Giáo trình Giải tích - Chương 1: Hàm số và giới hạn
Chương 1
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
Trong phép tính vi tích phân, chúng ta làm việc với các hàm số. Chúng ta nhấn
mạnh rằng một hàm số có thể được diễn tả bằng nhiều cách khác nhau: một phương
trình, một bảng số, một đồ thị, hay định nghĩa bằng từ ngữ. Chúng ta quan sát các
dạng cơ bản của các hàm số xuất hiện trong phép tính vi tích phân và trình bày
quá trình dùng các hàm số để mô hình toán học các hiện tượng thực tế ngoài đời.
Trong phần "nhìn qua" khái quát phép tính vi tích phân, chúng ta đã thấy tại sao
ý tưởng về giới hạn lại là nền tảng của nhiều ngành khác nhau của phép tính vi tích
phân. Do đó thật hợp lý khi khảo sát các giới hạn của hàm số cùng với các tính chất
của chúng để bắt đầu nghiên cứu phép tính vi tích phân .
2
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
1.1 Bốn cách biểu diễn một hàm số
Hàm số phát sinh khi một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác. Chúng
ta xem xét bốn trường hợp sau :
A. Diện tích A của một hình tròn phụ thuộc vào bán kính r của hình tròn. Nguyên
tắc liên kết r và A được cho bởi phương trình A = πr2. Với mỗi số dương r, có tương
ứng một giá trị A và chúng ta nói rằng A là một hàm số của r.
B. Dân số của thế giới P phụ thuộc vào thời gian t. Bảng sau cho ta ước lượng dân
số thế giới P(t) tại thời điểm t, với năm tương ứng. Ví dụ,
P(1950) = 2560000000
Thời gian Dân số (triệu)
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
1650
1750
1860
2070
2300
2560
3040
3710
4450
5280
6080
6870
Với mỗi giá trị của thời gian t, tương ứng ta có giá trị của P, và chúng ta nói rằng
P là hàm số của t.
C. Giá C của một bưu kiện phụ thuộc vào cân nặng ω của nó. Mặc dù không có
công thức đơn giản liên kết ω và C, bưu điện có quy tắc xác định C khi biết cân
nặng ω.
D. Gia tốc a theo chiều dọc của đất được đo bởi một địa chấn trong suốt trận động
đất là một hàm số của thời gian t trôi qua. Hình 1.1.1 cho một đồ thị được tạo ra bởi
hoạt động địa chấn trong trận động đất Northridge làm rung chuyển Los Angeles
vào năm 1994. Với mỗi giá trị t, đồ thị cho ta giá trị tương ứng a.
Mỗi ví dụ trên mô tả một quy tắc mà ở đó một số cho trước (r, t, ω, hay t), các
số khác (A, P, C, hay a) được gán cho. Mỗi trường hợp chúng ta nói rằng đại lượng
sau là một hàm số của đại lượng trước.
Một hàm số f là quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x trong tập hợp D
chính xác một phần tử, gọi là f(x), trong tập hợp E.
Chúng ta thường xem xét những hàm số mà các tập hợp D và E là tập số thực.
Tập hợp D được gọi là miền xác định của hàm số. f(x) là giá trị của hàm số f tại
1.1 Bốn cách biểu diễn một hàm số
3
Hình 1.1.1: Gia tốc trong trận động đất Northridge.
x. Miền giá trị của f là tập hợp tất cả các giá trị có thể lấy của f(x) khi x lấy giá
trị trên miền xác định. Một ký hiệu đại diện một số bất kỳ trong miền xác định
của hàm số f được gọi là một biến độc lập. Một ký hiệu biểu diễn một số trong
miền giá trị của f được gọi là biến phụ thuộc. Trong ví dụ A., r là biến độc lập và
A là biến phụ thuộc.
Nó rất dễ hình dung nếu ta nhìn hàm số như là cái ”máy” (xem Hình 1.1.2). Nếu
lấy x trong miền xác định của hàm f, thì khi x đi vào máy, nó có thể coi là dữ liệu
nhập vào (input) và cái máy sẽ sinh ra dữ liệu ra (output) f(x) thông qua quy tắc
của hàm số. Vì vậy chúng ta có thể xem miền xác định như là tập hợp của tất cả
dữ liệu vào và miền giá trị là tập hợp tất cả dữ liệu ra có thể có.
Hình 1.1.2: "Máy" hàm số.
Hàm số được lập trình sẵn trong máy tính bỏ túi là một ví dụ của hàm số như
là cái máy. Ví dụ, nút lấy căn bậc hai trên máy tính bỏ túi sẽ tính toán như là hàm
√
√
số. Chúng ta nhấn nút . hay x và nhập dữ liệu vào x. Nếu x < 0 thì x không
4
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
nằm trong miền xác định của hàm số này, nghĩa là, x không là dữ liệu chấp nhận
√
được, và máy tính bỏ túi sẽ báo lỗi. Nếu x ≥ 0 thì một xấp xỉ của x sẽ hiển thị
√
trên màn hình. Do vậy nút x trên máy tính bỏ túi thì không chính xác như hàm
√
số định nghĩa một cách toán học f(x) = x.
Một cách khác để hình dung một hàm số là sơ đồ mũi tên như trong hình 1.1.3.
Mỗi mũi tên nối một phần tử của tập hợp D với một phần tử của tập hợp E. Mũi
tên chỉ rằng f(x) thì được tương ứng với x, f(a) thì được tương ứng với a, và tiếp
tục như vậy.
Hình 1.1.3: Sơ đồ mũi tên.
Phương pháp phổ biến nhất để hình dung một hàm số là đồ thị của nó. Nếu f là
một hàm số với miền xác định D thì đồ thị của nó là tập hợp của những cặp được
sắp thứ tự
{(x, f(x)) | x ∈ D}.
(Chú ý rằng đây là những cặp dữ liệu nhập − ra.) Nói cách khác, đồ thị của hàm
số f chứa tất cả những điểm (x, y) trong trục toạ độ phẳng sao cho y = f(x) và x
nằm trong miền xác định của f.
Đồ thị của hàm số f cho chúng ta hình ảnh dễ hình dung dáng điệu của hàm số
f. Bởi vì toạ độ y của một điểm bất kỳ (x, y) trên đồ thị là y = f(x), chúng ta có
thể xem giá trị của f(x) từ đồ thị như là chiều cao của đồ thị tại điểm x (xem hình
1.1.4). Đồ thị của hàm số f cũng cho phép chúng ta vẽ miền xác định của hàm số
f trên trục toạ độ x và miền giá trị trên trục toạ độ y như trong hình 1.1.5.
Ví dụ 1. Cho đồ thị của hàm số f như trong hình 1.1.6.
(a) Tìm các giá trị f(1) và f(5) ?
(b) Xác định miền xác định và miền giá trị của hàm số f.
Lời giải.
(a) Chúng ta thấy trong hình 1.1.6, điểm (1, 3) nằm trên đồ thị hàm f, vì vậy giá
trị của hàm f tại 1 là f(1) = 3. Nói cách khác, điểm trên đồ thị đặt trên 1 là 3 đơn
1.1 Bốn cách biểu diễn một hàm số
5
Hình 1.1.4:
Hình 1.1.5: Miền xác định (domain) và miền giá trị (range).
Hình 1.1.6:
6
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
vị trên trục toạ độ x.
Khi x = 5, đồ thị nằm dưới trục x khoảng 0.7 đơn vị, vì vậy chúng ta xấp xỉ
f(5) = −0.7.
(b) Chúng ta thấy rằng f(x) được định nghĩa khi 0 ≤ x ≤ 7, nên miền xác định của
f là khoảng đóng [0, 7]. Chú ý rằng f lấy tất cả các giá trị từ −2 đến 4, vì vậy miền
giá trị của f là
{y | − 2 ≤ y ≤ 4} = [−2, 4].
2
Ví dụ 2. Vẽ đồ thị và tìm miền xác định, miền giá trị của mỗi hàm số sau.
(a) f(x) = 2x − 1.
(b) g(x) = x2.
Lời giải.
(a) Phương trình của đồ thị là y = 2x − 1 và chúng ta nhận thấy đồ thị của nó
sẽ là đường thẳng với hệ số góc là 2 và chắn trục toạ độ y tại −1. (Xem dạng góc
nghiêng-phần bị chắn của phương trình đường thẳng y = mx+b trong ”Phụ lục B”.)
Điều này giúp chúng ta có thể vẽ đồ thị của hàm số f như trong hình 1.1.7. Biểu
thức 2x−1 được định nghĩa cho tất cả số thực, vì vậy miền giá trị của f là tập toàn
bộ tập số thực, được ký hiệu bởi R. Đồ thị chỉ ra rằng miền giá trị cũng là tập R.
Hình 1.1.7:
(b) Từ g(2) = 22 = 4 và g(−1) = (−1)2 = 1 chúng ta có thể vẽ các điểm (2, 4) và
(−1, 1), cùng với một vài điểm khác của đồ thị, và nối các điểm lại để tạo ra đồ thị
của hàm số g (Hình 1.1.8). Phương trình của đồ thị là y = x2, nó biểu diễn một
parabol (xem Phụ lục C). Miền xác định của g là R. Miền giá trị của g chứa tất cả
các giá trị g(x), nghĩa là, tất cả các số có dạng x2. Nhưng x2 ≥ 0 với mọi giá trị
thực x và mọi số thực dương đều là một bình phương. Vì vậy, miền giá trị của g là
{y | 0 ≤ y ≤ ∞} = [0, ∞). Nó cũng có thể được nhìn thấy qua hình 1.1.8.
2
f(a+h)−f(a)
Ví dụ 3. Cho f(x) = 2x2 − 5x + 1 và h = 0, tính
.
h
Lời giải.
Trước hết chúng ta tính f(a + h) bằng cách thay x bởi a + h trong biểu thức của
1.1 Bốn cách biểu diễn một hàm số
7
Hình 1.1.8:
f(x):
f(a + h) = 2(a + h)2 − 5(a + h) + 1
= 2(a2 + 2ah + h2) − 5(a + h) + 1
= 2a2 + 4ah + 2h2 − 5a − 5h + 1.
Thay vào biểu thức cần tính và đơn giản ta có
f(a + h) − f(a)
(2a2 + 4ah + 2h2 − 5a − 5h + 1) − (2a2 − 5a + 1)
=
=
=
h
h
2a2 + 4ah + 2h2 − 5a − 5h + 1 − 2a2 + 5a − 1
h
4ah + 2h2 − 5h
= 4a + 2h − 5.
h
2
CÁC CÁCH BIỂU DIỄN HÀM SỐ
Có thể có bốn cách biểu diễn một hàm số
• Bằng từ ngữ (bằng cách mô tả bằng lời)
• Bằng số (bằng bảng các giá trị)
• Bằng hình ảnh (bằng đồ thị)
• Bằng một cách đại số (bằng một công thức)
Nếu một hàm đơn giản thì có thể được biểu diễn bởi tất cả bốn cách trên, nó
sẽ hữu ích nếu ta chuyển từ cách biểu diễn này qua cách kia để thu được những cái
nhìn khác của hàm số. (Trong ví dụ 2, chúng ta bắt đầu với công thức đại số và sau
đó thu được các đồ thị.) Nhưng với một số hàm số được mô tả theo một cách nào
đó sẽ tự nhiên hơn bởi những cách khác. Với suy nghĩ đó, chúng ta hãy kiểm tra lại
bốn trường hợp mà ta đã xem xét ở phần đầu của chương này.
(A) Một biểu diễn thông dụng của diện tích hình tròn như một hàm số của bán kính
là công thức đại số A(r) = πr2, mặc dù nó còn có thể được biểu diễn qua một bảng
giá trị hay vẽ đồ thị (một nửa parabol). Một hình tròn phải có bán kính dương, nên
8
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
miền xác định là {r | r > 0} = (0, ∞), và miền giá trị cũng là (0, ∞).
(B) Chúng ta cho một mô tả hàm số bằng lời : P(t) là dân số thế giới tại thời điểm
t. Tính t để cho t = 0 tương đương với năm 1900. Bảng dân số thế giới cung cấp
một biểu diễn thuận lợi của hàm số này. Nếu chúng ta vẽ những giá trị này, ta được
đồ thị (được gọi là đồ phân tán) trong Hình 1.1.9. Nó là một cách biểu diễn rất hữu
dụng, đồ thị cho phép ta nhìn thấy tất cả dữ liệu cùng lúc. Một công thức thì như
thế nào? Tất nhiên không thể nào đưa ra một công thức chính xác cho dân số thế
giới P(t) với bất kỳ t. Nhưng chúng ta có thể tìm một biểu thức của hàm số mà nó
xấp xỉ P(t). Thực vậy, sử dụng phương pháp được giảng giải trong phần 1.2 chúng
ta có một xấp xỉ
P(t) ≈ f(t) = (1.43653 × 109) · (1.01395)t.
Hình 1.1.10 chỉ ra rằng xấp xỉ trên tương đối hợp lý. Hàm số f được gọi là
mô hình toán học cho sự tăng trưởng dân số. Nói một cách khác, nó là một
hàm số với công thức cụ thể mà nó xấp xỉ dáng điệu của hàm số ta cho trước.
Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy rằng những ý tưởng của phép vi tích phân có thể
được áp dụng cho một bảng những giá trị; một công thức cụ thể thì không cần thiết.
t
0
dân số (triệu)
1650
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
1750
1860
2070
2300
2560
3040
3710
4450
5280
6080
6870
P là một hàm số cá biệt trong những hàm số xuất hiện khi chúng ta áp dụng phép
tính vi tích phân vào đời sống. Chúng ta bắt đầu bằng mô tả lời nói cho một hàm
số. Sau đó chúng ta có thể xây dựng một bảng các giá trị của nó, có lẽ từ kết quả
của những thí nghiệm khoa học. Mặc dù không có đầy đủ tất cả các giá trị của
hàm số, chúng ta sẽ thấy xuyên suốt trong sách này rằng ta vẫn có thể dùng các
chức năng của phép tính vi tích phân cho những hàm số như thế.
(C) Hàm số được mô tả bằng lời: Cho C(ω) là giá tiền cho bưu kiện có khối lượng
ω. Quy tắc của dịch vụ bưu điện ở Mỹ được sử dụng năm 2010 như sau: giá 88
cents cho bưu kiện nặng đến 1oz, cộng với 17 cents cho mỗi ounce nhiều hơn (hay
ít hơn) dành cho bưu kiện nặng đến 13 oz. Bảng giá trị dưới cho ta sự thuận lợi
1.1 Bốn cách biểu diễn một hàm số
9
Hình 1.1.9:
Hình 1.1.10:
để mô tả hàm số này, mặc dù nó cũng có thể được vẽ bằng một đồ thị (xem Ví dụ 10).
Cân nặng (ounce) Giá C(ω) (đô la)
0 < ω ≤ 1
0.88
1.05
1.22
1.39
1.56
.
1 < ω ≤ 2
2 < ω ≤ 3
3 < ω ≤ 4
4 < ω ≤ 5
.
.
.
.
.
(D) Đồ thị trong hình 1.1.1 là một biểu diễn tự nhiên nhất của hàm gia tốc theo
chiều dọc a(t). Nó thì hiển nhiên rằng một bảng giá trị có thể được thiết lập, nó
thậm chí có thể tìm ra một công thức xấp xỉ. Nhưng những thứ mà các nhà địa
chất muốn biết là biên độ và những mô hình có thể được nhìn một cách dễ dàng từ
đồ thị. (Cũng giống như những mô hình được nhìn trong điện tim đồ và đa đồ thị
cho máy phát hiện nói dối.)
Trong ví dụ tiếp theo chúng ta vẽ đồ thị của một hàm số mà nó được định nghĩa
bằng lời.
10
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
Ví dụ 4. Khi bạn bật vòi nước nóng, nhiệt độ T của nước sẽ phụ thuộc vào khoảng
thời gian mà nước được mở ra. Hãy vẽ đồ thị của T như là một hàm số của thời
gian t trôi qua khi vòi được mở.
Lời giải.
Hình 1.1.11:
Nhiệt độ ban đầu khi vòi bắt đầu chảy thì gần bằng nhiệt độ phòng bởi vì nước đang
trong ống. Khi nước từ bình nước nóng bắt đầu chảy ra từ vòi, T sẽ tăng nhanh
chóng. Trong khoảng tiếp theo, T là hằng số tại nhiệt độ của bình nước nóng. Khi
bình nước nóng cạn dần, T sẽ giảm dần đến nhiệt độ nước cung cấp. Điều này giúp
chúng ta vẽ sơ lược đồ thị hàm T của thời gian t như trong Hình 1.1.11.
2
Trong ví dụ dưới đây chúng ta bắt đầu với một mô tả bằng lời cho một hàm số
trong một hiện tượng vật lý và thu được một biểu thức đại số tường minh. Kinh
nghiệm từ việc làm trên giúp ta có kỹ năng để giải quyết các bài toán trong phép
tính vi tích phân liên quan đến tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một
số đại lượng.
Ví dụ 5. Một thùng chứa hình hộp chữ nhật trống trên mặt đỉnh có thể tích 10m3.
Chiều dài mặt đáy gấp đôi chiều rộng mặt đáy. Nguyên liệu cho mặt đáy giá 10 đô
la Mỹ trên một m2; nguyên liệu cho những mặt khác có giá 6 đô một m2. Tìm biểu
thức cho giá của nguyên liệu cần dùng theo chiều rộng của mặt đáy.
Lời giải. Ta vẽ hình như hình 1.1.12 and gọi chiều dài, chiều rộng mặt đấy lần
lượt là 2w, w và chiều cao của hộp là h.
Diện tích mặt đáy là (2w)w = 2w2, giá nguyên liệu cho mặt đáy là 10(2w2). Hình
hộp có hai mặt có diện tích wh và hai mặt có diện tích 2wh, vì vậy giá nguyên liệu
của các mặt bên là 6[2(wh) + 2(2wh)]. Tổng giá nguyên liệu là
C = 10(2w2) + 6[2(wh) + 2(2wh)] = 20w2 + 36wh.
Để tìm biểu thức giá C là hàm số của chiều rộng w, ta cần triệt tiêu h, ta dùng dữ
liệu thể tích hình hộp là 10m3. Vì vậy,
w(2w)h = 10
1.1 Bốn cách biểu diễn một hàm số
11
Hình 1.1.12:
suy ra
10
2w2
5
w2
h =
=
Thay vào biểu thức của C, ta có
C = 20w2 + 36w
ꢀ
ꢁ
5
w2
18
= 20w2 +
.
w
Vậy ta có hàm số C(w):
18
C(w) = 20w2 +
,
w > 0.
w
2
Ví dụ 6. Tìm miền xác định của các hàm số sau:
(a) f(x) = x + 2
√
1
(b) g(x) =
.
x2−x
Lời giải.
(a) Bởi vì căn bậc hai của một số âm không được định nghĩa trong tập số thực nên
miền giá trị của f chứa tất cả giá trị của x sao cho x+2 ≥ 0. Điều này tương đương
với x ≥ −2, miền xác định là khoảng [−2, ∞).
(b) Từ
1
1
g(x) =
=
x2 − x
x(x − 1)
and phép chia cho 0 không được phép, ta thấy hàm số g không được định nghĩa tại
x = 0 hoặc x = 1. Vì vậy, miền xác định của g là
{x | x = 0 , x = 1}
nó còn có thể viết dưới dạng sau
(−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, ∞).
2
12
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
Đồ thị của một hàm số là một đường cong trong mặt phẳng Oxy. Nhưng những
đường cong như thế nào trong mặt phẳng Oxy là đồ thị của các hàm số? Câu trả
lời bởi quy tắc sau:
Quy tắc theo trục dọc Một đường cong trong mặt phẳng Oxy là đồ thị
của một hàm số của x khi và chỉ khi không có trục dọc nào giao với đường
cong đó nhiều hơn một điểm.
Lý do cho tính đúng đắn của quy tắc trên có thể được nhìn thấy qua hình 1.1.13.
Nếu mỗi trục dọc x = a cắt đường cong tại đúng một điểm (a, b) thì có chính xác
một giá trị định nghĩa hàm số f(a) = b. Nhưng nếu trục x = a cắt đường cong hai
lần tại (a, b) và (a, c) thì ta không thể biểu diễn một hàm số bởi vì một hàm số
không thể nhận hai giá trị phân biệt tại a.
Hình 1.1.13: Quy tắc trục dọc.
Chẳng hạn, parabol x = y2 − 2 trong hình 1.1.14(a) thì không phải là đồ thị của
một hàm số của x bởi vì ta thấy có những trục dọc cắt parabol hai lần. Tuy nhiên,
parabol chứa hai đồ thị của hai hàm số tương ứng của x. Chú ý rằng từ x = y2 − 2
√
suy ra y2 = x + 2, y = ± x + 2. Vì vậy nửa trên và nửa dưới của parabol là những
√
√
đồ thị của hàm số f(x) = x + 2 ( từ ví dụ 6a) và hàm số g(x) = − x + 2. [Xem
hình 1.1.14(b) và 1.1.14(c).] Chúng ta thấy rằng nếu đổi vai trò của x, y khi đó
phương trình x = h(y) = y2 − 1 định nghĩa x là hàm số của y (y là biến độc lập và
x là biến phụ thuộc) và parabol trong hình 1.1.14(a) là đồ thị của hàm số h.
Hình 1.1.14: Đồ thị hàm số.
Những hàm số định nghĩa trên từng khoảng
Những hàm số ở bốn ví dụ dưới đây được định nghĩa bằng những công thức khác
nhau trên những phần của miền xác định. Những hàm số như thế được gọi là các
1.1 Bốn cách biểu diễn một hàm số
13
hàm số định nghĩa trên từng khoảng.
Ví dụ 7. Hàm số f được định nghĩa như sau
ꢂ
1 − x nếu x ≤ −1
f(x) =
x2 nếu x > −1.
Tính f(−2), f(−1) và f(0); Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải.
Nhắc lại một hàm số là một quy tắc. Đối với hàm số cụ thể cho trên, quy tắc như
sau : đầu tiên xem xét các giá trị của dữ liệu vào x. Nếu x ≤ −1 thì giá trị của f(x)
là 1 − x. Nếu x > −1 thì giá trị của f(x) là x2.
Vì −2 ≤ −1 nên f(−2) = 1 − (−2) = 3.
Vì −1 ≤ −1 nên f(−1) = 1 − (−1) = 2.
Vì 0 > −1 nên f(0) = 02 = 0.
Ta vẽ đồ thị hàm số trên bằng cách nào? Nhận thấy rằng khi x ≤ −1 thì
f(x) = 1 − x, vì vậy một phần đồ thị của hàm số f nằm bên trái của đường thẳng
x = −1, nó trùng với đường thẳng y = 1−x có hệ số góc −1 và cắt trục y tại 1. Khi
x > −1 một phần đồ thị sẽ nằm bên phải của đường thẳng x = −1, nó trùng với
parabol y = x2. Điều này giúp ta vẽ đồ thị hàm số f như trong hình 1.1.15. Điểm
in đậm (−1, 2) cũng nằm trên đồ thị, trong khi đó điểm (−1, 1) không nằm trên đồ
thị.
2
Hình 1.1.15: Đồ thị hàm số f.
Ví dụ tiếp theo của hàm định nghĩa trên từng khoảng là hàm số giá trị tuyệt
đối. Nhắc lại rằng giá trị tuyệt đối của một số a, ký hiệu là |a|, là khoảng cách từ a
đến 0. Khoảng cách luôn luôn dương hay là 0, vì vậy
|a| ≥ 0 với mọi số a.
Ví dụ:
√
√
|3| = 3, | − 3| = 3, |0| = 0, | 2 − 1| = 2 − 1, |3 − π| = π − 3.
Tổng quát ta có
ꢂ
a nếu a ≥ 0
|a| =
−a nếu a < 0.
14
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
Ví dụ 8. Vẽ đồ thị của hàm số f(x) = |x|.
Lời giải. Ta có
ꢂ
x nếu x ≥ 0
−x nếu x < 0.
|x| =
Sử dụng phương pháp tương tự như trong ví dụ 7, ta thấy rằng đồ thị của hàm số
Hình 1.1.16: Đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối.
f trùng với đường thẳng y = x bên phải trục toạ độ y và trùng với đường thẳng
y = −x nằm bên trái trục toạ độ y (xem Hình 1.1.16).
2
Ví dụ 9. Tìm công thức của hàm số f có đồ thị như trong hình 1.1.17.
Hình 1.1.17:
Lời giải. Đường thẳng đi qua (0, 0), (1, 1) có hệ số góc là m = 1 và cắt trục y tại
b = 0, nên nó có phương trình là y = x. Vậy phần đồ thị nối điểm (0, 0) với điểm
(1, 1) có phương trình của hàm số là
f(x) = x nếu 0 ≤ x ≤ 1.
Đường thẳng đi qua (1, 1) và (2, 0) có hệ số góc m = −1, vì vậy nó có dạng
y − 0 = (−1)(x − 2) hay y = 2 − x
vậy ta có
f(x) = 2 − x nếu 1 < x ≤ 2.
Với x > 2, đồ thị hàm số trùng với trục x. Vậy công thức cho hàm số f gồm ba
phần như sau
x nếu 0 ≤ x ≤ 1
f(x) =
2 − x nếu 1 < x ≤ 2
0 nếu 2 < x .
1.1 Bốn cách biểu diễn một hàm số
15
2
Ví dụ 10. Trong ví dụ (C) ở phần đầu chương này, chúng ta xem xét giá của bưu
kiện C(ω) gửi qua bưu điện với khối lượng ω. Từ bảng giá trị trong phần trước, ta
có hàm số C là hàm được định nghĩa trên từng khoảng như sau :
0.88 nếu 0 < x ≤ 1
1.05 nếu 1 < x ≤ 2
1.22 nếu 2 < x ≤ 3
1.39 nếu 3 < x ≤ 4
...
C(ω) =
Đồ thị như trong Hình 1.1.18. Ta thấy tại sao những hàm tương tự như hàm này
Hình 1.1.18: Hàm bậc thang.
được gọi là hàm bậc thang, hàm số nhảy từ giá trị này sang giá trị khác. Những
hàm số như thế sẽ được nghiên cứu trong chương 2.
ĐỐI XỨNG
Nếu một hàm số f thoả mãn f(−x) = f(x) với mọi số x trong miền xác định, thì
hàm số f được gọi là hàm chẵn. Ví dụ, hàm số f(x) = x2 là hàm chẵn bởi vì
f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x).
Tính chất hình học quan trọng của hàm chẵn là đồ thị của nó đối xứng qua trục
toạ độ y. Điều này có nghĩa là ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm f cho x ≥ 0, sau đó lấy
đối xứng qua trục y để thu được toàn bộ đồ thị của hàm số f. (Xem hình 1.1.19.)
Nếu một hàm số f thoả mãn f(−x) = −f(x) với mọi số x trong miền xác định, thì
hàm số f được gọi là hàm lẻ. Ví dụ, hàm số f(x) = x3 là hàm chẵn bởi vì
f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x).
Đồ thị hàm lẻ thì đối xứng qua tâm của trục toạ độ (Xem Hình 1.1.20.). Nếu chúng
ta có đồ thị của hàm số f cho x ≤ 0, chúng ta sẽ thu được toàn bộ đồ thị hàm số f
qua phép đối xứng tâm.
16
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
Hình 1.1.19: Hàm chẵn.
Hình 1.1.20: Hàm lẻ.
Ví dụ 11. Xác định các hàm số sau là hàm chẵn hay hàm lẻ hay không là hàm
chẵn cũng không là hàm lẻ:
(a) f(x) = x5 + x
(b) g(x) = 1 − x4
(c) h(x) = 2x − x2.
Lời giải.
(a) Ta có
f(−x) = (−x)5 + (−x) = (−1)5x5 − x
= −x5 − x = −(x5 + x)
= −f(x).
Vậy f là hàm lẻ.
(b)
g(−x) = 1 − (−x)4 = 1 − x4 = g(x).
Vậy g là hàm chẵn.
(c)
h(−x) = 2(−x) − (−x)2 = −2x − x2.
Vì h(−x) = h(x) and h(−x) = −h(x), nên hàm số h không là hàm chẵn cũng không
là hàm lẻ.
2
1.1 Bốn cách biểu diễn một hàm số
17
Đồ thị các hàm số trong ví dụ 11 được vẽ trong hình 1.1.21. Chú ý rằng đồ thị
của hàm số h thì không đối xứng qua trục y cũng không đối xứng qua tâm trục toạ
độ.
Hình 1.1.21:
Hàm tăng và hàm giảm
Đồ thị trong hình 1.1.22 đi lên từ A đến B và đi xuống từ B đến C, và lại đi lên từ
C đến D. Hàm số f được gọi là tăng trên khoảng [a, b], giảm trên [b, c], và lại tăng
trên [c, d]. Chú ý rằng nếu x1, x2 là hai điểm bất kỳ giữa a và b sao cho x1 < x2 thì
f(x1) < f(x2). Ta đùng tính chất này để định nghĩa một hàm tăng.
Một hàm số được gọi là hàm tăng trên khoảng I nếu
f(x1) < f(x2) với mọi x1 < x2 trên I.
Một hàm số được gọi là hàm giảm trên khoảng I nếu
f(x1) > f(x2) với mọi x1 < x2 trên I.
Hình 1.1.22:
Trong định nghĩa của hàm tăng, tính chất quan trọng là bất đẳng thức
f(x1) < f(x2) với bất kỳ cặp số x1 < x2 nằm trong I. Ta có thể nhìn thấy trong
Hình 1.1.23 hàm số f(x) = x2 là hàm giảm trên khoảng (−∞, 0] và là hàm tăng
trên khoảng [0, ∞).
Bài tập 1.1.
√
√
1. Nếu f(x) = x + 2 − x và g(u) = u + 2 − u, phát biểu f = g có đúng hay
không?
18
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
Hình 1.1.23:
2. Nếu
x2 − x
f(x) =
và g(x) = x
x − 1
phát biểu f = g có đúng hay không?
3. Cho đồ thị của hàm số f như sau:
(a) Tìm f(1).
Hình 1.1.24: Bài tập 3.
(b) Ước lượng giá trị của f(−1).
(c) Tìm x để f(x) = 1.
(d) Ước lượng giá trị của x để f(x) = 0.
(e) Tìm miền xác định và miền giá trị của f.
(f) Hàm số tăng trên khoảng nào?
4. Đồ thị của f, g được cho trong hình dưới
(a) Tìm f(−4) và g(3).
(b) Tìm x để f(x) = g(x).
(c) Ước lượng nghiệm của phương trình f(x) = −1.
(d) Hàm số giảm trên khoảng nào?
(e) Tìm miền xác định và miền giá trị của f.
(f) Tìm miền xác định và miền giá trị của g.
5. Hình 1.1.1 được ghi lại bởi một dụng cụ được điều hành bởi khoa khai thác trắc
địa thuộc trường đại học y tế, Đại học California, LA. Sử dụng hình này để ước
1.1 Bốn cách biểu diễn một hàm số
19
Hình 1.1.25: Bài tập 4.
lượng miền giá trị của hàm gia tốc theo chiều dọc đo địa chấn trong trận động đất
Northridge.
6. Trong phần này chúng ta đã thảo luận ba ví dụ rất đời thường, dân số thế giới
theo thời gian, giá bưu kiện theo khối lượng, nhiệt độ nước theo thời gian. Hãy tìm
ba ví dụ về hàm số khác trong đời sống hằng ngày của bạn mà nó được mô tả bằng
lời. Bạn có thể mô tả miền xác định và miền giá trị của các hàm số đó? Nếu có thể,
bạn hãy vẽ sơ lược đồ thị các hàm số đó?
7-10. Xác định đường cong nào là đồ thị của một hàm số trong các hình sau:
11. Đồ thị đưới đây mô tả cân nặng của một người theo tuổi của họ. Mô tả bằng
lời cân nặng của người này thay đổi như thế nào theo tuổi? Bạn nhận xét gì về cân
nặng của người này khi 30 tuổi?
12. Đồ thị trong hình dưới mô tả chiều cao của mực nước trong bồn tắm như là
một hàm số theo thời gian. Hãy mô tả bằng lời những gì bạn nghĩ về hình này?
13. Bạn đặt các cục đá khối vào trong cốc, đổ nước lạnh vào cốc, sau đó để cốc trên
bàn. Mô tả sự thay đổi nhiệt độ của nước khi thời gian trôi qua. Vẽ phát thảo sơ
lược đồ thị nhiệt độ của nước như là một hàm số theo thời gian.
14. Ba vận động viên tranh tài trên đường đua 100 mét. Đồ thị dưới mô tả quảng
20
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
Hình 1.1.26: Bài tập 11
Hình 1.1.27: Bài tập 12.
đường chạy của mỗi vận động viên như là một hàm số của thời gian. Mô tả bằng
lời những gì đồ thị này biểu diễn về cuộc đua này? Ai chiến thắng cuộc đua này?
Những ai hoàn thành cuộc đua?
Hình 1.1.28: Bài tập 14
15. Đồ thị dưới mô tả lượng năng lượng sử dụng trong một ngày tháng chín ở San
Francisco. (P được đo bằng megawatts; t được đo theo giờ bắt đầu từ 0h khuya.)
(a) Tính năng lượng đã sử dụng lúc 6 giờ sáng, lúc 6 giờ chiều.
(b) Khi nào năng lượng sử dụng là thấp nhất? cao nhất? Thời gian này có hợp lý
không?
16. Vẽ phát thảo sơ lược đồ thị của số giờ trời sáng như là một hàm số theo thời
gian trong năm.
17. Vẽ phát thảo sơ lược đồ thị của nhiệt độ ngoài trời như là một hàm số theo
thời gian trong suốt một ngày cụ thể mùa xuân.
Tải về để xem bản đầy đủ
146 trang
25160
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích - Chương 1: Hàm số và giới hạn", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_chuong_1_ham_so_va_gioi_han.pdf
