Giáo trình Toán cao cấp C1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA KINH TẾ
NGUYỄN THÀNH LONG
NGUYỄN CÔNG TÂM
TOÁN CAO CẤP C1
Lưu hành nội bộ
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2004
0
LỜI NÓI ĐẦU
Đây là giáo trình Toán Cao cấp C1 dành cho sinh viên Khoa Kinh Tế, Đại học Quốc gia
Tp. Hồ Chí Minh. Giáo trình gồm 3 đơn vị học tập (45 tiết) cả lý thuyết và bài tập.
Giáo trình gồm 5 chương:
Chương I trình bày nội dung về phép tính vi phân hàm một biến.
Chương II trình bày nội dung về phép tính vi phân hàm hai biến.
Chương III trình bày nội dung về phép tính tích phân hàm một biến.
Chương IV trình bày sơ lược về phương trình vi phân ( cấp 1 và 2).
Chương V trình bày nội dung về lý thuyết chuỗi.
Trong mỗi chương đều có ví dụ kèm theo cùng với phần bài tập với độ khó khác nhau để
sinh viên rèn luyện kỹ năng tính toán. Một số định lý khó chỉ được phát biểu mà không chứng
minh và thay vào đó là phần minh họa ý chính của đ ịnh lý.
Giáo trình sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Các tác giả rất mong nhận được các ý kiến
đóng góp của bạn đọc gần xa để giáo trình được hoàn thiện hơn.
Tp. Hồ Chí Minh tháng 9 năm 2004.
Các tác giả
Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm.
1
CHƯƠNG I. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
§1. Khái niệm về hàm số
1.1. Định nghĩa
Cho tập hợp D ., ánh xạ f : D . được gọi là một hàm số xác định trên tập D. Tập
D được gọi là miền xác định của hàm số f. Tập fx : x D được gọi là miền giá trị của
hàm số f.
Vậy một hàm f xác định trên D là một phép tương ứng với mỗi số thực x D với một số
thực xác định duy nhất mà ta ký hiệu nó là fx. Ta viết
f : x fx.
Ta cũng gọi fx là giá trị của f tại x.
Nếu đặt y fx,thì ta có thể biểu diễn hàm f như sau:
f : x y fx
hay gọn hơn
y fx.
Ta gọi x là biến độc lập hay đối số, y là biến phụ thuộc (hay là hàm).
Đối với một hàm đã xác định thì các ký hiệu để chỉ các biến rõ ràng là không quan trọng.
Chẳng hạn, các ánh xạ
t t2, 2,
w u w2, y x y2,
xác định cùng một hàm, vì trong tất cả các trường hợp trên phép tương ứng là như nhau: ứng
với mỗi số là bình phương của nó. Để chỉ các hàm khác nhau ta dùng các chữ khác nhau
y fx, y gx, y x,...
Trị của hàm f tại x a được ký hiệu là fa hay fx
và đọc là "f tại a".
|
xa
Xét hàm y fx xác định trên D .. Chọn trong mặt phẳng một hệ trục tọa độ vuông góc
Oxy và biểu diễn biến độc lập x trên trục hoành, còn biến phụ thuộc y trên trục tung.Ta gọi tập
tất cả các điểm của mặt phẳng có dạng
x,fx : x D
là đồ thị của hàm số f.
Hình 1
2
1.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản
Các hàm sau đây được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản: Hàm lũy thừa x , hàm mũ
ax,Hàm logarit logax, các hàm lượng giác cosx, sinx, tgx, cotgx và các hàm lượng giác
ngược. Tất cả các hàm nầy, ngoại trừ các hàm lượng giác ngược, đ ều đã học ở phổ thông nên
ở đây chỉ nhắc lại những tính chất chủ yếu của chúng, riêng các hàm lượng giác ngược sẽ đ
ược trình bày kỹ hơn.
Hàm lũy thừa y x , là một số thực. Miền xác định của nó phụ thuộc vào .
Ví dụ:
- Các hàm y x, y x2, y x3,...xác định tại mọi x.
- Các y x1, y x2, y x3,...xác định tại mọi x 0.
- Hàm y x1/2 x xác định khi x 0.
1
- Hàm y x1/2
chỉ xác định khi x 0.
x
- Hàm y x1/3 x xác định tại mọi x.
Chú ý rằng nếu vô tỉ tì ta qui ước chỉ xét hàm y x tại mọi x 0 nếu 0 và tại mọi
3
x 0 nếu 0.
Đồ thị của tất cả các hàm y x đều đi qua điểm 1,1, chúng đi qua gốc tọa độ nếu 0 và
không đi qua gốc tọa độ nếu 0.
Hình 2
Hình 3
Hàm mũ y ax, a 0 và a 1. Số a được gọi là cơ số của hàm mũ. Hàm mũ xác định tại
mọi x và luôn luôn dương. Nó tăng nếu a 1 và giảm nếu 0 a 1. Ngoài ra ta luôn có
a0 1.
Hàm logarit.
Hàm mũ y ax là một song ánh từ . lên khoảng 0,, nên nó có hàm ngược mà ta ký hiệu
là x logay (đ ọc là logarit cơ số a của y). Như vậy
y ax x logay
3
a 1
0 a 1
Hình 4
Hình 5
Với qui ước, dùng chữ x để chỉ là biến độc lập, chữ y đ ể chỉ hàm thì hàm ngược của hàm mũ
y ax là y logax.
Đồ thị của hàm y logax là đối xứng của đồ thị của hàm y ax qua đường phân giác thứ
nhất.
Hàm y logax chỉ xác định khi x 0, nó tăng khi a 1 và giảm nếu 0 a 1. Ngoài ra ta
luôn có loga1 0.
Với a 10, ta ký hiệu
lgx log10x
và gọi nó là hàm logarit thập phân.
Hàm logarit còn có các tính chất sau:
log AB log A log B , AB 0,
a| | a| |
a
log A log A log B , AB 0,
a| |
a| |
a
B
log A log A ,
A 0,
a| |
a
log A log A , A 0, 0.
a| |
a
Mọi số dương N đều có thể viết dưới dạng mũ
N alog N
.
a
Các hàm lượng giác y cosx, y sinx, y tgx, y cotgx. Các hàm nầy được xác định
trên vòng tròn lượng giác (vòng tròn đơn vị) như sau
OP cosx,
OQ sinx,
AT tgx,
BC cotgx,
Hình 6
trong đó, x được đó bằng radian. Hai hàm y sinx và y cosx xác định tại mọi x, có giá trị
thuộc 1,1, tuần hoàn với chu kỳ 2.
4
y sinx
Hình 7
y cosx
Hình 8
Hàm y tgx xác định tại mọi x 2k 1 ,k nguyên, là hàm tăng trên từng khoảng,
2
tuần hoàn với chu kỳ .
Hàm y cotgx xác định tại mọi x k,k nguyên, là hàm giảm trên từng khoảng, tuần
hoàn với chu kỳ .
y tgx
y cotgx
Hình 9
Hình 10
Các hàm lượng giác ngược.
y arcsinx. Hàm y sinx với
x
là một song ánh từ đoạn , lên đoạn
1,1 nên nó có hàm ngược mà ta2ký hiệu là2 x arcsiny (x bằng số đo của cung mà sin của
2 2
nó bằng y). Vậy
y sinx,
x arcsiny.
2
x
2
Với qui ước dùng chữ x để chỉ là biến độc lập, chữ y đ ể chỉ hàm, thì hàm ngược của hàm
y sinx với
x
là y arcsinx.
Đồ thị của hàm đó sẽ đối2xứng với đồ thị của hàm y sinx, x qua đường phân
2
2
2
giác thứ nhất.
5
Hàm y arcsinx xác định và tăng trên 1 x 1.
y arccosx. Cũng như trên, hàm y cosx với 0 x có hàm ngược là x arccosy ( x
bằng số đo của cung mà cosin của nó bằng y). Vậy
y cosx,
0 x
x arccosy.
Đồ thị của hàm y arccosx đối xứng với đồ thị của hàm y cosx,0 x qua đường
phân giác thứ nhất.
Hàm y arcsinx xác định và giảm trên 1 x 1.
Ta có đẳng thức sau
2
arcsinx arccosx
.
y arcsinx
y arccosx
Hình 11
y arctgx. Hàm y tgx với
cung mà tg của nó là y). Vậy
Hình 12
2
2
x
có hàm ngược là x arctgy ( x bằng số đo của
y tgx,
x
x arctgy.
2
2
Đồ thị của hàm y arctgx đối xứng với đồ thị của hàm y tgx, x qua đường
2
2
phân giác thứ nhất.
y arccotgx. Hàm y cotgx với 0 x có hàm ngược là x arccotgy ( x bằng số đo
của cung mà tg của nó là y). Vậy
y cotgx,
0 x
x arccotgy.
Đồ thị của hàm y arccotgx đối xứng với đồ thị của hàm y cotgx,0 x qua đường
phân giác thứ nhất.
Ta có đẳng thức sau
2
arctgx arccotgx
.
6
y arctgx
Hình 13
y arccotgx
Hình 14
§2. Giới hạn của dãy số thực
2.1. Định nghĩa dãy số, giới hạn của dãy số
Định nghĩa: Cho hàm số x : .. Các giá trị của x tại n 1,2,...lập thành một dãy số
(gọi tắt là dãy)
x1, x2, x3,...
Nếu đặt xn xn, ta có thể viết dãy số đó như sau
x1,x2,...,xn,... hay xn.
Các số x1,x2,...,xn,...được gọi là các số hạng của dãy, xn được gọi là các số hạng tổng quát
của dãy, còn n được gọi là chỉ số của nó.
1
Ví dụ: Cho xn , xn a, xn 1n, thì các dãy tương ứng sẽ là
n
1
1
1
1, , ,..., ,...
n
2
3
a,a,a,...,a,...
1,1,1,...,1n,...
Định nghĩa: Cho dãy số xn.Ta nói xn hội tụ nếu, tồn tại một số thực a sao cho, với mọi
0 cho trước, tồn tại số tự nhiên N sao cho
n N x a .
|
|
n
Ta có thể nghiệm lại rằng, nếu dãy xn hội tụ thì số thực a trong định nghĩa ở trên là duy nhất
( xem tính chất 1), ta gọi a là giới hạn của dãy xn và ký hiệu nó là
a lim xn hay xn a khi n .
Dùng các ký hiệu logic ta có thể ndiễn đạt định nghĩa trên như sau:
lim xn a
0,N : n ,n N x a .
|
|
n
n
Chú ý rằng, số N tồn tại trên đây nói chung phụ thuộc vào , do đó ta có thể viết N N.
Hơn cũng không cần thiết N phải là số tự nhiên.
Định nghĩa: Dãy không hội tụ được gọi là phân kỳ.
Ví dụ: Cho xn, với xn 1 . Ta có lim xn 0.
n
n
7
Thật vậy
1
1
x 0
0
|
|
|
|
|
n
n
n
1
1
x 0
n
.
|
n
n
Rõ ràng, nếu chọn N 1/ 1, ta có
n N x 0 .
|
|
n
2.2. Các tính chất và các phép tính về giới hạn của dãy số
Tính chất 1. Giả sử dãy xn hội tụ. Khi đó số thực a trong định nghĩa ở trên là duy nhất.
Chứng minh: Giả sử có hai số thực a, a như trong định nghĩa ở trên. Ta chứng minh rằng
1
a a. Thật vậy, giả sử ngược lại: a a. Chọn a a 0, ta có:
|
|
3
N : n ,n N x a , (bởi vì x a
|
|
1
1
n
n
và
N : n ,n N x a , (bởi vì x a.
|
|
2
2
n
n
Chọn số tự nhiên n maxN1,N2, ta có:
3 a a a x x a 2.
|
|
|
n | |
|
n
Điều nầy mâu thuẫn. Vậy tính chất 1 được chứng minh.
Tính chất 2. Giả sử dãy xn hội tụ về a. Nếu a p (tương ứng với a p), thì
N : n ,n N xn p (tương ứng với xn p
Chứng minh: Chọn 0 a p thì a p. Với số đó thì
N : n N a xn a xn p.
Tính chất 3. Giả sử dãy xn hội tụ về a và ta có xn p xn q với mọi n, thì a p
a q.
N : n ,n N xn p (tương ứng với xn p
Chứng minh: Giả sử ngược lại a p a q. Khi đó theo tính chất 2 thì
N : n N xn p xn q.Điều nầy mâu thuẫn với giả thiết. Vậy tính chất 3 được
chứng minh.
Tính chất 4. Giả sử dãy xn hội tụ. Khi đó nó bị chận, nghĩa là:
M 0 : x M n .
| |
n
Chứng minh: Chọn 1,N : n N x a 1, từ đó
|
|
n
x x a a 1 a max1 a , x , x ,..., x M với mọi n.
| |
n
|
| | |
| |
| | | | | |
| |
Định lý 1. Cho hai dãy hội tụ xn và yn.1Nếu xn ynN n , thì lim xn lim yn.
n
2
n
n
Chứng minh: Đặt a lim xn, b lim yn. Giả sử ta có a b. Lấy một số r sao cho
n
a r b. Khi đó theontính chất 2
N/ : n ,n N/ xn r.
Mặt khác,
N// : n ,n N// yn r.
8
Đặt N maxN/,N//. Khi đó n N xn r yn. Điều nầy mâu thuẫn với giả thiết. Do
đó a b.
Định lý 2. Cho ba dãy xn,yn và zn thỏa
i xn yn zn n ,
lim xn lim zn a.
ii
n
n
Khi đó dãy yn cũng hội tụ và lim yn a.
Chứng minh: Theo định nghĩa ginớihạn
N/ : n N/ a xn a ,
N// : n N// a zn a .
0,
Đặt N maxN/,N//. Ta có n N a x y z a , hay y a . Vậy
|
|
n
n
n
n
lim yn a.
n
Định lý 3. Nếu các dãy xn và yn hội tụ thì dãy xn yn cũng hội tụ
và lim xn yn lim xn lim yn.
n
n
Chứnngminh: Giả sử lim xn a, lim yn b. Theo đ ịnh nghĩa giới hạn, 0,
n
n
N/ : n N/ x a /2,
|
|
n
N// : n N// y b /2.
|
|
n
Đặt N maxN/,N//. Ta có
n N x y a b x a y b /2 /2 .
|
|
|
| |
|
Vậy lim xn yn a b lim xnn lim yn.
n
n
n
Định lý 4. Nếu các dãy xn nvàyn hộnitụ thì dãy xnyn cũng hội tụ
n
và lim xnyn lim xn lim yn.
n
Chứnngminh: Giả sử lim xnn a, lim yn b. Khi đ ó 0,
n
n
N : n N x a ,
|
|
1
1
n
N : n N y b .
|
|
2
2
n
Đặt N maxN1,N2, xn a n, yn b n. Ta có
x y ab a b ab
|
|
|
|
n
n
n
n
b a b a
| || | | n || | | || |
|
|
n
n
n
n
n
n
n
x a b y b a x a y b
|| | | || | | ||
|
|
n
n
n
n
b a M b a M.
| | | | | | | |
Vì yn b 0 nên nó bị chận bởi hằng số dương M Vậy đánh giá trên cho ta
lim xnyn ab lim xn lim yn.
n
n
n
Hệ quả. Nếu dãy xn hội tụ, và k là một số tùy ý, thì dãy kxn cũng hội tụ
9
và lim kxn k lim yn.
n
n
Định lý 5. Nếu các dãy xn và yn hội tụ, và yn 0 n, lim yn 0 thì dãy x cũng
n
yn
n
limxn
xn
n
hội tụ và lim
.
yn
limyn
n
Chứng minh: Giả sửnlim xn a, lim yn b 0. Đ ặt xn a n, yn b n, ta có
n
n
n
bb
b a
b a
| || n | | || |
n
xn
yn
n
a
b
.
b b
| ||
|
n
n
1
Lấy 0 b thì
2 | |
N : n N ,
| |
1
1
n
N : n N .
|
|
2
2
n
Đặt N maxN1,N2. Ta có
1
1
b b b b b b .
|
|
| | |
|
| |
| | 2 | |
2 | |
n
n
Khi đó n N1
2 b a .
| | | |
xn
a
yn
b2
b
limxn
xn
a
n
Vậy lim
.
yn
b
limyn
n
n
§3. Giới hạn của hàm số
3.1. Các định nghĩa giới hạn
Định nghĩa 1. Xét hàm y fx xác đ ịnh ở lân cận giá trị hữu hạn x0, không nhất thiết xác
định tại x0.Trong lân cận đó ta có thể lấy được dãy xn, sao cho xn x0 và lim xn x0.
n
Ta nói rằng số L là giới hạn của hàm số y fx khi x tiến dần về x0, nếu đối với dãy xn bất
kỳ như trên, dãy tương ứng các giá trị của hàm fxn luôn luôn hội tụ và có giới hạn là L.
Khi đ ó ta ký hiệu lim fx L hay fx L khi x x0.
xx0
1
Ví dụ. Xét hàm y xsin trong khoảng 1,1\0. Ta có nếu xn, xn 0 là dãy hội tụ
x
đến 0, thì
1
0 fx x sin
| | ||
x .
| | |
|
n
n
n
xn
1
Vì lim xn 0, nên lim fxn 0. Vậy lim fx lim xsin 0.
x
n
n
x0
x0
1
Ví dụ. Xét hàm y sin trên khoảng 1,1. Hàm đó không có giới hạn khi x tiến dần về 0.
x
1
Thật vậy đặt xn
ta được dãy xn hội tụ đến 0, dãy tương ứng
n
fxn sinn 0 hội tụ đến 0.
Nếu đặt x/n
ta được dãy x/n hội tụ đến 0, dãy tương ứng
2
4n1
fx/n sin 2n 1 hội tụ đến 1.
Vậy hàm y sin2 không có giới hạn khi x dần về 0.
1
x
Định nghĩa 2. Ta gọi số L là giới hạn của hàm số y fx khi x tiến về x0, nếu
0, 0 : 0 x x fx L .
|
|
|
|
0
Nói chung số phụ thuộc vào . Nói một cách khác, xlimx fx L nếu các giá trị của hàm fx
0
10
gần L một cách tùy ý khi các giá trị của biến x đủ gần x0 nhưng khác với x0.
Ta công nhận định lý sau.
Định lý. Hai định nghĩa giới hạn ở trên là tương đương.
Ví dụ. Chứng minh lim 2x 1 5. Thật vậy, ta có với mọi 0,
2x 1 5 2 x x22 khi x 2 /2, nghĩa là nếu lấy /2 thì 2x 1 5
|
|
|
|
|
|
|
|
khi x 2 . Đpcm.
|
|
x24
x2
Ví dụ. Xét giới hạn của hàm
x 2 ta có
khi x 2. Hàm nầy không xác định khi x 2, nhưng khi
x24
x2
x2x2
x2
x 2.
x24
x24
Do đó khi x 2 ta có
4 x 2 4 x 2, nên
4 , khi x 2 và
x2
x2
x24
x 2 .Vậy lim
4.
|
|
x2
xx0
Định nghĩa. Ta gọi số L là giới hạn của hàm số y fx khi x tiến ra vô cực, nếu
0,N 0 : x N fx L .
| |
|
|
Nói chung số N phụ thuộc vào . Ta ký hiệu xlim fx L.
n
Ví dụ. Chứng minh xlimx 1x . Thật vậy,
0
1
1
1
1
0
khi x 1 , nên 0,N
: x N
| |
0 .
|
|
|
| |
|
x
x
x
| |
3.2. Các tính chất của hàm số có giới hạn
Rõ ràng ta có một số tính chất đ ơn giản sau đây:
i) Nếu fx C là hằng số thì xlimx fx C,lim fx C.
0
x
ii) Một hàm fx nếu có giới hạn ( khi x x0 hay x thì chỉ có duy nhất một giới hạn.
iii) Một hàm fx nếu có giới hạn dương (âm) khi x x0 thì luôn luôn dương (âm) tại mọi x
x0, và đủ gần x0.
iv) Nếu hàm fx 0 ở lân cận x0 và có giới hạn khi x x0 thì giới hạn ấy phải 0. Nếu hàm
fx 0 ở lân cận x0 và có giới hạn khi x x0 thì giới hạn ấy vẫn 0.
3.3. Các phép toán giới hạn của hàm số
Dựa vào định nghĩa giới hạn của hàm ta dễ dàng chứng minh được:
Định lý. Giả sử xlimx fx L, lim gx M. Khi đó
xx0
0
i) Tổng fx gx cũng có giới hạn, và xlimx fx gx L M.
0
ii) Tích fxgx cũng có giới hạn, và xlimx fxgx LM.
0
fx
fx
gx
L
iii) Nếu M 0 thì thương
cũng có giới hạn, và xlimx
.
M
gx
Chú thích: Định lý trên cũng đúng với quá trình x 0thay vì quá trình x x0.
Định lý. Xét hàm hợp f u : x fux.
Giả sử xlimx fx L, lim gx M. Nếu
xx0
0
a) lim ux u0,
xx0
11
b) fu xác định trong một khoảng chứa u0 và lim fu fu0.
uu0
Khi đó, ta có lim fux fu0 flim ux.
xx0
xx0
Chứng minh: Theo b)
0, 0 : 0 u u fu fu .
|
|
|
|
0
0
Với ấy, theo a), ta lại có
0 : 0 x x ux u .
|
|
|
|
0
0
Do đó
0, 0 : 0 x x fu fu .
|
|
|
|
0
0
Vậy lim fux fu0.
xx0
Ta công nhận kết quả sau:
Định lý. Nếu hàm sơ cấp fx xác định trong một khoảng chứa x0 thì lim fx fx0.
xx0
3.4. Các giới hạn cơ bản
Ta có các giới hạn cơ bản sau:
sinx
i) lim
1,
1
x
x0
ii) lim 1 n n e,
Vớinelà một số vô tỉ, e 2,71828...Người ta chứng minh được rằng lim 1 x1/x e.
x0
Ký hiệu ln là lôgarit cơ số e, hay lôgarit tự nhiên hay lôgarit Néper.
ex1
iii) lim
1,
x
x0
ln1x
iv) lim
1.
x
x0
§4. Vô cùng bé (VCB) và vô cùng lớn (CVL)
4.1. Vô cùng bé
4.1.1. Định nghĩa. Hàm x được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x x0 nếu lim x 0.
xx0
Chú thích: Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình x thay vì quá trình x x0.
Trở lại định nghĩa về giới hạn của hàm, ta có thể phát biểu đ ịnh nghĩa VCB khi x x0 như
sau
Hàm x được gọi là VCB khi x x0 nếu
0, 0 : 0 x x x .
|
|
|
|
0
Từ định nghĩa giới hạn ta có ngay:
Định lý. lim fx L x fx L là VCB khi x x0
xx0
Chú thích: Định lý nầy vẫn đ úng cho quá trình x thay vì quá trình x x0.
Ta cũng thấy ngay tính chất sau đây của VCB:
Tính chất 1. Nếu x là VCB khi x x0 và C là một hằng số thì cũng là Cx cũng là
VCB khi x x0.
Tính chất 2. Nếu 1x,...,nx là một số hữu hạn các VCB khi x x0 thì tổng
1x ...nx và tích của chúng 1x...nx cũng là các VCB khi x x0.
12
Tính chất 3. Nếu x là một VCB khi x x0 và fx là hàm bị chận trong một lân cận:
0 x x , thì thì tích xfx cũng là các VCB khi x x .
|
|
0
Thậy 0vậy, theo giả thiết
M 0 : 0 x x fx M.
|
|
|
|
0
Mặt khác
M
0, 0 : 0 x x x
.
|
|
|
|
1
0
1
Đặt / min, . Khi đó, nếu 0 x x /, ta có
|
|
1
0
Đpcm.
xfx x fx M .M .
||
|
|
|
|
Chú thích: Các tính chất 1-3 vẫn đ úng cho quá trình x thay vì quá trình x x0.
4.1.2. So sánh các vô cùng bé
Xét hai VCB x, x trong cùng một quá trình x x0 hay x (ta cũng viết chung là
x x0 với x0 . hoặc x0 .
x
i) Nếu xlimx
k ., k 0 : thì ta nói x, x là hai VCB ngang cấp.
x
x
x
x
x
0
ii) Nếu xlimx
1 : thì ta nói x, x là hai VCB tương đương. Ta ký hiệu x~ x.
0 : thì ta nói x là VCB cấp cao hơn x, hay x là VCB cấp thấp
0
iii) Nếu xlimx
0
hơn x. Ta ký hiệu x o x.
x
iv) Nếu không tồn tại xlimx
thì ta nói x, x là hai VCB không so sánh được với nhau.
x
0
v) Nếu x là VCB ngang cấp với kx,k 0 : thì ta nói x là VCB cấp k so với VCB
x.
Ví dụ:
i) 1 cosx và x2 là hai VCB ngang cấp khi x 0, và do đó 1 cosx cũng là VCB cấp hai
x
2sin2
1cosx
2
1
2
so với x2, vì xlimx
xlimx
.
x2
x2
0
0
ii) sinx~x, ln1 x~x, ex 1~x, khi x 0
x
2sin2
1cosx
2
iii) 1 cosx là VCB cấp cao hơn x khi x 0, vì xlimx
xlimx
0.
x
x
0
0
4.1.3. Khử dạng vô định
x
x
x
x
Tính chất 1. Nếu x~x và x~x khi x x0 thì lim
lim
xx0
.
xx0
Thật vậy
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
lim
xlimx
xlimx x . lim
. lim
1.xlimx
.1 lim
.
x
x
xx0
xx0
xx0
xx0
0
0
0
ln12x
e3x1
2x
3x
2
.
Ví dụ: lim
lim
3
x0
Tínhxch0ất 2. Nếu x ox khi x x0 thì x x~x khi x x0.
Thật vậy
13
xx
x
x
x
lim
lim
1 1.
xx0
xx0
Như vậy tổng của hai VCB tương đ ương với VCB có cấp thấp hơn.
Tính chất 3. Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao.
Giả sử x và x là hai VCB khi x x0, trong đó x và x đều là tổng của một số hữu
x
x
hạn các VCB khi x x0. Khi đó, lim
xlimx của tỷ số hai VCB cấp thấp nhất ở tử số và
xx0
0
mẫu số.
xsin2x tg3x
2xx34x5
x
2x
1
2
Ví dụ: lim
lim
.
x0
x0
4.2. Vô cùng lớn
4.2.1. Định nghĩa. Cho hàm fx xác đ ịnh ở lân cận của x0, không nhất thiết xác định tại
x .Ta nói hàm fx là vô cùng lớn (VCL) khi x x nếu lim fx .
|
|
0
0
Tương tự, ta cũng có khái niệm VCL cho các quá trình x xx0,x thay vì quá trình
x x0.
4.2.2. Liên hệ giữa VCB và VCL.
Định lý. Giả sử fx 0 trong một lân cận của x0. Khi đó
1
fx là (VCB)
fx là (VCL)
là (VCL), khi x x0,
là (VCB), khi x x0.
fx
1
fx
1
Ví dụ:
là (VCL), khi x 0,
sinx
1
là (VCB), khi x .
x
4.2.3. So sánh các vô cùng lớn
Giả sử Ax, Bx là hai VCL khi x x0(ta cũng viết chung là x x0 với x0 . hoặc
x0 .
Ax
i) Nếu xlimx
k ., k 0 : thì ta nói Ax, Bx là hai VCL ngang cấp.
Bx
Ax
Bx
Ax
Bx
0
ii) Nếu xlimx
iii) Nếu xlimx
1 : thì ta nói Ax, Bx là hai VCL tương đương. Ta ký hiệu Ax~ Bx.
0 : thì ta nói Ax là VCL cấp thấp hơn Bx, hay Bx là VCL cấp cao
0
0
hơn AxA.x
iv) Nếu
là hai VCL khi x x0 thì ta nói Ax là VCL cấp cao hơn Bx, hay Bx là
VCL cấpBthxấp hơn Ax.
Ax
Bx
Ax
Bx
v) Nếu không tồn tại xlimx
và
cũng không là VCL khi x x0 thì ta nói Ax, Bx
0
là hai VCL không so sánh được với nhau.
Từ ii) ta có các tính chất sau:
j) Giả sử Ax, Ax,Bx và Bx là các VCL khi x x0.Nếu Ax~Ax và Bx~Bx thì
Ax
Bx
Ax
Bx
lim
xlimx
.
xx0
0
jj) Nếu Ax là VCL cấp cao hơn VCL Bx khi x x0, thì Ax Bx~Ax khi x x0.
14
Thật vậy
AxBx
Ax
Bx
Ax
lim
xlimx 1
1.
xx0
0
Ví dụ: Khi x , thì x3 1 là VCL cấp cao hơn VCL x2, vì
x31
1
lim
lim x lim
.
x2
x2
x
x
x
Ví dụ: Khi x , thì 3x4 x~3x4.
4.2.4. Khử dạng vô định , ,0 .
* Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp.
Giả sử Ax và Bx là hai VCL khi x x0, trong đó Ax và Bx đều là tổng của một số hữu
Ax
Bx
hạn các VCL khi x x0. Khi đó, lim
xlimx của tỷ số hai VCL cấp cao nhất ở tử số và
xx0
0
mẫu số.
3x22x2
3x2
3
4
Ví dụ: (Dạng . lim
lim
.
4x24x5
4x2
x
x
Ví dụ: (Dạng .
Xét lim x4 3x2 x4 1 . Khi x , thì x4 3x2 và x4 1 , nên ta
x
gặp dạng vô định . Muốn khử nó ta nhân và chia nó với biểu thức liên hợp
x4 3x2 x4 1 .
x43x2 x41 x43x2 x41
lim x4 3x2 x4 1 lim
x43x2 x41
x
x
3x21
lim
x43x2 x41
x
1
3 x2
lim
( chia tử và mẫu cho x2)
3
1
1 x2 1 x2
x
3
.
2
Ví dụ: (Dạng 0 . Xét lim x x2 1 x.
x
Ta có
x21 x x21 x
x21 x
1
lim x2 1 x lim
lim
0.
x21 x
x
x
x
Vậy giới hạn đã cho có dạng vô định 0. Muốn khử nó, ta biến đổi như trên thì được
x
lim x x2 1 x lim
x21 x
x
x
1
lim
1 ( chia tử và mẫu cho x)
1 x2
1
x
1
.
2
§5. Hàm số liên tục
15
5.1. Các định nghĩa về hàm số liên tục tại một điểm
* Cho D ., điểm x0 D được gọi là điểm tụ của D nếu tồn tại một dãy xn D\x0
sao cho xn x0. Điểm x0 D không phải là điểm tụ của D được gọi là điểm cô lập của D.
* Cho D ., f : D . và x0 D.
Nếu x0 được gọi là điểm cô lập của D. Ta nói f liên tục tại x0.
Nếu x0 được gọi là điểm tụ của D. Ta nói f liên tục tại x0. D nếu lim fx fx0.
xx0
Trong trường hợp, x0 D là điểm tụ của D. Ta cũng có
f liên tục tại x0
0, 0 : x D, x x fx fx .
| | | |
0
0
Vẫn là x0 D là điểm tụ của D. Ta cũng có các định nghĩa khác liên quan đến liên tục một
phía như sau:
*Ta nói f liên tục bên phải tại x0. D nếu lim fx fx0, tức là,
xx0
0, 0 : x D, x x x fx fx .
|
|
0
0
0
*Ta nói f liên tục bên trái tại x0. D nếu lim fx fx0, tức là,
xx0
0, 0 : x D, x x x fx fx .
|
|
0
0
0
Hiển nhiên, điều kiện cần và đ ủ để hàm f liên tục tại x0 là f liên tục bên phải và bên trái tại
x0.
5.2. Định nghĩa trong khoảng, trên đoạn
* Hàm f : a,b . được gọi là liên tục trong khoảng a,b nếu f liên tục tại mọi điểm
x0. a,b.
* Hàm f : a,b . được gọi là liên tục trên đoạn a,b nếu f liên tục trong khoảng a,b
và liên tục bên phải tại a, liên tục bên trái tại b.
5.3. Các phép toán trên các hàm số liên tục tại một điểm
Áp dụng các phép toán đơn giản về các hàm số có giới hạn ta có một số kết quả sau đây:
Định lý. Nếu hàm f là liên tục tại điểm x thì hàm f cũng liên tục tại x .
| |
Định lý. Nếu các hàm f và g liên tục tại 0điểm x thì các hàm f g, fg,0Cf C là hằng số) f
| |
0
cũng liên tục tại x0.
f
Ngoài ra, nếu các hàm gx0 0 thì hàm
liên tục tại x0.
g
Định lý. Giả sử I,J . và f : I J,g : J .. Nếu hàm f liên tục tại điểm x0 và g liên tục
tại điểm y0 fx0 J, thì hàm hợp g f : I . cũng liên tục tại x0.
5.4. Điểm gián đoạn. Phân loại
Định nghĩa. Hàm f được gọi là gián đoạn tại x0 nếu f không liên tục tại điểm x0.Lúc đó x0
điểm gián đoạn của f. Nếu f gián đoạn tại x0 thì đồ thị của hàm y fx không liền tại điểm
M0x0,fx0, mà bị ngắt quảng tại M0.
Căn cứ vào định nghĩa ta thấy rằng hàm f gián đoạn tại x0 nếu gặp một trong các trường hợp
sau:
i) Nếu các giới hạn bên phải fx0 0 lim fx, giới hạn bên trái fx0 0 lim fx tồn tại
xx0
xx0
và ba số thực fx0,fx0 0,fx0 0 không đồng thời bằng nhau, thì ta nói x0 là điểm gián
16
đoạn loại một.
j) Nếu fx0 0 fx0 0 fx0, thì ta nói x0 là điểm gián đoạn bỏ được.
jj) Nếu fx0 0 fx0 0, thì ta nói x0 là điểm nhảy. Hiệu số fx0 0 fx0 0 được
gọi là bước nhảy.
ii) Điểm gián đoạn không thuộc loại một được gọi là điểm gián đoạn loại hai.
Ví dụ: Xét hàm
x 1, nếu x 0,
fx
x 1, nếu x 0.
Ta có: f0 lim fx 1, f0 lim fx 1.
x0
x0
Vậy x 0 là một điểm nhảy, với bước nhảy là f0 f0 2.
Ví dụ: Xét hàm
sinx , nếu x 0,
x
fx
2,
nếu x 0.
Vì lim fx lim fx 1 f0 2, nên gián đoạn loại một tại x 0. Hơn nữa, x 0 là
x0
x0
một điểm gián đoạn bỏ được.
Nếu xét hàm
sinx , nếu x 0,
x
f x
1,
nếu x 0.
thì f sẽ liên tục tại x 0, điều nầy giải thích từ ”bỏ được”.
1
1
1
Ví dụ: Hàm fx
có điểm gián đoạn loại hai tại x 0, vì lim
, lim
.
x
x
x
x0
x0
5.5. Tính liên tục của các hàm sơ cấp
Ta sẽ chỉ ra rằng các hàm sơ cấp đều liên tục trên tập xác đ ịnh của chúng.
1/ Đa thức Pnx a0xn a1xn1 ...an1x an.
Vì hàm số y C hằng và hàm số y x liên tục trên . nên hàm số
x axk axx...x
k thừa số
trong đó a là một số tực không đ ổi và k là một số tự nhiên, liên tục trên .. Do đó hàm Pnx là
tổng hữu hạn các hàm thuộc dạng trên cũng liên tục trên ..
P
Hàm hữu tỉ Q , trong đó P và Q là các đa thức, liên tục tại mọi điểm x . tại đó Qx 0.
2/ Hàm mũ y ax a 0 liên tục trên ..
Giả sử x0 .. Với mọi x ., ta có ax ax0 axx0
.
x
x0
x
Khi x x0 ta có x x0 0 và axx 1. Do đó xlimx a a . Vậy hàm y a liên tục tại
0
0
điểm x0. Ta có:
lim ax và lim ax 0 với a 1,
x
x
lim ax 0 và lim ax với 0 a 1.
x
x
17
Tập các giá trị của hàm số y ax là khoảng 0,.
3/ Hàm số Lôgarit y logax a 0,a 1 liên tục trên 0,.(Xem mục 5.5)
x
Giả sử x0 0. Với mọi x ., ta có logax logax0 loga
.
x0
x
x
Khi x x0 ta có
1 và loga
0. Do đó lim logax logax0. Vậy hàm y logax liên
xx0
x0
x0
tục tại điểm x0. Ta có:
lim logax và lim logax nếu a 1,
x
x0
lim logax và lim logax nếu 0 a 1.
x
x0
lnx
4/ Hàm số lũy thừa y x . liên tục trên 0,. Vì x e
tính liên tục của hàm số hợp, hàm số lũy thừa liên tục trên 0,.
5/ Các hàm số lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
Thật vậy, Giả sử x0 .. Với mọi x ., ta có
nên theo định lý về
xx0
xx0
xx0
sinx sinx 2 cos
Từ đó suy ra lim sinx sinx00.
sin
2 sin
x x .
| |
|
|
0
2
2
2
xx0
Vậy hàm số y sinx liên tục tại điểm x0, tức là liên tục trên ..
Vì cosx sin x với mọi x ., nên theo định lý về tính liên tục của hàm số hợp, suy
2
ra hàm số y cosx liên tục trên ..
sinx
Cũng theo tính chất hàm liên tục ta có hàm số y tgx
liên tục tại mọi điểm x . mà
cosx
cosx 0, tức là x
Hàm số y cotgx
k,k tập các số nguyên.
2
cosx
liên tục tại mọi điểm x . mà sinx 0, tức là x k,k .
sinx
6/ Người ta chứng minh được rằng các hàm lượng giác ngược liên tục trên tập xác định của
chúng. (xem mục 5.5). Cụ thể là
Hàm số y arcsinx liên tục và tăng trên từ 1,1 lên 2 , .
Hàm số y arccosx liên tục và giảm trên từ 1,1 lên 0,2.
Hàm số y arctgx liên tục và tăng trên từ . lên 2 , .
2
Hàm số y arccotgx liên tục và giảm trên từ . lên 0,.
5.6. Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn
Ý nghĩa hình học của khái niệm liên tục
Hình 15
Hình 16
Giả sử hàm y fx liên tục tại x0. Xét điểm P0x0,y0, y0 fx0 trên đồ thị. Khi
18
x x x0 0 thì f fx fx0 0, nên khi x x0, thì trên đồ thị, điểm Px,y chạy
đến điểm P0 không bị ngắt quãng.
Từ đó suy ra rằng nếu hàm y fx liên tục trên đoạn a,b thì đồ thị của nó là một đường
liền nối điểm Aa,fa với điểm Bb,fb.
Dựa vào ý nghĩa hình học của hàm y fx liên tục trên đoạn a,b ta rút ra một số tính chất
của nó mà không chứng minh:
Đường cong liền đi từ điểm A đến điểm B không thể chạy ra vô tận, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a,b thì nó bị chận trên đoạn đó, tức là
M 0 : fx M x a,b.
|
|
Đường cong liền đi từ điểm A đến điểm B bao giờ cũng có ít nhất một điểm cao nhất và một
điểm thấp nhất, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a,b thì ít nhất một lần nó đạt giá trị lớn nhất và một
lần nó đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn a,b, tức là
(xem hình 17)
c1,c2 a,b : fc1 fx fc2 x a,b.
Hình 17
Hình 18
Hình 19
Nếu hai điểm A và B ở hai phía của trục ox thì đường cong liền đi từ điểm A đến điểm B
phải cắt trục ox ít nhất một lần, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a,b và nếu các giá trị fa và fb trái dấu nhau thì
fx triệt tiêu tại ít nhất một lần trong khoảng a,b, tức là, tồn tại ít nhất một giá trị c a,b
sao cho fc 0.(xem hình 19)
Nếu vẽ một đường thẳng song song với trục Ox trong khoảng giữa điểm thấp nhất và điểm
cao nhất của đường cong nối liền A đến B bao giờ đường thẳng ấy cũng cắt đường cong ấy ít
nhất một lần, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a,b và là một giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của f thì là giá trị của f tại ít nhất một điểm trên đoạn a,b, tức là,
nếu max fx min fx thì tồn tại ít nhất một giá trị c a,b sao cho fc.(xem
axb
hìnha1x8)b
Cuối cùng ta có:
Định lý. Giả sử f : a,b . là một hàm số liên tục và tăng(giảm) trên đoạn a,b. Khi đó f
là một song ánh từ a,b lên fa,fb ( fb,fa ) và hàm số ngược
f1 : fa,fb a,b f1 : fb,fa a,b của hàm f là liên tục và tăng(giảm).
Tải về để xem bản đầy đủ
148 trang
24761
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp C1", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_toan_cao_cap_c1.pdf
