Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3.5: Hàm biến phức - Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Part 3:

Hàm biến phức

I. Hàm biến phức

II. Chuỗi phức

III. Tích phân đường phức

IV. Điểm bất thường, zeros và thặng dư

 V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

s

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

1. Định lý thặng dư

2. Tính tích phân thực

3. Tìm biến đổi Laplace ngược

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Định lý thặng dư

. Định lý thặng dư: Nếu f(z) là một hàm giải tích bên

trong và trên đường cong kín C, ngoại trừ tại một số

hữu hạn điểm cực z_i(i = 1, 2,… n), khi đó:

n

f(z)dz  2 j Res f(z),z



_i



_C

i1

Ví dụ 5.01: Tính tích phân

z³ z² z 1

dz

_C

z³ 4z

với C là đường tròn:

a. |z| = 1

b. |z| = 3

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Định lý thặng dư

Đáp án ví dụ 5.01:





1

4

Res f(z),0  





z³ z² z 1

3 3

8 4



f(z) 

 Res f(z),2j    j









z³ 4z

3 3

8 4

Res f(z),2j    j









 j

2

 1 

^a._C^{f(z)dz  2 j.Res f(z),0  2 j   }





 

4

 





^b._C^{f(z)dz 2 j. Res f(z),0  Res f(z),2j  Res f(z),2j}

















 1 3 3 3 3 

 2 j    j   j  2 j





4 8 4 8 4





Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Định lý thặng dư

Ví dụ 5.02: Tính tích phân

dz

_C

z³(z² 2z  2)

với C là đường tròn |z| = 3.

Đáp án:

1 1 1 1 1 

f(z)dz 2 j.   j   j  0





_C

4 8 8 8 8





Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Tính tích phân thực

Loại 1: Tích phân với cận , có dạng như sau:



P(x)

Q(x)

f(x)dx 

dx

__

trong đó P(x), Q(x) là các đa thức có bậc lần lượt là n và

m, với m > n + 1.

R  



f(x)dx  f(z)dz

__C

n

 2 j Res f(z),z



_i



i1

với z_i(i = 1,2,…,n) là các cực của f(z) nằm ở nữa trên

mặt phẳng phức, tức là Im{z_i} > 0.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Tính tích phân thực

Ví dụ 5.03: Tính tích phân

_^_

dx

(x² 4)²

Đáp án:

_^_

^_C

dx

(x² 4)²

dz

(z² 4)²

với C là đường cong kín vô cùng lớn, bao toàn bộ nữa

trên mặt phẳng phức.

Dùng định lý thặng dư (hoặc công thức tích phân

Cauchy) để tính tích phân phức ở vế phải:

_^_

^_C









dx

dz

1



16

 2 j.Res

;2j 



(x² 4)²

(z² 4)²



Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Tính tích phân thực

Hệ quả 1: Tích phân có cận  với dạng:



P(x)

Q(x)

f(x)e^jaxdx 

e^jaxdx

_





trong đó P(x), Q(x) là các đa thức có bậc lần lượt là n và

m, với m > n + 1.

R  



f(x)e^jaxdx  f(z)e^jazdz

_



C

n

 2 j Res f(z)e^jaz,z



_i





i1

với z_i(i = 1,2,…,n) là các cực của f(z) nằm ở nữa trên

mặt phẳng phức, tức là Im{z_i} > 0.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Tính tích phân thực

Hệ quả 2: Tích phân có cận  với dạng:

n







P(x)

Q(x)

f(x)cosaxdx 

cosaxdx  2 Im Res f(z)e^jaz,z



_i

_





_





i1



n







P(x)

Q(x)

f(x)sin axdx 

Trong đó

sin axdx  2 Re Res f(z)e^jaz,z



_i

_



_





i1





. P(x), Q(x) là các đa thức có bậc lần lượt là n và m, với

m > n + 1.

. z_i(i = 1,2,…,n) là các cực của f(z) nằm ở nữa trên mặt

phẳng phức, tức là Im{z_i} > 0.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Tính tích phân thực

Ví dụ 5.04: Tính các tích phân sau:



cosax

x



k

sin ax

a.

dx

b.

dx

(a  0; k  0)



2

_

x

²

k

²



Đáp án:



k

a. e^ks

b. 0

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Tính tích phân thực

Loại 2: Tích phân hữu hạn có dạng sau:

^{I }₀^2^{G(sin ,cos)d}

trong đó G là hàm phân thức của sin và cos .

Đổi biến z = e^j, khi đó:



1  1 

sin  z  ; cos  z 













2j

z

2

z









dz

jz



d 





Tích phân I trở thành:

^{I }_C^{f (z)dz where C is the unit circle z  1}

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Tính tích phân thực

Ví dụ 5.05: Tính tích phân

^{I }₀^2

d



2  cos



1  1 

dz

jz

Đáp án: Đổi biến z = e^j

 cos  z  ; d 





2

z





dz

^{I }

²_C



z² 4z 1

^C



j

1  1 

2  z  jz









2

z









2

j

 1

 2

 .2 j.Res

;2  3 





z² 4z 1

3





Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Tính tích phân thực

Ví dụ 5.06: Tính các tích phân sau:

^a.₀^2

cos

3  2cos

 

d





dx

b.



2



x  2x  25

Đáp án:





3 5

a.  1









5





b.

2 6

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

3. Tìm biến đổi Laplace ngược

n

 Res F(z)e^zt,z

^-1{F(s)} = f(t)



_i



L

i1

trong đó z_i(i = 1,2,…,n) là các cực của F(z).

Ví dụ 5.07: Tìm biến đổi Laplace ngược của

1

F(s) 

(s² 4)(s 1)²

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

3. Tìm biến đổi Laplace ngược

Đáp án ví dụ 5.07:

1

Res{F(s)e^zt,2}  e^2t

4

1

36

1 2

3 9

Res{F(s)e^zt,2}   e^2t

Res{F(s)e^zt,1}   te^t e^t

1

 e^2t e^2t te^t e^t

4 36 3 9

1

1 2



L

^-1{F(s)} = f(t)

Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3.5: Hàm biến phức - Ứng dụng của lý thuyết thặng dư - Nguyễn Phước Bảo Duy