Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân suy rộng

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 3: Tích phân suy rộng

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)

[email protected]

Nội dung

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3 – Tích phân suy rộng.

Tài liệu:

1) Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по мат. анализу, Том 2, Москва, 2003.

2) James Stewart. Calculus. 6^thedition, USA, 2008

I. Tích phân suy rộng loại một

Bài toán

Tìm diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi đường cong:

, trục hoành, đường thẳng x = a.

y  f (x)  0

s  ^f (x)dx

b

 lim f (x)dx



_b

a

b

 

Tích phân suy rộng loại một

y  f (x)

khả tích trên đoạn , với mọi

a,b

b



a

 



b

Tích phân

f (x)dx

 lim f (x)dx



_b

a

được gọi là tích phân suy rộng loại một.

Các tích phân sau cũng là tích phân suy rộng loại một

a

f (x)dx

 lim f (x)dx



_b



b

a

 f (x)dx  ^f (x)dx



 





a





b

f (x)dx  lim f (x)dx



_b

a

Nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì tích phân gọi là hội tụ.

Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô

cùng, thì tích phân gọi là phân kỳ.

Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng

1) Tính tích phân suy rộng (thường rất phức tạp)

2) Khảo sát sự hội tụ.

Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz)

a,

Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên







b

 lim F(b)  F(a)





f (x)dx  lim f (x)dx



_b

b

a

Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại

lim F(b): F()

b



f (x)dx  F(x)  F()  F(a)



a

Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

Ví dụ

1

y 

, trục hoành và đường thẳng x = 1.

x

²

b

^dx

b

 

dx

x

²

1

 

S 

 lim

 lim 1 1



_b

x

²

_b 

_x 

1

x

b

 

1

 

Diện tích của miền S

bằng 1, hữu hạn.

Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

Ví dụ

1

, trục hoành và đường thẳng x = 1.

y 

x

b

^dx

 lim ln | x |^b

dx

x

 lim

 lim lnb  

S 

 

_b



1

b

x

x

1

S là miền có diện tích

vô hạn, bằng



Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

Ví dụ

1

y 

, trục hoành.

x

²



1

S  ^



dx

x

²



1

 2 lim arctan x ^b

 2











_

x

²



1

0

b

0

Diện tích của miền S

bằng .





I  e^2xdx

Ví dụ Tính tích phân



1







^2

e^2x

e e



1

2

e

²

I  e^2xdx

    











2

2 2



1



dx

xln²x

I 

Ví dụ Tính tích phân



e



dx

^d(ln x)

1





1 1

I 



 





1.

 

xln²x ln²x





ln x _e

ln() lne

e







dx

I 

Ví dụ Tính tích phân



x²5x  6

4

1

1 1

 



x²5x  6

(x  2)(x 3)

x



3

x



2

^



1 1

 ln | x 3| ^₄^ ln | x  2| ^₄^

I 

 dx





 _

x 3 x  2



4

 ()  ()

Dạng vô định.?

lim ( f  g)  lim f  lim g

Không được phép dùng:

x

khi chưa đảm bảo hai giới hạn vế phải chắc chắn tồn tại.



x 3

x  2

 x 3  4 3

 ln

1

2

I  ln

 lim ln



l

n

2

 ln1 ln





^x



x  2 4  2

4



dx

^{I }

Tính

Ví dụ

x 1 x⁵ x¹⁰

1

t 



Đổi biến:

Đổi cận:

 dt   dx

x

⁵

x

⁶

dx

I 



1 1

x⁶ 1

1

x



1



t



1

x¹⁰x⁵

x

  

t



0

1

dt

^{I  }

^

t² t 1

2

1

0

t 1/ 2  3/ 4

 

1

2

 ln t 1/ 2  t 1/ 2  3/ 4

   

0



I  e^2xcosxdx

Tính

Ví dụ

Đặt



0

u



e

^2x



du

 

2

e

^2x

dx

dv



cos

xdx



v



sin

x



I  e^2xsin x ^ 2 e^2xsin xdx



0



lim e^2xsin x  0

I  2 e^2xsin xdx

Ta có

nên







x

0

u



e

^2x



du

 

2

e

^2x

dx

dv



sin

xdx



v





cos

x



2



4

I



2

5

I  2 e^2xcos x  4 e^2xcos xdx

 I 







0



arctan x

1 x²

^{I } _{ }

_3/2dx

Tính

Ví dụ

0

dx

1



x

²

t



arctan

x

Đổi biến:

Đổi cận:

 dt 



2

x    t 

x



0



t



0

1

x  tant 1 x²

cos

²

t

^arctan x dx

 / 2



arctan x



2





 t costdt

I 

_{3/ 2}dx

 1



1 x²

0

 

Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)

Trường hợp 1:





1



1

1 1

 

1 x^1

1 1

 





1

a

^{ 1}

hữu hạn, khác 0.

tích phân hội tụ.

dx



_a0

x

^

a

Trường hợp 2:





1



x^1



1

 

Tích phân phân kỳ.

dx





_a0

x

^

1

a

Trường hợp 3:





1

^1

^

 

Tích phân phân kỳ.

dx

 ln | x |



a

_a0

x

Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)



hoäi tuï, neáu  1

phaân kyø, neáu  1







1

dx 



_a0x^

Neáu  1, thì I hoäi tuï.

I  ^

dx

Neáu  1, thì I phaân kyø.

Neáu  1, 1, thì I hoäi tuï.

Neáu  1, 1, thì I PK.

1



x

^

l

n

^

x

2

Tích phân hàm không âm

Tiêu chuẩn so sánh 1.

a,

x  a f (x)  0, g(x)  0

và khả tích trên









f (x)  g(x)

ở lân cận của



.

Khi đó:



f (x)dx

hội tụ.

1) Nếu

hội tụ, thì

g(x)dx

f (x)dx



a



g(x)dx

2) Nếu

phân kỳ, thì

phân kỳ.



a



Để khsát sự hội tụ của

, thường đem so sánh

^{I } ^{f (x)dx}

a

^dx

với

đã biết kết quả.





x

a

Chú ý (trong tiêu chuẩn 1):

1) f(x) và g(x) là hai hàm không âm.

  a x , f (x)  g(x)

2) Chỉ cần tồn tại









^dx

3) Cận dưới của tích phân là số dương ( )

a



0

.



 _x

a



dx

I 

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

 _2x₂_{ sin}₂_3x

1

Ta có

f (x) 

  g(x)

2

x

²



sin

²

3

x

2

x

²



dx

Vì

hội tụ, nên hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.

I

 _2x₂

1



dx

I 

Khảo sát sự hội tụ

Ví dụ

Ta có



x²sin²3x

1

2

f (x) 

  g(x)

x

²



sin

²

3

x

²

^dx

Vì

hội tụ, nên hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.

I



x²

1

^ln³xdx

I 

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ



x  5

1

ln³x 1 1

Ta có

f (x)     g(x)

x



5

x



5 2

x



x



5

^dx

Vì

phân kỳ, nên phân kỳ theo tchuẩn ssánh 1.

I

 _2x

1

Tích phân hàm không âm

Tiêu chuẩn so sánh 2.

x  a f (x)  0, g(x)  0

a,

và khả tích trên

Khi đó:









f (x)

^xg(x)

K  lim



nếu

hội tụ, thì

hội tụ.

f (x)dx

g(x)dx

1) K  0:



a

2) K höõu haïn,  0:



g(x)dx

f (x)dx

và

cùng HT hoặc cùng PK.

f (x)dx



a



nếu

hội tụ, thì

hội tụ.

g(x)dx

3) K   :



a