
4,899
70 − 60
4,899
) − ϕ(
)] + [ϕ(
) − ϕ(
)]
Goïi X laø ÑLNN chæ soá saûn phaåm ñaït tieâu chuaån trong 100 saûn phaåm.
A1, A2 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc maùy 1, maùy 2.
Khi ñoù A1, A2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(A1) = P(A2) = 0,5.
4
4
1
2
1
=
=
[ϕ(2,5) − ϕ(−2,5) + ϕ(6,12) − ϕ(2,04)]
(0,49379 + 0,49379 + 0,5 − 0,47932)
Theo coâng thöùc xaùc xuaát ñaày ñuû, vôùi moãi 0 ≤ k ≤ 100, ta coù:
2
= 0,50413
P(X = k) = P(A1)P(X=k/A1) + P(A2)P(X= k/A2)
c) Xaùc suaát coù khoâng ít hôn 70 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån laø
1
2
1
2
(1)
=
P(X=k/A1)+ P(X=k/A2)
P(70 ≤ X ≤ 100) =0,5072
(Töông töï caâu b)
Nhö vaäy, goïi X1, X2 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá saûn phaåm ñaït tieâu
chuaån trong tröôøng hôïp choïn ñöôïc maùy 1, maùy 2. Khi ñoù:
Baøi 2.7: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm laø 1% vaø moät
maùy khaùc cuõng saûn xuaát loaïi saûn phaåm naøy vôùi tæ leä pheá phaåm laø 2%.
1
2
1
2
P(X = k) = P(X1=k)+ P(X2=k)
•
(1) cho ta
9
10
Choïn ngaãu nhieân moät maùy vaø cho saûn xuaát 1000 saûn phaåm. Tính xaùc
suaát ñeå
a) coù 14 pheá phaåm.
b)coù töø 14 ñeán 20 pheá phaåm.
Lôøi giaûi
Baøi 2.8: Moät xí nghieäp coù hai maùy I vaø II. Trong ngaøy hoäi thi, moãi coâng
nhaân döï thi ñöôïc phaân moät maùy vaø vôùi maùy ñoù seõ saûn xuaát 100 saûn
phaåm. Neáu soá saûn phaåm loaïi A khoâng ít hôn 70 thì coâng nhaân ñoù seõ ñöôïc
thöôûng. Giaû söû ñoái vôùi coâng nhaân X, xaùc suaát saûn xuaát ñöôïc 1 saûn phaåm
loaïi A vôùi caùc maùy I vaø II laàn löôït laø 0,6 vaø 0,7.
a) Tính xaùc suaát ñeå coâng nhaân X ñöôïc thöôûng.
b) Giaû söû coâng nhaân X döï thi 50 laàn. Soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát laø
bao nhieâu?
Goïi X laø ÑLNN chæ soá pheá phaåm trong 1000 saûn phaåm.
A1, A2 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc maùy 1, maùy 2.
Khi ñoù A1, A2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(A1) = P(A2) = 0,5.
Lôøi giaûi
Theo coâng thöùc xaùc xuaát ñaày ñuû, vôùi moãi 0 ≤ k ≤ 100, ta coù:
Goïi Y laø ÑLNN chæ soá saûn phaåm loaïi A coù trong 100 saûn phaåm ñöôïc saûn
xuaát.
P(X = k) = P(A1)P(X=k/A1) + P(A2)P(X= k/A2)
A1, A2 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc maùy I, maùy II.
Khi ñoù A1, A2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(A1) = P(A2) = 0,5.
1
2
1
(1)
=
P(X=k/A1)+ P(X=k/A2)
2
Nhö vaäy, goïi X1, X2 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá pheá phaåm trong tröôøng
hôïp choïn ñöôïc maùy 1, maùy 2. Khi ñoù:
Theo coâng thöùc xaùc xuaát ñaày ñuû, vôùi moãi 0 ≤ k ≤ 100, ta coù:
1
2
1
2
P(X = k) = P(X1=k)+ P(X2=k)
•
•
(1) cho ta
P(Y = k) = P(A1)P(Y=k/A1) + P(A2)P(Y= k/A2)
X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1,p1) vôùi n1 = 1000 vaø p1 = 1% =
0,001. Vì n1 khaù lôùn vaø p1 khaù beù neân ta coù theå xem X1 coù phaân
phaân phoái Poisson:
(1)
1
2
1
2
=
P(Y=k/A1)+ P(Y=k/A2)
Nhö vaäy, goïi X1, X2 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá saûn phaåm loaïi A coù
trong 100 saûn phaåm ñöôïc saûn xuaát trong tröôøng hôïp choïn ñöôïc maùy I,
maùy II. Khi ñoù:
X1 ∼ P(a1) vôùi a1 = n1p1 = 1000.0,01 = 10, nghóa laø X2 ∼ P(10).
•
X2 coù phaân phoái nhò thöùc X2 ∼ B(n2,p2) vôùi n2 = 1000 vaø p2 = 2% =
0,002. Vì n2 khaù lôùn vaø p2 khaù beù neân ta coù theå xem X2 coù phaân
phaân phoái Poisson:
1
2
1
2
P(Y = k) = P(X1=k)+ P(X2=k)
•
•
(1) cho ta
X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1,p1) vôùi n1 = 100, p1 = 0,6. Vì
n1 = 100 khaù lôùn vaø p1 = 0,6 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn
1 neân ta coù theå xem X1 coù phaân phoái chuaån nhö sau:
X1 ∼ P(a2) vôùi a2 = n2p2 = 1000.0,02 = 20, nghóa laø X2 ∼ P(20).
2
a) Xaùc suaát ñeå coù 14 pheá phaåm laø:
X1 ∼ N(μ1, σ1 )
1
1
1 e−101014 1 e−20 2014
vôùi
μ1 = n1p1 = 100.0,6 = 60;
P(X = 14) = P(X1=14)+ P(X2=14) =
+
= 0,0454
2
2
2
14!
2
14!
σ1 = n1p1q1
=
100.0,6.0,4 = 4,8990.
•
X2 coù phaân phoái nhò thöùc X2 ∼ B(n2,p2) vôùi n2 = 100, p2 = 0,7. Vì n2
= 100 khaù lôùn vaø p2 = 0,7 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1
neân ta coù theå xem X2 coù phaân phoái chuaån nhö sau:
b) Xaùc suaát ñeå coù töø 14 ñeán 20 pheá phaåm laø:
1
1
P(14 ≤ X ≤ 20) = P(14 ≤ X1 ≤ 20)+ P(14 ≤ X2 ≤ 20)
2
2
2
X2 ∼ N(μ2, σ2 )
20
20
1
2
e
−1010k
k!
1
2
e
−2020k
k!
vôùi
μ1 = n2p2 = 100.0,7 = 70;
=
+
= 31,35%
∑
∑
σ2 = n2p2q2
=
100.0,7.0,3 = 4,5826.
k=14
k=14
a) Xaùc suaát ñeå coâng nhaân X ñöôïc thöôûng laø:
11
12
1
2
1
2
P(70 ≤ Y ≤ 100) = P(70 ≤ X1 ≤ 100)+ P(70 ≤ X2 ≤ 100)
P(X = k) = P(A1)P(X=k/A1) + P(A2)P(X= k/A2)
1
2
1
2
1
2
100 − μ
70 − μ
σ1
1
2
100 − μ
70 − μ
σ2
1
2
1
(1)
=
=
=
[ϕ(
[ϕ(
1 ) − ϕ(
1 )] + [ϕ(
2 ) − ϕ(
2 )]
=
P(X=k/A1)+ P(X=k/A2)
2
σ1
σ2
100 − 60
4,899
70 − 60
4,899
1
)] + [ϕ(
2
100 − 70
4,5826
1
70 − 70
4,5826
Nhö vaäy, goïi X1, X2 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá vieân truùng trong 100
vieân ñöôïc baén ra trong tröôøng hôïp choïn ñöôïc khaåu loaïi I, II. Khi ñoù:
) − ϕ(
) − ϕ(
)]
1
2
1
2
P(X = k) = P(X1=k)+ P(X2=k)
•
•
(1) cho ta
[ϕ(8,16) − ϕ(2,04) + ϕ(6,55) − ϕ(0)]= (0,5 − 0,47932 + 0,5) = 0,2603
2
X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1,p1) vôùi n1 = 100, p1 = 0,6. Vì n1
= 100 khaù lôùn vaø p1 = 0,6 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1
neân ta coù theå xem X1 coù phaân phoái chuaån nhö sau:
b) Giaû söû coâng nhaân X döï thi 50 laàn. Soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát laø
bao nhieâu?
2
X1 ∼ N(μ1, σ1 )
vôùi
μ1 = n1p1 = 100.0,6 = 60;
Goïi Z laø ÑLNN chæ soá laàn coâng nhaân X ñöôïc thöôûng. Khi ñoù Z coù
phaân phoái nhò thöùc Z ∼ B(n,p) vôùi n = 50, p = 0,2603. Soá laàn ñöôïc
thöôûng tin chaéc nhaát chính laø Mod(Z). Ta coù:
σ1 = n1p1q1
=
100.0,6.0,4 = 4,8990.
•
X2 coù phaân phoái nhò thöùc X2 ∼ B(n2,p2) vôùi n2 = 100, p2 = 0,5. Vì n2
= 100 khaù lôùn vaø p2 = 0,5 khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng quaù gaàn 1
neân ta coù theå xem X2 coù phaân phoái chuaån nhö sau:
Mod(Z) = k ⇔ np − q ≤ k ≤ np − q + 1
2
⇔ 50.0,2603 − 0,7397 ≤ k ≤ 50.0,2603 − 0,7397 + 1
⇔ 12,2753 ≤ k ≤ 13,2753 ⇔ k = 13
X2 ∼ N(μ2, σ2 )
μ1 = n2p2 = 100.0,5 = 50;
vôùi
σ2 = n2p2q2
=
100.0,5.0,5 = 5.
Vaäy soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát cuûa coâng nhaân X laø 13 laàn.
a) Xaùc suaát ñeå chieán só A ñöôïc thöôûng laø:
Baøi 2.9: Trong ngaøy hoäi thi, moãi chieán só seõ choïn ngaãu nhieân moät trong
hai loaïi suùng vaø vôùi khaåu suùng choïn ñöôïc seõ baén 100vieân ñaïn. Neáu coù töø
65 vieân trôû leân truùng bia thì ñöôïc thöôûng. Giaû söû ñoái vôùi chieán só A, xaùc
suaát baén 1 vieân truùng bia baèng khaåu suùng loaïi I laø 60% vaø baèng khaåu
suùng loaïi II laø 50%.
a) Tính xaùc suaát ñeå chieán só A ñöôïc thöôûng.
b) Giaû söû chieán só A döï thi 10 laàn. Hoûi soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát
laø bao nhieâu?
1
1
P(65 ≤ X ≤ 100) = P(65 ≤ X1
≤
100)+ P(65 ≤ X2
≤
100)
2
2
1
2
1
2
1
2
100 − μ
65 − μ
1
100 − μ
65 − μ
=
=
=
[ϕ(
[ϕ(
1 ) − ϕ(
1 )] + [ϕ(
2 ) − ϕ(
2 )]
σ1
σ1
2
σ2
σ2
100 − 60
4,899
65 − 60
4,899
1
2
100 − 50
5
1
65 − 50
) − ϕ(
)] + [ϕ(
) − ϕ(
)]
5
[ϕ(8,16) − ϕ(1,02) + ϕ(10) − ϕ(3)]= (0,5 − 0,34614 + 0,5 − 0,49865) = 0,0776.
2
c) Chieán só A phaûi tham gia hoäi thi ít nhaát bao nhieâu laàn ñeå xaùc suaát coù
ít nhaát moät laàn ñöôïc thöôûng khoâng nhoû hôn 98%?
b) Giaû söû chieán só A döï thi 10 laàn. Soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát laø
bao nhieâu?
Goïi Y laø ÑLNN chæ soá laàn chieán só A ñöôïc thöôûng. Khi ñoù Y coù phaân
phoái nhò thöùc Y ∼ B(n,p) vôùi n = 10, p = 0,0776. Soá laàn ñöôïc thöôûng tin
chaéc nhaát chính laø mod(Y). Ta coù:
Lôøi giaûi
Goïi X laø ÑLNN chæ soá vieân truùng trong 100 vieân ñöôïc baén ra.
Goïi A1, A2 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc khaåu suùng loaïi I, II.
Khi ñoù A1, A2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(A1) = P(A2) = 0,5.
mod(Y) = k ⇔ np − q ≤ k ≤ np − q + 1
⇔ 10.0,0776 − 0,9224 ≤ k ≤ 10.0,0776 − 0,9224 + 1
⇔ −0,1464 ≤ k ≤ 0,8536 ⇔ k = 0
Theo coâng thöùc xaùc xuaát ñaày ñuû, vôùi moãi 0 ≤ k ≤ 100, ta coù:
13
14
Theo coâng thöùc Bernoulli ta coù:
P(X = 0) = 0(0,8)0(0,2)4 = 0,0016;
Vaäy soá laàn ñöôïc thöôûng tin chaéc nhaát cuûa chieán só A laø 0 laàn, noùi caùch
khaùc, thöôøng laø chieán só A khoâng ñöôïc thöôûng laàn naøo trong 10 laàn tham
gia.
C4
P(X = 1) = 1(0,8)1(0,2)3 = 0,0256;
C4
P(X = 2) = 2(0,8)2(0,2)2 = 0,1536;
C4
c) Chieán só A phaûi tham gia hoäi thi ít nhaát bao nhieâu laàn ñeå xaùc suaát coù
ít nhaát moät laàn ñöôïc thöôûng khoâng nhoû hôn 98%?
P(X = 3) = 3(0,8)3(0,2)1 = 0,4096;
C4
P(X = 4) = 4(0,8)4(0,2)0 = 0,4096.
C4
Goïi n laø soá laàn tham gia hoäi thi vaø D laø bieán coá coù ít nhaát 1 laàn ñöôïc
thöôûng. Yeâu caàu baøi toaùn laø xaùc ñònh n nhoû nhaát sao cho P(D) ≥ 0,98.
Bieán coá ñoái laäp cuûa D laø D: khoâng coù laàn naøo ñöôïc thöôûng.
Theo chöùng minh treân, xaùc suaát ñeå moät laàn ñöôïc thöôûng laø p = 0,0776.
Do ñoù
Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø:
X
P
0
1
2
3
4
0,0016 0,0256 0,1536 0,4096 0,4096
b) Tìm kyø voïng vaø phöông sai cuûa X.
- Kyø voïng: M(X) = np = 3,2.
Theo coâng thöùc Bernoulli ta coù:
P(D) = 1 − P(D) = 1 − qn = 1 − (1 − 0,0776)n = 1 − (0,9224)n.
- Phöông sai: D(X) = npq = 0,64.
Suy ra
Baøi 2.11: Coù hai loâ haøng I vaø II, moãi loâ chöùa raát nhieàu saûn phaåm. Tæ leä
saûn phaåm loaïi A coù trong hai loâ I vaø II laàn löôït laø 70% vaø 80%. Laáy
ngaãu nhieân töø moãi loâ 2 saûn phaåm.
a) Tính xaùc suaát ñeå soá saûn phaåm loaïi A laáy töø loâ I lôùn hôn soá saûn phaåm
loaïi A laáy töø loâ II.
P(D) ≥ 0,98 ⇔ 1 − (0,9224)n ≥ 0,98
⇔ (0,9224)n ≤ 0,02
⇔ nln0,9224 ≤ ln0,02
ln0,02
⇔ n ≥
≈ 48,43
b) Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi A coù trong 4 saûn phaåm ñöôïc laáy ra. Tìm kyø
voïng vaø phöông sai cuûa X.
ln0,9224
⇔ n ≥ 49.
Lôøi giaûi
Vaäy chieán só A phaûi tham gia hoäi thi ít nhaát laø 49 laàn.
Goïi X1, X2 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá sp loaïi A coù trong 2 sp ñöôïc
choïn ra töø loâ I, II. Khi ñoù
Baøi 2.10: Moät ngöôøi thôï saên baén 4 vieân ñaïn. Bieát xaùc suaát truùng ñích
cuûa moãi vieân ñaïn baén ra laø 0,8. Goïi X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ soá vieân
ñaïn truùng ñích.
a) Tìm luaät phaân phoái cuûa X.
b) Tìm kyø voïng vaø phöông sai cuûa X.
•
X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1, p1); n1 = 2; p1 = 70% = 0,7
vôùi caùc xaùc suaát ñònh bôûi:
P(X1 = k) = k(0,7)k (0,3)2−k
C2
Cuï theå
X1
P
0
1
2
0,09 0,42 0,49
X2 coù phaân phoái nhò thöùc X2 ∼ B(n2, p2); n2 = 2; p2 = 80% = 0,8
Lôøi giaûi
•
vôùi caùc xaùc suaát ñònh bôûi:
a) Ta thaáy X coù phaân phoái nhò thöùc X∼ B(n,p) vôùi n = 4, p = 0,8. X laø
P(X2 = k) = k(0,8)k (0,2)2−k
ÑLNN rôøi raïc nhaän 5 giaù trò: 0, 1, 2, 3 , 4. Luaät phaân phoái cuûa X coù daïng:
C2
Cuï theå
X
P
0
p0
1
2
3
4
X2
P
0
1
2
p1 p2 p3 p4
0,04 0,32 0,64
15
16
a) Xaùc suaát ñeå soá saûn phaåm loaïi A laáy töø loâ I lôùn hôn soá saûn phaåm loaïi A
laáy töø loâ II laø:
X2
P
0
1
2
3/45 21/45 21/45
P(X1 ≥ X2) = P[(X1 =2)(X2 =0)+ (X1 =2)(X2 =1)+ (X1 =1)(X2 =0)]
= P(X1 =2)P(X2 =0)+ P(X1 =2)P(X2 =1)+ P(X1 =1)P(X2 =0) =
0,1932.
Goïi X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ soá bi ñoû coù trong 4 bi ñöôïc ruùt ra. Khi
ñoù
X = X1 + X2
Baûng giaù trò cuûa X döïa vaøo X1, X2 nhö sau:
b) Goïi X laø soá sp loaïi A coù trong 4 sp choïn ra . Khi ñoù
X = X1 + X2
Vì X1 , X2 ñoäc laäp neân ta coù:
X
X1
0
1
2
X2
0
1
2
-
Kyø voïng cuûa X laø M(X) = M(X1) + M(X2) = n1p1 + n2p2 = 3
-
Phöông sai cuûa X laø D(X) = D(X1) + D(X2) = n1p1q1 + n2p2q2 = 0,74.
0
1
2
1
2
3
2
3
4
Baøi 2.12: Cho hai hoäp I vaø II, moãi hoäp coù 10 bi; trong ñoù hoäp I goàm 6 bi
ñoû, 4 bi traéng vaø hoäp II goàm 7 bi ñoû, 3 bi traéng. Ruùt ngaãu nhieân töø moãi
hoäp hai bi.
a) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc hai bi ñoû vaø hai bi traéng.
b) Goïi X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ soá bi ñoû coù trong 4 bi ñöôïc ruùt ra.
Tìm luaät phaân phoái cuûa X.
a) Xaùc suaát ñeå ñöôïc 2 bi ñoû vaø 2 bi traéng laø:
P(X = 2) = P[(X1=0) (X2=2)+ (X1=1) (X2=1)+ (X1=2) (X2=0)]
= P(X1=0) P(X2=2)+ P(X1=1)P(X2=1)+ P(X1=2)P(X2=0)]
= (6/45)(21/45) + (24/45)(21/45) + (15/45)(3/45) = 1/3.
Lôøi giaûi
b) Luaät phaân phoái cuûa X coù daïng:
Goïi X1, X2 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá bi ñoû coù trong 2 bi ñöôïc choïn
ra töø hoäp I, hoäp II. Khi ñoù
- X1 coù phaân phoái sieâu boäi X1 ∼ H(N1, N1A, n1); N1 = 10; N1A= 6; n1 =
X
P
0
p0
1
p1
2
3
4
2 vôùi caùc xaùc suaát ñònh bôûi:
p2 p3 p4
k
2−k
C6C4
P(X1 = k) =
.
2
trong ñoù:
p0 = P(X = 0)= P(X1 =0) P(X2 = 0) = 2/225;
p1 = P(X = 1)= P(X1 =0) P(X2 = 1) + P(X1 =1) P(X2 = 0)= 22/225;
C10
Cuï theå
p2 = P(X = 2) = 1/3;
p3 = P(X = 3)= P(X1 =1) P(X2 = 2) + P(X1 =2) P(X2 = 1)= 91/225;
p4 = P(X = 4)= P(X1 =2) P(X2 = 2) = 7/45.
X1
P
0
1
2
6/45 24/45 15/45
- X2 coù phaân phoái sieâu boäi X2 ∼ H(N2, N2A, n2); N2 = 10; N2A = 7; n2
Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø :
= 2
vôùi caùc xaùc suaát ñònh bôûi:
X
P
0
1
2
3
4
k
2−k
C7C3
2/225 22/225 1/3 91/225 7/45
P(X2 = k) =
.
2
C10
Cuï theå
17
18
Baøi 2.13: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm 10%. Moät loâ
haøng goàm 10 saûn phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm 30%. Cho maùy saûn xuaát 3 saûn
phaåm vaø töø loâ haøng laáy ra 3 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm toát coù trong
6 saûn phaåm naøy.
a) Tìm luaät phaân phoái cuûa X.
b) Khoâng duøng luaät phaân phoái cuûa X, haõy tính M(X), D(X).
trong ñoù:
p0 = P(X = 0)= P(X1 = 0)P(X2 = 0) = 1/120000;
p1 = P(X = 1)= P(X1 = 0)P(X2 = 1) + P(X1 = 1)P(X2 = 0) = 1/2500;
p2 = P(X = 2) = P(X1 = 0)P(X2 = 2) + P(X1 = 1)P(X2 = 1) + P(X1 = 2)P(X2 =0)
= 291/40000
p3 = P(X = 3) = P(X1 = 0)P(X2 = 3) + P(X1 = 1)P(X2 = 2) + P(X1 = 2)P(X2 =1)
+ P(X1 = 3)P(X2=0) = 473/7500
p4 = P(X = 4) = P(X1 = 1)P(X2 = 3) + P(X1 = 2)P(X2 = 2) + P(X1 = 3)P(X2 = 1)
= 10521/40000
p5 = P(X = 5) = P(X1 = 2) P(X2 = 3) + P(X1 = 3)P(X2 = 2) = 567/1250
p6 = P(X = 6) = P(X1 = 3)P(X2 = 3) = 1701/8000.
Lôøi giaûi
Goïi X1, X2 laàn löôït laø caùc ÑLNN chæ soá sp toát coù trong 3 saûn phaåm do
maùy saûn xuaát; do laáy töø loâ haøng. Khi ñoù X1, X2 ñoäc laäp vaø ta coù:
-
X1 coù phaân phoái nhò thöùc X1 ∼ B(n1, p1); n1 = 3; p1 = 0,9. Cuï theå
ta coù:
P(X1 = 0) = 0p0q2 = (0,1)3 = 0, 001;
Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø:
C3
P(X1 = 1) = 1p1q2 = 3(0, 9)(0,1)2 = 0, 027;
X
P
0
1
2
3
4
5
6
C3
1/120000 1/2500 291/40000 473/7500 10521/40000 576/1250 1701/8000
P(X1 = 2) = 2p2q1 = 3(0, 9)2(0,1) = 0, 243;
C3
P(X1 = 3) = 3p3q0 = (0, 9)3 = 0,729.
b) Vì X = X1 + X2 vaø X1 , X2 ñoäc laäp neân ta coù:
Kyø voïng cuûa X laø
M(X) = M(X1) + M(X2) = n1p1 + n2 p2 = 4,8 (vôùi p2 = N2A/N2)
Phöông sai cuûa X laø
C3
-
-
-
X2 coù phaân phoái sieâu boäi X2 ∼ H(N2, N2A, n2); N2 = 10; N2A = 7; n2
= 3 (vì loâ haøng goàm 10 saûn phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm laø 30%, nghóa laø loâ
haøng goàm 7 saûn phaåm toát vaø 3 saûn phaåm xaáu). Cuï theå ta coù:
D(X) = D(X1) + D(X2) = n1p1q1 + n2 p2q2(N2-n2)/(N2-1)= 0,76.
0
3
Baøi 2.14: Cho hai hoäp I vaø II, moãi hoäp coù 10 bi; trong ñoù hoäp I goàm 8 bi
ñoû, 2 bi traéng vaø hoäp II goàm 6 bi ñoû, 4 bi traéng. Ruùt ngaãu nhieân töø hoäp I
hai bi boû sang hoäp II, sau ñoù ruùt ngaãu nhieân töø hoäp II ba bi.
a) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc caû 3 bi traéng.
b) Goïi X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ soá bi traéng coù trong ba bi ñöôïc ruùt
ra töø hoäp II. Tìm luaät phaân phoái cuûa X. Xaùc ñònh kyø voïng vaø phöông sai
cuûa X.
1
120
C7C3
P(X2 = 0) =
P(X2 = 1) =
P(X2 = 2) =
P(X2 = 3) =
=
=
=
=
;
3
C10
1
2
21
120
C7C3
;
3
C10
2
1
63
120
C7C3
;
.
3
C10
Lôøi giaûi
3
0
35
120
C7C3
3
Goïi X laø ÑLNN chæ soá bi traéng coù trong 3 bi ruùt ra töø hoäp II.
Ai (i = 0, 1, 2) laø bieán coá coù i bi traéng vaø (2-i) bi ñoû coù trong 2 bi laáy ra töø
hoäp I. Khi ñoù A0, A1, A2 laø heä bieán coá ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta
coù:
C10
a) Ta coù X = X1 + X2. Luaät phaân phoái cuûa X coù daïng:
X
P
0
1
2
3
4
5
6
p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6
19
20
0
2
0
3
0
3
0
3
28
45
28
45
16
45
1
45
C2C8
.C4C8
.C5C7
.C6C6
P(A0) =
P(A1) =
P(A2) =
=
=
=
;
;
.
p0 = P(X = 0) =
p1 = P(X = 1) =
p2 = P(X = 2) =
+
+
+
+
+
+
= 179/ 825;
= 223/ 450;
= 1277 / 4950;
2
3
3
3
C10
C12
C12
C12
1
1
1
2
1
2
1
2
16
45
28
45
16
45
1
45
C2C8
.C4C8
.C5C7
.C6C6
2
3
3
3
C10
C12
C12
C12
2
0
2
1
2
1
2
1
1
45
28
45
16
45
1
45
C2C8
.C4C8
.C5C7
.C6C6
2
3
3
3
C10
C12
C12
C12
Vôùi moãi k = 0, 1, 2, 3 theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(X = k) = P(A0)P(X = k/A0) + P(A1)P(X = k/A1) + P(A2)P(X = k/A2)
a) Xaùc suaát ñeå ñöôïc caû ba bi traéng laø:
p3 = P(X= 3) = 73/2475.
Suy ra luaät phaân phoái cuûa X laø:
X
P
0
1
2
3
179/825 223/450 1277/4950 73/2475
P(X = 3) = P(A0)P(X = 3/A0) + P(A1)P(X = 3/A1) + P(A2)P(X = 3/A2)
Maø
Töø ñoù suy ra kyø voïng cuûa X laø M(X) = 1,1 vaø phöông sai cuûa X laø
D(X) = 0,5829.
3
0
4
220
C4C8
P(X = 3/ A0) =
P(X = 3/ A1) =
P(X = 3/ A2) =
=
=
=
;
3
Baøi 2.15: Coù ba loâ saûn phaåm, moãi loâ coù 20 saûn phaåm. Loâ thöù i coù i+4 saûn
phaåm loaïi A (i = 1, 2, 3).
C12
3
0
10
220
a) Choïn ngaãu nhieân moät loâ roài töø loâ ñoù laáy ra 3 saûn phaåm. Tính xaùc
suaát ñeå trong 3 saûn phaåm ñöôïc laáy ra coù ñuùng 1 saûn phaåm loaïi A.
b) Töø moãi loâ laáy ra 1 saûn phaåm. Goïi X laø toång soá saûn phaåm loaïi A coù
trong 3 saûn phaåm ñöôïc laáy ra. Tìm luaät phaân phoái cuûa X vaø tính Mod(X),
M(X), D(X).
C5C7
;
3
C12
3
0
20
220
C6C6
.
3
C12
neân P(X= 3) = 73/2475.
b) Luaät phaân phoái cuûa X coù daïng:
Lôøi giaûi
a) Goïi C laø bieán coá trong 3 saûn phaåm ñöôïc laáy ra coù ñuùng 1 saûn phaåm
loaïi A.
Goïi A1, A2, A3 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc loâ I, II, III. Khi ñoù A1, A2,
A3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3.
X
P
0
p0
1
p1
2
3
p2 p3
trong ñoù, töông töï nhö treân ta coù:
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(C) = P(A1)P(C/A1) + P(A2)P(C/ A2)+ P(A3)P(C/A3)
Theo Coâng thöùc xaùc suaát löïa choïn:
21
22
1
2
2.16: Moät ngöôøi coù 5 chìa khoùa beà ngoaøi raát gioáng nhau, trong ñoù chæ coù 2
chìa môû ñöôïc cöûa. Ngöôøi ñoù tìm caùch môû cöûa baèng caùch thöû töøng chìa moät
cho ñeán khi môû ñöôïc cöûa thì thoâi (taát nhieân, chìa naøo khoâng môû ñöôïc thì
loaïi ra). Goïi X laø soá chìa khoùa ngöôøi ñoù söû duïng. Tìm luaät phaân phoái cuûa
X. Hoûi ngöôøi ñoù thöôøng phaûi thöû bao nhieâu chìa môùi môû ñöôïc cöûa? Trung
bình ngöôøi ñoù phaûi thöû bao nhieâu chìa môùi môû ñöôïc cöûa?
525
1140
C5C15
P(C / A1) =
P(C / A2) =
P(C / A3) =
=
=
=
;
3
C20
1
2
546
1140
C6C14
;
3
C20
1
2
546
1140
C7C13
.
3
C20
Lôøi giaûi
Ta thaáy X laø ÑLNN rôøi raïc nhaän 4 giaù trò: 1, 2, 3, 4. Luaät phaân phoái cuûa
X coù daïng:
Suy ra P(C)= 0,4728.
b) Luaät phaân phoái cuûa X coù daïng:
X
P
0
p0
1
p1
2
3
X
P
1
2
3
4
p2 p3
p1 p2 p3 p4
Goïi Bj (j = 1, 2, 3) laø bieán coá laáy ñöôïc sp loaïi A töø loâ thöù j. Khi ñoù B1, B2,
B3 ñoäc laäp vaø
Goïi Aj (j = 1,2, 3, 4) laø bieán coá chìa khoùa choïn laàn thöù j môû ñöôïc cöûa. Khi
ñoù:
5
20
6
20
7
15
20
14
20
13
20
P(B1) =
P(B2) =
P(B3) =
; P(B1) =
;P(B2) =
;P(B3) =
;
;
.
P(X=1) = P(A1) = 2/5.
P(X = 2) = P(A1A2) = P(A1)P(A2 / A1) = (3/ 5)(2/ 4) = 3/10;
P(X = 3) = P(A1A2A3) = P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2) = (3/ 5)(2/ 4)(2/ 3) = 1/ 5
P(X = 4) = P(A1A2A3A4) = P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2)P(A4 / A1A2A3)
= (3/ 5)(2/ 4)(1/ 3)(2/ 2) = 1/10
20
Ta coù
−"X = 0" = B1B2B3 ⇒ P(X = 0) = P(B1)P(B2)p(B3) = 273/ 800
Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø:
−"X = 1" = B1B2B3 + B1B2B3 + B1B2B3 ⇒
P(X = 1) = P(B1)P(B2)P(B3) + P(B1)P(B2)P(B3) + P(B1)P(B2)P(B3) = 71/160
−"X = 2" = B1B2B3 + B1B2B3 + B1B2B3 ⇒
X
P
1
2
3
4
2/5 3/10 1/5 1/10
P(X = 2) = P(B1)P(B2)P(B3) + P(B1)P(B2)P(B3) + P(B1)P(B2)P(B3) = 151/ 800
−"X = 3" = B1B2B3 ⇒ P(X = 3) = P(B1)P(B2)P(B3) = 21/ 800
Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø
Töø luaät phaân phoái treân ta suy ra:
-
-
Mode cuûa X laø Mod(X) = 1.
M(X) =
X
P
0
1
2
3
x p = 2
Kyø voïng cuûa X laø
.
∑
i
i
273/800 71/160 151/800 21/800
Vaäy ngöôøi ñoù thöôøng phaûi thöû 1 chiaø thì môû ñöôïc cöûa. Trung bình ngöôøi
ñoù phaûi thöû 2 chìa môùi môû ñöôïc cöûa.
Töø luaät phaânphoái cuûa X ta suy ra mode, kyø voïng vaø phöông sai cuûa X :
-
-
-
Mode: Mod(X) = 1.
Kyø voïng: M(X) = 0,9.
Phöông sai: D(X) = 0,625.
Baøi 2.17: Moät ngöôøi thôï saên coù 5 vieân ñaïn. Ngöôøi ñoù ñi saên vôùi nguyeân
taéc: neáu baén truùng muïc tieâu thì veà ngay, khoâng ñi saên nöõa. Bieát xaùc suaát
23
24
truùng ñích cuûa moãi vieân ñaïn baén ra laø 0,8. Goïi X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân
chæ soá vieân ñaïn ngöôøi aáy söû duïng trong cuoäc saên.
a) Tìm luaät phaân phoái cuûa X.
X
P
2
p2
3
4
p3 p4
b) Tìm kyø voïng vaø phöông sai cuûa X.
Goïi Aj (j = 1,2, 3, 4) laø bieán coá vieân ñaïn thöù j truùng ñích. Khi ñoù:
Lôøi giaûi
P(Aj) = 0,8;P(Aj) = 0,2
a) Ta thaáy X laø ÑLNN rôøi raïc nhaän 5 giaù trò: 1, 2,..., 5. Luaät phaân phoái
cuûa X coù daïng:
Ta coù:
P(X = 2) = P(A1A2) = P(A1)P(A2) = 0,8.0,8 = 0,64;
X
P
1
p1
2
p2
3
4
5
P(X = 3) = P(A1A2A3 + A1A2A3) = P(A1A2A3) + P(A1A2A3)
p3 p4 p5
= P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3) = 0,2.0,8.0,8 + 0,8.0,2.0,8 = 0,256
Goïi Aj (j = 1,2,..., 5) laø bieán coá vieân ñaïn thöù j truùng ñích. Khi ñoù:
P(X = 4) = P(A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3)
P(Aj) = 0,8;P(Aj) = 0,2
= P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3)
= 0,2.0,2.0,2 + 0,8.0,2.0,2 + 0,2.0,8.0,2 + 0,2.0,2.0,8 = 0,104
Ta coù:
P(X=1) = P(A1) = 0,8.
P(X = 2) = P(A1A2) = P(A1)P(A2) = 0,2.0,8 = 0,16;
Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø:
P(X = 3) = P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,2.0,2.0,8 = 0,032;
P(X = 4) = P(A1A2A3A4) = P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) = 0,2.0,2.0,2.0,8 = 0,0064;
P(X = 5) = P(A1A2A3A4) = P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) = 0,2.0,2.0,2.0,2 = 0,0016.
X
P
2
3
4
0,64 0,256 0,104
Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø:
b) Töø luaät phaân phoái cuûa X ta suy ra:
- Kyø voïng cuûa X laø M(X) = 2,464.
X
P
1
2
3
4
5
0,8 0,16 0,032 0,0064 0,0016
- Phöông sai cuûa X laø D(X) = 0,456704.
b) Töø luaät phaân phoái cuûa X ta suy ra:
- Kyø voïng cuûa X laø M(X) = 1,2496.
- Phöông sai cuûa X laø D(X) = 0,3089.
--------------------------------
Baøi 2.18: Moät ngöôøi thôï saên coù 4 vieân ñaïn. Ngöôøi ñoù ñi saên vôùi nguyeân
taéc: neáu baén 2 vieân truùng muïc tieâu thì veà ngay, khoâng ñi saên nöõa. Bieát
xaùc suaát truùng ñích cuûa moãi vieân ñaïn baén ra laø 0,8. Goïi X laø ñaïi löôïng
ngaãu nhieân chæ soá vieân ñaïn ngöôøi aáy söû duïng trong cuoäc saên.
a) Tìm luaät phaân phoái cuûa X.
b) Tìm kyø voïng vaø phöông sai cuûa X.
Lôøi giaûi
a) Ta thaáy X laø ÑLNN rôøi raïc nhaän 3 giaù trò: 2, 3, 4. Luaät phaân phoái cuûa
X coù daïng:
25
26
13 trang
25140
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giải Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất - Trần Ngọc Hội", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giai_xac_suat_thong_ke_chuong_2_dai_luong_ngau_nhien_va.pdf
