30 Bài toán môn Phương pháp tính
Bài 2: Dùng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng của
x3 + 3x2 - 3 = 0
với độ chính xác 10-3, biết khoảng phân ly nghiệm (-3 ; -2).
Lời giải :
Ta có: f (x) = x3 + 3x2 - 3
f’ (x) = 3 x2 +6x <=> f’(x) = 0 => x1 = 0
x2 = -2
Bảng biến thiên:
X
-2
0
0
0
+∞
+∞
f (x)
f (x)
-∞
1
-3
Ta có :
f (-3) = - 3 < 0
f (-2) = 1 > 0
Khoảng phân ly nghiệm [ -3; -2]
Áp dụng phương pháp chia đôi ta có:
a b
2
(3) (2)
C1 =
=
= -2.5 => F1(C1) = 0.125 >0
2
=> Khoảng phân ly nghiệm [ -3;-2.5 ]
(3) (2.5)
C2 =
= -2.75
=> F2(C2) = -1.109 < 0
2
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.75; -2.5 ]
(2.75) (2.5)
C3 =
= -2.625 => F3(C3) = - 0.416 < 0
2
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.625; -2.5 ]
(2.625) (2.5)
C4 =
= -2.5625
=> F4(C4) = - 0.127 < 0
2
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.5 ]
(2.5625) (2.5)
C5 =
= -2.53125
=> F5(C5) = 0.004 >0
2
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.53125 ]
C6 = -2.546875 => F6(C6) = - 0.061 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.546875; -2.53125 ]
C7 = -2.5390625=> F7(C7) = - 0.029 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.5390625; -2.53125 ]
C8 = -2.53515=> F8(C8) = - 0.012 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.53515; -2.5390625 ]
C9 = -2.537106=> F9(C9) = - 0.020 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.537106; -2.5390625 ]
C10 = -2.538084=> F10(C10) = - 0.024 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.538084; -2.5390625 ]
Ta lấy nghiệm gần đúng: = - 2.538084
Đánh giá sai số: |α – bn| ≤ bn - an = |-2.5390625 –
-3
(-2.538084) | = 9,785.10- 4 < 10
-3
Bài 3: Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm đúng với độ chính xác 10
a) x3 + 3x2 – 3 = 0 , biết khoảng cách ly nghiệm là ( -2.75; -2.5)
1
x 1
b)
=
x
Lời giải :
a) x3 + 3x2 – 3 = 0 , biết khoảng cách ly nghiệm là [ -2.75; -2.5]
<=> x3 = 3 - 3x2 <=> (3 - 3x2 )1/3
Ta nhận thấy | f ’ | ≤ 0.045< 1 nên ta chọn hàm lặp = (3 - 3x2 )1/3
(x)
(x)
Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ -2.75; -2.5]
Do f (- 2.5) < 0 nên ta chọn đầu b = - 2.5 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = - 2.5
Ta có quá trình lặp .
1
(3 3x2 )2
’
1
1
Đặt (x) = (3 - 3x2 )1/3 <=> (x) = (3 – 3x)-2/3 = .
3
3
3
Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ -2.75; -2.5]
1
xo = - 2.5 ; q = . Vì
€ [ -2.75; -2.5]
3
’
ta có: | ’(x) |
x € [ -2.75; -2.5]; (x) < 0 x € [ -2.75; -2.5]
1
3
x
n + 1 = (3 - 3x2 )1/3
xo = - 2.5
x1 = (3 – 3.(-2.5)2 )1/3 = -2.5066
x2 = (3 – 3.( x1)2 )1/3 = -2.5119
x3 = (3 – 3.( x2)2 )1/3 = -2.5161
x4 = (3 – 3.( x3)2 )1/3 = -2.5194
x5 = (3 – 3.( x4)2 )1/3 = -2.5221
x6 = (3 – 3.( x5)2 )1/3 = -2.5242
x7 = (3 – 3.( x6)2 )1/3 = -2.5259
x8 = (3 – 3.( x7)2 )1/3 = -2.5272
x9 = (3 – 3.( x8)2 )1/3 = -2.5282
x10= (3 – 3.( x9)2 )1/3 = -2.590
x11 = (3 – 3.( x10)2 )1/3 = -2.5296
x12 = (3 – 3.( x11)2 )1/3 = -2.5301
Ta lấy nghiệm gần đúng: = - 2.5301
q
- 4
-3
Đánh giá sai số: | - x12 | = 1 q | x12 - x11 | = 2.5.10 < 10
1
x 1
b)
=
x
1
x 1
Đặt f(x) =
-
x
Từ đồ thị ta có :
f (0.7) = - 0.12473 < 0
f (0.8) = 0.09164 > 0
f (0.7) . f (0.8) < 0 . Vậy ta có khoảng phân ly nghiệm là [ 0.7; 0.8]
Ta có:
1
<=> x =
= (x + 1 ) - 1/2
x 1
1
1
Đặt (x) = (x + 1 ) - 1/2 <=> ’(x) = -1 (x + 1) - 3/2 = - .
(x 1)3
2
2
Ta nhận thấy | f ’ | ≤ 0.4141< 1 nên ta chọn hàm lặp = (x + 1 ) - 1/2
(x)
(x)
Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ 0.7; 0.8]
Do f (0.7) < 0 nên ta chọn đầu b = 0.8 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = 0.7.
Ta có quá trình lặp
q = 0.4141 . Vì
€ [ 0.7; 0.8]
1
2
’
ta có: | ’(x) |
x € [ 0.7; 0.8] ; (x) < 0 x € [ 0.7; 0.8]
-1/2
xn + 1 = (x + 1 )
xo = 0.7
x1 = (0.7 + 1 ) -1/2 = 0.766964988
x2 = (x1+ 1 ) -1/2 = 0.75229128
x3 = (x2+ 1 ) -1/2 = 0.755434561
x4 = (x3+ 1 ) -1/2 = 0.754757917
Ta lấy nghiệm gần đúng: = 0.754757917
q
-3
| x4 – x3 | = 4,7735.10-4 < 10
Đánh giá sai số: | - x4 | =
1 q
Bài 4: Dùng phương pháp dây cung và tiếp tuyến, tìm nghiệm đúng với độ
-2
chính xác 10
a) x3 + 3x2 + 5 = 0
b) x4 – 3x + 1 = 0
Lời giải :
a) x3 + 3x2 + 5 = 0
Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình:
f (x) = x3 + 3x2 + 5
<=> x3 = 5 - 3x2
Đặt y1 = x3
y2 = 5 - 3x2
y
-2 0
1
x
-1
-2
Từ đồ thị ta có:
f (-2 ) = - 9 < 0
Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1 ]
f (-1 ) = 1 > 0
Vì f (-2 ) . f (-1 ) < 0
* Áp dụng phương pháp dây cung ta có:
Do f (-2 ) = - 9 < 0 => chọn xo = -2
f (x0 ).(b a)
f (b) f (a)
x1 = xo –
= -1.1
f (x1) = 0.036 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.1 ]
f (x1 ).(b a)
f (b) f (a)
x2 = x1 –
= -1.14
f (x2) = 0.098 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.14 ]
f (x2 ).(b a)
f (b) f (a)
x3 = x2 –
= -1.149
f (x3) = 0.0036> 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.149 ]
x4 = -1.152 => f (x4) = 0.015> 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ; -1.152 ]
x5 = -1.1534 => f (x5) = 0.0054 > 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ;-1.1534 ]
x6 = -1.1539 => f (x6) = -1.1539 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ;-1.1539 ].
= - 1.53
Ta chọn nghiệm gần đúng
f (x)
’
Đánh giá sai số: | - x6 | | | với m là số dương : 0 < m f (x)
m
1.36 .10 -3 < 10 -2
x € [-2 ;-1] | - x6 |
* Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) ta có:
f ’(-2) = 19 > 0
f ’’(-2) = -12 < 0
=> f ’(-2) . f ’’(-2) < 0 nên ta chọn x0 = -2
Với x0 = -2 ta có:
f ( x0 )
x1 = x0 -
x2 = x1 -
x3 = x2 -
x4 = x3 -
= -1.4
'
f ( x0 )
f ( x1 )
= -1.181081081
= -1.154525889
'
f ( x1 )
f ( x2 )
'
f ( x2 )
f ( x3 )
= -1.15417557
'
f ( x3 )
= - 1.154
Ta chọn nghiệm gần đúng
f (x)
’
Đánh giá sai số: | - x4 | | | với m là số dương : | f (x) | m > 0
m
1.99 .10 - 4 < 10 -2
x € [-2 ;-1] | - x4 |
b) x4 – 3x + 1 = 0
Tìm khoảng phân ly nghiệm :
f (x) = x4 – 3x + 1
3
3
3
f’(x) = 4x3 - 3 <=> f’(x) = 0 => => x =
=
0.75
4
Bảng biến thiên:
3
X
-∞
-∞
+∞
+∞
0.75
0
f (x)
f (x)
- 1.044
Ta có :
f (0) = 1 > 0
f (1) = -1< 0
f (2) = 11> 0
Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 1 ] ; [ 1; 2 ]
* Áp dụng phương pháp dây cung trong khoảng [ 0 ; 1 ] ta có:
Do f (1 ) = - 1 < 0 => chọn xo = 1
f (x0 ).(b a)
f (b) f (a)
x1 = xo –
= 0.5
f (x1) = - 0.4375 <0 => Khoảng phân ly nghiệm [ 0; 0.5 ]
f (x1 ).(b a)
f (b) f (a)
x2 = x1 –
= 0.3478
f (x2) = - 0.0288 <0 => Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 0.3478]
f (x2 ).(b a)
f (b) f (a)
x3 = x2 –
= 0.3380
f (x3) = - 0.00095 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 0.3380]
x4 = 0.3376 => f (x4) = 0.0019 > 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [0.0019; 0.3380]
= 0.3376
Ta chọn nghiệm gần đúng
f (x)
’
Đánh giá sai số: | - x4 | | | với m là số dương : 0 < m f (x)
m
1.9.10 - 4 < 10 -2
x € | - x4 |
* Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) trong khoảng [ 0 ; 1 ] ta có:
f ’(1) = 1 > 0
f ’’(1) = 12 > 0
=> f ’(1) . f ’’(1) > 0 nên ta chọn x0 = 0
Với x0 = 0 ta có:
f ( x0 )
x1 = x0 -
x2 = x1 -
x3 = x2 -
= 0.3333
= 0.33766
= 0.33766
'
f ( x0 )
f ( x1 )
'
f ( x1 )
f ( x2 )
'
f ( x2 )
= 0.3376
Ta chọn nghiệm gần đúng
f (x)
’
Đánh giá sai số: | - x3| | | với m là số dương : | f (x) | m > 0
m
6 .10 - 5 < 10 -2
x € [ 0 ; 1 ] | - x3|
* Áp dụng phương pháp dây cung trong khoảng [ 1; 2 ] ta có:
Do f (1 ) = - 1 < 0 => chọn xo = 1
f (x0 ).(b a)
f (b) f (a)
x1 = xo –
= 1.083
f (x1) = - 0.873<0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.083; 2]
f (x1 ).(b a)
f (b) f (a)
x2 = x1 –
= 1.150
f (x2) = - 0.7 <0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.150; 2]
f (x2 ).(b a)
f (b) f (a)
x3 = x2 –
= 1.2
f (x3) = - 0.526< 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2 ; 2]
x4 = 1.237 => f (x4) = -0.369 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.237 ; 2]
x5 = 1.2618 => f (x5) = -0.25 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.2618 ; 2]
x6 = 1.2782 => f (x6) = - 0.165 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.2782 ; 2]
x7 = 1.2889 => f (x7) = - 0.1069 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.2889; 2]
x8 = 1.2957 => f (x8) = - 0.068 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.2957; 2]
x9= 1.3000 => f (x9) = - 0.0439 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.3; 2]
x10= 1.3028 => f (x10) = - 0.027 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.3028; 2]
= 1.30
Ta chọn nghiệm gần đúng
f (x)
’
Đánh giá sai số: | - x10 | | | với m là số dương : 0 < m f (x)
m
-2.8.10 - 3 < 10 -2
x € | - x10 |
* Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) trong khoảng [ 1; 2 ] ta có:
f ’(1) = 1 > 0
f ’’(1) = 12 > 0
=> f ’(1) . f ’’(1) > 0 nên ta chọn x0 =2
Với x0 = 0 ta có:
f ( x0 )
x1 = x0 -
x2 = x1 -
x3 = x2 -
= 1.6206896
= 1.404181
= 1.320566
'
f ( x0 )
f ( x1 )
'
f ( x1 )
f ( x2 )
'
f ( x2 )
f ( x3 )
x4 = x3 -
x5 = x4 -
= 1.307772
= 1.307486
'
f ( x3 )
f ( x 4 )
'
f ( x4 )
= 1.30
Ta chọn nghiệm gần đúng
f (x)
’
Đánh giá sai số: | - x5| | | với m là số dương : | f (x) | m > 0
m
-7.486.10 - 3< 10 -2
x € [ 1; 2 ] | - x5|
= 0.3376
Ta chọn nghiệm gần đúng
f (x)
’
Đánh giá sai số: | - x4 | | | với m là số dương : 0 < m f (x)
m
1.9.10 - 4 < 10 -2
x € | - x4 |
Bài tập 5:
Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2x 4x 0 (1) bằng
phương pháp tiếp tuyếnvới độ chính xác 105
Bài giải:
B1:tìm khoảng phân ly
y1 2x
Ta tách phương trình (1)thành
y2 4x
Dựa vào phương pháp đồ thị ta tìm dươc khoảng phân ly là : 0;0,5 vì
f(o) 0
vậy f(o) f(0,5) 0
f(0,5) 0
B2: tìm nghiệm của phương trình
f , 0; f ,, 0 f , f ,, 0 nên ta chọn
x0 a 0
f
f ,
1
(x0 )
x1 x0
0
0,3024
3,30685
( x0 )
0,02359
x2 0,3024
x3 0,3099
0,3099
3,14521
0,00002
3,14076
0,00001
0,30991
x4 0,30991
0,30991
3,14075
Vậy ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là : x= 0,30991
Bài tập 6:
Dùng phương pháp Gauss để giải những hệ phương trình
Ax=b. Các phép tính lấy đến 5 số lẻ sau dấu phẩy:
a.
1,5 0,1 0,1
0,4
A 0,1 1,5 0,1
b 0,8
0,3 0,2 0,5
0,2
x
0,4
1
x x2
B 0,8
0,2
x3
Bài giải:
Lập bảng gauss :
a
Quá
ai1
ij
ai2
ai3
ai4
trình
(cột kiểm tra)
Thuận 1,5
-0,2
1,5
0,2
-0,13333
1,48667
1,6
1
1
0,1
-0,1
-0,5
0,06667
0,09333
-0,48
0,06278
-1,48448
1
0,4
0,8
0,2
0,26667
0,82667
0,28
0,55605
-0,33326
0,22449
0,54196
0,32397
0,1
-0,3
1
0
0
1
1
Vậy nghiệm của phương trình là : (0,32397 ; 0,54196 ;0,22449 )
b)
2,6 4,5 2,0
19,07
A 3,0
3,0
4,3
3,0
b 3,21
6,0 3,5
18,25
x
19,07
1
x x2
B 3,21
18,25
x3
Bài giải:
Lập bảng gauss :
a
Quá
trình
ij
ai1
ai2
ai3
ai4
19,07
3,21
-18,25
7,33462
-18,79386
25,75772
-2,29409
9,96378
(cột kiểm tra)
2,6
Thuận 3
-6
1
-4,5
3
3,5
-2,0
4,3
3
-1,73077
8,9231
-6,88462
1
-0,76923
6,60769
-1,61538
0,80657
3,93754
1
2,53045
-4,33508
1,77810
1
1
Bài 7:
Giải hệ phương trình:
8x y z
x _5y z
(I)
x y 4z 7
Bằng phương pháp lặp đơn,tính lặp 3 lần,lấy x(a)=g và đánh giá sai số của x3
Giải: Từ phương trình (I)
x y.1/8 z.1/8 1/8
y x.1/5 z.1/516/5
z x.1/ 4 y.1/4 7 /4
x 0,125y 0,125z 0,125
y 0,2x 0,2z 3,2
z 0,25x 0,25y 1,75
0 0,125 0,125
0,125
=> B= 0,2 0
0,2
;
g = 3,2
0,25 0,25 0
1,75
r 0,25
1
3
Ta xet r = maxi
b => r 0,4
2
ij
j1
r 0,5
3
3
r = maxi
b
=0,5 <1
ij
j1
phương pháp lặp đơn x(m) =b.x(m-1) +g , hội tụ với mọi x0 cho trước ta có
bảng sau:
X
Y
Z
B
0
0,135
0
0,25
-3,2
0,125
0,2
0
0,2
0,25
-0,125
X(0)
-1,75
X(1)
X(2)
X(3)
-0,74375
-0,89453125
-0,961835937
-3,575
-3,865
-3,94484375
-2,58125
-2,8296875
-2,939882875
Đánh giá sai số x(3)
x(3)- x(2)
= max (0,067304687;0,07984375;0,110195375)
Áp dụng công thức (3.36) SGK ta có
0,5
x(3) - 2
.0,110195375 = 0,110195375
10,5
Vậy ta có nghiệm của phương trình là:
X= -0,961835937 0,110195375
Y= -3,94484337 0,110195375
Z= -2,939882875 0,110195375
Bâi 8 :
Giải hệ phương trình
24,21x 2,42x 3,85x 30,24
1
2
3
2,31x 31,49x 1,52x 40,95
1
2
3
3,49x1 4,85x2 28,72x3 42,81
x 1,24907 0,09995x 0,15902x
1
2
3
x 1,30041 0,07335x 0,04826x
2
1
3
x3 1,49059 0,1215x1 0,1689x2
x
0
0,09995 0,15902
1,24907
1
fx x2 0,07335
0
0,04826 1,30041
0,12151 0,16887
0
1,49059
x3
Ta có:
r 0,25897 1
1
r 0,121711 pt hội tụ
2
r 0,29038 1
3
Lập bảng:
0
x1
x2
x3
-0,09995
0
-0,16887
1,30041
-0,15902
-0,04826
0
B
-0,07335
-0,12151
1,24907
x0
1,49059
x1
x2
x3
x4
0,98201
0,95747
0,94416
0,94452
1,13685
1,17437
1,17326
1,17431
1,11921
1,17928
1,17773
1,17774
x5
x6
x7
0,94441
0,94452
0,94444
1,17429
1,17431
1,17429
1,17751
1,17753
1,17751
Nghiệm bằng: (0,94444; 1,17429; 1,17751)
Bài 9
Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm y=f(x) cho dưới dạng bảng
X
Y
0
1
2
3
3
2
5
5
Giải:
ở đây ta thấy n=3 nên đa thức nội suy là một đa thức bậc 3 có dạng
P3(x)= yo + lo (x) + y1L1(x) + y2 l2(x) + y3 l3(x)
(x 2)(x 3)(x 5)
(0 2)(0 3)(0 5)
(x 0)(x 3)(x 5)
(2 0)(2 3)(2 5)
(x 0)(x 2)(x 5)
(30)(3 2)(35)
p3(x)=
+3.
+2.
+ 5.
(x 0)(x 2)(x 3)
(5 0)(5 2)(53)
x310x2 31x 30
x3 8x2 15x
x35x2 6x
p3(x) =
+
+
30
6
30
9x365x2 124x 30
p3(x) =
30
9x365x2 124x 30
Vậy đa thức Lagrange cần tìm la : p3(x) =
30
Bài 10 :
Cho bảng giá trị của hàm số y= f(x)
X
Y
321,0
322,0
324,0
325,0
2,51188
2,50651
2,50893
2,51081
Tính gần đúng t (324,5) bằng đa thức nội suy Lagrange ?
Giải :
Gọi x* =323,5
y(x* ) =p3 (x* ) = y0l0(x* )+ y1l1(x* ) +y2l2(x* ) + y3l3(x* )
Ta có
(323,5322,8)(323,5 324,2)(323,5325,0)
(321,0 322,8)(321,0 324,2)(321,0 325,0)
l0(x* ) =
= - 0,031901041
= -0,03190
(323,5321,0)(323,5324,2)(323,5 325,0)
(322,8 321,0)(322,8324,2)(322,8 325,0)
L1(x* )=
= 0,473484848
=0,732421875
=-0,174005681
= 0,43748
(323,5321,0)(323,5322,8)(323,5 325,0)
(324,2 321,0)(324,2 322,8)(324,2 325,0)
L2(x* )=
=0,73242
(323,5321,0)(323,5322,8)(323,5 324,2)
(325,0 321,0)(325,0 322,8)(325,0 324,2)
L3(x* )=
= -0,17401
y (323,5)= 2,50651.(-
0,03190)+2,50893.0,47348+2,51081.0,73242+2,51188.(-0,17401)
=2,50985
Bài 11:
Cho bảng giá trị của hàm số y =f(x)
X
Y
-1
3
0
3
6
7
-6
39
822
1011
a. Xây dựng đa thức nội suy Niwton tiến xuất phát từ nút x0 =-1 của y = f(x)
b. Dùng đa thức nội suy nhận được tính giá trị f(0,25)
Giải : Đa thức vừa lặp là đa thức nội suy Niwton bước không đều
a. Ta có bảng ký hiệu
X
Y
3
THC1
-9
THC2
THC3
THC4
-1
6
0
3
6
-6
15
5
41
132
1
39
13
261
822
89
7
1611
Đa thức nội suy : p4(x) = 3-9(x+1)+6(x+1)x+5(x+1)x(x-3)+(x+1)x(x-3)(x-6)
= 3-9x-9+6x2+6x+5x3-10x2-15x+x4-8x3 +9x2 +18x
p4(x) = x4-3x3 +5x2 – 6
b. Tính f(-0,25) = (-0,25)4 - 3(0,25)3 |+5(0,25)2 –b = -5,636719
Bài 12 : Cho bảng giá trị của hàm số y=sinx
X
0,1
0,2
0,3
0,4
Y=f(x)
0,09983
0,19867
0,29552
0,38942
a. Dùng đa thức nội suy tiến xuất phát từ x0 = 0,1 tính gần đúng sin(0,4) và
đánh giá sai số của giá trị nhận được
b. Dùng đa thức nội suy lùi xuất phát từ x3 =0,4 tính gần đúng sin (0,46) và
đánh giá sai số
Giải:
a. Đa thức nội suy bước đều với h=0,1 ta có bảng sai phân:
X
Y
2Y
3Y
Y
0,1
0,09983
0,09884
-0,00199
0,2
0,3
0,4
0,19867
0,29552
0,38942
-0,00096
0,09685
0,09390
-0,00295
Áp dụng công thức đa thức nội suy Niwton tiến ta tính:
y0
1!
t(t 1)
t(t 1)(t 2)
Sai (0,014) = pn(x) [ x=0,1+0,1t] = y0 + t.
+
2 y0 +
3 y0
2!
3!
Theo bài ra ta có : x=0,14 0,1+0,1t =0,1 => t=0,4
0,4(0,4 1)
Thay vào trên ta có : Sin(0,14) = 0,09983 + 0,4.0,09884 +
(0,00199)
2
0,4(0,4 1)(0,4 2)
+
(-0,00096) = 0,13954336
6
Đánh giá sai số :
Ta có : (x) = (x-0,1)(x-0,2)(x-0,3)(x-0,4)
(0,14) = (0,14 0,1)(0,14 0,2)(0,14 0,3)(0,14 0,4) = 0,00009984
0,00009984
=> sin(0,14) 0,13954336
=4,16.10-6
4!
=> Nghiệm gần đúng sin(0,14) = 0,13954 10-5
b. Lập bảng sai phân với đa thức nội suy lùi
X
Y
1Y
0,0939
2Y
3Y
0,4
0,38942
-0,00295
0,3
0,2
0,1
0,29552
0,19867
0,09983
0,09686
0,09884
-0,00096
-0,00199
Dựa vào công thức sai phân lùi ta có
Sin(0,46) = p(x) ; [x= 0,4 + 0,1t = mọi người nhập trong tài liệu.
Sai số tính theo công thức (4.7) ở trênta có :
sin(0,46) 0,4439446 3,8.105
Ta quy tròn số0,4439446 đến 5 chữ số lẻ thập phân :
sin(0,46) 0,44394 5.105
Bài 13
Cho bảng giá trị:
X
Y
2
7,32
4
8,24
6
9,20
8
10
11,01
12
12,05
10,19
Hãy tìm công thực nghiệm có dạng y = ax + b
Xi
2
4
Yi
7,32
8,24
X2i
4
16
xi.yi
14,64
32,96
N = 6
6
8
10
12
42
9,20
10.9
11,01
12,05
58,01
32
64
100
144
364
55,20
81,52
110,1
144,6
439,02
Tổng
Giá trị công thức na+b∑xi =∑yi
a∑xi +b∑xi2 = ∑xiyi
6a 42b 58,01
Ta có hệ phương trình :
42a 346b 439,02
a 6,373333338
a 6,4
=>
=>
b 0,470714285
b 0,5
Vậy công thức nghiệm có dạng: y=6,4x +0,5
Bài 13: Cho bảng giá trị
x
2
4
6
8
10
12
y= f(x) 7,23
8,24
9,20 10,19 11,01 12,05
Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y = ax + b
Ta lập bảng số:
xi2
xi
yi
xi yi
2
4
6
4
16
36
7,32
8,24
9,20
14,64
32,96
55,2
n= 6
8
64
10,19 81,52
11,01 110,1
12,05 144,6
58,01 439,02
10
12
42
100
144
364
Áp dụng công thức:
Thay số ta có hệ phương trình:
6a 42b 58,01
a 6,373333333 6,4
42a 364b 439,02
b 0,470714285 0,5
Vậy công thức thực nghiệm cần tìm là y 0,5 6,4x
Bài 14: Cho bảng giá trị
x
0,78
1,56
1,20
2,34
1,12
3,12
2,25
3,81
4,28
y= f(x) 2,50
Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y = a + bx + cx2
Ta lập bảng số:
xi2
xi3
xi4
x2 yi
xi
yi
xi yi
i
0,78
1,56
2,34
3,12
3,81
0,6084
2,4336
5,4756
9,7344
0,474552
3,796416
12,812904 29,98219536 1,12
30,371328 94,75854336 2,25
0,37015056
5,92240896
2,50
1,20
1,95
1,872
2,6208
7,02
1,521
2,92032
6,13312
21,9024
n= 5
14,5161 55,306341 210,7171592 4,28
16,3068 62,128908
11,61 32,7681 102,761541 341,7504574 11,35 29,7696 94,605748
Áp dụng công thức:
n.a + b. x c. x2
y
i
i
i
a.
a.
x b. x2 c x3
x y
i i
i
i
i
x2 b. x3 c x4
x2 y
i
i
i
i i
Ta có hệ phương trình :
5a 11,61b 32,7681c 11,35
11,61a 32,7681b 102,761541c 29,7696
32,7681a 102,761541b 341,7504574c 94,605748
a 5,022553658 5
b 4,014714129 4
c 1,002440262 1
Vậy công thức thực nghiệm cần tìm là : y 5 4x x2 .
CHƯƠNG 5: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Bài 15: Cho bảng giá trị
x
50
55
60
y=f(x)
1,6990
1,7404
1,7782
Tính gần đúng y’(55) và y’(60) của hàm số y = lgx. So sánh với kết quả đúng tính
đạo hàm của hàm số y = lgx.
Bài giải
Ta sử dụng công thức nội suy Niwtơn tiến bước đều:
ꢀ
ꢀ
ꢀ
f’(x)= ꢁꢀ ꢂ∆ꢃꢄ − ∆ꢅꢃꢄ + ∆ꢆꢃꢄ − ∆ꢇꢅꢃꢄ + ⋯ ꢈ (1)
ꢅ
ꢆ
ꢇ
Để tính gần đúng đạo hàm.
Lập bảng sai phân:
y0
2y0
x
y
50
55
1,6990
1,7404
> 0,0414
> - 0,0036
60
1,7782
> 0,0378
Thay vào công thức (1) ta được:
ꢀ
+) f’(55)= ꢀꢉ ꢂ0,0414 − (−0,0036)ꢈ = 0,00864
ꢅ
ꢀ
+) f’(60)= ꢀꢉ ꢂ0,0378 − (−0,0036)ꢈ = 0,00792
ꢅ
*) So sánh với kết quả đúng tính đạo hàm của hàm số y = lgx
- Tính đạm hàm đúng:
ꢀ
ꢊ
ꢊ
(
)
Ta có: ꢃ = ꢋꢌꢍ = ꢎ.ꢏꢐꢀꢄ
ꢀ
ꢃꢊ(55) = (lg55)’ = ꢉꢉ.ꢏꢐꢀꢄ = 0,007896
ꢀ
ꢊ( )
(
)
ꢊ
ꢃ 60 = ꢋꢌ60 = ꢑꢄ.ꢏꢐꢀꢄ = 0,007238
- So sánh:
ꢊ( )
|
|
|
|
|
|
|
+) ꢃ 55 − (ꢋꢌ55)′ = 0,00864 − 0,007896 = 0,000744
ꢊ( )
|
+) ꢃ 60 − (ꢋꢌ60)′ = 0,00792 − 0,007238 = 0,000682
Bài 16: Cho bảng giá trị
x
0,11
0,13
0,15
0,17
1,18
y=f(x) 81,818182 69,230769 60,000000 52,941176 50,000000
Hãy tính y’(0,11). Kết quả làm tròn đến 6 chữ số lẻ thập phân.
Bài giải:
Lập bảng tỉ hiệu:
2 y
3 y
4 y
y
y
x
0,11
0,13
81,818182
69,230769
60,000000
52,941176
50,000000
- 629,37065
419,805
-24681,22917
- 15082,89166
137119,1073
- 461,53845
- 352,9412
2714,93125
1960,786667
0,15
0,17
0,18
- 294,1176
Ta có:
P (x) = 81,818182– 629,37065 (x - 0,11) + 4195,805(x - 0,1)(x – 0,13) –
4
- 4681,2291 (x- 0,11)(x- 0,13)(x- 0,15) +
+ 137119,1073 (x- 0,11)(x- 0,13)(x- 0,15) (x- 0,17)
P (x) = 137119,1073x4 - 101467,9292 x3 +
4
+ 29809,57226 x2- 4338,14816x+ 313,9906839.
P'4 (x) = 548476,4292 x3 – 304403,7876 x2 + 59619,144452x- 4338,148167
Vậy ta có y/ (0,11)= P’4(0,11)= 548476,4292 (0,11)3 – 304403,7876(0,11)2
+ 59619,144452 (0,11)- 4338,148167 = -733,3059747
y/ (0,11)= P’4(0,11)= -733,3059747
Câu 17. Cho bảng giá trị.
0,12
0,15
0,17
0,2
0,22
x
y
8,333333
6,666667
5,882353
5,000000
4,545455
Hãy tính y/ (0,12) . Kết quả làm tròn tới 6 chữ số thập phân.
Tải về để xem bản đầy đủ
30 trang
25380
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "30 Bài toán môn Phương pháp tính", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- 30_bai_toan_mon_phuong_phap_tinh.pdf
