Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3.3: Hàm biến phức - Tích phân đường phức - Nguyễn Phước Bảo Duy
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
Part 3:
Hàm biến phức
I. Hàm biến phức
II. Chuỗi phức
III. Tích phân đường phức
IV. Điểm bất thường, zeros và thặng dư
V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư
s
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
Tích phân đường phức
1. Tích phân đường phức
2. Định lý Cauchy
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Tích phân đường phức
. Cho f(z) là một hàm phức liên tục tại mọi điểm trên
một đường cong đơn C trong mặt phẳng z và hai
điểm đầu a và b:
n
f(z)dz lim f(z
C
zk 0
. Nếu z = x + jy và f(z) = u(x,y) k+1jv(x,y):
f(z)dz u(x, y) jv(x, y)(dx jdy)
C
C
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Tích phân đường phức
z2dz
Ví dụ 4.01: Tính tích phân phức
dọc theo đường
C, nối hai điểm -1 + j và 5 + 3jtCheo đường gấp khúc
ABD như hình:
Nếu C là đường thẳng nối A và D thì kết quả có gì
thay đổi không?
Đáp án: -4 + j.196/3
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Tích phân đường phức
1
n1 dz
Ví dụ 4.02: Tính tích phân đường phức
C
(z z0 )
với C là đường tròn |z – z0| = r (r là hằng số)
Đáp án:
2 j (n 0)
1
dz
C
(z z0 )n1
0
(n 0)
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Định lý Cauchy
Đường cong kín: là đường cong có điểm đầu và
điểm cuối trùng nhau, có thể đơn hoặc không đơn:
. Định lý Cauchy: Nếu f(z) là hàm giải tích với đạo hàm
f’(z) liên tục tại mọi điểm bên trong và trên đường
cong kín đơn C, khi đó:
f(z)dz 0
C
Goursat sau này chứng minh được rằng định lý
Cauchy đúng cho cả trường hợp f’(z) không liên tục
trên C.
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Định lý Cauchy
Miền giới hạn: là miền được giới hạn bởi các đường
cong kín, có thể đơn liên hoặc đa liên:
. Tích phân không phụ thuộc
đường đi: Nếu f(z) giải tích
trong một miền đơn liên
D, khi đó tích phân của
f(z) không phụ thuộc vào
z2
z2
đường lấy tích phân
f(z)dz f(z)dz
z z
1
1
trong D.
C1
C2
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Định lý Cauchy
. Nguyên lý biến dạng chu tuyến: Nếu f(z) là một hàm giải
tích trong miền đơn liên D, và C1 là một đường cong
kín trong D. Nếu C1 có thể biến dạng (co – giãn) trở
thành đường cong kín C2 và quá trình biến dạng
không vượt ra khỏi miền D, khi đó:
f(z)dz f(z)dz
C C
1
2
C1
C2
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Định lý Cauchy
. Nếu f(z) có hữu hạn các điểm bất thường z = zi (i =
1,2,…,n) bên trong một đường cong kín đơn C, và có n
đường con kín i bao quanh các điểm bất thường này
(mỗi đường i chỉ bao quanh duy nhất một điểm bất
thường zi), khi đó:
C f(z)dz f(z)dz f(z)dz ...f(z)dz
1
1
2
n
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Định lý Cauchy
1
n1 dz
Ví dụ 4.03: Tính tích phân
với C là:
C
(z z0 )
a. bất kỳ đường cong kín nào bao quanh z0
b. bất kỳ đường cong kín nào không bao quanh z0.
z
dz
Ví dụ 4.04: Tính tích phân
với C là
C
(z 1)(z 2j)
a. bất kỳ đường cong kín nào bao quanh hai điểm z =
1 và z = -2j
b. bất kỳ đường cong kín nào bao quanh z = -2j nhưng
không bao quanh z = 1.
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Định lý Cauchy
. Công thức tích phân Cauchy: Cho f(z) là một hàm giải
tích bên trong và trên biên một đường cong kín đơn
C. Nếu z0 là một điểm bất kỳ bên trong C, thì khi đó:
f(z)
z z0
dz 2 j. f(z0 )
C
f(z)
2 j
n!
dz . f (n)(z0 )
C
(z z0 )n1
Ví dụ 4.05: Tính tích phân đường:
2z
f(z)dz with f(z)
C
(z 1)(z 2)(z j)
với C là đường cong bao cả ba điểm z = 1, - 2 and –j.
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Định lý Cauchy
Đáp án ví dụ 4.05:
2z
2z
(z 2)(z j)
(z 1)(z j)
f(z)dz
dz
C
dz
1
2
z 1
z 2
2z
f3(z)
z j
f1(z)
z 1
f2 (z)
z 2
(z 1)(z 2)
z j
dz
dz
dz
dz
3
1
2
3
trong đó 1, 2 và 3 là các đường cong kín chỉ bao
quanh lần lượt z = 1, - 2 và –j. Dùng công thức tích
phân Cauchy ta có kết quả:
f(z)dz 2j f1(1) f2(2) f3(j) 0
C
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Định lý Cauchy
Ví dụ 4.06: Tính tích phân đường
z4
(z 1)
3 dz
I C
với C là đường cong kín bao quanh z = 1.
Đáp án: I = 12πj
13 trang
20340
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3.3: Hàm biến phức - Tích phân đường phức - Nguyễn Phước Bảo Duy", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_toan_ky_thuat_phan_3_3_ham_bien_phuc_tich_phan_duo.pdf
