Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng

Toán kỹ thuật

I. Giải tích Fourier

II. Phép biến đổi Laplace

III.Hàm phức và ứng dụng

Hàm phức và ứng dụng

1. Hàm giải tích

2. Tích phân phức

3. Chuỗi hàm phức

4. Lý thuyết thặng dư

5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

6. Phép biến đổi bảo giác

3. Chuỗi hàm phức

 a. Chuỗi hàm phức

 b. Chuỗi hàm phức hội tụ đều

 c. Chuỗi lũy thừa

 d. Chuỗi Taylor

 e. Chuỗi Laurent

3. Chuỗi hàm phức

a. Chuỗi hàm phức

Định nghĩa:



f (z)  f (z)  f (z) ... f (z) ...



n

1

2

n

n1

Tổng riêng:

n

S (z)  f (z)



n

k

k1

Hội tụ về S(z)

   0,N(, z): S(z)  S_n(z)  ,n  N

Miền hội tụ: tập hợp cái điểm z tại đó chuỗi hội tụ.

3. Chuỗi hàm phức

a. Chuỗi hàm phức

- Chuỗi S(z) gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi:



f (z)  f (z)  f (z) ... f (z) ...



n

1

2

n

n1

hội tụ.

- Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ là các chuỗi phần thực

và phần ảo:



Re f (z) ; Im f (z)











n

n1

hội tụ.

3. Chuỗi hàm phức

a. Chuỗi hàm phức

Tiêu chuẩn d’Alembert: Xét giới hạn:

f_n1(z)

lim

 r(z)

n

f_n(z)

0 ≤ |r(z)| < 1: chuỗi hội tụ tuyệt đối

|r(z)| > 1: chuỗi phân kỳ

|r(z)| = 1: không có kết luận

Ví dụ: Tìm miền hội tụ của chuỗi:

1

1 z  z²... zⁿ...

1 z

3. Chuỗi hàm phức

a. Chuỗi hàm phức

Chuỗi hội tụ đều: Chuỗi hàm phức được gọi là hội tụ đều về

hàm f(z) trong miền D nếu:

  0;N(): f (z)  S_n(z)  ;n  N,z  D

Phép thử M-Weierstrass: Nếu có một dãy hằng số dương

{M_n} sao cho |f_n(z)| ≤ M_n(∀n và ∀z ∈ D) và chuỗi 푀_푛hội

tụ thì chuỗi 푓 hội tụ đều trong D.

푛

Tính chất của chuỗi hội tụ đều: Tham khảo tài liệu.

3. Chuỗi hàm phức

b. Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa có dạng:



a (z  a)ⁿ



n

n1

Miền hội tụ: |z – a| < R = 1/L

a_n1

Với

L  lim

n

a_n

Ví dụ: tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:



1

z²ⁿ

n

a.

z  2 j

b.







_n1n!

_n1(n 1)2ⁿ



1

c. e^nz

d.



_{(n  j)z}_n

n1

3. Chuỗi hàm phức

b. Chuỗi lũy thừa

Giải:

a. Hội tụ với mọi z

b. Đặt w = z², hội tụ với |w| < 2 => |z| < 2

c. Đặt w = e^-z, hội tụ với |w| < 1 => x > 0.

d. Đặt w = z^-1, hội tụ với |w| < 1 => |z| > 1.

3. Chuỗi hàm phức

b. Chuỗi lũy thừa

Ví dụ: Cho chuỗi sau:

1

1 z  z²... zⁿ...

1 z

Chuỗi trên có bán kính hội tụ R = 1

Sử dụng chuỗi trên để biểu diễn hàm

thành tổng lũy thừa trong 3 miền sau:

i. |z| < 3

1

z 3

ii. |z| > 3

iii. |z – 2| < 1

3. Chuỗi hàm phức

b. Chuỗi lũy thừa

Giải:

1

1 1

 

i.

|z| < 3  |w| < 1

z

z 3 3

3 1 w

1

3

2









1

1 z z

zⁿ

3ⁿ



  1 w w²... wⁿ...   1  ... ...







z 3 3

3 3 9



1 1 1

1 1



 

ii.

|z| > 3  |w| < 1

3

z 3 z

1

z 1 w

z

3ⁿ

zⁿ









1 1

1 3 9



 1 w w²... wⁿ...  1  ... ...







z 3 z

z z z²



3. Chuỗi hàm phức

b. Chuỗi lũy thừa

Giải:

1

iii.

|z - 2| < 1  |w| < 1

 

z 3 1 (z  2) 1 w

1



  1 w w²... wⁿ... 





z 3

  1 (z  2)  (z  2)²... (z  2)ⁿ...





Kết luận: Tại mỗi miền khác nhau

trên mặt phẳng phức, tương ứng ta

có các chuỗi khác nhau cùng hội

tụ về hàm

1

z 3

3. Chuỗi hàm phức

b. Chuỗi Taylor

Định lý Taylor: Nếu f(z) giải tích trong miền D giới hạn bởi

đường cong kín C, a ∈ D, thì:

f '(a)

f ''(a)

f ^(n1)(a)

(n 1)!

f (z)  f (a) 

(z  a) 

(z  a)²...

(z  a)^n1

1!

2!

(z  a)ⁿ

f (t)dt



n



2 j (t  a) (t  z)

C

R_n(z)

Nếu C là đường tròn tâm z = a, ta có chuỗi Taylor

f ⁽ⁿ⁾(a)



f (z) 

(z  a)ⁿ



n!

n0

3. Chuỗi hàm phức

b. Chuỗi Taylor

 Khi a = 0 ta có chuỗi Mac Laurin

 Bán kính hội tụ R, với R có thể tính như ở chuỗi lũy thừa

hoặc:

R = Min{|z – z_i|}, với z_ilà các điểm bất thường của f(z).

Ví dụ: Khai triển chuỗi Taylor đến số hạng n = 4 của hàm:

1

f (z) 

z(z  2 j)

quanh điểm z = j.

3. Chuỗi hàm phức

b. Chuỗi Taylor





1 1 1

f (z) 



 f ( j) 1







2 j z  2 j z









1

f ⁽¹⁾(z) 

f ⁽²⁾(z) 

f ⁽³⁾(z) 

f ⁽⁴⁾(z) 





 f ⁽¹⁾( j)  0

 f ⁽²⁾( j)  2

 f ⁽³⁾( j)  0

 f ⁽⁴⁾( j)  24





2 j (z  2 j)²z²









1

2







2 j (z  2 j)³z³









1

6









2 j (z  2 j)⁴z⁴









1

24







2 j (z  2 j)⁵z⁵



3. Chuỗi hàm phức

b. Chuỗi Taylor

1

2

24

1 (z  j)² (z  j)⁴...

2! 4!



z(z  2 j)

1 (z  j)² (z  j)⁴...

Bán kính hội tụ R = 1, miền hội tụ |z – j| < 1.

3. Chuỗi hàm phức

b. Chuỗi Taylor

zⁿ



Chuỗi Mac Laurin

của một số hàm:

i. e^z

 _n!

n0

3ⁿ

 _n!

n0



ii. z²e^z

z^n2

z^2n1



iii.sin z  (1)ⁿ



(2n 1)!

n0

z²ⁿ



iv.cos z  (1)ⁿ



(2n)!

n0



1

v.

 zⁿ; R 1



1 z

1

n0



vi.

 (1)ⁿzⁿ; R 1



1 z

n0

3. Chuỗi hàm phức

b. Chuỗi Taylor

Ví dụ: 1. Tìm chuỗi Mac Laurin của các hàm sau:

1

z

i. f₁(z) 

iii. f₃(z) 

ii. f₂(z) 

iv. f₄(z) 

z  3

z 1

z 1

z² 4

1

z² 3z  2

2. Tìm chuỗi Taylor của

i. Hàm f₃(z) ở ví dụ trên quanh điểm a = 1

ii. Hàm f₄(z) ở ví dụ trên quanh điểm a = 2

1

iii.

quanh điểm a = j

f (z) 

z(z  2 j)

3. Chuỗi hàm phức

b. Chuỗi Taylor

Giải: 1. Chuỗi Mac Laurin

2

1 z z²





1 1 1 1 z z

i. f₁(z) 

ii. f₂(z) 

iii. f₃(z) 



 1  ..    ...







z

z  3 3

3 3 9

3 9 27



1

3

2

4

z

z 1 z z z

z z³z⁵







 1  ...    ...









z²

4

z² 4 4

4

4 16

4 16 64

1

z 1

z 1

1







1 2

1 2 1 z  z²...











1 z

 1 2z  2z²...

3. Chuỗi hàm phức

b. Chuỗi Taylor

Giải: 1. Chuỗi Mac Laurin

1

iv. f₄(z) 





z² 3z  2 z 1 z  2

1

1 z  z² z³...

z 1

2

3









1 1 1 1 z z z



 1   ...



z

z  2 2

2 2 4 8



1

2

1 3 7 15

 f₄(z)   z  z² z³...

2 4 8 16

Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng - Chuỗi hàm phức