Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)

[email protected].vn

Nội dung

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 – Đạo hàm

2 – Vi phân.

3 – Định lý giá trị trung bình

4 – Công thức Taylor, Maclaurint

I. Đạo hàm

Định nghĩa (đạo hàm)

x

Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .

0

f (x₀ x)  f (x₀)

f ^'(x₀)  lim

x0



x

f ^'(x₀)

được gọi là đạo hàm của f tại điểm x₀.

Ví dụ

Tìm đạo hàm của hàm

f (x)  cos x

tại điểm x₀

f (x₀ x)  f (x₀)



x

f ^'(x₀)  lim

x0

cos(x₀ x)  cos x₀



x

 lim

x0

x x





sin x  sin

 ⁰



2





  lim

x0

x

2

 sin(x₀)

Ví dụ

Tìm







1

 

x²sin , x  0

 

f ^'(0)

f (x) 

x

 

0, x  0

, biết





f (0  x)  f (0)



x

f ^'(0)  lim

x0

2

x sin 1/ x  0

 

 lim

x0



x



1 

 

(bị chặn vô cùng bé)

x



0

 lim xsin

 





^x0





x

 

Định nghĩa (đạo hàm phải)

x

Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .

0

f (x₀ x)  f (x₀)

'

f_(x₀)  lim

x0^



x

f ^'(x )

được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x₀.

 0

Định nghĩa (đạo hàm trái)

x

Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .

0

f (x₀ x)  f (x₀)

'

f_(x₀)  lim

x0^



x

f ^'(x )

được gọi là đạo hàm trái của f tại điểm x₀.

 0

Định lý

x

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm , khi và chỉ khi

0

nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x₀và

hai đạo hàm này bằng nhau.

Định nghĩa (đạo hàm vô cùng)

f (x₀ x)  f (x₀)

Nếu

, thì ta nói hàm

lim

 

x0



x

có đạo hàm vô cùng tại điểm x₀.

Ví dụ

Tìm

1/ x







e , x  0

'

f (x) 

, biết

f_(0); f_(0)

0, x  0

e^{1/ x} 0

f (0  x)  f (0)



x

f_^'(0)  lim

 

 lim

x0^



x

e^{1/ x} 0



x

f (0  x)  f (0)



x

f_^'(0)  lim

 lim



0

x0^

Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên

đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.

Ví dụ

'

f (x)  x² 3| x | 2

Tìm , biết

f (x)

2







x  3x  2, x  0

2x  3, x  0

2x  3, x  0







 f ^'(x) 

f (x) 

x² 3x  2, x  0

f_^'(0)  3; f_^'(0)  3

Tại điểm x = 0:

Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, suy

ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0.

Ví dụ

Tìm

'

f (x)  sin 2x

, biết

f_(0); f_(0)

f (0  x)  f (0)



x

sin 2x



x

f_^'(0)  lim



2

 lim

x0^

f (0  x)  f (0)



x

sin 2x



x

f_^'(0)  lim

 lim

 

2

x0^

Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên

đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.

Ví dụ

sin x











, x  0

'

f (x) 

x

Tìm , biết

f (x)

1, x  0

xcos x  sin x











, x  0

x  0

f ^'(x) 

x²

?,

0,

sinx

1

f (0  x)  f (0)



x

f ^'(0)  lim

x



x

 lim

x0

sin x  x



0

 lim

2

x0

x

 

Ví dụ

1



arctan , x  0



x

f ^'(0); f ^'(0)

f (x) 

Tìm

, biết











 , x  0



 2

1 

arctan 

f_^'(0)  lim

x 2

 

x0^



x

1 

arctan 

f_^'(0)  lim

x 2



x

 

1

x0^

Đạo hàm

hàm hợp

'

1. a  0

 

'

2. u^ u^{ 1}u^'

'

2. x^  x^{ 1}

 

'

3. e^u e^uu^'

'

 

3. e^x e^x

 

'

4. sinu  cos u u^'

'

 

4. sin x  cos x

 

'

5. cosu   sinu u^'

'

 

5. cos x  sin x

 

u^'

'

1

'

6. lnu 

 

6. ln x 

 

u

u^'

x

'

1

'

7. tanu 

 

cos

²

u

7. tan x 

 

cos

²

x

u^'

sin

²

u

'

1

'

8. cotu 

 

8. cot x 

 

sin

²

x

Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic

1

'

1. arcsin x 

5. sinh x  cosh x





 

1 x²

'

1

1 x²

'

6. cosh x  sinh x

 

2. arccos x 





1

'

1

'

7. tanh x 

 

3. arctan x 





cosh

²

x

1



x

²

1

1



x

²

'

1

'

4. arccot x 





8. coth x  

 

sinh

²

x

Công thức tính đạo hàm

Qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương,

hàm hợp.

'

2. u  v  u^' v^'

'

1. u  u^'

 

'

u u^'v  u v^'

v

 

'

 

3. u v  u^'v  u v^'

 

5. 

 

v²

'

4. u v w  u^'v w  u v^' w  u v w^'





Đạo hàm của hàm hợp

f  f (u), u  u(x)  f ^'(x)  f ^'(u)u^'(x)

Đạo hàm của hàm ngược.

Hàm y = f(x) là hàm 1-1 có hàm ngược x = g(y).

Nếu f(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x₀, thì hàm

g(y) sẽ có đạo hàm tại y₀= f(x₀) và

1

g^'(y₀) 

f ^'(x₀)

1

y^'(x)

x^'(y) 

Ví dụ

f (x)  x  x³

Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm

f ^'(x) 1 3x² 0,x

f(x) là hàm 1-1 trên R, đạo hàm

dx 1

1

 

y^'(x) 1 3x²

dy

Ví dụ

e^y e^{ y}

y^'(x)

Tìm , biết

x  sinh y 

2

x^'(y) 1/cosh y  0,y

x = sinh(y) là hàm 1-1, đạo hàm

dy 1

1

y^'(x)   



x^'(y)

1 sinh²y 1 x²

dx

Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số.

x  x(t)

y  y(t)







Hàm y = y(x) cho bởi pt tham số:

x  x(t)

Giả sử hàm

có hàm ngược

t  t(x)

y  y(t)  y(t(x))

Khi đó

là hàm y theo biến x.

dy y^'(t)dt y^'(t)

y^'(t)

x^'(t)

y^'(x)  



 y^'(x) 

x^'(t)dt x^'(t)

dx

Ví dụ

Tìm đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số

x  a cos³t, y  bsin³t,t (0, /2).

x^'(t)  3acos²tsint  0,t (0, / 2)

y^'(t)  3bsin²t cost

y^'(t) 3bsin²tcost b

y^'(x) 



  tant

x^'(t)



3

a

cos

²

t

si

n

t

a

Đạo hàm của hàm ẩn.

x(a,b)

Hàm y = y(x) với

cho ẩn bởi phương trình

F(x, y(x))  0 x(a,b)

F(x, y)  0

nếu

với

.

Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế: coi x

là biến, y là hàm theo x.

Tìm y^'(x), biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ

Ví dụ

e^{2x y} x³ cos y

phương trình

3x² 2e^{2x y}

e^{2x y} sin y

e^{2x y}2  y^'(x)  3x² y^'(x)sin y

 y^'(x) 



