Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 1.1: Giải tích Fourier - Chuỗi Fourier - Nguyễn Phước Bảo Duy
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
Phần 1:
Giải tích Fourier
►I. Chuỗi Fourier
II. Biến đổi Fourier
s
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
Chuỗi Fourier:
1. Khai triển chuỗi Fourier
Khái niệm hàm tuần hoàn
Dạng lượng giác của chuỗi Fourier
Hàm chẵn và hàm lẽ
Công thức lặp để tính các hệ số
Hàm xác định trong một thời gian giới hạn
2. Dạng phức của chuỗi Fourier
3. Phổ tần số rời rạc
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
a. Hàm tuần hoàn:
Hàm f(t) gọi là hàm tuần hoàn nếu giá trị của nó
được lặp lại sau một khoảng thời gian xác định:
f(t) = f(t + T)
2
T
0
T: chu kỳ,
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
b. Dạng lượng giác của chuỗi Fourier:
Nếu f(t) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ T, khi đó:
a0
2
f(t) a cosn t b sinn t
n
0
n
0
n1
2
T
0
an
bn
dT
2 d
f(t)cosn0tdt
f(t)sinn0tdt
T
Euler fomulas
dT
2 d
T
d: một hằng số bất kỳ, thông thường chọn d = 0 hoặc –T/2.
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
Ví dụ 1.01:
k if t 0
f(t)
k if 0 t
Dùng công thức Euler để tính an, bn:
an 0
n
2k
n
2k
n
b 1 cosn 1 1
n
4k
1
3
1
5
f(t) sint sin3t sin5t ...
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
Ví dụ 1.01 (tt):
Xét các tổng riêng:
4k
4k
1
3
S sint; S sint sin3t ;...
1
2
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
Ví dụ 1.02:
f(t) t if 0 t 2
2
f(t) sinnt
n
f(t 2 ) f(t)
n1
Ví dụ 1.03:
9
a0
2
3t (0 t 1)
f(t)
3
a
cosn 1
3 (1 t 2)
2
n
n
f(t 2) f(t)
3
n
bn
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
Ví dụ 1.04:
2
4
a0 sint.dt
0
2
4 1
f(t) sint a sintcos2nt.dt
n
0
4n2 1
2
bn sintsin2nt.dt 0
0
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
c. Hàm chẵn và hàm lẽ:
Nếu f(t) là một hàm chẵn tuần hoàn với chu kỳ T:
a0
2
f(t) a cosn t
n
0
n1
T/2
4 0
an
f(t)cosn0tdt; bn 0
T
2
3
a0
2
f(t) t (1 t 1)
f(t 2) f(t)
Ví dụ 1.05:
n
4
a
1
2
n
n
n
1
1 4
f(t)
cosnt
2
n2
3
n1
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
c. Hàm chẵn và hàm lẽ:
Nếu f(t) là một hàm lẽ tuần hoàn với chu kỳ T:
f(t) b sinn t
n
0
n1
T/2
4 0
an 0; bn
f(t)sinn0tdt
T
f(t) t (1 t 1)
2
n
Ví dụ 1.06:
bn cosn
f(t 2) f(t)
n1
1
2
f(t)
sinnt
n
n1
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
d. Công thức lặp để tính các hệ số khai triển chuỗi Fourier:
m
1
1
an b'n
n0 n
J sinn t
k
0 k
k1
m
1
1
bn a'n
n0 n
J cosn t
k
0 k
k1
Trong đó:
tk: điểm gián đoạn của f(t) trong một chu kỳ [d; d + T)
Jk = f(tk+) – f(tk-): bước nhảy tại tk.
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
d. Công thức lặp để tính các hệ số khai triển chuỗi Fourier:
f(t)
f(t2-)
f(a+)
f(b-)
b
0
t2
a
t1
t
f(t1-)
f(t2+)
f(t1+)
a, t1, t2: các điểm gián đoạn của f(t) trong đoạn [a; b)
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
1; 2 t 1
Ví dụ 1.07:
0; 1 t 0
1; 0 t 1
0; 1 t 2
f(t)
f(t 4) f(t)
Các điểm gián đoạn của f(t) trong khoảng [-2; 2):
k
tk
1
2
-1
1
3
0
1
4
1
-2
-1
-1
Jk
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
Ví dụ 1.07(tt):
Bởi vì f’(t) ≡ 0 a’n = b’n = 0
1
1
1
1
2
a0 (1)dt 1dt 0
2 2 0
2 n
an sin
n 2
1 cosn
bn
n
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
Ví dụ 1.08:
f(t) t if 0 t 2
f(t 2 ) f(t)
Trong trường hợp này, f’(t) ≡ 1 a’n = b’n = 0.
2
Ví dụ 1.09:
f(t) t (1 t 1)
f(t 2) f(t)
Trong ví dụ này, f(t) không có điểm gián đoạn nào,
nhưng f’(t) lại có.
a’n 0; b’n 0
f’’(t) ≡ 2 a’’n = b’’n = 0.
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
e. Hàm xác định trong một khoảng giới hạn
Nếu f(t) chỉ tồn tại (khác 0) trong khoảng 0 ≤ t < , thì
rõ ràng nó không phải là hàm tuần hoàn, nên không tồn
tại chuỗi Fourier
Trong trường hợp này, chúng ta lập hàm tuần hoàn
mở rộng của f(t) để từ đó tìm chuỗi Fourier của f(t)
nhưng chỉ trong khoảng [0, ).
i. Chuỗi toàn kỳ (chuỗi bao gồm cả thành phần cosin và
sin).
Chúng ta định nghĩa hàm tuần hòa mở rộng (t) của
f(t) như sau:
(t) f(t) (0 t )
(t ) (t)
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
Hàm tuần hoàn (t) với chu kỳ sẽ có khai triển
chuỗi Fourier, và chuỗi này sẽ bằng f(t) trong khoảng [0,
) (nếu ngoài khoảng này, f(t) không xác định, hoặc xác
định bằng 0, nhưng chuỗi vẫn tồn tại và khác 0).
Ví dụ 1.10: Tìm khai triển chuỗi Fourier toàn kỳ của:
t (0 t 4)
f(t)
0 esle where
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
Định nghĩa hàm tuần hoàn (t) bởi:
(t) f(t) t (0 t 4)
(t 4) (t)
4 1 1
(t) 2
sin nt
n 2
n1
4 1 1
f(t) t 2
sin nt (0 t 4)
n 2
n1
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
ii. Chuỗi Fourier bán kỳ cosin và sin
Ta xác định hàm tuần hoàn mở rộng chẵn F(t) và
hàm tuần hoàn mở rộng lẽ G(t) của f(t) bởi:
f(t) (0 t )
f(t) (0 t )
G(t)
F(t)
f(t) ( t 0)
f(t) ( t 0)
G(t 2 ) G(t)
F(t 2 ) F(t)
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Khai triển chuỗi Fourier
Với hàm tuần hoàn mở rộng chẵn, ta khai triển được
chuỗi Fourier bán kỳ cosin.
Với hàm tuần hoàn mở rộng lẽ, ta khai triển được
chuỗi Fourier bán kỳ sin.
Ví dụ 1.11: Tìm khai triễn chuổi Fourier bán kỳ cosin
và chuỗi Fourier bán kỳ sin của hàm:
t (0 t 4)
f(t)
0 esle where
Tải về để xem bản đầy đủ
39 trang
21580
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 1.1: Giải tích Fourier - Chuỗi Fourier - Nguyễn Phước Bảo Duy", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_tin_hieu_va_he_thong_phan_1_giai_tich_fourier_chuo.pdf
