Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 5: Các phương pháp số của đại số tuyến tính
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Chương 5
CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ
CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Các phương pháp số gắn liền với việc ứng dụng trên máy tính số. Ma trận được
ứng dụng rất thích hợp ở đây, như giải hệ phương trình vi phân, biểu diễn các vectơ ở
dạng ma trận.
Khi giải hệ đại tuyến A.X = B, ma trận A có thể là ma trận đầy hoặc thưa; khi
A là ma trận thưa, trong nhiều trường hợp đã có thuật toán để lưu trử tiết kiệm bộ nhớ
và thời gian tính như lưu trử dạng BAND bình thường hoặc dạng BAND ép lại, hay kỷ
thuật lưu trử Skyline (frontal method), với nhiều thuật giải rất hiệu quả.
5.1 Ma trận
5.1.1 Các định nghĩa
Ma trận là tập hợp gồm m×n phần tử, chia thành m hàng và n cột.
a a ......a
a21 a22 ....a
...............
1n
11 12
2n
Kí hiệu:
Am,n
=
[
ai, j
]
=
m,n
am1 am2 ....amn
Có thể coi ma trận hàng(cột) là biểu diễn đại số của một vectơ (hình học).
Vết (trace) của ma trận A được tính: Tr(A) = a11 + a22 +.....+ ann
Mỗi một ma trận vuông A đều được gắn với một số, kí hiệu det(A) hoặc A ,
được gọi là định thức. Ma trận A được gọi là suy biến nếu det(A) = 0 và ngược lại là
không suy biến.
5.1.2 Phép biến đổi tuyến tính trong không gian n chiều
Giữa ma trận và các phép biến đổi tuyến tính trong không gian (đại số) có một
mối liên hệ mật thiết. Một phần tử của không gian n chiều có thế được mô tả bằng một
vectơ, hay viết dưới dạng ma trận cột.
T
T
x1, x2 , x3 ,..., xn
Với phép biến đổi: A.X=Y
y1, y2 , y3 ,..., ym
]
Xét hai vectơ: Xn1=
, Yn1=
Với A là ma trận cỡ m×n được gọi là phép biến đổi tuyến tính từ vectơ n chiều
sang vectơ m chiều. Khi m=n đơn giản là ta có một phép chuyển tọa độ. Nếu trong
không gian 2 hoặc 3 chiều với các tọa độ Descartes thì A chính là các ma trận chuyển
đổi.
Ơ trường hợp đơn giản, A có thể là ma trận cosine chỉ phương khi thực hiện
phép quay giữa hai hệ tọa độ, có thể là ma trận cosine chỉ phương khi thực hiện phép
quay giữa hai hệ tọa độ, có thể là ma trận với một phần tử duy nhất khác không (các
ma trận cơ bản) khi thực hiện các phép tịnh tiến các hệ tọa độ theo các trục.
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 25
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Một hệ cơ sở của không gian n chiều là một tập hợp đúng n vectơ độc lập tuyến
tính.
Ví dụ: Ta có thể chọn các vectơ đơn vị ei làm hệ cơ sở với vectơ X bất kỳ:
X=c1e1 + c2e2+....+ cnen
T
e1 =
[
[
1,0,0,.........0
]
T
e =
0,1,0,.........0
]
2
............................
e1 =
[
0,0,0,.........1 T
]
T
x1,x2 ,..., xn
]
Tích vô hướng của hai vectơ: X=
T
y1 , y2 ,..., yn
]
Y=
n
Được định nghĩa: XT.Y = YT.X =
(trong không gian Euclide)
x y
∑
i
i
1
Độ dài hay Module của vectơ X ký hiệu X được tính:
xT .x
X =
Khoảng cách d và góc ϕ giữa hai vectơ:
x − y = (x − y)T .(x − y)
d =
xT.y =
x. y. cosϕ
Hai vectơ x, y được gọi là trực giao với nhau nếu: xT.y = 0
Một tập hợp các vectơ trực giao với nhau từng đôi một được gọi là một Hệ trực
giao. Một ma trận trực giao sẽ có các hàng và các cột là các vectơ trực giao.
Định lý: Các vectơ của một hệ trực giao là độc lập tuyến tính.
Chuẩn của vectơ, ký hiệu là X , được định nghĩa là một số không âm, thõa mãn
các tính chất sau:
1. X ≥ 0 và X khi và chỉ khi X=0
2. αX = α . x với mọi α thực
3. X + Y ≤ X + Y bất đẳng thức tam giác
Có 3 chuẩn sau đây hay sử dụng trong các bài tóan ứng dụng:
T
[
x1, x2 ,..., xn
]
Với vectơ X =
n
X = x + x +....+ x
=
x
thường gọi chuẩn tuyệt đối
1
∑
1
2
n
i
1
n
X = x2 + x2 + ... + x2
=
x2 gọi là chuẩn Euclide
1
2
n
i
2
∑
i=1
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 26
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
X = maxi x gọi là chuẩn cực đại.
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
∞
i
Mở rộng khái niệm cho chuẩn các ma trận. Chuẩn của các ma trận A và B ký
hiệu là và B ; được định nghĩa là các số không âm thõa mãn các điều kiện sau:
A
1. A ≥ 0 và A = 0 khi và chỉ khi A = 0
2. αA = α . A với mọi α thực
3. A + B ≤ A + B
4. A.• B ≤ A • B
Ở đây, nêu 3 định nghĩa chuẩn hay dùng:
A
= maxj ( a ) gọi là chuẩn cột.
1
∑
i j
i
A
=
a2 gọi là chuẩn Euclide.
i j
2
∑
i, j
A = maxi( a ) gọi là chuẩn hàng.
∞
∑
i j
j
Chuẩn của ma trận là khái niệm hết sức quan trọng đối với các phương pháp số.
Chúng hay sử dụng khi xét tính hội tụ của các phương pháp lặp hoặc khi xét sự ổn định
của các hệ phương trình vi phân.
Liên hệ chuẩn của ma trận và vectơ:
Trong không gian n chiều Vn chuẩn của ma trận tương ứng với chuẩn của vectơ
nếu:
A.X ≤ A . X với mọi A và X thuộc Vn.
5.1.3 Các phép tính ma trận
Với ma trận và cách đại số hóa các vectơ ta có thể định nghĩa các phép tính một
cách hòan chỉnh và đầy đủ hơn.
Ta nhắc lại một số phép tính cơ bản:
Ma trận B gọi là ma trận chuyển vị của A (AT=B), nếu hàng của ma trận A là cột
của ma trận B.
[aji]= [bij ]=> bij = aji
m×n n×m
Ma trận nghịch đảo: A-1
A.B = E => B = A-1 => A.A-1 = A-1.A = E (với E là ma trận đơn vị)
Chú ý một số tính chất: A.B ≠ B.A
(AT)T = A
, (k.A)T = k.AT
(A+B)T =AT+BT , (A.B)T = BT.AT
(A-1)-1
= A , (A.B)-1 =B-1.A-1
(AT)-1 = (A-1)T
det(A) = det(AT)
, det(A.B) = det(A).det(B)
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 27
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
−1
1/ a
0
1/ a22
0
0
0
1/ a
a
0
0
0
a22
0
0
0
11
11
0
0
=
,
33
33
a
• Ma trận A là suy biến, det (A)=0 thì các hàng hoặc các cột của nó là các vectơ phụ
thuộc tuyến tính.
• Hạng của ma trận vuông A là số lớn nhất các hàng (hoặc các cột) độc lập tuyến tính
với nhau.
• Ma trận B có được từ ma trận A bằng cách đổi chỗ hai hàng cho nhau thì:
det(B) = - det(A).
• Nếu A, B là các ma trận vuông trực giao thì AT, A-1, A.B cũng là các ma trận trực
giao.
• Nếu A, B là các ma trận vuông đối xứng thì α A, A+B cũng là những ma trận vuông
đối xứng. Nếu A không suy biến thì A-1 cũng đối xứng.
Cần chú ý rằng: Tích của hai ma trận đối xứng nói chung không phải là ma trận
đối xứng.
n
a >
a
, với s ≠ k, k=1...n ,
Nếu A = [aij] là ma trận vuông cấp n thoả
∑
kk
ks
s=1
thì det(A) ≠ 0. Ma trận A được gọi là có phần tử trên đường chéo chính aii trội. Hơn
nữa nếu akk > 0, k=1,2,..,n thì det(A)>0 định thức xác định dương.
5.1.4 Vectơ riêng, trị riêng và các dạng toàn phương của ma trận
Cho A là ma trận vuông cấp n; số λ được gọi là trị riêng và vectơ khác không X
là vectơ riêng của A nếu chúng thõa mãn điều kiện:
A.X = λ .X hay (A-λ E).X = 0 => A − λ.E =0,
Ta tìm được phương trình bậc n cho λ , sao cho: f(λ ) = 0.
f(λ ) được gọi là đa thức đặc trưng của A có n trị riêng λ 1, λ 2,.., λ n . Tập hợp λ 1, λ 2,..,
λ n được gọi là phổ và maxi ( λi ) là bán kính phổ của ma trận A.
Với mỗi λ i có vô số Xi. Các vectơ riêng cùng tương ứng với một λ i rõ ràng là
phụ thuộc tuyến tính và chỉ khác nhau một hằng số α . Do đó ta có thể chọn một vectơ
duy nhất làm cơ sở. Tập hợp n vectơ riêng, ứng với n trị riêng khác nhau tạo thành một
hệ vectơ độc lập tuyến tính. Ma trận gồm các cột là các vectơ riêng của ma trận A, gọi
là ma trận dạng riêng của A.
Định lý:
• Nếu A là ma trận thực, đối xứng thì các trị riêng là thực. Các vectơ riêng ứng với
các trị riêng khác nhau là các vectơ thực trực giao và độc lập tuýên tính.
• Nếu A là ma trận xác định dương thì các giá trị riêng là những số dương.
Định lý Sylvester:
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 28
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Nếu định thức A và tất cả các tử thức nằm trên đường chéo chính đều là dương thì A
là xác định dương.
Tổng quát hơn, khái nịêm xác định dương của ma trận A được định nghĩa nhờ
dạng toàn phương là đa thức: Q(X) = XT.A.X
Nếu Q xác định dương, tức Q(X) > 0 với mọi số thực X và Q(X) = 0 khi và chỉ
khi X=0, thì A được gọi là xác định dương.
5.2 GIẢI HỆ ĐẠI TUYẾN
Bài toán cơ bản:
Cho hệ gồm n phương trình đại số tuyến tính với n ẩn:
a11x1+ a12x2+...+ a1nxn = b1
a21x1+ a22x2+...+ a2nxn = b2
...
...
...
an1x1+ an2x2+...+ annxn = bn
Viết dưới dạng matrix:
A.X = B
Gỉa thiết det(A) ≠ 0: Hệ này có nghiệm duy nhất.
Ta có thể tìm nghiệm theo quy tắc CRAMER hoặc sử dụng ma trận nghịch đảo
nhưng cách nầy đòi hỏi phép tính khá lớn và không thuận lợi khi ma trận A xấu.
Chúng ta chỉ nghiên cứu các phương pháp triển khai hữu hiệu trên máy tính. Có
thể phân loại chúng thành hai nhóm chính:
+ Các phương pháp trực tiếp: Gauss, Gauss Jordan, phân tích LU,...
+ Các phương pháp lặp: Lặp đơn, Jacobi, Gauss - Seidel, lặp Gradient liên hợp…
5.2.1 PHÂN TÍCH LU VÀ PHÂN TÍCH CHOLESKY
Trong phép phân tích LU, ma trận A có thể phân tích:
A = L.U
Với L là ma trận tam giác dưới, với các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng
1, U là ma trận tam giác trên. Phép phân tích LU này bao giờ cũng thực hiện được
nếu các trụ (các phần tử chính a11, a22, a33, ...) khác không.
Nó sẽ duy nhất nếu các phần tử trên đường chéo chính của ma trận L bằng 1.
Với phân tích LU việc giải hệ phương trình:
A.X = b
Trở thành giải lần lượt hai hệ phương trình:
Ly = b
Và
UX = Y
Thuật giải của phép phân tích LU thường dùng là của Crout. Trong trường hợp
ma trận A là đối xứng, khi đó phép phân tích trở nên đơn giản hơn rất nhiều, không đòi
hỏi các phần tử trên đường chéo chính của ma trận L bằng 1 nữa.
Thay vào đó ta sử dụng điều kiện:
U = LT
A = L.LT
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 29
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Lúc đó L và U có các phần tử trên đường chéo chính giống nhau, các phần tử nầy có
thể là thực hay phức: và gọi phép này là phân tích Cholesky.
(chúng ta không đi sâu vào thuật toán, vì nó phức tạp và đã có các source code
listing đã công bố trong nhiều ấn phẩm khoa học phương pháp số).
5.2.2 PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Mô tả phương pháp:
Phương pháp Gauss thuộc loại phương pháp đúng hay còn gọi là phương pháp
trực tiếp. Ngoài ra còn có 1 loại phương pháp khác là phương pháp lặp, ở đây ta xét
phương pháp lặp đơn, hệ cho ở dạng vector:
Ax = f
Ta chuyển hệ này về dạng tương đương: x = Bx + g
b11 b12 K b1n
b21 b22 K b2n
K K K K
Giả sử: B =
bn1 bn2 K bnn
Sau đó ta xây dựng công thức tính lặp:
(m)
x
x
= Bx(m−1) + g
(5.2.1)
(0)
n
, x(0) cho trước.
b x
∑
ij
j
Trong đó: (Bx)i =
j=1
Phương pháp tính theo (5.2.1) gọi là phương pháp lặp đơn.
Sự hội tụ:
Giả sử α = (α1 , α2 , . . . . ., αn)T là nghiệm của hệ x = Bx + g , nếu xi(m) → αi
khi m → ∞ , với i = 1, 2, 3 , . . . , n thì ta nói phương pháp lặp (5.2.1) hội tụ.
Ta đưa vào các ký hiệu: z = ( z1 , z2 , . . . , zn )T thì mỗi đại lượng sau:
z
=
max
z1 + z2
{ }
zi
z 10
=
+K+ z
n
z
= z12 + z22 +K+ z2n
2
Gọi là độ dài mở rộng của vector z, người ta còn gọi nó là chuẩn của z.
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 30
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Đối với ma trận B = ( bi j), ta đặt:
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
n
r = max
b
b
∑
0
ij
i
j=1
n
r = max
1
∑
ij
j
i=1
n
n
r = . b
2
∑ ∑
ij
i=1 j=1
Người ta chứng minh được định lý sau đây về điều kiện hội tụ:
+ Nếu r0 < 1 hoặc r1 < 1 hoặc r2 < 1 thì phương pháp lặp (5.2.1) hội tụ với bất
kỳ xấp xỉ ban đầu x(0) nào, đồng thời ta có sai số đánh giá:
rPm
1− rP
rPm
x(m) − α ≤
x(1) − x(0)
P
P
x(m) − α ≤
x(m) − x(m−1)
P
P
1− rP
Trong đó: p = 0 nếu r0 < 1, p = 1 nếu r1 < 1, p = 2 nếu r2 < 1.
5.2.3 PHƯƠNG PHÁP LẶP SEIDEN (hay còn gọi là GAUSS-SEIDEN)
Là phương pháp cải tiến phương pháp lặp đơn một chút: khi tính xấp xỉ thứ
(k+1) của ẩn xi ta sử dụng các xấp xỉ thứ (k + 1) đã tính của ẩn x1 , . . . , xi -1 .
n
α x
Ax = b
∑
ij
j
Giả sử cho hệ:
⇔ xi = βi +
với i = 1, 2,. . . , n
j=1
(0)
Lấy xấp xỉ ban đầu là x1(0) , x2(0) , . . . , xn
Tiếp theo, giả sử ta đã biết xấp xỉ thứ k là xi(k) theo Seiden, ta sẽ tìm xấp xỉ thứ
( k+1) của nghiệm theo công thức:
n
x1(k+1) = β + α x(k )
∑
1
1j
j
j=1
n
x(2k+1) = β2 + α21x1(k+1) + α x(k )
∑
2 j
j
j=2
KKKK
i−1
n
(k+1)
xi
= β + α x(k+1)
+
α x(k )
∑
∑
i
ij
j
ij
j
j=1
j=i
KKKK
n−1
x(k+1) = β + α x(k+1) + αnn x(nk )
∑
n
n
ij
j
j=1
(Thông thường lặp Seiden hội tụ nhanh hơn lặp đơn)
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 31
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
5.2.4 PHƯƠNG PHÁP GRADIENT LIÊN HỢP
Phương pháp này rất thích hợp với bài toán phụ thuộc thời gian.
Để giải hệ phương trình:
Gía trị ban đầu ước lượng là: F0(J) gây ra phần dư U(I), ta biểu diễn:
P(I, J) × F(J) = G(I)
{ }
∑
U(I) = G(I) -
V(I) = U(I)
P(I,J)× F (J) .
{ }
∑
O
Đặt:
Bước lặp tiếp theo:
UU = {U(I).U(I)}
∑
W(I) = {P(I, J).V(J)}
∑
VW = {V(I).W(I)}
∑
AA = UU/VW
F(I) = F(I) + AA.V(I)
U(I) = U(I) - AA.W(I)
WW =
{U(I).U(I)}
∑
BB = WW/UU
V(I) = U(I) + BB.V(I)
Qúa trình này được lặp lại mãi đến khi UU < ε (sai số cho phép của bài toán).
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 32
8 trang
22560
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 5: Các phương pháp số của đại số tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_chuyen_de_phuong_phap_tinh_chuong_5_cac_phuong_pha.pdf
