›
›

Bài giảng Phương pháp số - Bài 6: Nghiệm của các phương trình vi phân

Download
BÀI 6  
NGHIỆM CỦA CÁC  
PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN  
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (1)  
1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN (PTVP) CẤP n  
y(n)(x) = f(x, y(x), y´(x) , …, y(n–1)(x))  
2. NGHIỆM CỦA PTVP CẤP n:  
Nghiệm của PTVP cấp n là một hàm Φ(x) khả vi liên tục đến  
cấp n trên khoảng đang xét và  
Φ(n)(x) = f(x, Φ(x), Φ’(x), Φ’’(x), …, Φ(n-1)(x))  
Nghiệm tổng quát của PTVP cấp n thƣờng chứa n hằng số  
tùy ý, và do vậy tồn tại một họ n tham số của các nghiệm  
Nghiệm của bài toán giá trị đầu: Tìm nghiệm riêng suy từ  
nghiệm tổng quát của PTVP sao cho nó thỏa mãn n giá trị  
đầu đã biết  
y(x0), y’(x0), …, y(n–1)(x0)  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
2
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (2)  
3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n:  
• PTVP là tuyến tính cấp n  
y(n)(x) + p1(x)y(n–1)(x) +… + pn-1(x)y´(x) + pn(x)y(x) = q(x)  
• PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n (khi vế phải q(x) = 0)  
i> Nếu y1(x), y2(x), . . . , ym(x) là các nghiệm bất kì của PTVP  
tuyến tính thuần nhất thì tổ hợp tuyến tính của chúng  
C1y1(x) + C2y2(x) + · · · + Cmym(x) cũng là một nghiệm  
Ii> Các nghiệm y1(x), y2(x), . . . , ym(x) này đƣợc gọi là độc  
lập tuyến tính nếu định thức hàm  
y1 y1' ... y1(m1)  
y2 y'2 ... y(2m1)  
0  
... ... ... ...  
ym y'm ... y(mm1)  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
3
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (3)  
3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n:  
• PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n (tiếp)  
iii> Nếu y1(x), y2(x), . . . , yn(x) là n nghiệm độc lập tuyến tính  
của PTVP thuần nhất cấp n, thì tổ hợp tuyến tính của chúng  
Y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + · · · + Cnyn(x)  
đƣợc gọi là nghiệm tổng quát.  
• PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n với các hệ số hằng  
y(n) + an–1y(n–1) + · · · + a0y = 0  
có nghiệm dạng eβx với β thỏa mãn PT đặc tính  
βn + an–1βn–1 + · · · + a0 = 0  
(**)  
(*)  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
4
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (4)  
3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n:  
• PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n với các hệ số hằng:  
- Nếu phƣơng trình (**) có n nghiệm thực phân biệt βi thì  
β x  
β x  
β x  
1
2
n
Y(x) C1e C2e ...Cne  
là nghiệm tổng quát của của PTVP thuần nhất cấp n (*)  
- Nếu β1 = α + iβ là một nghiệm phức của (**),  
thì β2 = α – iβ cũng là một nghiệm của PT đặc tính (**)  
- Nếu β là một nghiệm kép của PT đặc tính (**), thì  
y1 eβx và y2 xeβx  
cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần nhất (*)  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
5
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (5)  
3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n:  
• PTVP tuyến tính không thuần nhất cấp n hệ số hằng:  
y(n) + an–1y(n–1) + · · · + a0y = q(x)  
(***)  
Nếu PTVP (***) có một nghiệm riêng ζ(x), thì nghiệm tổng  
quát của PTVP tuyến tính không thuần nhất là  
y(x) ζ(x) Y(x)  
β x  
β x  
β x  
1
2
n
ζ(x) C1e C2e ...Cne  
với giả thiết rằng βi là các nghiệm thực phân biệt của PTVP  
đặc tính (**) tƣơng ứng  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
6
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (6)  
3. NGHIỆM CỦA PTVP TUYẾN TÍNH CẤP n:  
• PTVP tuyến tính không thuần nhất cấp n hệ số hằng:  
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình sau  
y´´ – 4y´ + 3y = x  
Giải: Từ PT đặc tính β2 - 4β + 3 = 0 β1 = 1, β2 = 3  
nghiệm tổng quát của PT thuần nhất là  
Y(x) C1ex C2e3x  
Ta tìm một nghiệm riêng y1(x) = ax + b của PT ban đầu  
a = 1/3, b = 4/9  
Vậy nghiệm tổng quát của PT không thuần nhất là  
1 4  
y(x) y1(x) Y(x) x   C1ex C2e3x  
3 9  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
7
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (7)  
4. BÀI TOÁN CÔ SI CỦA PTVP CẤP n  
Tìm nghiệm riêng của PTVP (phi tuyến) cấp n  
y(n) = f(x, y, y’, …, y(n-1))  
thỏa mãn các giá trị đầu  
y(x0 ) y0, y'(x0 ) y'0 , , y(n1)(x0 ) y(0n1)  
Ví dụ 1: Tìm nghiệm riêng của PTVP y’ = xy thỏa mãn  
đ/k giá trị đầu  
y(0) = 1  
Giải:  
.
dy  
dy  
xy   x dx  
tích phân 2 vế ta có nghiệm TQ  
dx  
y
2
x2  
x
dy  
x dx ln | y |  C y Ae 2  
   
2
y
2
x
2
Từ đ/k y(0) = 1 ta tìm đƣợc nghiệm riêng  
y e  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
8
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (8)  
5. THUẬT TOÁN TAYLOR  
Giải BT Côsi: Tìm nghiệm của PTVP cấp một  
y´ = f(x,y) biết giá trị đầu y(x0) = y0 (****)  
• Giả sử f là đủ khả vi theo cả x và y, (****) có nghiệm duy  
nhất nếu ∂f/∂y liên tục trên miền đang xét. Khai triển  
nghiệm y(x) thành chuỗi Taylor xung quanh điểm x0:  
(x x0 )2  
y(x) y0 (x x0 )y'(x0 )   
y''(x0 )  
2!  
• Tính các đạo hàm bằng cách lấy đạo hàm toàn phần của  
(****) theo x: y´ = f(x,y)  
y´´ = f´ = fx + fyy´ = fx + fyf  
2
y´´´ = f´´ = fxx + fxyf + fyxf + fyyf2 + fyfx + fy f  
2
= fxx + 2fxyf + fyyf2 + fxfy + fy f  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
9
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (9)  
5. THUẬT TOÁN TAYLOR (tiếp)  
Thuật toán Taylor bậc k tìm một nghiệm xấp xỉ của BT Côsi  
y´ = f(x,y) thỏa mãn đ/k đầu y(a) = y0 trên [a, b]  
1. Chọn bƣớc h = (b – a) / N, đặt xn = a + nh, n = 0, 1, . . . , N  
2. Tạo ra các xấp xỉ yn cho y(xn) từ phép đệ quy  
yn+1 = yn + hTk(xn,yn )  
n = 0, l, . . . , N – 1  
trong đó Tk(x, y) đƣợc định nghĩa bởi  
h
hk1  
Tk (x, y) f(x, y) f'(x, y)   
2!  
f (k1)(x, y), k 1,2,...  
k!  
Sai số địa phƣơng của thuật toán Taylor bậc k là  
hk1f (k) (, y()) hk1  
E   
y(k1) (), xn xn h  
(k 1)!  
(k 1)!  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
10  
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (10)  
5. THUẬT TOÁN TAYLOR (tiếp)  
Ví dụ: tìm một nghiệm xấp xỉ của BT Côsi  
1 y  
y'  y2 tháa mãn đ / k y(1)  1  
x2  
x
trên [1, 2] bằng thuật toán Taylor bậc 2 với h = 0.1  
Đặt xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , 10  
1 y  
2 y' y  
f(x, y)   y2 , f'(x, y)     2yy'  
x2  
x3  
x2  
x
h
x
do đó  
T2 (x, y) f f'  
2
h
và  
yi1 yi h f(xi , yi ) f'(xi , yi )  
2
thuật toán Taylor bậc cao hơn khó đƣợc chấp nhận  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
11  
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ (11)  
5. THUẬT TOÁN TAYLOR (tiếp)  
Ví dụ: (tiếp)  
i xi  
yi  
y'=f(xi,yi) hf(xi,yi)  
0.1  
f'(xi,yi) h^2*f'(x,y)/2  
-2 -0.010000  
0 1  
-1  
1
1 1.1 -0.910000 0.825619 0.082562 -1.502632 -0.007513  
2 1.2 -0.834951 0.693094 0.069309 -1.157414 -0.005787  
3 1.3 -0.771429 0.590020 0.059002 -0.910343 -0.004552  
4 1.4 -0.716979 0.508273 0.050827 -0.728879 -0.003644  
5 1.5 -0.669796 0.442349 0.044235 -0.592612 -0.002963  
6 1.6 -0.628524 0.388410 0.038841 -0.488305 -0.002442  
7 1.7 -0.592124 0.343718 0.034372 -0.407110 -0.002036  
8 1.8 -0.559788 0.306273 0.030627 -0.342966 -0.001715  
9 1.9 -0.530876 0.274588 0.027459 -0.291621 -0.001458  
10 2 -0.504875 0.247539 0.024754 -0.250036 -0.001250  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
12  
CÁC PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI BT CÔSI (1)  
1. PHƢƠNG PHÁP EULER GIẢI BT CÔSI CẤP 1  
• Áp dụng thuật toán Taylor với k = 1 trên [a, b]  
yi1 yi hf(xi , yi )  
h2  
E y''()  
có sai số địa phƣơng  
2
sai số toàn cục trên [a, b] cùng bậc với h cần h rất nhỏ  
• Ví dụ, giải BT Côsi y´ = y biết giá trị đầu y(0) = 1, h = 0.01  
i
xi  
yi  
f(x,y)  
hf(x,y)  
0
1
2
3
4
5
0
1
1.000000 0.010000  
0.01  
0.02  
0.03  
0.04  
0.05  
1.010000 1.010000 0.010100  
1.020100 1.020100 0.010201  
1.030301 1.030301 0.010303  
1.040604 1.040604 0.010406  
1.051010 1.051010 0.010510  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
13  
CÁC PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI BT CÔSI (2)  
void Euler (double a, double b, double h, double y0) {  
int n = ceil((b-a)/h); vector<double> x(n+1,0), y(n+1,0);  
x[0] = a; y[0] = y0;  
for (int i = 1; i <= n; i++) {  
x[i] = x[i-1] + h;  
y[i] = y[i-1] + h * f(x[i-1], y[i-1]);  
}
cout << "Nghiem gan dung tren doan [" << x[0]  
<< "," << x[n] << "]" << endl;  
cout << "\t i \t x \t y \t f(x,y) \t hf(x,y)" << endl;  
for (int i = 0; i <= n; i++) {  
cout << "\t "<< i << "\t " << x[i] << "\t " << y[i] << "\t "  
<< f(x[i], y[i]) << "\t " << h*f(x[i], y[i]) << endl;  
}
}
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
14  
CÁC PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI BT CÔSI (3)  
2. PHƢƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA BẬC 2  
• Đặt vấn đề: Đối với nghiệm của BT Côsi của PTVP cấp 1  
Sử dụng CT  
Euler, tính độ  
nghiêng ở xi+1  
y’ = f(x, y), y(x0) = y0  
Ƣớc lƣợng hàm f(x, y) tại các điểm  
đƣợc lựa chọn trên mỗi khoảng con.  
yi+l = yi + ak1(h) + bk2(h)  
trong đó  
a = b = 1/2  
k1 = hf(xi, yi)  
k2 = hf(xi + h, yi + k1)  
yi+l = yi + 1/2(k1 + k2)  
• Sai số địa phƣơng  
h3  
y(xi1) yi1 (fxx 2ff xy fyy f 2 2fxfy fy2f ) O(h4 )  
12  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
15  
CÁC PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI BT CÔSI (4)  
2. PHƢƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA BẬC 2  
• Ví dụ: giải PTVP y'=1-y/x biết y(2) = 2, h=0.01trên [2; 2.1]  
i xi  
yi  
f(xi,yi) hf(xi,yi)  
zi  
f(xi+1,zi) hf(xi+1,zi)  
0 2.00 2.000000 0.000000 0.000000 2.000000 0.004975 4.9751E-05  
1 2.01 2.000025 0.004963 0.000050 2.000075 0.009864 9.8641E-05  
2 2.02 2.000099 0.009852 0.000099 2.000198 0.014681 0.00014681  
3 2.03 2.000222 0.014669 0.000147 2.000368 0.019427 0.00019427  
4 2.04 2.000392 0.019416 0.000194 2.000586 0.024104 0.00024104  
5 2.05 2.000610 0.024093 0.000241 2.000851 0.028713 0.00028713  
6 2.06 2.000874 0.028702 0.000287 2.001161 0.033256 0.00033256  
7 2.07 2.001184 0.033245 0.000332 2.001516 0.037733 0.00037733  
8 2.08 2.001538 0.037722 0.000377 2.001916 0.042146 0.00042146  
9 2.09 2.001938 0.042135 0.000421 2.002359 0.046496 0.00046496  
10 2.10 2.002381 0.046485 0.000465 2.002846  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
16  
CÁC PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI BT CÔSI (5)  
void Runge_Kutta2 (double h, double x, double y, unsigned n) {  
double xs, z;  
cout << "Nghiem cua phuong trinh " << endl;  
cout << "i x y f(x,y) f(x,z)";  
for (unsigned i = 0; i <= n; i++) {  
z = y + h * f(x, y);  
xs = x + h;  
cout << "\n“ << i << "\t “ << xs << "\t “ << y  
<< "\t “ << f(x, y) << "\t “ << f(xs, z) << endl;  
y = y + h * (f(x, y) + f(xs, z)) / 2;  
x = xs;  
}
}
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
17  
CÁC PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI BT CÔSI (6)  
3. PHƢƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA BẬC 4  
Đối với PTVP y’ = f(x, y), y(x0) = y0, tạo xấp xỉ cho y(x0+h)  
y(x0+h) = y(x0) + r1k1(h) + r2k2(h) + r3k3(h) + r4k4(h) + φ4(h)  
hay y(x0+h) = y0 + ∆y0 + φ4(h)  
trong đó  
∆y0 = r1k1(h) + r2k2(h) + r3k3(h) + r4k4(h)  
ki(h) = hf(ξi, ૪i);  
ξi = x0 + ai h, a1 = 0  
૪i = y0 + bi1k1(h) + … + bi, i-1 ki-1(h), i = 1, 2, 3, 4  
φ4(h) = y(x0+h) - y0 - ∆y0 là sai số (địa phƣơng )  
Các hệ số ai, bij, ri đƣợc chọn sao cho các đạo hàm cấp i của  
φ4(h) thoả mãn điều kiện  
(4i)(0) 0 (i 0,4) và(4i1)(0) 0i 4  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
18  
CÁC PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI BT CÔSI (7)  
3. PHƢƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA BẬC 4  
hệ 11 phƣơng trình, 13 ẩn  
a2, a3, a4, b21, b31, b32, b41, b42, b43, r1, r2, r3, r4.  
• Công thức Runge – Kutta bậc 4 :  
1
yi1 yi k1 2k22k3 k4  
6
k1 hf(xi, yi)  
trong đó  
1
1
k hf x h, y k  
2
i
i
1   
2
1
2
1
k hf x h, y k  
3
i
i
2   
2
2
k4 hf(xi h, yi k3)  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
19  
CÁC PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI BT CÔSI (8)  
3. PHƢƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA BẬC 4  
• Sai số địa phƣơng của công thức là O(h4)  
• Ƣu điểm: Tự bắt đầu (chỉ đòi hỏi giá trị y(x0) = y0)  
• Nhƣợc điểm: Mỗi bƣớc đòi hỏi 4 ƣớc lƣợng hàm  
y
k2  
yi+1  
k3  
k1  
yi  
k4  
ktổ hợp  
xi  
xi+1  
x
xi+1/2  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 6  
20  
Tải về để xem bản đầy đủ
pdf 27 trang Mãnh Khiết 15/01/2024 12180 Free
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp số - Bài 6: Nghiệm của các phương trình vi phân", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_phuong_phap_so_bai_6_nghiem_cua_cac_phuong_trinh_v.pdf