Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 1: Giới hạn và liên tục

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)

[email protected].vn

Mục tiêu của môn học Toán 1

n học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm m

n và phương trình vi phân.

úp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán,

vận dụng giải các bài toán cụ thể.

ết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa

kỹ thuật.

Giới hạn và liên tục

Đạo hàm và vi phân

Tích phân hàm một biến

Phương trình vi phân

học đầy đủ.

àm tất cả các bài tập cho về nhà.

ọc bài mới trước khi đến lớp.

ánh giá, kiểm tra.

hi giữa học kỳ: trắc nghiệm (20%), 20 câu hỏi/ 45 phút

hi cuối kỳ: thi viết (80%), thời gian 90 phút.

ệu tham khảo

uyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,… Phép tính vi phân hàm một biế

GD, 2005

ô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1.

Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia

mes Stewart. Calculus, fifth edition, 2005.

http://tanbachkhoa.edu.vn

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1 – Giới hạn của dãy số thực

0.2 – Giới hạn của hàm số

0.3 – Liên tục của hàm số

nghĩa

trị nhỏ nhất của tập các cận trên của tập hợp A

c gọi là cận trên đúng của A và ký hiệu là supA

emum của A)

trị lớn nhất của tập các cận dưới của tập hợp

c gọi là cận dưới đúng của A và ký hiệu là infA

mum của A)

uyên lý supremum.

p khác rỗng và bị chặn trên có cận trên đúng.

p khác rỗng và bị chặn dưới có cận dưới đúng.

------------------------------------------------------------

nh nghĩa

Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tậ

thực R.

u

:

N



R

n



u(n)



n1

u

hường dùng ký hiệu:

hay đơn giản

 

n

được gọi là số hạng thứ n của dãy.

n

ãy số là tập hợp vô hạn các số thực được đánh số

eo thứ tự:

u ,u ,...,u ,...





1 2

n

dụ:

n

 

(1)

u 

 

n

 

n 1

 

hi ở dạng tường minh, ta có

n







1

 

1 1 1



u  , , ,...., ,...

 





n

2 3 4 n 1







nh nghĩa

u

 

a

ố được gọi là giới hạn của dãy số , nếu

n

  0,n n  n  u  a  





0

n

u_nⁿ^^a

lim u_n a

Ký hiệu:

hay

n

ếu giới hạn của dãy là hữu hạn, thì dãy được gọi

ãy hội tụ.

Ngược lại, dãy được gọi là dãy phân kỳ.

n

lim 1

ng định nghĩa chứng tỏ rằng

n

n



1

n

1

 n  1





0

1  

  

n 1

n



1

họn số tự nhiên

hi đó

n₀ 1



1 1

n

   

n 1 n₀1

n  n₀:| u_n1| 1

n 1

n

(theo định nghĩa)

 lim 1

n

n



1

a

u

ố không là giới hạn của dãy số , nếu

 

n

  0,n  N n  n & u  a  





0

1

0

n₁

u

 

a không là giới hạn của dãy , nếu tồn tại số

n

ơng





0

để với mọi số tự nhiên n tìm được số tự

 n₀

u_n a  .

sao cho

1



1

n







hứng tỏ rằng dãy

không có giới hạn

1 

 





n

_n1

| u_n u_n1|1

hứng tỏ:

ật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng v

số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ.

1

1 1

2

k

1

| u_nu_n

1|

u_2k1 1

 0

k

2

k



1

1 1







R

Xét khoảng

a  ,a 







2 2



ai số hạng kế nhau không thể cùng nằm trong khoả

y. Vậy không tồn tại giới hạn.

a nói u tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn



 



n

hi và chỉ khi:

A  0,n N n  n  u  A





0

n

u_nⁿ^^

lim u  

Ký hiệu:

hay

n

n



u

 



nói tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn

n

i và chỉ khi:

B  0,n N n  n  u  B





0

n

u_nⁿ^^

lim u  

Ký hiệu:

hay

n

n

ệnh đề 1 (tính duy nhất của giới hạn)

u

ếu dãy hội tụ đến hai số a và b, thì a = b.

 

n

lim u  a







n

a b

_n

Đặt

a



b

và .

 

Giả sử

3

lim u_n b

_n





n : n  n  u  a  





a

n



n  Max n ,n





Đặt

0

a b

n : n  n  u b  



b

n





b  a u_n u_nb  u_n a  u_nb

2

Mâu thuẫn.

 a b     2  | a b |

3

u các dãy

hội tụ và

, thì

u , v

 

u  a, v  b

 

n

 

u_n

u  v ; u v ; , (v  0 & b  0); u

c dãy



_{n n}  



 

n n

n

v_n

 

u hội tụ.

Ta có

 

u_n

a

3) lim 

_n 

lim u  v  a  b

_{n n}





v_nb

 



4) lim u_n| a |

lim u v  a b

 

n n

n

n



u

 

nói dãy bị chặn trên, nếu

n

A R :n N,u_n A

u

 

nói dãy bị chặn dưới, nếu

n

B R :n N,u_n B

ột dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dã

chặn.

nh nghĩa

u

 

nói dãy là dãy tăng, nếu

n

n N,u_n1 u_n

u

 

nói dãy là dãy giảm, nếu

n

n N,u_n1 u_n

ột dãy tăng hay dãy giảm được gọi chung là dã

ơn điệu.

nh đề 2

u

 

ếu dãy hội tụ, thì bị chặn.

u

 

n

lim u_n a

 n : n  n |u  a |1





Giả sử

0

n

n

 a 1 u_n a 1

Đặt:

 u_n M

M  Max u , u ,..., u ,1 | a |





1

2

n₀

Chú ý:

Tồn tại những dãy bị chặn nhưng không hội



(1)ⁿ

Ví dụ.

 

n1

ệnh đề 3 (định lý kẹp)

u , v , w

n

n ,n  n  u  v

Cho 3 dãy

 

sao cho

n

0

n

v ⁿ^a

u , w

 

à

cùng hội tụ đến a, khi đó

n

u , w

n ,n  N :

hội tụ đến a, nên

 

Vì





0

o .

n

1 2

n  Max n ,n

Đặt

 

0

1 2

n  n₁| u_n a | 

n  n₂| w_n a | 

n  n

₀, ta có

Khi đó

u_n a | 

   u_n a  v_n a  w_n a  

| v_n a | 

w_n a | 

v



ⁿ



^



^



a

Vậy

 

n