Báo cáo bài tập lớn môn Phương pháp tính - Nguyễn Hoàng Thân
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MÔN PHUONG PHÁP TÍNH
GVHD: Lê Thái Thanh
Năm học: 2013-2014
Lớp: DT09
Họ tên sinh viên: Nguyễn Hoàng Thân
MSSV:41303798
Tham số M=4.31
TP Hồ Chí Minh, tháng 7/2014
Câu 1: Khảo sát và tìm tất cả các nghiệm của phương trình sau (kể cả nghiệm
phức):
x3 - 3.5Mx2 + x + 2M=0
Giải
Đặt f(x) = x3 - 3.5Mx2 + x + 2M
f ‘(x)= 3x2 – 30.17x + 1
Phương trình f ‘(x) = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt
푥1 = 10.0234
⌊
푥2 = 0.0333
f(x1)f(x2) = -4230.973 < 0
Hàm số f(x) có cực đại và cực tiểu nằm khác phía so với trục Ox nên phương trình
f(x) = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt
푥 = 14.9798
[
푥 = 0.813
푥 = −0.7078
Câu 2 : Cho hệ phương trình Ax=b với A= (푎푖푗)푛푖,푗=1 , b = (b1,...,bn)T và n = 10 cho
bởi
3.5푀 ꢁế푢 푖 = 푗
0 ꢁế푢 푖 푐ℎẵꢁ
|
|
1 ꢁế푢 푖 − 푗 = 1
푀
aij=
và bi={
ꢁế푢 푖 푙ẻ
|
|
0.5 ꢁế푢 푖 − 푗 = 2
푖
{0 푡푟표ꢁꢀ 푐á푐 푡푟ườꢁꢀ ℎợ푝 푐òꢁ 푙ạ푖
(a)Sử dụng phương pháp choleski, tìm ma trận B trong phân rã A=BBT. Sau đó
giải hệ.
(b)Sử dụng phương pháp Gauss-seidel với x(0) = (0,…,0)T tìm nghiệm gần đúng
x(5).So sánh kết quả với câu (a).
Giải
(a)Ma trận B cần tìm:
B =
Nghiệm phương trình:
x=
(b)Nghiệm gần đúng x(5)
x(5) =
Nghiệm gần đúng x(5) rất gần với nghiệm đúng x. Sai số nhỏ hơn
10-5 nên khi làm tròn đến 4 chữ số ta thấy kết quả hoàn toàn giống nhau.
Câu 3: Cho bảng nội suy với số liệu sau: n=10
x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
2.0
M
y 2.11 2.46 2.77
3.45 3.84
5.21 4.83
3.12
2M
1.5M
(a) Xây dựng đa thức P(x) = a0 + a1x + … +a10x10 nội suy bảng số trên. Tính các hệ
số ai , i = 0, 1, … , 10 và vẽ đồ thị P(x).
(b)Xây dựng hàm spline bậc ba tự nhiên g(x) đối với bảng số đã cho. Xác định các
hệ số. Vẽ đồ thị của g(x).
(c)Vẽ đồ thị của P(x) và g(x) trên cùng một hệ trục toạ độ. So sánh.
Giải
(a) Các hệ số ai , i= 0, 1, … , 10.
a0 = 75759047.8
a1 = -537591864.3902
a2 = 1706486974.4904
a3 = -3191029635.7599
a4 = 3892728832.2335
a5 = -3237090991.8692
a6 = 1858399453.7037
a7 = -727323592.0966
a8 = 185723106.8122
a9 = -27942391.4242
a10 = 1881062.6102
Đồ thị P(x):
(b)Các hệ số cần tìm
a
b
c
d
2.11
2.46
2.77
4.31
3.45
4.9233
0.6533
12.2634
5.7932
-15.0364
0
-142.3337
671.6683
-1274.3395
795.6898
1741.5803
-42.7001
158.8004
-223.5015
15.2055
3.84
8.62
5.21
4.83
6.465
3.12
40.2522
9.1277
537.6796
-848.9237
401,0153
153.8626
-411.9656
0
-4622.0109
4166.4633
-823.8423
-1886.0941
1373.2188
-35.6631
19.8247
-5.9856
Đồ thị g(x):
(c) Đồ thị P(x),g(x): ( g(x) là đường màu đỏ,P(x) là đường màu xanh ).
Câu 4: Cho hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 và bước h > 0.
(a). Với các điểm nút x0 - 2h, x0 - h, x0, x0 + h, x0 + 2h hãy xây dựng đa thức nội
suy Lagrange xấp xỉ hàm f(x). Từ đó đưa ra công thức xấp xỉ đạo hàm cấp 1 và cấp
2 của hàm f(x) tại điểm x0.
(b) Áp dụng đối với hàm f(x) = ( x2 + Mx +1 )ex tại x0 = 1 và bước h = 0.1. So sánh
với giá trị chính xác.
Giải
1
L0 =
4 (x-x0+h)(x-x0)(x-x0-h)(x-x0-2h)
24ℎ
−1
L1 = 4 (x-x0+2h)(x-x0)(x-x0-h)(x-x0-2h)
6ℎ
1
L2 = 4 (x-x0+2h)(x-x0 + h)(x-x0-h)(x-x0-2h)
4ℎ
−1
L3 = 4 (x-x0+2h)(x-x0 + h)(x-x0)(x-x0-2h)
6ℎ
1
L4 =
4 (x-x0+2h)(x-x0 + h)(x-x0)(x-x0-h)
24ℎ
f(x)≃y0.L0(x)+y1.L1(x)+y2.L2(x)+y3.L3(x)+y4.L4(x)
1
1
L0’(x0) =
4 h(-h)(-2h) =
24ℎ
12ℎ
−1
L1’(x0) = 4 2h(-h)(-2h) = −2
6ℎ
3ℎ
1
L2’(x0)= 4[h(-h)(-2h)+2h(-h)(-2h)+2h.h(-2h)+2h.h(-h)] =0
24ℎ
2
L3’(x0)= −142h.h(-2h) =
6ℎ
3h
1
−1
L4’(x0)= 42h.h(-h) =
24ℎ
12h
f’(x0)≃y0.L’0(x0)+y1.L’1(x0)+y2.L’2(x0)+y3.L’3(x0)+y4.L’4(x0)
ퟏ
f’(x0) ≃ퟏퟐ퐡(y0-8y1+8y3-y4)
1
L0”( x0)= 4(-2h2)=
24ℎ
−1
2
12ℎ
−1
4
L1”( x0)= 4(-8h2)=
2
6ℎ
3ℎ
1
−5
L2”( x0)= 4(-10h2)=
2
4ℎ
2ℎ
−1
4
L3”( x0)= 4(-8h2)=
2
6ℎ
3ℎ
1
L4”( x0)= 4(-2h2)=
24ℎ
−1
2
12ℎ
f”( x0)≃y1.L”0(x0)+y1.L”1(x0)+y2.L”2(x0)+y3.L”3(x0)+y4.L”4(x0)
ퟏ
f”( x0) ≃ퟏퟐ풉ퟐ (-y0+16y1-30y2+16y3-y4)
(b) f(x) = 4.9466x4 - 5.5674x3 + 15.4696x2 + 0.281x +2.0226
f’(x0) ≃ 34.3042
f’’(x0) = 56.8934
Câu 5: Xét tích phân
1
1+푀푥
I=
∫
4
0
푥 +2푀푥+5
Sử dụng công thức Simpson mở rộng, hãy xấp xỉ tích phân với sai số nhỏ hơn 10-6.
Giải
I ≃ I* =0.3197
Câu 6: Cho hệ phương trình vi phân cấp 1:
′( )
푥 푡 = 2푀푥 푡 − 푦 푡 − 푧 푡 + 1
( )
( )
( )
′( )
( ) ( )
푦 푡 = −푥 + 3푀푦 푡 − 푧 푡 + 푡
{
′( )
푧 푡 = −푥 푡 − 푦 푡 + 4푀푧 푡 + 푡
( )
( )
( )
2
thoả điều kiện ban đầu x(0)=0.2, y(0) = 0.5, z(0)=0.8. Sử dụng công thức Runge –
Kutta cấp 4, hãy xấp xỉ các hàm x(t), y(t), z(t) trong [0, 1] với bước h = 0.1. Vẽ đồ
thị của chúng.
x
y
z
0.2
0.5
0.8
0.2264
1.434173
4.090595
-1.090745
3.497345
21.695437
-10.814384
4.175380
117.572594
-66.968989
-29.915747
644.885889
-371.851101
-2007.318486
-10814.188872
-58613.898738
-320035.195522
-1758519.020314
-354.297605
-2643.980163
-17145.886063
-104298.648139
-613175.821671
-3534528.190170
3561.383819
19745.696777
109737.157142
610753.192713
3402301.173238
18964026.804106
Đồ thị:
Câu 7: Xét bài toán biên
2 ′′( ) ′( )
2
−푥
( ) (
)
푥 푦 푥 + 푀푥푦 푥 − 12푦 푥 = 1 + 푥 푒
{
1 ≤ x ≤2
( )
( )
푦 1 = 0, 푦 2 = 0.5푀
Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, hãy xấp xỉ hàm y(x) trong [1, 2] với bước
h = 0.1. Vẽ đồ thị.
Giải
y(x)=
Đồ thị:
12 trang
28740
Free
Bạn đang xem tài liệu "Báo cáo bài tập lớn môn Phương pháp tính - Nguyễn Hoàng Thân", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bao_cao_bai_tap_lon_mon_phuong_phap_tinh_nguyen_hoang_than.pdf
