Giáo trình Phương pháp tính - Chương 2: Phương trình phi tuyến
Chöông 2
PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN
2.1 ÑAËT BAØI TOAÙN
Muïc ñích cuûa chöông naøy laø tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông
trình
f(x) = 0
(2.1)
vôùi f(x) laø haøm lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng hay môû naøo ñoù.
Nghieäm cuûa phöông trình (2.1) laø giaù trò x sao cho f(x) = 0. Trong
giaùo trình naøy ta chæ xeùt nhöõng nghieäm ñôn coâ laäp. Veà maët hình
hoïc, nghieäm cuûa phöông trình (2.1) laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng
cong y = f(x) vôùi truïc hoaønh. Khoaûng ñoùng [a, b] (ñoâi khi ta cuõng xeùt
khoaûng môû (a, b)) maø treân ñoù toàn taïi duy nhaát nghieäm cuûa phöông
trình (2.1) ñöôïc goïi laø khoaûng caùch li nghieäm. Vì ta chæ xeùt nghieäm
ñôn cuûa phöông trình (2.1), neân neáu haøm f(x) lieân tuïc treân khoaûng
caùch li nghieäm [a, b] thì f(a) · f(b) < 0. Thoâng thöôøng, ñeå tìm nghieäm
cuûa phöông trình (2.1) chuùng ta tieán haønh theo hai böôùc sau:
Böôùc 1: Tìm taát caû caùc khoaûng caùch li nghieäm cuûa phöông trình (2.1).
Böôùc 2: Trong töøng khoaûng caùch li nghieäm, tìm nghieäm gaàn ñuùng
cuûa phöông trình baèng moät phöông phaùp naøo ñoù vôùi sai soá cho
tröôùc.
16
PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN
Ñònh lí 2.1. Neáu haøm f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a, b] vaø giaù trò cuûa haøm
traùi daáu taïi hai ñaàu muùt thì phöông trình (2.1) coù nghieäm treân [a, b].
Theâm vaøo ñoù, neáu haøm f(x) ñôn ñieäu thì nghieäm laø duy nhaát.
YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñònh liù laø: moät ñöôøng cong lieân tuïc noái hai
ñieåm ôû hai phía cuûa truïc hoaønh seõ caét truïc hoaønh ít nhaát taïi moät
ñieåm. Neáu ñöôøng cong laø ñôn ñieäu (taêng hoaëc giaûm) thì ñieåm caét laø
duy nhaát.
Chuùng ta coù theå tìm caùc khoaûng caùch li nghieäm cuûa moät phöông
trình baèng nhieàu caùch vaø ñònh liù 2.1 laø moät coâng cuï höõu ích cho muïc
ñích naøy.
Ví duï 2.1. Tìm caùc khoaûng caùch li nghieäm cuûa phöông trình
f(x) = x3 − 3x + 1 = 0.
Chuùng ta tính giaù trò cuûa haøm taïi moät soá ñieåm ñaëc bieät vaø laäp baûng
giaù trò sau:
x
−2 −1
0
1
1
−1
2
3
f(x) −1
3
Töø baûng treân ta thaáy phöông trình coù nghieäm naèm trong caùc khoaûng
khoâng giao nhau (-2, -1), (0, 1), (1, 2). Vì phöông trình baäc ba coù toái
ña ba nghieäm, neân moãi ñoaïn treân chöùa duy nhaát moät nghieäm. Vaäy
chuùng laø caùc khoaûng caùch li nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho.
Ví duï 2.2. Xeùt phöông trình f(x) = x5 + x − 12 = 0. Ta coù f0(x) =
5x4 + 1 > 0 vôùi moïi x. Cho neân f(x) laø haøm ñôn ñieäu taêng. Ta cuõng
coù f(1) < 0 vaø f(2) > 0, neân phöông trình chæ coù duy nhaát nghieäm
naèm trong [1, 2].
Ví duï 2.3. Xeùt phöông trình f(x) = x2 − sin πx = 0. Chuyeån phöông
trình veà daïng töông ñöông x2 = sin πx. Ta veõ ñoà thò cuûa hai haøm
y = x2 vaø y = sin πx theo hình veõ döôùi ñaây. Töø hình veõ, ta nhaän
thaáy phöông trình coù moät nghieäm x = 0 vaø moät nghieäm nöõa naèm
trong ñoaïn [1/2, 1].
2.2 Phöông phaùp chia ñoâi
17
Hình 2.1: Nghieäm cuûa phöông trình x2 − sinπx = 0
Coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá toång quaùt cuûa nghieäm gaàn ñuùng cuûa
phöông trình (2.1) ñöôïc theå hieän qua ñònh liù sau.
Ñònh lí 2.2. Giaû söû haøm f(x) lieân tuïc treân [a, b], khaû vi trong (a, b).
Neáu x∗ laø nghieäm gaàn ñuùng cuûa nghieäm chính xaùc x trong [a, b] vaø
∀x ∈ [a, b], |f0(x)| > m > 0. Theá thì ta coù coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá
toång quaùt sau ñaây
|f(x∗)|
|x∗ − x| 6
(2.2)
m
Ví duï 2.4. Xeùt phöông trình f(x) = x3 − 5x2 + 12 = 0 trong [−2, −1] coù
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
∗
0
2
nghieäm gaàn ñuùng x = −1.37. Khi ñoù |f (x)| = 3x − 10x > 13 =
|f(−1.37)|
m > 0, ∀x ∈ [−2, −1]. Do ñoù: |x − x∗| 6
≈ 0.0034.
13
2.2 PHÖÔNG PHAÙP CHIA ÑOÂI
Xeùt phöông trình (2.1) coù nghieäm chính xaùc x trong khoaûng caùch
li nghieäm [a, b] vaø f(a)f(b) < 0. Ñaët a0 = a, b0 = b, d0 = b0 − a0 = b − a
vaø x0 laø ñieåm giöõa cuûa ñoaïn [a0, b0]. Tính giaù trò f(x0). Neáu f(x0) = 0
thì x0 chính laø nghieäm vaø quaù trình döøng laïi. Ngöôïc laïi ta xeùt daáu
cuûa f(x0). Neáu f(x0)f(a0) < 0, ñaët a1 = a0, b1 = x0. Neáu f(x0)f(b0) < 0,
ñaët a1 = x0, b1 = b0. Nhö vaäy ta thu ñöôïc [a1, b1] ⊂ [a0, b0] vaø ñoä daøi
d0
b − a
d1 = b1 − a1 =
=
. Tieáp tuïc quaù trình chia ñoâi nhö vaäy ñeán n
2
2
18
PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN
laàn, ta ñöôïc caùc keát quaû sau:
an + bn
an 6 x 6 bn, an 6 xn =
6 bn,
2
∀n = 0, 1, 2, . ..
(2.3)
b − a
f(an)f(bn) < 0, dn = bn − an =
2n
Hình 2.2: Phöông phaùp chia ñoâi
Nhö vaäy ta ñöôïc {an}n∞=0 laø daõy taêng vaø bò chaën treân, coøn {bn}∞n=0
laø daõy giaûm vaø bò chaën döôùi. Do ñoù chuùng cuøng hoäi tuï. Töø (2.3) ta coù
lim an = lim bn = lim xn = x
n→∞
n→∞
n→∞
Thoâng thöôøng ta söû duïng coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá sau
b − a
|x − xn| 6
(2.4)
2n+1
Ví duï 2.5. Cho phöông trình f(x) = 5x3 − cos 3x = 0 trong khoaûng caùch
li nghieäm [0, 1]. Baèng phöông phaùp chia ñoâi, haõy tìm nghieäm gaàn
ñuùng x5 vaø ñaùnh giaù sai soá cuûa noù. Keát quaû ñöôïc cho trong baûng
sau:
n
an(−)
bn(+)
xn
0
0
1
1
0
2
3
4
5
1/4 3/8 7/16 15/32
1/2 1/2 1/2
1/2 1/2
1/2 1/4 3/8 7/16 15/32 31/64
sign f(xn)
+
−
−
−
−
31
64
1 − 0
1
64
31
64 64
1
Nhö vaäy x5 =
vaø ∆x
=
=
. Vaäy x =
.
5
26
2.2 Phöông phaùp chia ñoâi
19
Ví duï 2.6. Xeùt phöông trình f(x) = x3 + 4x2 − 10 = 0 coù nghieäm trong
khoaûng caùch li nghieäm [1, 2]. Thuaät toaùn cuûa phöông phaùp chia ñoâi
cho ta baûng sau
n
0
1
2
an
bn
xn
1.5
1.25
1.375
. . .
f(xn)
1.0
1.0
1.25
2.0
1.5
1.5
. . .
+2.375
−1.79678
+0.16211
. . .
. . . . . .
8
9
1.36328125 1.3671875
1.36328125 1.365234375 1.364257813 −0.01605
1.365234375 +0.000072
10 1.364257813 1.365234375 1.364746094 −0.00799
11 1.364746094 1.365234375 1.364990235 −0.00396
12 1.364990235 1.365234375 1.365112305 −0.00194
Sau laàn laëp thöù 12, theo coâng thöùc (2.4), giaù trò x12 = 1.365112305
seõ xaáp xæ nghieäm chính xaùc x vôùi sai soá |x − x12| 6 (2 − 1)/213
≈
0.000123. Töø baûng treân ta cuõng nhaän thaáy |f(x12)| = 0.00194 trong
khi |f(x8)| = 0.000072. Ñeå yù raèng nghieäm chính xaùc ñeán chín chöõ
soá leû sau daáu phaûy thaäp phaân laø x = 1.365230013. Khi ñoù nghieäm
x8 = 1.365234375 coù naêm chöõ soá leû ñaùng tin sau daáu phaûy thaäp
phaân vaø noù xaáp xæ x toát hôn nghieäm x12
.
Phöông phaùp chia ñoâi laø phöông phaùp ñôn giaûn nhaát ñeå tìm
nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình (2.1), tuy nhieân ñoä chính xaùc
khoâng cao. Thoâng thöôøng phöông phaùp chia ñoâi ñöôïc söû duïng neáu
khoâng theå söû duïng caùc phöông phaùp khaùc hoaëc vôùi muïc ñích thu heïp
khoaûng caùch li nghieäm.
Thuaät toaùn cuûa phöông phaùp chia ñoâi ñöôïc theå hieän trong Chöông
trình 2.1. Ñoái soá cuûa chöông trình goàm: f laø bieåu thöùc cuûa haøm f(x),
a vaø b laø hai ñieåm bieân cuûa khoaûng caùch li nghieäm [a, b], eps laø
sai soá cho tröôùc (giaù trò maëc ñònh laø 10−6) vaø N laø soá laàn laëp toái ña
cho pheùp (giaù trò maëc ñònh laø 100). Keát quaû traû veà cuûa chöông trình
goàm x laø vectô nghieäm chöùa daõy laëp {xn}, fx laø vectô chöùa giaù trò
cuûa haøm f(xn) vaø n laø soá laàn laëp thöïc teá.
20
PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN
Chöông trình 2.1. - c2bisect : Phöông phaùp chia ñoâi.
function [x,fx,n] = c2bisect(f,a,b,eps,N)
if nargin < 5, N = 100; end;
if nargin < 4, eps = 1.0E-6; end;
if nargin < 3, error('Haøm phaûi coù toái thieåu 3 ñoái soá.');
end;
fa = feval(f,a);x=[];fx=[];n=0;err=eps+1;
while (n<N & err>eps)
ptbh n=n+1;c = a+(b-a)/2;fc = feval(f,c);
x=[x;c];fx=[fx,fc];
if fa*fc > 0, a = c;fa = fc;else, b = c;end;
err = b-a;
end;
2.3 PHÖÔNG PHAÙP LAËP ÑÔN
Ñaây laø phöông phaùp phoå bieán ñeå giaûi phöông trình (2.1) trong
khoaûng caùch li nghieäm [a, b]. Tröôùc tieân ta chuyeån töø phöông trình
(2.1) veà daïng töông ñöông trong [a, b]
x = g(x).
(2.5)
Khi ñoù nghieäm cuûa phöông trình (2.5) coøn ñöôïc goïi laø ñieåm baát
ñoäng cuûa haøm g(x). Choïn moät giaù trò ban ñaàu x0 ∈ [a, b] tuøy yù. Xaây
döïng daõy laëp {xn}∞n=1 theo coâng thöùc laëp
xn = g(xn−1
)
∀n = 1, 2, 3, . ..
(2.6)
Baøi toaùn cuûa chuùng ta laø khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa daõy {xn}∞n=1; daõy
coù hoäi tuï veà nghieäm cuûa phöông trình (2.5) hay khoâng; söï hoäi tuï vaø
giôùi haïn cuûa daõy phuï thuoäc nhö theá naøo vaøo giaù trò laëp ban ñaàu x0;
vaø cuoái cuøng laø coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá.
2.3 Phöông phaùp laëp ñôn
21
Ñònh nghóa 2.1. Haøm g(x) ñöôïc goïi laø haøm co trong ñoaïn [a, b] neáu
∀x1, x2 ∈ [a, b], toàn taïi moät soá q : 0 6 q < 1, goïi laø heä soá co, sao cho
|g(x1) − g(x2)| 6 q |x1 − x2|
√
Ví duï 2.7. Xeùt haøm g(x) = x trong ñoaïn [1, 2]. Ta coù ∀x1, x2 ∈ [1, 2],
√
√
1
1
2
| x1 − x | =
|x1 − x2| 6 |x1 − x2|
√
√
2
x1 + x2
√
Do ñoù haøm g(x) = x laø haøm co trong ñoaïn [1, 2] vôùi heä soá co laø
q = 0.5.
Ta coù caùc ñònh lí sau ñaây.
Ñònh lí 2.3. Neáu g(x) laø haøm co treân [a, b], thì noù lieân tuïc treân ñoù.
Ñònh lí 2.4. Neáu haøm g(x) lieân tuïc treân [a, b], khaû vi trong (a, b) vaø
∃q : 0 6 q < 1 sao cho ∀x ∈ (a, b), |g0(x)| 6 q, thì g(x) laø haøm co treân
[a, b] vôùi heä soá co laø q.
√
3
Ví duï 2.8. Xeùt haøm g(x) = 10 − x treân ñoaïn [0, 1]. Ta coù |g0(x)| =
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
−1
1
p
√
6
≈ 0.078 = q < 1. Do ñoù noù laø haøm co treân
3 3 92
3
3
(10 − x)2
[0, 1].
x2 − ex +2
Ví duï 2.9. Baây giôø xeùt haøm g(x) =
2x − ex
treân ñoaïn [0, 1]. Ta coù
3
g0(x) =
. Khaûo saùt haøm g0(x) treân ñoaïn [0, 1] cho ta
3
2 ln 2 − 2
1
3
max g0(x) =
≈ −0.2046 vaø min g0(x) = −
x∈[0,1]
3
x∈[0,1]
1
Töø ñaây ta ñöôïc ∀x ∈ [0, 1], |g0(x)| 6 = q < 1. Do ñoù noù laø haøm
3
co treân [0, 1].
Ta phaùt bieåu vaø chöùng minh moät ñònh liù quan troïng, thöôøng ñöôïc
goïi laø nguyeân liù aùnh xaï co. Ñònh liù naøy laø cô sôû cuûa phöông phaùp laëp
ñôn.
22
PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN
Ñònh lí 2.5 (Nguyeân liù aùnh xaï co). Giaû söû g(x) laø haøm co treân ñoaïn
[a, b] vôùi heä soá co laø q. Ñoàng thôøi, ∀x ∈ [a, b], g(x) ∈ [a, b]. Khi ñoù vôùi
moïi giaù trò x0 ban ñaàu trong [a, b], daõy laëp {xn}∞n=1 xaùc ñònh theo coâng
thöùc (2.6) seõ hoäi tuï veà nghieäm duy nhaát x cuûa phöông trình (2.5) vaø
ta coù coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá
qn
|xn − x| 6
|xn − x| 6
|x1 − x0|
(2.7)
(2.8)
1 − q
q
hoaëc
|xn − xn−1
|
1 − q
Chöùng minh. Tröôùc tieân ta coù: ∀n ∈ N
|xn+1 − xn| = |g(xn) − g(xn−1)| 6 q |xn − xn−1| 6 . . . 6 qn |x1 − x0| (2.9)
Khi ñoù ∀n, p ∈ N
|xn+p − xn|
=
6
6
=
|xn+p − xn+p−1 + xn+p−1 − xn+p−2 + · · · + xn+1 − xn|
|xn+p − xn+p−1| + |xn+p−1 − xn+p−2| + · · · + |xn+1 − xn|
qn+p−1 |x1 − x0| + qn+p−2 |x1 − x0| + · · · + qn |x1 − x0|
ꢁ
ꢂ
qn |x1 − x0| qp−1 + qp−2 + · · · + 1
1 − qp
=
qn |x1 − x0|
.
(2.10)
1 − q
1 − qp
1 − q
Vì 0 < q < 1 vaø |x1 − x0|
laø moät ñaïi löôïng bò chaën vôùi moïi
p, neân veá phaûi cuûa (2.10) laø moät voâ cuøng beù khi n tieán ra voâ cuøng.
Do ñoù daõy {xn}∞n=1 hoäi tuï theo tieâu chuaån Cauchyï. Cho neân toàn taïi
lim xn = ξ. Ñoàng thôøi vì haøm g(x) lieân tuïc, neân khi chuyeån qua giôùi
n→∞
haïn trong (2.6) ta thu ñöôïc:
ξ = lim xn+1 = lim g(xn) = g( lim xn) = g(ξ)
n→∞
n→∞
n→∞
Vaø nhö vaäy ξ ≡ x chính laø nghieäm cuûa phöông trình (2.5). Baây giôø,
trong coâng thöùc (2.10), coá ñònh n vaø cho p tieán ra voâ cuøng, ta thu ñöôïc
coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá (2.7). Maët khaùc, neáu trong (2.9) ta söû duïng
baát ñaúng thöùc |xn+1 − xn| 6 q |xn − xn−1|, thì (2.10) seõ coù daïng
1 − qp
|xn+p − xn| 6 q |xn − xn−1
|
1 − q
2.3 Phöông phaùp laëp ñôn
23
Cuõng coá ñònh n vaø cho p tieán ra voâ cuøng, ta thu ñöôïc coâng thöùc ñaùnh
giaù sai soá (2.8). Ñònh liù ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn.
YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông phaùp laëp ñöôïc theå hieän qua hình veõ
sau.
Hình 2.3: YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông phaùp laëp.
Ví duï 2.10. Xeùt phöông trình x3+x−1000 = 0 trong khoaûng caùch li nghieäm
√
[9, 10]. Chuyeån phöông trình ñaõ cho veà daïng: x = g(x) = 3 1000 − x
1
Khi ñoù g0(x) = −
vaø ∀x ∈ [9, 10], |g0(x)| 6 0.0034 =
p
3 3 (1000 − x)2
q < 1. Do ñoù g(x) laø haøm co treân [9, 10]. Ta cuõng deã daøng kieåm
tra raèng ∀x ∈ [9, 10], g(x) ∈ [9, 10]. Do ñoù phöông phaùp laëp hoäi
tuï. Choïn x0 = 10, xaây döïng daõy laëp theo coâng thöùc xn+1
=
√
3 1000 − xn, ∀n = 0, 1, 2, . ... Töø coâng thöùc (2.8) ta coù sai soá cuûa
nghieäm gaàn ñuùng xn laø |xn − x| 6 0.0034116 |xn − xn−1| = ∆x
n
Ta coù baûng sau:
n
0
1
2
3
4
xn
10
∆
xn
9.966554934 0.1127 × 10−3
9.966667166 0.3779 × 10−6
9.966666789 0.1270 × 10−8
9.966666791 0.6735 × 10−11
Ví duï 2.11. Baây giôø ta xeùt phöông trình x = g(x) = cos x coù nghieäm duy
nhaát trong ñoaïn [0, 1]. Deã thaáy g(x) laø haøm co trong [0, 1] vôùi heä
24
PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN
soá co q = sin1 ≈ 0.85, vaø ∀x ∈ [0, 1], g(x) = cos x ∈ [0, 1]. Choïn
x0 = 1, phöông phaùp laëp cho ta baûng sau:
n
0
1
2
3
xn
∆
xn
1
0.5403023059 2.6049536001
0.8575532158 1.7977551565
0.6542897905 1.1518260770
. . . . . .. . .
. . .. . .
32 0.7390859996 0.0000121985
33 0.7390845496 0.0000082171
34 0.7390855264 0.0000055351
Qua hai ví duï vöøa neâu, ta nhaän thaáy raèng toác ñoä hoäi tuï (theå hieän
qua soá laàn laëp) cuûa phöông phaùp laëp phuï thuoäc vaøo giaù trò cuûa heä soá
co q. Neáu heä soá co caøng beù (gaàn vôùi 0), thì phöông phaùp laëp hoäi tuï
caøng nhanh. Ngöôïc laïi, neáu heä soá co laø lôùn (gaàn vôùi 1), thì phöông
phaùp laëp hoäi tuï raát chaäm. Ví duï tröôùc (q = 0.0034) cho thaáy ñeán laàn
laëp thöù 4, ta ñaõ coù nghieäm gaàn ñuùng vôùi 9 chöõ soá leû ñaùng tin sau daáu
phaûy thaäp phaân. Coøn trong ví duï sau (q = 0.85), ñeå ñaït ñöôïc 4 chöõ soá
leû ñaùng tín, ta phaûi caàn ñeán khoaûng hôn 30 laàn laëp.
Thuaät toaùn cuûa phöông phaùp laëp ñôn ñöôïc theå hieän trong Chöông
trình 2.2. Ñoái soá cuûa chöông trình goàm: g laø bieåu thöùc cuûa haøm laëp
g(x), x0 laø giaù trò laëp ban ñaàu, q laø heä soá co, eps laø sai soá cho
tröôùc (giaù trò maëc ñònh laø 10−6) vaø N laø soá laàn laëp toái ña cho pheùp
(giaù trò maëc ñònh laø 100). Keát quaû traû veà cuûa chöông trình goàm x laø
vectô nghieäm chöùa daõy laëp {xn}, ss laø vectô chöùa sai soá vaø n laø soá
laàn laëp thöïc teá.
Chöông trình 2.2. - c2iteration : Phöông phaùp laëp ñôn.
function [x,ss,n] = c2iteration(g,x0,q,eps,N)
if nargin < 5, N = 100; end;
if nargin < 4, eps = 1.0E-6; end;
if nargin < 3, error('Haøm phaûi coù toái thieåu 3 ñoái soá.');
end;
2.3 Phöông phaùp laëp ñôn
25
if (q<0)||(q>=1), error('Khoâng laø haøm co.'); end;
x=[];ss=[];x=[x;x0];n=1;err=eps+1;ss=[ss;err];
while (n<N & abs(err)>eps)
x1 = feval(g,x0); err=q/(1-q)*abs(x1-x0);
n=n+1; x=[x;x1]; ss=[ss;err]; x0=x1;
end;
Baây giôø chuùng ta seõ xeùt moät soá khaùi nieäm lieân quan ñeán toác ñoä
hoäi tuï cuûa phöông phaùp laëp. Giaû söû daõy {xn}∞n=1 xaùc ñònh theo coâng
thöùc (2.6) hoäi tuï veà nghieäm chính xaùc x cuûa phöông trình (2.5). Ñaët
en = xn − x laø ñaïi löôïng ñaëc tröng cho ñoä leäch giöõa nghieäm gaàn ñuùng
vaø nghieäm chính xaùc cuûa phöông trình (2.5). Vì phöông phaùp laëp hoäi
tuï neân en → 0. Giaû söû g(x) coù ñaïo haøm ñeán caáp hai lieân tuïc treân [a, b]
vaø söû duïng khai trieån Taylor ñeán caáp hai cuûa haøm g(x) taïi x, ta coù:
en+1
=
=
xn+1 − x = g(xn) − g(x)
g00(x)
g0(x)en +
e2n + o(e2n)
(2.11)
2
Coâng thöùc (2.11) noùi leân moái quan heä giöõa ñoä leäch cuûa nghieäm gaàn
ñuùng vaø nghieäm chính xaùc ôû böôùc hai laàn laëp keá tieáp nhau. Ta coù
en+1
lim
= g0(x) = q
n→∞
en
Do g(x) laø haøm co cho neân |q| < 1. Chuùng ta xeùt hai tröôøng hôïp sau:
Tröôøng hôïp q = 0 : Khi ñoù coù theå chöùng minh ñöôïc raèng toàn taïi moät
giaù trò c sao cho
en
n→∞ qn
lim
= c
vaø ta coù xaáp xæ en ≈ cqn. Laáy logarithm thaäp phaân cuûa trò
tuyeät ñoái hai veá, ta ñöôïc: log |en| ≈ n log|q| + log |c|.
Logarithm cuûa sai soá laø moät xaáp xæ tuyeán tính theo n. Ñieàu naøy
coù nghóa laø soá chöõ soá zero sau daáu chaám thaäp phaân cuûa sai soá
taêng tuyeán tính theo soá laàn laëp. Daïng hoäi tuï nhö vaäy ñöôïc goïi
laø hoäi tuï tuyeán tính hoaëc hoäi tuï caáp moät.
26
PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN
Tröôøng hôïp q = g0(x) = 0 : Ñaây laø tröôøng hôïp ñaëc bieät. Giaû söû
g00(x) = 0 vaø söû duïng ñaúng thöùc (2.11) ta thu ñöôïc
en+1
en2
1
2
lim
=
g00(x)
n→∞
Khi ñoù ta coù: en+1 ≈ aen2 , vaø log|en+1| ≈ 2 log|en| + log|a|.
Ta thaáy logarithm cuûa sai soá nhaân ñoâi sau moãi laàn laëp vaø do ñoù
soá chöõ soá zero sau daáu chaám thaäp phaân cuûa sai soá cuõng nhaân
ñoâi sau moãi böôùc laëp. Söï hoäi tuï nhö vaäy ñöôïc goïi laø hoäi tuï bình
phöông hoaëc hoäi tuï caáp hai.
2.4 PHÖÔNG PHAÙP NEWTON
Söû duïng khaùi nieäm toác ñoä hoäi tuï, ta xaây döïng phöông phaùp laëp
ñôn giaûn nhöng coù toác ñoä hoäi tuï caáp hai. Xeùt phöông trình (2.1). Ta
seõ tìm caùch chuyeån veà daïng (2.5) sao cho daõy laëp xaùc ñònh theo coâng
thöùc (2.6), neáu hoäi tuï, thì seõ hoäi tuï vôùi toác ñoä hoäi tuï caáp hai.
Giaû söû f(x) coù ñaïo haøm ñeán caáp hai lieân tuïc vaø caùc ñaïo haøm
f0(x) vaø f00(x) khoâng ñoåi daáu trong khoaûng caùch li nghieäm [a, b] chöùa
nghieäm chính xaùc x. Neáu h(x) laø haøm khaùc khoâng vôùi moïi x ∈ [a, b],
thì phöông trình (2.1) trong [a, b] seõ töông ñöông vôùi phöông trình
x = g(x) = x − h(x)f(x)
Chuùng ta seõ tìm h(x) sao cho g0(x) = 0. Ta coù
g0(x) = 1 − h0(x)f(x) − h(x)f0(x)
1
vaø töø ñieàu kieän g0(x) = 0 vôùi f(x) = 0 ta thu ñöôïc h(x) =
. Haøm
f0(x)
1
h(x) ñôn giaûn nhaát thoaû maõn ñieàu kieän naøy laø h(x) =
vaø chuùng
f0(x)
ta ñi ñeán coâng thöùc laëp
f(xn−1
)
)
xn = xn−1
−
∀n = 1, 2, 3, . ..
(2.12)
f0(xn−1
2.4 Phöông phaùp Newton
27
Coâng thöùc (2.12) ñöôïc goïi laø coâng thöùc laëp Newton vaø phöông
phaùp xaây döïng daõy laëp theo coâng thöùc (2.12) ñöôïc goïi laø phöông phaùp
Newton1. Veà maët hình hoïc, ñeå xaùc ñònh phaàn töû xn, xuaát phaùt töø
ñieåm coù hoaønh ñoä xn−1 treân ñoà thò cuûa ñöôøng cong y = f(x), ta keõ
tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong. Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa tieáp tuyeán vôùi
truïc hoaønh seõ laø xn. Vì liù do ñoù, phöông phaùp Newton cuõng coøn ñöôïc
goïi laø phöông phaùp tieáp tuyeán (hình 2.4). Noùi chung, söï hoäi tuï cuûa
daõy laëp Newton phuï thuoäc vaøo caùch choïn giaù trò laëp ban ñaàu x0.
Hình 2.4: YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông phaùp Newton.
Ñònh lí 2.6. Giaû söû haøm f(x) coù ñaïo haøm ñeán caáp hai lieân tuïc vaø caùc
ñaïo haøm f0(x) vaø f00(x) khoâng ñoåi daáu treân ñoaïn [a, b]. Khi ñoù neáu
choïn x0 thoõa ñieàu kieän Fourier f(x0)f00(x0) > 0, thì daõy laëp {xn}n∞=1
xaùc ñònh theo coâng thöùc (2.12) seõ hoäi tuï veà nghieäm x cuûa phöông
trình (2.1).
Chuù yù:
• Ñeå ñaùnh giaù sai soá cuûa phöông phaùp Newton, ta söû duïng coâng
thöùc ñaùnh giaù sai soá toång quaùt (2.2).
1Coøn ñöôïc goïi laø phöông phaùp Newton-Raphson
28
PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN
• Ñieàu kieän Fourier chæ laø ñieàu kieän ñuû, khoâng phaûi laø ñieàu kieän
caàn. Töø ñieàu kieän Fourier, ta coù theå ñöa ra qui taéc choïn giaù trò
ban ñaàu x0 nhö sau: Neáu ñaïo haøm caáp moät vaø ñaïo haøm caáp hai
cuøng daáu, thì choïn x0 = b, ngöôïc laïi choïn x0 = a.
• Trong phöông phaùp Newton, ñieàu kieän f0(x) = 0 trong khoaûng
caùch li nghieäm [a, b] laø tieân quyeát. Neáu coù moät ñieåm c ∈ [a, b] ñeå
cho f0(c) = 0 thì phöông phaùp thöôøng duøng laø chia ñoâi ñeå loaïi
boû ñieåm c ñoù tröôùc khi söû duïng phöông phaùp Newton.
Ví duï 2.12. Cho moät soá A > 0. Chuùng ta muoán tính gaàn ñuùng x =
√
A ∈ [a, b] vôùi 0 < a < b. Ta coù x laø nghieäm cuûa phöông trình
f(x) = x2 − A = 0 vaø coâng thöùc laëp Newton coù daïng
ꢃ
ꢄ
x2n−1 − A
2xn−1
f(xn−1
)
)
1
2
A
xn = xn−1
−
= xn−1
−
=
xn−1 +
f0(xn−1
xn−1
vôùi moïi n = 1, 2, 3, . . ., vaø thoaû coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá:
ꢀ
ꢀ
2
ꢀ
ꢀ
xn − A
|f(xn)|
|x − xn| 6
=
= ∆x
n
m
2a
√
Coù theå chöùng toû raèng daõy laëp hoäi tuï veà A vôùi moïi giaù trò laëp döông
ban ñaàu. Vôùi tröôøng hôïp A = 2, x = A ∈ [1, 2], x0 = 1 ta coù
√
baûng sau
n
0
1
2
3
4
xn
∆
xn
1.0000000000
1.5000000000 1.25 × 10−1
1.4166666667 3.48 × 10−3
1.4142156863 3.01 × 10−6
1.4142135624 2.26 × 10−12
Ví duï 2.13. Baây giôø xeùt phöông trình f(x) = x3 − 3x + 1 = 0 trong
khoaûng caùch li nghieäm [0, 1]. Ta nhaän thaáy f0(x) = 3x2 − 3 trieät tieâu
taïi x = 1 ∈ [0, 1]. Do ñoù ta duøng phöông phaùp chia ñoâi ñeå thu heïp
khoaûng caùch li nghieäm. Vì f(0) > 0 vaø f(12) < 0 neân nghieäm thuoäc
2.4 Phöông phaùp Newton
29
9
4
[0, 12], maø trong ñoù f0(x) < 0. Deã thaáy ∀x ∈ [0, 12 ], |f0(x)| > = m
vaø f00(x) = 6x > 0. Vì ñaïo haøm caáp moät vaø ñaïo haøm caáp hai khaùc
daáu, choïn x0 = 0, xaây döïng daõy {xn}∞n=0 theo coâng thöùc:
x3n−1 − 3xn−1 + 1
2x3n−1 − 1
xn = xn−1
−
=
.
3x2n−1 − 3
3x2n−1 − 3
Khi ñoù nghieäm gaàn ñuùng xn thoaû maõn ñaùnh giaù:
ꢀ
ꢀ
3
ꢀ
ꢀ
xn − 3xn + 1
|x − xn| 6
= ∆x .
n
9/4
Keát quaû tính toaùn cho ta baûng sau:
n
0
1
2
3
xn
∆
xn
0.0000000000
0.3333333333 1.65 × 10−2
0.3472222222 8.70 × 10−5
0.3472963532 2.55 × 10−9
Thuaät toaùn cuûa phöông phaùp Newton ñöôïc theå hieän trong Chöông
trình 2.3. Ñoái soá cuûa chöông trình goàm: f vaø f1 laø bieåu thöùc cuûa
haøm f(x) vaø ñaïo haøm cuûa noù, x0 laø giaù trò laëp ban ñaàu, m laø giaù trò
nhoû nhaát cuûa ñaïo haøm caáp moät, eps laø sai soá cho tröôùc (giaù trò maëc
ñònh laø 10−6) vaø N laø soá laàn laëp toái ña cho pheùp (giaù trò maëc ñònh laø
100). Keát quaû traû veà cuûa chöông trình goàm x laø vectô nghieäm chöùa
daõy laëp {xn}, ss laø vectô chöùa sai soá vaø n laø soá laàn laëp thöïc teá.
Chöông trình 2.3. - c2newton : Phöông phaùp Newton.
function [x,ss,n] = c2newton(f,f1,x0,m,eps,N)
if nargin < 6, N = 100; end;
if nargin < 5, eps = 1.0E-6; end;
if nargin < 4
error('Haøm phaûi coù toái thieåu 4 ñoái soá.');
end;
x=[];ss=[];x=[x;x0];n=1;err=eps+1;ss=[ss;err];
30
PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN
while (n<N & err>eps)
x1 = x0-feval(f,x0)/feval(f1,x0);
err=feval(f,x1)/m;
n=n+1; x=[x;x1]; ss=[ss;err]; x0=x1;
end;
2.5 GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN
Trong phaàn naøy ta söû duïng yù töôûng cuûa phöông phaùp Newton ñeå
giaûi heä ñôn giaûn goàm hai phöông trình phi tuyeán vôùi hai aån. Tröôøng
hôïp soá phöông trình vaø soá aån nhieàu hôn ta cuõng xeùt töông töï. Xeùt heä
F(x, y) = 0, G(x, y) = 0,
(2.13)
vôùi F(x, y), G(x, y) laø caùc haøm lieân tuïc vaø coù caùc ñaïo haøm rieâng theo
caùc bieán x vaø y lieân tuïc trong laân caän cuûa nghieäm (x, y). Giaû söû
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
Fx0 Fy0
J(x, y) =
= 0,
G0x G0y
vôùi moïi (x, y) trong laân caän cuûa nghieäm. Khi ñoù neáu choïn (x0, y0) ñuû
gaàn nghieäm (x, y) thì hai daõy {xn} vaø {yn} thu ñöôïc töø coâng thöùc:
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
F(xn−1, yn−1
G(xn−1, yn−1
)
)
)
F0 (xn−1, yn−1
)
)
)
)
1
y
xn = xn−1
yn = yn−1
−
−
,
G0 (xn−1, yn−1
J(xn−1, yn−1
)
y
ꢀ
ꢀ
F0 (xn−1, yn−1
F(xn−1, yn−1
G(xn−1, yn−1
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
1
x
G0 (xn−1, yn−1
)
J(xn−1, yn−1
)
x
seõ hoäi tuï veà nghieäm cuûa heä phöông trình (2.13).
Ví duï 2.14. Xeùt heä phöông trình
F(x, y) = x2 + xy − 10 = 0, G(x, y) = y + 3xy2 − 57 = 0
Choïn x0 = 1.5; y0 = 3.5. Ta coù:
∂F
∂F
F(x0, y0) = −2.5
G(x0, y0) = 1.625
(x0, y0) = 6.5
(x0, y0) = 1.5
(x0, y0) = 32.5
∂x
∂G
∂y
∂G
(x0, y0) = 36.75
∂x
∂y
2.6 Baøi taäp
Nhö vaäy x = 1.5 −
31
−2.5(32.5) − 1.625(1.5)
6.5(32.5) − 1.5(36.75)
= 2.03603
−2.5(36.75) − 1.625(6.5)
y = 3.5 −
= 2.84388
6.5(32.5) − 1.5(36.75)
2.6 BAØI TAÄP
1. Tìm nhöõng khoaûng caùch li nghieäm thöïc cuûa caùc phöông trình
sau ñaây:
(a) x4 − 4x + 1 = 0;
(b) ex −x2 + 3x − 2 = 0;
(d) 4 sinx + 1 − x = 0;
(f) x4 − 4x3 + 2x2 − 8 = 0;
(h) 3x2 + ln x = 0.
(c) x cos x − 2x2 + 3x − 1 = 0;
(e) 1 − x − e−2x = 0;
(g) ex −x2 + x = 0;
2. Söû duïng phöông phaùp chia ñoâi tìm nghieäm gaàn ñuùng ôû laàn laëp
√
thöù 5 (x5) cuûa phöông trình x − cos x = 0 trong [0,1]. Söû duïng
coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá toång quaùt, tính sai soá cuûa noù vaø so
saùnh vôùi sai soá tính coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá cuûa phöông phaùp
chia ñoâi.
3. Söû duïng phöông phaùp chia ñoâi tìm nghieäm gaàn ñuùng vôùi sai soá
nhoû hôn 10−2 cuûa caùc phöông trình sau:
(a) x = tg x trong [4, 4.5];
(b) 2 + cos (ex −2) − ex = 0 trong [0.5, 1.5].
4. Moãi moät haøm sau ñaây ñeàu coù cuøng chung ñieåm baát ñoäng x laø
nghieäm cuûa phöông trình x4 + 2x2 − x − 3 = 0 :
(a) g1(x) = (3 + x − 2x2)1/4
ꢃ
ꢃ
ꢄ
1/2
x + 3 − x4
(b) g2(x) =
2
ꢄ
1/2
x + 3
x2 + 2
(c) g3(x) =
(d) g4(x) =
3x4 + 2x2 + 3
4x3 + 4x − 1
Haõy thöïc hieän boán laàn laëp cho moãi haøm gk(x), k = 1, 2, 3, 4 xaùc
ñònh ôû treân vôùi cuøng giaù trò laëp ban ñaàu x0 = 1 vaø so saùnh caùc
32
PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN
keát quaû vôùi nhau. Haøm naøo cho chuùng ta daõy laëp hoäi tuï veà
nghieäm toát hôn?
5. Söû duïng phöông phaùp laëp, tìm nghieäm gaàn ñuùng vôùi sai soá nhoû
hôn 10−3 cho caùc phöông trình sau:
(a) x3 − 3x2 − 5 = 0 trong ñoaïn [3, 4], choïn x0 = 3.5;
(b) x3 − x − 1 = 0 trong ñoaïn [1, 2], choïn x0 = 1.5;
x2 − ex +2
(c) x =
trong ñoaïn [0, 1], choïn x0 = 0.5.
3
6. Xeùt phöông trình x + ex = 2. Haõy chöùng toû raèng phöông trình coù
nghieäm duy nhaát trong ñoaïn [0,1]. Neáu söû duïng coâng thöùc laëp
xn+1 = 2 − ex ta coù theå tìm ñöôïc nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông
n
trình hay khoâng? Neáu khoâng, haõy chæ ra coâng thöùc laëp khaùc toát
hôn. Haõy giaûi thích taïi sao?
7. Vôùi caùc phöông trình döôùi ñaây, haõy xaùc ñònh khoaûng [a, b] maø
trong ñoù phöông phaùp laëp hoäi tuï. Ñaùnh giaù soá laàn laëp caàn thieát
ñeå tìm nghieäm gaàn ñuùng vôùi ñoä chính xaùc 10−4
.
5
(a) x =
+ 2;
x2
(b) x = (ex /3)1/2
;
(c) x = 6−x
;
1
(d) x = (sin x + cos x).
2
8. Söû duïng phöông phaùp Newton tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa caùc
phöông trình sau vôùi ñoä chính xaùc 10−5
.
(a) ex +2−x + 2 cos x − 6 = 0 trong ñoaïn [1, 2];
(b) ln(x − 1) + cos (x − 1) = 0 trong ñoaïn [1.3, 2];
(c) 2x cos 2x − (x − 2)2 = 0 trong ñoaïn [2, 3] vaø [3, 4];
(d) (x − 2)2 − ln x = 0 trong ñoaïn [1, 2] vaø [e, 4];
(e) ex −3x2 = 0 trong ñoaïn [0, 1] vaø [3, 5];
(f) sin x − e−x = 0 trong ñoaïn [0, 1], [3, 4] vaø [6, 7].
2.6 Baøi taäp
33
9. Söû duïng phöông phaùp Newton ñeå giaûi phöông trình
1
2
1
4
1
2
f(x) =
+
x2 − x sinx − cos 2x = 0
vôùi giaù trò laëp ban ñaàu x0 = π/2 vôùi sai soá nhoû hôn 10−5. Giaûi
thích taïi sao keát quaû döôøng nhö khoâng bình thöôøng ñoái vôùi
phöông phaùp Newton. Haõy giaûi phöông trình vôùi x0 = 5π vaø
x0 = 10π.
10. Ña thöùc P(x) = 10x3 − 8.3x2 + 2.295x − 0.21141 = 0 coù nghieäm
x = 0.29. Söû duïng phöông phaùp Newton vôùi giaù trò laëp ban ñaàu
x0 = 0.28 ñeå tìm nghieäm naøy. Giaûi thích ñieàu gì xaûy ra.
11. Trong caùc heä phöông trình sau ñaây, haõy tìm x1, y1 theo phöông
phaùp Newton.
ꢅ
y = −x2 + x + 0.5
(a)
(b)
(c)
(d)
choïn x0 = y0 = 1.2;
y + 5xy = x3
ꢅ
ꢅ
ꢅ
y + 1 = x2
choïn x0 = y0 = 1.75;
choïn x0 = 0.5, y0 = 0.8;
5 − y2 = x2
x2 + y2 = 1
y = x3
sin(x + y) = 1
choïn x0 = 0.2, y0 = 1.2.
x3 − 3xy + y3 = 1
12. Vaän toác rôi cuûa moät vaät ñöôïc tính theo coâng thöùc:
ꢆ
ꢇ
gm
v =
1 − e−(c/m)t
,
c
vôùi g = 9.8m/s2. Bieát c = 13.5kg/s, haõy xaùc ñònh khoái löôïng m
ñeå cho v = 36m/s taïi thôøi ñieåm t = 6s. Tính ñeán ba chöõ soá ñaùng
tin sau daáu chaám thaäp phaân.
13. Phöông trình Van der Waals ñoái vôùi chaát khí coù daïng
ꢆ
ꢇ
a
ν2
p +
(ν − b) = RT,
vôùi R = 0.082054L · atm/(mol · K), a, b laø caùc haèng soá phuï thuoäc
vaøo chaát khí cuï theå; p laø aùp suaát; T laø nhieät ñoä, V laø theå tích;
34
PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN
n laø soá mole, ν = V/n laø theå tích mole. Haõy xaùc ñònh theå tích
mole ν cuûa hai chaát khí laø carbon dioxide (CO2) vaø oxygen (O2)
döôùi aùp suaát 1, 10 vaø 100 atm vaø ôû nhieät ñoä 300, 500 vaø 700K.
Bieát raèng ñoái vôùi carbon dioxide ta coù a = 3.592, b = 0.04267; coøn
ñoái vôùi oxygen ta coù a = 1.360, b = 0.03183.
20 trang
25840
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Phương pháp tính - Chương 2: Phương trình phi tuyến", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_phuong_phap_tinh_chuong_2_phuong_trinh_phi_tuyen.pdf
