›
›

Tính điều khiển được xấp xỉ đối với hệ tuyến tính tổng quát mô tả bởi bài toán tử khả nghịch phải

Download
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014  
TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC XẤP XỈ ĐỐI VỚI HỆ TUYẾN TÍNH  
TỔNG QUÁT MÔ TẢ BỞI BÀI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI  
Thiều Minh Tú1, Hoàng Văn Thi2  
TÓM TẮT  
MỞ ĐẦU  
Với sự ra đời của lý thuyết toán tử khả nghịch phải, các bài toán giá trị ban đầu, bài  
toán giá trị biên và toán giá trị biên hỗn hợp của các tính mô tả toán tử khả nghịch phải và  
khả nghịch suy rộng đã đƣợc nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học [4], [6], [9]. Các kết quả về  
tính khiển đƣợc của hệ tuyến tính mô tả bới toán tử khả nghịch phải đã đƣợc các tác giả  
nghiên cứu tƣơng đối đầy đủ trong các công trình [3], [4], [5], [8], [10], [11],… Tuy nhiên,  
các kết quả nghiên cứu đó đều đƣợc xét với hệ tuyến tính trong không gian tuyến tính  
không trang bị tôpô hoặc mêtric nên có thể xem đó là các kết quả về tính “điều khiển đƣợc  
chính xác”. Trong bài báo này, chúng tôi đặt hệ trong không gian có trang bị “khoảng cách”  
để nghiên cứu về tính “điều khiển đƣợc xấp xỉ”. Hệ đƣợc gọi là điều khiển đƣợc xấp xỉ nếu  
bất kì trạng thái này có thể điều khiển tới lân cận của trạng thái khác bởi điều khiển chấp  
nhận đƣợc. Các điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính tổng quát (GLS)0 điều khiển đƣợc xấp  
xỉ đã đƣợc chứng minh.  
Từ khóa: Toán tử khả nghịch phải; Tính điều khiển đƣợc; Tính điều khiển đƣợc xấp  
xỉ.  
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN  
Cho X là không gian tuyến tính trên trƣờng vô hƣớng F(  
hoặc ). Ký hiệu  
L(X) là tập tất cả các toán tử tuyến tính có miền xác định và nhận giá trị trong X. Đặt  
L X AL X :domA X . Toán tử đƣợc gọi là khả nghịch phải nếu  
F  
DL  
X
0    
   
tồn tại toán tử R L0   
này R đƣợc gọi là nghịch đảo phải của D. Tập tất cả các toán tử khả nghịch phải trong L(X)  
X
sao cho RX domD và DR = I trên domR. Trong trƣờng hợp  
đƣợc kí hiệu bởi R(X). Với mỗi  
của D, nghĩa là:  
, ta ký hiệu bời R là tất cả các nghịch đảo phải  
DL  
X
D
1
2
41  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014  
RD  
RL0  
X
: DR I  
.
Toán tử F L0   
X
đƣợc gọi là toán tử ban đầu của D tƣơng ứng với  
nếu F2  
RRD  
= F, FX = kerD và FR = 0 trên domR. Tập tất cả các toán tử ban đầu của D đƣợc ký hiệu  
bởi FD.  
Mệnh đề 1.1. [6] Nếu  
Định lý 1.1. [6] Giả sử  
thì đối với mọi D , đều có  
RR  
DR  
domD RX ker D  
. Điều kiện cần và đủ để toán tử  
X
(1)  
là toán tử  
DR  
X
F L  
X
ban đầu của D tương ứng với  
là  
RRD  
trên dom  
(2)  
, với mọi z ker D, DF 0  
F I RD  
D
Hơn nữa, toán tử ban đầu có một số tính chất:  
Fz z  
trên X, kerF = RX và  
. Lý thuyết toán tử khả nghịch phải có thể xem  
ker Dker F   
0
trong [4, 6].  
Cho X và Y là các không gian Banach, chuẩn trong các không gian này đều đƣợc ký hiệu  
bởi . Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y đƣợc ký hiệu bởi L (X,Y) là  
không gian Banach với chuẩn xác định bởi A sup Ax . Ta ký hiệu L0 (X, Y) = {A L (X,  
x 1  
Y):domA = X} và L0 (X) = L0 (X, X).  
Giả sử X là không gian Banach, ký hiệu X* là không gian tôpô đối ngẫu của X, nghĩa  
là không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Ký hiệu x*, x là giá trị của  
phiếm hàm x* X * tại x X . Phần trong, bao đóng, bao tuyến tính của tập M đƣợc ký  
hiệu bởi intM,  
M
, spM tƣơng ứng.  
Định lý 1.2. [15] Cho X, Y, Z là các không gian Hilbert. Giả sử  
(X,Y), thì các điều kiện sau tương đương:  
L (X,Y) và G L  
F  
(i)  
(ii) Tồn tại số c > 0 sao cho G* f c F* f với mọi f Z*  
Định lý 1.3. [13] Giả sử M, N là các tập lồi trong không gian Banach X và M N  
(i) Nếu int M thì tồn tại phiếm hàm x* X * , x* thỏa mãn  
x*, x x*, y , xM,yN  
(ii) Nếu M là tập compact, N là tập đóng, thì tồn tại x* X * , x* sao cho  
,
ImF ImG  
.
.
.
x*, x x*, y , xM,yN  
.
2. KẾT QUẢ CHÍNH  
42  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014  
Ở phần này chúng ta xét X, Y và U là những không gian Banach. Giả sử  
DR  
X
với  
là toán tử ban đầu của D tƣơng ứng với RRD L (X). Giả  
dim  
kerD  
 ;F FD  
L (X,X),  
sử cho  
L (U,X), B L0(U,Y). Đặt  
B  
và  
A   
Xk :domDk  
0
0
1
1
Z :ker Dk k N .  
k
Xét hệ tuyến tính tổng quát (ký hiệu (GLS)) dạng  
Q D x Bu, uU  
FDj x xj , xj Z1( j 0,1,...,M N 1)  
,
(3)  
(4)  
(5)  
   
,
,
y A x B u  
1
1
trong đó  
M
N
QD  
:  
Dm A Dn  
,
(6)  
  
mn  
m0 n0  
Amn L (X), AmnXM Nn XM  
m 0,1,...M;n 0,1,...,N;m n M N  
, AMN I  
.
Hơn nữa, giả sử rằng  
RMN BU  
x0  
I Q  
XMN  
,
(7)  
ở đây  
M N1  
x0 :  
R j x Z  
,
j
M N  
j0  
toán tử Q đƣợc xác định bởi  
trong đó  
M
N
Q :  
RM N1BmnDn  
,
(8)  
  
m0 n0  
A0' n  
nếu m = 0  
M
B :  
A FDm An  
'
'
mn  
(8a)  
mn  
nếu ngƣợc lại  
m  
và  
nếu m = M và n = N  
nếu ngƣợc lại  
0
A'mn :  
(8b)  
Amn  
(m = 0, 1, …, M; n = 0, 1, …, N)  
43  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014  
Giả thiết (7) là điều kiện cần và đủ để bài toán giá trị ban đầu (3)-(4) có nghiệm đối  
với mọi u U . Nếu A1 = I và B1 = 0, nghĩa là trƣờng hợp đầu ra  
(5) này là (GLS)0.  
, ta kí hiệu hệ (3) –  
y x  
Định nghĩa 2.1. [4] Hệ tuyến tính tổng quát (GLS) dạng (3)–(5) đƣợc gọi là hoàn  
toàn xác định (well-defined) nếu với mọi u U cố định, bài toán giá trị ban đầu trƣơng ứng  
(3) – (4) là đặt đúng đắn. Ngƣợc lại, nếu tồn tại u U sao cho bài toán giá trị ban đầu (3) –  
(4) không có nghiệm, hoặc bài toán thuần nhất tƣơng ứng (nghĩa là  
u 0, x 0 j 0,1,...,M N 1 có nghiệm không tầm thƣờng thì hệ này đƣợc gọi là  
j
không xác định (ill-defined).  
Định lý 2.1. [4] Giả sử điều kiện (7) thỏa mãn. Khi đó hệ tổng quát (3)–(5) là hoàn  
toàn xác định nếu và chỉ nếu toán tử giải tương ứng I + Q’ khả nghịch hoặc khả nghịch trái,  
trong đó  
M
N
Q' :  
RM m BmnDNn  
(9)  
  
m0 n0  
Trong phần này, chúng ta chỉ xét hệ tuyến tính (GLS)0 dạng (3) – (4) cùng với giải  
thiết điều kiện (7) thỏa mãn và toán tử giải I+Q’ khả nghịch. Khi đó, hệ (GLS)0 hoàn toàn  
x0 ,u  
ZMN U  
xác định, do đó đối với mọi đầu vào cố định  
, bài toán giá trị ban đầu  
(3)–(4) đặt đúng đắn và có nghiệm duy nhất  
H
x0 ,u  
T  
RM N Bu  
x0  
,
(10)  
trong đó  
với  
1  
T I RN  
I Q'  
Q
,
(11)  
(12)  
1
M
N
Q :  
RM m BmnDn  
,
  
1
m0 n0  
và Bmn (m=0, 1, …., M; n = 0, 1,…, N) đƣợc xác định bởi (8a) – (8b).  
Đặt  
RangU ,x0 H :
x0 ZM N  
.
(13)  
uU  
Định nghĩa 2.2. Cho hệ tuyến tính tổng quát (GLS)0 dạng (3)– (4).  
x0 ZM N  
(i) Mỗi trạng thái x X gọi là đạt được từ trạng thái ban đầu  
nếu tồn tại  
nếu với  
điều khiển u U sao cho x H
x0 ,u  
.
x0 ZM N  
(ii) Trạng thái xX đƣợc gọi là đạt được xấp xỉ từ trạng thái  
mọi 0 tồn tại điều khiển u U thỏa mãn x H
x0 ,u  
 
.
44  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014  
x0 ZM N  
(iii) Hệ (GLS)0 đƣợc gọi là đạt được xấp xỉ từ trạng thái  
nếu  
RangU ,x0 H X  
Nhận xét rằng  
cố định tùy ý  
.
RangU ,x0  
H
là tập các nghiệm của (3)–(4) đối với trạng thái ban đầu  
M N , và nó cũng tập đạt đƣợc từ trạng thái ban đầu x0 bởi các điều  
x0 Z  
khiển u U , tập này chứa trong X M N  
.
Bổ đề 2.1. Nếu T được xác định bởi (11), thì đồng nhất sau đúng  
T
RM N BU
x0
TRM N BU
Tx0  
.
(14)  
Chứng minh. Nếu lấy xRM N BU   
x TRM N BU Ttx0 . Điều này kéo theo  
Tx0
, thì tồn tại u U và t F sao cho  
T
RM N BU tx0
0. Do giả thiết bài toán  
RMN BU   
RM N Bu tx0   
x0  
I Q  
XMN  
vXMN  
,
dẫn đến tồn tại  
. Từ đó suy ra  
0 T  
RM N Bu tx0  
(vì T là toán tử nghịch đảo của I+Q). Do đó, từ các kết quả trên cho ta  
thỏa mãn  
I Q  
T  
I Q v  
RM N Bu tx0  
và  
0 DM N tx0 DM N RM N Bu Bu suy  
ra  
tx0 0 và  
x RM N Bu Ttx0 0 , chứng tỏ rằng (14) thỏa mãn.  
Hệ quả 2.1. Giả sử các giả thiết của Bổ đề 2.1 thỏa mãn. Khi đó  
RangU,x0 H TRM N BU   
Tx0  
.
x0 ZM N  
Hệ quả 2.2. Trạng thái x X đạt được từ trạng thái ban đầu  
nếu và  
xTRM N BU   
Định lý 2.2. Hệ tuyến tính tổng quát (GLS)0 đạt được xấp xỉ từ 0 khi và chỉ khi  
Tx0
.  
chỉ nếu  
B* R* M N T*h 0 h 0  
(15)  
   
Chứng minh. Theo định nghĩa, hệ tuyến tính (GLS)0 đạt đƣợc xấp xỉ từ 0 nếu  
TRM N BU X  
Theo Định lý 1.3, điều kiện (16) tƣơng đƣơng với  
.
(16)  
h, x 0 hX* , xTRM N BU h 0  
(17)  
Do TRM N BU là không gian con của X, nên (17) cũng tƣơng đƣơng với  
h, x 0, xTRM N BU h 0  
,
hay  
45  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014  
h,TRM N Bu 0, uU h 0  
Điều này tƣơng đƣơng với  
B* R* M N T *h,u 0 uU h 0  
.
.
Suy ra  
B* R* M N T*h 0 h 0  
Ngƣợc lại, nếu điều kiện (15) thỏa mãn, thì (17) thỏa mãn, do đó chúng ta có điều  
phải chứng minh.  
Định nghĩa 2.3. Cho hệ tuyến tính tổng quát (GLS)0 có dạng (3)–(4). Giả sử  
là toán tử ban đầu tùy ý của  
DMN  
.
F F  
DMN  
1
x0 ZM N  
nếu  
(i)  
Hệ (GLS)0 gọi là F1 - đạt đƣợc xấp xỉ từ trạng thái ban đầu  
F
RangU ,x0  
H
ZM N  
.
1
(ii)  
Hệ (GLS)0 đƣợc gọi là F1-điều khiển đƣợc xấp xỉ nếu đối với mọi trạng thái ban  
x0 ZM N , F Rang H Z  
đầu  
.
U,x0  
1
  
M N  
x1 ZMN  
nếu  
(iii)  
x1 RangU ,x0  
Bổ đề 2.2. Cho hệ tuyến tính tổng quát (GLS)0 có dạng (3)–(4) và toán tử ban đầu tùy  
Hệ (GLS)0 đƣợc gọi là F1 - điều khiển đƣợc xấp xỉ tới  
x0 ZM N  
H
, đối với mọi trạng thái ban đầu  
.
ý
L (X). Giả sử hệ (GLS) là F - điều khiển được xấp xỉ tới 0 và  
F F  
0
1
DMN  
1
.
(18)  
FTZM N ZM N  
1
x1 ZMN  
Khi đó, mọi trạng thái kết thúc  
là F1 - đạt được xấp xỉ từ 0.  
Chứng minh. Giả thiết hệ (GLS)0 là F1 - điều khiển đƣợc xấp xỉ tới 0, nghĩa là  
0
x0 ZM N  
0F  
RangU ,x0  
H
, đối với tùy ý  
M N . Do đó, đối với mọi  
và 0  
,
x Z  
1
tồn tại điều khiển  
sao cho  
u0 U  
FTRM N Bu0 x0  
(19)  
1
x1 Z  
x2 Z  
và 0 , tồn tại điều  
Điều kiện (18) cho ta, đối với tùy ý  
MN , tồn tại  
M N thỏa mãn  
FTx2  x1 . Điều này cùng với (19) suy ra, với mọi  
x1 ZMN  
1
khiển u1 U sao cho FTRM N Bu1 x1 . Chứng tỏ rằng mọi trạng thái kết thúc x1 là  
1
F1-đạt đƣợc xấp xỉ từ 0.  
46  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014  
Định lý 2.3. Giả sử tất cả các giả thiết của Bổ đề 2.2 thỏa mãn. Khi đó hệ tổng quát  
(GLS)0 là F1-điều khiển được xấp xỉ.  
x0 ZM N  
Chứng minh. Theo giả thiết định lý, với mọi  
sao cho  
và tùy ý 0 tồn tại điều  
khiển  
u0 U  
2
FTRM N Bu0 x0   
.
(20)  
1
x1 ZMN  
Theo Bổ đề 2.2, với mọi  
tồn tại u1 U thỏa mãn  
2
FTRM N Bu1 x1   
.
(21)  
1
x0 , x1 ZMN  
Các điều kiện (20) và (21) kéo theo đối với mọi  
và 0 , tồn tại  
sao cho  
u u0 u1 U  
FT RM N Bu x0 x1 FT RM N B u u x0 x1  
1   
1
1
0
FT RM N Bu0 x0 FTRM N Bu1 x1  
1
1
2
   .  
2
x0 , x1 ZMN  
Từ sự tùy ý của  
và 0 suy ra  
F
RangU ,x0  
H
ZM N  
.
1
Định lý 2.4. Cho hệ (GLS)0 và toán tử ban đầu  
L (X) tùy ý. Điều kiện  
F F  
DMN  
1
cần và đủ để hệ (GLS)0 là F1 - điều khiển được xấp xỉ là F1- điều khiển được xấp xỉ tới mọi  
y' FTRM N XM N  
phần tử  
.
1
Chứng minh. Điều kiện cần dễ dàng nhận đƣợc. Để chứng minh điều kiện đủ, ta cần  
chứng minh  
FT RM N XM N ZM N Z  
.
(22)  
Thật vậy, áp dụng tính chất của toán tử khả nghịch phải, ta có  
I Q X  
XM N RM N XM N ZM N , do đó tồn tại các tập E XM N và  
1
M N  
M N  
RMN E Z (I Q)XMN  
E ZM N sao cho  
.
Từ đó  
T RM N E Z T(I Q)X  
XM N  
,
M N  
(Bởi vì T là toán tử nghịch đảo của I+Q).  
Theo kết quả trên và do F1 là toán tử ban đầu của DM+N suy ra  
47  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014  
ZM N F XM N FT RM N E Z  
1
1
FT RM N XM N ZM N  
1
ZM N  
.
Điều này chứng tỏ (22) đúng.  
Giả sử hệ tuyến tính (GLS)0 là F1- điều khiển đƣợc xấp xỉ tới mọi phần tử  
y' FTRMN y, yX  
MN , tức là đối với tùy ý yXM N và 0 , tồn tại điều khiển  
1
sao cho  
u0 U  
2
FT RM N Bu x0 FTRM N y   
.
1
0
1
Suy ra  
2
FT RM N Bu x0 x2 FTRM N y x2   
,
(23)  
1
0
1
x2 ZM N  
ở đây  
là phần tử tùy ý.  
x1 Z  
z0 ZMN  
thỏa mãn  
.
Bởi (22), đối với mọi  
M N , tồn tại y1 XM N và  
x1 FT RM N y1 z0  
.
1
x1 ZM N  
Điều này và (23) cho ta, đối với mọi  
và với tùy ý 0 , tồn tại  
'
z0 ZMN  
u0 U  
và  
:
2
FT RM N Bu' x0 z0 x1   
.
(24)  
1
0
0FTRM N XM N  
Hơn nữa, do  
và giả thiết của định lý kéo theo (GLS)0 là F1- điều  
1
khiển đƣợc xấp xỉ tới 0, nghĩa là  
0F (Rang H),x0 ZM N  
.
U ,x0  
1
z0 ZMN  
u1 U  
Do đó, với mỗi phần tử  
tồn tại  
thỏa mãn  
2
FT RM N Bu1 z0  
.
(25)  
1
x0, x1 ZM N  
Từ (24) và (25) kéo theo, đối với mọi  
và tùy ý 0 tồn tại  
u u0' u1 U  
sao cho  
48  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014  
0
1
M N  
'
0
0
1
FT RM N Bu x x FT R  
B u u x x  
1   
1
1
FT RM N Bu' x0 z0 x1 FT RM N Bu1 z0  
1
0
1
FT RM N Bu' x0 z0 x1 FT RM N Bu1 z0  
1
0
1
     
2
2
x0, x1 ZM N  
Do sự tùy ý của  
và 0 ta có điều chứng minh  
.
F Rang H Z  
U,x0  
1
  
M N  
Định lý 2.5. Cho hệ (GLS) và toán tử ban đầu tùy ý  
L (X) của DM+N  
.
F F  
0
DMN  
1
Khi đó hệ (GLS)0 là F1-đạt được xấp xỉ từ 0 nếu và chỉ nếu  
M N  
*
*
1
B* R*  
T F h 0 h 0  
.
(26)  
Chứng minh. Giả sử hệ tuyến tính (GLS)0 là F1- đạt đƣợc xấp xỉ từ 0, ta có  
M N . Điều này có nghĩa là  
F (RangU,0H) Z  
1
FTRM N BU ZM N  
.
(27)  
(ở đây  
1
hZ*  
Z*  
MN  
Theo Định lý 1.3 điều kiện (27) tƣơng đƣơng với nếu  
là  
MN  
không gian liên hợp của  
ZM N ) sao cho  
h, x 0,xFTRM N BU h 0  
.
(28)  
1
FTRMN BU  
Bởi vì  
là không gian con của  
ZM N , do đó điều kiện (28) thỏa mãn khi  
1
và chỉ khi  
h, x 0,xFTRM N BU h 0  
,
1
tƣơng đƣơng với  
h, FTRM N Bu ,uU h 0  
.
1
hay  
B* R* M N T*F*h,u 0,u U h 0.  
(29)  
1
Do đó, từ điều kiện (29) suy ra  
M N  
*
*
1
B* R*  
T F h,0 h 0  
.
Ngƣợc lại, nếu (26) thỏa mãn thì (29) đúng, kéo theo (27) đúng và do đó  
F Rang H Z  
1
  
.
U ,0  
M N  
49  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014  
Định lý 2.6. Giả sử X,U là các không gian Hilbert. Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến  
tính (GLS)0 là F1 -điều khiển được là tồn tại số thực 0 sao cho  
B* R* M N T*F* f f ,f ZM* N  
.
(30)  
1
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử hệ (GLS)0 là F1 - điều khiển đƣợc, khi đó  
RangU,x0  
H
ZM N  
,
x0 ZM N  
.
F
1
FTRMN BU Z  
Suy ra  
MN . Theo Định lý 1.2, tồn tại số thực 0 sao cho  
1
FTRM N B * f f , f Z*  
,
1
M N  
nghĩa là điều kiện (30) đúng.  
Điều kiện đủ. Giả sử rằng (30) thỏa mãn, khi đó theo Định lý 1.2, ta có  
FTRMN BU ZMN  
.
1
FTRMN BU ZMN  
Hơn nữa,  
(bởi vì F1 là toán tử ban đầu của DM+N). Từ hai hàm  
1
FTRMN BU Z  
thức trên suy ra  
MN . Do đó, ta có  
1
F Rang H Z  
,
x0 ZM N  
.
U ,x0  
1
  
M N  
Định lý đã đƣợc chứng minh.  
Định lý 2.7. Giả sử X, U là các không gian Hilbert. Hệ tuyến tính tổng quát (GLS)0 là  
F1-điều khiển được tới 0 nếu và chỉ nếu tồn tại 0 sao cho  
B* R* M N T*F* f f ,  
f ZM* N  
.
(31)  
1
Chứng minh. Chứng minh tƣơng tự nhƣ chứng minh Định lý 2.6.  
Ví dụ. Cho  
là không gian các hàm liên tục trên miền  
.
0,1.  
X C  
t
   
0,1  
t  
D :  
,
Fxt,s  
domD {xX : x  
ker D xX : x t,s s , C 0,1  
:x  
0,s  
,xX  
, R :  
Đặt  
. Nhận thấy rằng  
0
, với mỗi s0 0,1  
cố định},  
t,s0  
C1  
0,1  
,
0     
domR X  
,
toán tử D khả nghịch phải, R là nghịch đảo của D, F là toán tử ban đầu của D tƣơng  
k
RR  
Xk :domDk  
Zk :ker D k N  
ứng với  
D . Ký hiệu  
và  
.
Xét hệ điều khiển tuyến tính  
N
'
0
K
D P D, I P D, I F R P D,I x Bu  
,
(32)  
0   
1   
2   
Cùng với điều kiện ban đầu  
50  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014  
FDj x xj , xj Z1, j 0,1,..., N 1,  
(33)  
tƣơng ứng với RN ,U X, BL0 (X), các số  
ở đây F' FDN là toán tử ban đầu của  
DN  
0
N, K N0 N \  
0
và  
N1  
P t,s :a tisNi ,a R 0,1,2 .  
  
i  
ni  
i0  
(34)  
Đặt  
Q0 :P0 D, IP1 D, IF0' RK P2 D, I  
Q :RN Q0 ,  
,
Q' :P0 I, RRK P2 I, R  
.
Bởi  
là toán tử Volterra suy ra toán tử giải I Q' khả nghịch. Hơn nữa, ta có  
R
N ,do đó toán tử giải I Q khả nghịch và nghịch đảo của nó đƣợc xác định bởi  
Q' Q0 R  
I Q I RN I Q' 1 Q0  
1  
(35)  
Bởi vì (32) tƣơng đƣơng với  
DN  
I RNQ0  
x Bu  
.
Do đó, hệ (32)-(33) có thể viết lại ở dạng  
N1  
I Q  
x RN Bu x0 , x0 R j x Z  
.
(36)  
j
N
j0  
Đồng nhất (35) kéo theo I QL0 X N  
và  
I Q  
1 X N X N . Do đó, phƣơng  
trình (36) có nghiệm đối với mọi u U . Điều này nghĩa là điều kiện (7) đƣợc thỏa mãn. Vì  
vậy đối với mọi đầu vào cố định  
, bài toán (32)-(33) có nghiệm duy nhất  
x0 ,u  
ZN U  
1  
x I R I Q' Q0 RN Bu x X  
.
(37)  
N
N
1  
N
Do đó, mọi trạng thái xI R I Q' Q0 RN BU x0  
đạt đƣợc từ  
   
x0 ZN  
.
DN  
Lấy  
là các toán tử ban đầu của  
xác định nhƣ sau  
F ,F F  
DN  
1
2
F I RN DN ,F I R RN1 DN  
DN  
trên dom  
,
1
1
2
1
t
ở đây  
.
R :,t 0,1 ,t 0  
1
1
1
t1  
51  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014  
N
F RN X ZN F2 R X Z  
B  
Hoàn toàn chứng minh đƣợc  
,
N , do đó, với mọi  
L
0
1
(X), ta có  
F2  
I RN  
I Q'  
1Q0  
RN BU F2 RN  
I   
I Q'  
1Q0 RN  
BX  
ZN .  
N
ker B* R* T*F* 0  
T I R I Q 1 Q0  
N
'
Điều này chứng tỏ  
, trong đó  
. Nhƣ  
   
2
vậy hệ đã cho (32)-(33) không phải là 2 đạt đƣợc xấp xỉ từ  
0
.
F
Nếu lấy  
. Do toán tử  
khả nghịch, suy ra toán tử  
B I  
I RN I Q' 1 Q0  
1  
1  
khả nghịch, từ đó nhận đƣợc I I Q Q0RN X X . Điều này  
'
I I Q' Q0RN  
suy ra  
FTRN BU FTRN BX  
1
1
1  
N
N
F I R I Q' Q0 R X  
1
1  
'
F RN I I Q Q0RN  
X
1
F RN X ZN .  
1
N
ker B* R* T*F* 0  
F
Do đó,  
, theo Định lý 2.5,hệ tuyến tính (32) - (33) là -đạt  
   
1
1
đƣợc xấp xỉ từ  
0
.
TÀI LIỆU THAM KHẢO  
[1]  
[2]  
[3]  
A. V. Balakrishnan (1976), Applied Functionsl Analysis, Spinger– Verlag, New  
York- Heideberg-Berlin.  
A.D.Ioffe, V. M. Tihomirov (1979), Theory of Extrenmal Problems, North-Holland  
Pub-lishing Company, Amsterdam- New York –Oxford.  
Nguyen Van Mau (1990), Controllability of general linear systems with right  
invertible operaters, prepprint No 472, Institute of Mathematics, Polish Acad. Sci,  
Warszawa.  
[4]  
[5]  
Nguyen Van Mau (1992), Boundary value problems and controllability of linear  
sys-right invertible operators, Dissertationes Math., CCCXVI, Warszawa.  
A. Pogorzelec (1983), Solvability and controllability of ill- determined systems with  
right invertible operators, Ph.D.diss., Institute of mathematics, Technical  
Universsity of War-saw, warszawa.  
[6]  
D.Przeworska – Rolewicz (1988), Algebraic Analysis, PWN and Reidel, Warszawa  
–Dordrecht.  
52  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014  
[7] D.Przeworska – Rolewicz and S. Rolewicz(1986), Equations in Linear Spaces,  
Monografie Math. 47, PWN, Warszawa.  
[8]  
[9]  
Nguyen Dinh Quyet (1977), Controllability and obervability of linear systems  
described by the right invertible operators in linear space, Preprint No. 113,  
Institute of Mathematics , Polish Acad.  
Nguyen Dinh Quyet (1978), On Linear Systems Described by Right Invertible  
Operators Acting in a Linear Space, Control and Cybernetics, vol.7, 33-45.  
[10] Nguyen Dinh Quyet (1981) , On the F1- controllability of the system described by  
the right invertible operators in linear spaces, Methods of mathemmatical  
Programming, System Research Institute, Polish Acad. Sci., PWN-, Polish  
Scientific Publisher, Warszawa, 223-226.  
[11] Nguyen Dinh Quyet, Hoang Van Thi (2002), The Controllability of Degenerate  
System Described by Right Invertibe Operators, VNU.Joural of Science,  
Mathematics-Physics, Viet Nam National Uniiversity, HaNoi, T.XVIII, No 3,37-48.  
[12] S.Rolewicz (1987), Functional Analysis and Control Theory, Polish Sci.  
Publication, Warzawa.  
[13] W. Rudin (1973), Functional Analysis, Mc Graw- Hill, Inc., New York.  
[14] Hoang Van Thi (2005), Degenerate Systems Described by Generalezed Invertible  
Operators and Controllablility, Demonstratio Mathematica, vol.38, No 2, 419-430.  
[15] J. Zabczyk (1992), Mathematical Control Theory, Birkhauser, Boston-Basel-Berlin.  
THE APPROXIMATE CONTROLLABILITY FOR THE GENERAL  
NINEAR SYSTEM DESCRIBED BY RIGHT INVERTIBLE  
OPERATORS  
Thieu Minh Tu, Hoang Van Thi  
ABSTRACT  
This paper is to deals with the approximate controllability for the general linear  
systems described by right invertible operators in Banach spaces. Necessary and sufficient  
conditions for controllability of the general linear systems are given.  
53  
pdf 13 trang Mãnh Khiết 15/01/2024 13320 Free
Download
Bạn đang xem tài liệu "Tính điều khiển được xấp xỉ đối với hệ tuyến tính tổng quát mô tả bởi bài toán tử khả nghịch phải", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdftinh_dieu_khien_duoc_xap_xi_doi_voi_he_tuyen_tinh_tong_quat.pdf