Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 3: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện

Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Chương 3

TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM

VÀ TÍCH PHÂN

3.1 Tính gần đúng đạo hàm

+ Ta biểu diễn hàm f(x) bằng đa thức nội suy: f(x) = P(x), với P(x)

là đa thức nội suy (đa thức nội suy tiện lợi là spline bậc 3); Tiếp theo ta tính

gần đúng đạo hàm f ^’(x) ở đa thức nầy:

f’(x) = P’(x)

+ Ta cũng có thể áp dụng khai triển Taylor:

h²

2!

f(x + h) = f(x) + h f’(x) +

f”(c), với c = x + θh, 0 < θ < 1.

f (x + h) − f (x)

Từ đó ta tính được:

f’(x) ≈

h

3.2 Tính gần đúng tích phân xác định

3.2.1 Công thức hình thang:

Trong từng khoảng chia (i,i+1), đường cong M_i,

M_i+1được xấp xỉ thành đường thẳng.

Đối với tích phân thứ (i + 1), ta có:

x_i+1

y_i+ y_i+1

f (x)dx = h

∫

2

x_i

b − a

Với x_i= a + ih, h =

,

n

i = 1, 2, . . . . . , n; a = x₀, b = x_n

x₁

x₂

x_n

b

I= f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx +........ f(x)dx

∫

a

x₀

x₁

x_n−1

h

2

I_T≅

[

(

y₀+ y₁

)

+ (y₁+ y₂) +.......+ (y_n−1+ y_n)

]

y + y





0

n

I_T≅ h

+ y₁+ y₂+ .......+ y_n−1







2



Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính

Trang 14

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện

Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

M

12

h²(b − a)

Sai số: I - I_T ≤

, với M = max f”(x), a ≤ x ≤ b

3.2.2 Công thức Simson

Bây giờ cứ mổi đoạn cong M_i, M_i+1được xấp xỉ bằng đường cong bậc

hai, đi qua ba giá trị y_i, y_i+1và giá trị y tại x = (x_i+ x_i+1)/2, có nghĩa chia

[a,b] thành 2n đoạn bằng nhau,bởi các điểm chia x_i:

a = x₀< x₁< x₂< ...< x_2n=b, nghĩa là: x_i= a +ih

Với h = (b – a)/2n, với: i = 0, 1,2,….,2n

Dùng đa thức nội suy bậc 2 xấp xỉ theo Newton, ta có công thức tính gần

đúng tích phân theo Simson:

x₂

2

t (t + 1)

f ( x )dx ≈

p ₂( x )dx = h ( y ₀+ t∆ y ₀+

∆²y ₀)dt

∫

2

x₀

0

x₂

h

3

f (x)dx ≅ (y₀+ 4y₁+ y₂)

∫

x₀

x _{2 i + 2}

Tổng quát :

h

3

f ( x ) dx ≅

( y

+ 4 y

+ y

)

2 i

2 i + 1

2 i + 2

∫

x _{2 i}

Vậy:

b

h

3

f (x)dx ≅ [( y₀+ 4 y₁+ y₂) + ( y₂+ 4 y₃+ y₄) + .... + ( y_{2 n − 2}+ 4 y_{2 n −1}+ y_{2 n})]

∫

a

h

3

I ≅ [( y₀+ y_{2 n}) + 4( y₁+ y₃+ ... + y_{2 n −1}) + 2( y₂+ y₄+ ... + y_{2 n − 2})]

4

Sai số:

h

I − I

≤ M

( b − a )

S

180

Với: M = max | f^iv(x) |, a ≤ x ≤b.

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính

Trang 15

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện

3.2.3 Công thức của Gauss

Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

3.2.3.1Liên hệ giữa các hệ toạ độ tổng thể và hệ toạ độ địa phương

Trong nhiều trường hợp ta cần tính tích phân số với độ chính xác rất cao,

như trong phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), miền tính toán Ω được

chia nhỏ thành nhiều miền con, phương pháp biến phân trọng số xây dựng

trên các miền con này. Do đó dẫn đến tích phân hàm dạng trên miền con.

Nếu tích phân hàm dạng bậc cao với sử dụng hệ toạ độ tổng thể

(x,y,z, global coordinate) thì thông thường sẽ xuất hiện các biểu thức đại số

rất phức tạp khi phần tử là hai, ba chiều (Irons and Ahmad, 1980).

Thay vào đó nếu chúng ta thực hiện chúng trong hệ toạ độ địa phương

(ξ,η,ζ, local coordinate) hay còn gọi là toạ độ chuẩn hay toạ độ tự nhiên

(normal coordinate hay natural coordinate) thì sẽ đơn giản hơn rất nhiều

[Taig, 1961]; bởi lẽ nó thuận lợi trong việc xây dựng hàm nội suy, tích phân

số dùng được cách thiết lập của Gauss-Legendre (phổ biến nhất).

Phần tử chiếu

Phần tử thực

y

τ^e

η

Xk

0,1

0,0

1→ x_i

2 → x _j

3→ x_k

3

v^e

v^r

x_i

1

2

Xj

ξ

1,0

x

Hình 3.3: Biểu thị phần tử chiếu V^rvào phần tử thực V^e

Với phần tử đẳng tham số (isoparametric), ta có thể viết công thức

biến đổi toạ độ cho phần tử tứ giác tuyến tính có bốn điểm nút như sau:

4

x = N x = N x + N x + N x + N x

∑

i

1

2

3

4

i=1

4

y =

N x = N x + N x + N x + N x

(3.10)

∑

j

1

2

3

4

j=1

Với phần tử tam giác tuyến tính có ba điểm nút:

3

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính

Trang 16

x = N x = N x + N x + N x

∑

i

1

2

3 3

i=1

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện

Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

ở đây N_i, N_jlà hàm dạng hay còn gọi là hàm nội suy (shape function hay

interpolation function).

3

y =

N y = N y + N y + N y

(3.11)

(3.12)

(3.13)

∑

j

1

2

3

j=1

Từ luật đạo hàm đạo hàm riêng phần, ta có:

∂

∂ξ

∂

∂x ∂y

∂ξ ∂ξ

∂x ∂y

∂η ∂η













∂

∂x

∂

∂x

∂











=

= J





















































∂y

∂η





∂

∂ξ

∂





∂

∂x

∂







₋₁

Hay:

= J





















∂y







∂η



ở đây J là ma trận Jacobian biến đổi toạ độ. Định thức của ma trận nầy, det

J , cũng phải được ước lượng bởi lẽ nó được dùng trong các tích phân biến

đổi như sau:

+ Cho phần tử tứ giác tuyến tính:

1 1

(3.14)

(3.15)

∫∫^{dxdy =}∫ ∫^{det J dξ dη}

+ Cho phần tử tam giác tuyến tính:

ω^e

−1−1

1−ξ

1

∫∫^{dxdy =}∫ ∫^{det J dη dξ}

ω^e

0

2

3

4

1

Hình 3.4: Phần tử tứ giác có ma trận Jacobian không xác định

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính

Trang 17

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện

Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Trong một số trường hợp, ví dụ như ở Hình 3.4, phần tử tứ giác có 4 điểm

nút, nếu dạng hình học như vậy, ma trận Jacobian trở nên không xác định;

để nó có giá trị tốt, các hình dạng phần tử như cạnh và góc của nó cần phải

đều đặn hơn (ví dụ tam giác đều, tứ giác đều ≡ hình vuông, đây là các dạng

phần tử lý tưởng).

3.2.3.2 Tích phân số

Một số tích phân của các loại bài toán hai chiều (2D), ba chiều (3D), theo

phương pháp PTHH có thể được ước lượng bằng giải tích, nhưng nó không

thực dụng cho các hàm số phức tạp , đặc biệt trong trường hợp tổng quát khi

ξ,η là toạ độ cong. Trong thực hành (3.14), (3.15) được ước lượng bằng số,

( )

gọi là tích phân số (numerical integration hay còn gọi là numerical

quadrature). Dùng tích phân số của Gauss, với phần tử tứ giác, miền hai

chiều ta có:

1 1

n

(

ξ,η

)

dξdη ≅

(

)

(3.16)

∑∑^{w w f ξ ,η}

∫∫ ^f

i

j

i

j

i=1 j=1

−1−1

Với phần tử tam giác:

1−ξ

1

n

1

2

f

(

ξ,η

)

dηdξ ≅

w f

(

ξ ⁱ,ηⁱ

)

(3.17)

∑

i

∫ ∫

i=1

0

Với phần tử tứ giác thì w_i, w_jlà hệ số trọng số và ξ_i,η _jlà các vị trí toạ độ

bên trong phần tử, cho ở Bảng 2 (Xem Kopal 1961); còn với phần tử tam

giác, tương tự như phần tử tứ giác, nhưng các điểm tích phân là các điểm

mẫu ( sampling Points), Bảng 1.

Thông thường người ta muốn các tích phân số đạt độ chính xác cao,

nhưng có những trường hợp đặc biệt lại không cần thiết. ở tích phân Gauss

(3.16), với n = 2, sẽ chính xác khi hàm f là cubic (bậc 3 ), còn ở tích phân

(3.17), n = 1, sẽ chính xác khi đa thức f bậc nhất, còn n = 3, sẽ chính xác

khi đa thức f bậc hai.

Bảng 1: Điểm tích phân cho phần tử tam giác

theo công thức (3.17)

ξⁱ

1/ 3

ηⁱ

1/ 3

n

1

w_i

1

1/ 2

0

1/ 2

0

1/ 3

3

1/ 2

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính

Trang 18

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện

Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bảng 2: Trọng số và điểm tích phân Gauss – Legendre

theo công thức (3.16)

Điểm tích phân ^ξ_i

Trọng số w_i

2.0000000000

1.0000000000

0.8888888889

0.5555555555

Số điểm tích phân r

Một điểm

0.0000000000

± 0.5773502692

0.0000000000

± 0.7745966692

± 0.3399810 435

± 0.8611363116

0.0000000000

± 0.5384693101

± 0.9061798459

± 0.2386191861

± 0.6612093865

± 0.9324695142

Hai điểm

Ba điểm

Bốn điểm

Năm điểm

Sáu điểm

0.6521451548

0.3478548451

0.5688888889

0.4786286705

0.2369268850

0.4679139346

0.3607615730

0.1713244924

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính

Trang 19