Bài giảng Toán rời rạc - Chương 2: Tập hợp và ánh xạ
Baøi giaûng moân
Raïc
Taäp hôïp
Nguyeãn Anh
Thi
Ñònh nghóa
Taäp hôïp ñöôïc duøng ñeå chæ moät nhoùm caùc ñoái töôïng naøo ñoù maø
chuùng ta ñang quan taâm xem xeùt, vaø nhoùm naøy phaûi ñöôïc xaùc
ñònh toát.
Ví duï
•
•
Taäp hôïp sinh vieân cuûa moät tröôøng ñaïi hoïc.
Taäp hôïp caùc soá nguyeân toá.
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
Taäp hôïp
Nguyeãn Anh
Thi
Caùc ñoái töôïng trong taäp hôïp ñöôïc goïi laø phaàn töû hay thaønh vieân
cuûa taäp hôïp. Khi ñoái töôïng laø moät phaàn töû cuûa taäp hôïp, ta noùi
ñoái töôïng thuoäc veà, (kyù hieäu ∈), taäp hôïp. Khi ñoái töôïng khoâng
phaûi laø moät phaàn töû cuûa taäp hôïp, ta noùi ñoái töôïng khoâng thuoäc
veà taäp hôïp.
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
Taäp hôïp
Nguyeãn Anh
Thi
Ñònh nghóa
Soá phaàn töû cuûa moät taäp hôïp A ñöôïc goïi laø löïc löôïng cuûa taäp
hôïp, kyù hieäu |A|.
Neáu A coù höõu haïn phaàn töû, ta noùi A laø taäp höõu haïn. Ngöôïc laïi,
neáu A coù voâ haïn phaàn töû, ta noùi A laø taäp voâ haïn.
Ví duï
•
•
N, Z, R laø caùc taäp hôïp voâ haïn.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} laø taäp hôïp höõu haïn coù soá phaàn töû laø
|A| = 6.
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
Taäp hôïp
Nguyeãn Anh
Thi
Ñònh nghóa
Taäp hôïp A vaø B ñöôïc xem laø baèng nhau khi chuùng coù cuøng caùc
phaàn töû, töùc laø moãi phaàn töû thuoäc A ñeàu laø phaàn töû thuoäc B vaø
ngöôïc laïi. Ta vieát A = B.
Taäp hôïp khoâng coù phaàn töû naøo ñöôïc goïi laø taäp hôïp roãng, vaø
ñöôïc kyù hieäu laø ∅.
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
Taäp hôïp
Nguyeãn Anh
Thi
Caùch xaùc ñònh taäp hôïp
•
Caùch lieät keâ
Ta lieät0k0 eâ taát caû caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp giöõa hai daáu
ngoaëc {00 vaø }00.
00
Ví duï
A = {1, 2, 3, 4}
•
Caùch neâu ñaëc tröng cuûa caùc phaàn töû.
Ví duï
B = {n ∈ N|n chia heát cho 3}.
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
Taäp hôïp
Nguyeãn Anh
Thi
Ñònh nghóa
Cho A vaø B laø hai taäp hôïp maø caùc phaàn töû cuûa chuùng ñeàu
thuoäc moät taäp hôïp lôùn U (hay coøn goïi laø taäp vuõ truï). Ta noùi taäp
A bao haøm trong (hay chöùa trong) taäp B neáu moãi phaàn töû cuûa
taäp hôïp A ñeàu thuoäc taäp hôïp B. Ta cuõng noùi raèng B bao haøm
A (hay B chöùa A), vaø vieát laø: A ⊂ B (hay B ⊃ A).
Khi A ⊂ B chuùng ta noùi A laø moät taäp hôïp con cuûa B.
Ví duï
•
•
{0, 1, 2} ⊂ {n ∈ N : n < 10}
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
Taäp hôïp
Nguyeãn Anh
Thi
Ñònh nghóa
Cho X laø moät taäp hôïp. Nhoùm taát caû caùc taäp hôïp con cuûa X
ñöôïc kyù hieäu laø P(X), laø moät taäp hôïp maø moãi phaàn töû cuûa noù
laø moät taäp hôïp con cuûa X.
Tính chaát
•
•
•
•
•
∅ ⊂ A vaø A ⊂ A, vôùi moïi taäp hôïp A.
(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇒ (A = B).
(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C).
X ⊂ Y ⇒ P(X) ⊂ P(Y).
Neáu taäp hôïp X coù n phaàn töû thì taäp hôïp P(X) coù 2n phaàn
töû.
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
Taäp hôïp
Nguyeãn Anh
Thi
Caùc pheùp toaùn taäp hôïp
•
Giao cuûa hai taäp hôïp A vaø B, kyù hieäu bôûi A ∩ B, laø taäp hôïp
goàm taát caû caùc phaàn töû vöøa thuoäc taäp A, vöøa thuoäc taäp B.
A ∩ B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
•
Hoäi cuûa hai taäp hôïp A vaø B, kyù hieäu bôûi A ∪ B, laø taäp hôïp
goám taát caû caùc phaàn töû sao cho noù thuoäc taäp A hay thuoäc
taäp B.
A ∪ B = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
Nguyeãn Anh
Thi
•
•
Hieäu cuûa hai taäp hôïp A vaø B, kyù hieäu bôûi A\B (hay A-B), laø
taäp hôïp goàm taát caû caùc phaàn töû sao cho noù thuoäc taäp A vaø
khoâng thuoäc taäp B.
Phaàn buø cuûa taäp A (trong U), kyù hieäu bôûi Ac, laø taäp hôïp taát
caû caùc phaàn töû cuûa U maø khoâng thuoäc A. Noùi caùch khaùc,
Ac = U − A.
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
Taäp hôïp
Nguyeãn Anh
Thi
Caùc tính chaát cuûa pheùp toaùn
•
•
Tính giao hoaùn: A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A
Tính chaát keát hôïp: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
•
Tính phaân boá: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Luaät De Morgan: (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc, (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
Phaàn töû trung hoøa: A ∪ ∅ = A, A ∩ U = A
Phaàn buø: A ∪ Ac = U, A ∩ Ac = ∅
•
•
•
•
Tính thoáng trò: A ∪ U = U, A ∩ ∅ = ∅
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
Taäp hôïp
Nguyeãn Anh
Thi
Ñònh nghóa
Tích Descartes cuûa hai taäp hôïp A vaø B, kyù hieäu laø A × B, laø taäp
hôïp goàm taát caû caùc caëp (a, b) sao cho a ∈ A vaø b ∈ B. Töùc laø
A × B = {(a, b) : (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}.
Trong tröôøng hôïp B = A, ta kyù hieäu A × B laø A2.
Ñònh nghóa
Tích Descartes cuûa n taäp hôïp A1, A , . . . , An, kyù hieäu laø
A × A × · · · × An laø taäp hôïp goàm2taát caû caùc boä n phaàn töû
1
2
(a1, a2, . . . , an) vôùi ai ∈ Ai (∀i = 1, . . . , n, n > 1).
Neáu A1 = A2 = . . . An = A thì taäp hôïp tích A1 × A2 × · · · × An
seõ ñöôïc vieát laø An.
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
AÙnh xaï
Nguyeãn Anh
Thi
Ñònh nghóa
Cho hai taäp hôïp X, Y = ∅. AÙnh xaï giöõa hai taäp hôïp X vaø Y laø
moät quy taéc sao cho moãi x ∈ X toàn taïi duy nhaát moät y ∈ Y ñeå
f(x) = y. Ta vieát
f : X −→ Y
x
−→ y = f(x)
Nghóa laø vôùi moãi x ∈ X, toàn taïi duy nhaát y ∈ Y sao cho y = f(x).
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
AÙnh xaï
Nguyeãn Anh
Thi
Ñònh nghóa
Hai aùnh xaï f vaø g töø X vaøo Y ñöôïc goïi laø baèng nhau neáu
∀x ∈ X, f(x) = g(x).
Ví duï
Xeùt aùnh xaï f(x) = (x − 1)(x + 1) vaø g(x) = x2 − 1
Ñònh nghóa
Cho f : X −→ Y vaø g : Y −→ Z, luùc ñoù g ◦ f : X −→ Z laø aùnh xaï
hôïp cuûa g vaø f, ñöôïc xaùc ñònh bôûi g ◦ f(x) = g(f(x)).
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
Caùc loaïi aùnh xaï
Nguyeãn Anh
Thi
Ñònh nghóa
Cho f : X → Y laø aùnh xaï töø X vaø Y.
a. f ñöôïc goïi laø moät ñôn aùnh khi vaø chæ khi
∀x1, x2 ∈ X, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2. Hay noùi caùch khaùc, f
ñöôïc goïi laø moät ñôn aùnh khi vaø chæ khi
x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2)
b. f ñöôïc goïi laø moät toaøn aùnh khi vaø chæ khi
∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : f(x) = y. Hay noùi caùch khaùc, f ñöôïc goïi laø
moät toaøn aùnh khi vaø chæ khi Im(f) = Y.
c. f ñöôïc goïi laø moät song aùnh khi vaø chæ khi f vöøa laø ñôn aùnh
vöøa laø toaøn aùnh. Hay noùi caùch khaùc, f ñöôïc goïi laø moät song
aùnh khi vaø chæ khi ∀y ∈ Y, ∃! x ∈ X : f(x) = y.
Nguyeãn Anh Thi
Baøi giaûng moân
Raïc
AÙnh xaï
Nguyeãn Anh
Thi
Ñònh nghóa
Khi f laø moät song aùnh töø X vaøo Y, quy taéc vôùi moãi phaàn töû
y ∈ Y, ta xaùc ñònh ñöôïc duy nhaát moät x ∈ X (thoûa f(x) = y) laø
moät aùnh xaï töø Y vaøo X, goïi laø aùnh xaï ngöôïc cuûa f, kyù hieäu f−1
.
Ví duï
Cho
f : [0; 2] −→ [0; 4]
x
−→ x2
thì
f−1 : [0; 4] −→ [0; 2]
√
y
−→
y
Nguyeãn Anh Thi
20 trang
15/01/2024
11001
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán rời rạc - Chương 2: Tập hợp và ánh xạ", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_toan_roi_rac_chuong_2_tap_hop_va_anh_xa.pdf
