Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 3: Tích phân kép

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích hàm nhiều biến

Chương 3: Tích phân kép

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008)

[email protected].vn

Nội dung

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân kép

0.2 – Tọa độ cực

0.3 – Ứng dụng hình học

0.4 – Ứng dụng cơ học

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f  f (x, y)

Cho vật thể (hình trụ cong) được giới hạn trên bởi mặt bậc hai

giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D

giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn).

Tìm thể tích vật thể.

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f (x, y)

Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai

giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn).

giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D

Tìm thể tích vật thể.

1) Chia D một cách tùy ý ra thành n miền không dẫm nhau: D₁, D₂, ..., D_n.

S_D,S_D,...,S_D.

Có diện tích tương ứng là

1

2

n

M_i(x_i, y_i)S_D

2) Trên mỗi miền lấy tùy ý một điểm

i

n

3) Thể tích của vật thể:

V  f (M )S V



i

D

n

i

i1

V  V

4)

lim

n

n

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa tích phân kép

Cho f = f(x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D.

Tích phân kép của f trên miền D là giới hạn (nếu có)

n







I  f (x, y)dxdy 

f (M )S



lim

_n





i

D

ⁱ

i1

D

Nếu I tồn tại, ta nói f khả tích trên D.

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của tích phân kép

1) Hàm liên tục trên một miền đóng, bị chặn, có biên trơn tùng khúc thì

khả tích trên miền này.

S  1dxdy

2)



D

3)  f (x, y)dxdy  f (x, y)dxdy

 

D

4) f (x, y)  g(x, y) dxdy  f (x, y)dxdy  g(x, y)dxdy







D

5) Nếu D được chia làm hai miền D₁và D₂không dẫm lên nhau:

f (x, y)dxdy  f (x, y)dxdy  f (x, y)dxdy

 



D

D₂

1

6) (x, y) D, f (x, y)  g(x, y)  fdxdy  gdxdy

 

D

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

f (x, y) 16  x² 2y²

Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai

giới hạn dưới bởi hình vuông:

R  [0,2][0,2]

giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên R.

Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau:

a) Chia R thành 4 phần bằng nhau;

b) Chia R thành 16 phần bằng nhau;

c) Chia R thành 64 phần bằng nhau;

d) Chia R thành 256 phần bằng nhau;

e) Tính thể tích của vật thể.

4

V V  f (M ) S



n

i

D_i

i1

S_{D 1,i1,...,4.}

i

V  f (1,1)  f (1,2)  f (2,1)  f (2,2)

V



1

3



7



10



4



34.

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cách tính (Định lý Fubini)

Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D.

y=y₂(x)

y=y₁(x)

a

b

1) Giả sử D xác định bởi:

y₂(x)

I  f (x, y)dxdy  ^bdx

f (x, y)dy

a  x  b









y (x)  y  y₂(x)

D

a

y₁(x)

 ¹

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cách tính tích phân kép (Định lý Fubini)

d

x=x₁(y)

x=x₂(y)

c

2) Giả sử D xác định bởi:

x₂( y)

c  y  d

I  f (x, y)dxdy  ^ddy

f (x, y)dx









D

c

x₁(y)

x (y)  x  x₂(y)

 ¹

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải câu e)

0  x  2

0  y  2



2





2

V  16  x² 2y²dxdy

2

Tính thể tích của vật thể.



 dx 16  x  2y dy





 





R

0

²



2







³²

16

y

 32  2x² dx

 (16  x²)y  2 dx



48









3

₀



0

₀

Ví dụ

Tính tích phân kép

I  xydxdy

, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi



D

y  2  x², y  x.



2  x 1

x  y  2  x²







1

2x²

I  xy dxdy

 



 dx xy dy

 

 

D

2

x

2x²

2

1

 

y

 x

dx



 

2

2

 _x

(2  x²)²x

1



²

 x

 x dx









2

2



Ví dụ

Tính tích phân kép

I  (x  y)dxdy



, trong đó D là tam giác OAB, với

D

O(0,0), A(1,1),B(2,0).

0  x  2

0  y  ?







Cần chia D ra thành hai miền: D₁và D₂



A

I   

  

D₁

D₂

D D D₂

1



B

x

2x

I  ¹dx (x  y)dy ²dx (x  y)dy

 

0

1

0

Nếu lấy cận y trước, x sau thì không cần chia D