Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

---------------------------------------------------------------

Đại số tuyến tính

Chương 2: Định thức

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)

www.tanbachkhoa.edu.vn

NỘI DUNG

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Định nghĩa định thức và ví dụ.

II – Tính chất của định thức

III – Khai triển Laplace

I. Định nghĩa và ví dụ

---------------------------------------------------------------------

 

A  a_ij

Cho

là ma trận vuông cấp n.

nn

(A)  a  A

Định thức của A là một số ký hiệu bởi det

ij

nn

Ký hiệu là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng

M_ij

thứ i và cột thứ j của ma trận A;

Định nghĩa bù đại số của phần tử a_ij

A  (1)^{i j}M_ij

Bù đại số của phần tử a_ijlà đại lượng

ij

I. Định nghĩa và ví dụ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa định thức bằng qui nạp

A 



a₁₁ A  a₁₁



a) k =1:

b) k =2:

a a



₁₂

11

A 

 A  a₁₁a₂₂ a₁₂a₂₁ a₁₁A₁₁ a₁₂A₁₂





a a



₂₂

21

a a a





₁₃

11

12



A  a a a  A  a A  a A  a A

c) k =3:

21

22

11 11

12 12

13 13



²³

₃₃

a a a







31

32

...............

a a  a



_1n

11

12

d) k =n:

A 

 A  a₁₁A₁₁ a₁₂A₁₂ a_1nA_1n





*





I. Định nghĩa và ví dụ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

1 2  3









A  2 3 0

Tính det (A), với



3 2 4









Giải

A 1 A  2 A  (3) A

11

12

13

1 2 3

3 0

2 4

A  (1)^112 3 0  (1)^11

12

11

3 2 4

3 0

2 4

2 0

3 4

2 3

3 2

A 1(1)^11

 2(1)^12

 (3)(1)^13

A 12 16 15 11

II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------

1. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ

hàng hoặc cột tùy ý nào đó

*

A  a_i1a  a_in a_i1A_i1a_i2A_i2a_inA_in

i2

*

a

1j

* a_2j*

A 

a A a_2jA_2ja_njA_nj

1j 1j



a_nj

II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

3 1 3









Tính định thức det (A), với

A  5 2 2



4 0 0









Giải.

Khai triển theo hàng thứ 3

3 1 3

1 3

A  5 2 2  4(1)^315 2 2  4(1)^31

 32

2 2

4 0 0

II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

2 3 3 2

3 0 1 4

2 0 3 2

4 0 1 5









Tính định thức det (A), với

A 









II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải

Khai triển theo cột thứ hai

2 3 3 2

3 0 1 4

2 0 3 2

4 0 1 5

A 

 (3) A  0 A₂₂ 0 A₃₂ 0 A₄₂ 3A

12

3 1 4

A  3 2 3 2   87

4 1 5

II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm

trên đường chéo.

Ví dụ

2 1 3 0 4

0 3 6 7 1

A 

 2(3)541 120

0 0 5 2 8

0 0 0 4 9

0 0 0 0 1

II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức

h h

i

| B| | A|

| B || A|

1.Nếu

2.Nếu

3. Nếu

thì

A







B

h h h_j

i

A B

h h_j

i

| B |  | A|

A B

thì

II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức

1 1 2 1

2 3 5 0

3 2 6  2

 2 1 3 1













A 









II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải

1 1 2 1

h₂ h₂ 2h₁

1 1 2 1

0 1 1 2

0 1 0 1

0 3 7 1

2 3 5 0

3 2 6  2

 2 1 3 1

h₃ h₃3h

1

| A|

h₄ h₄ 2h₁

1 1 2

1(1)^111 0 1

3 7 1

| A| ^{Khai triển theo cột đầu tiên}

1 1 2

1 1

1(1)^12

 19

| A| 1 0 1

 4 0 15

 4 15

II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp

Bước 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý;

Bước 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột)

ở bước 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác.

Bước 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.

II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức

3 2 1 1









2 3  2 0

 3 1 4  2

4 1 3 1





A 









II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải

3 2 1 1

h₃ h₃ 2h₁

2 3  2 0

 3 1 4  2

4 1 3 1

2 3  2 0

3 5 2 0

1 1 4 0

| A|

h₄ h₄ h

1

2 3  2

| A|^{Khai triển theo cột số 4}

1(1)^143 5 2

1 1 4

2 3 2

| A|  5 8 0

5 5 0

5 8

 (2)(1)^13

 30

5 5

II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

det (A^T) = det (A)

det(AB) = det(A) det(B)

Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0

Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0

Chú ý: det(A+B) det(A) + det(B).



II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý



Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 0.

Chứng minh

Giả sử A là ma trận khả nghịch n^xn. Khi đó tồn tại ma

trận khả nghịch A^-1, sao cho AA^-1= I. Suy ra

-1

det(AA^-1) = det (I)

det(A).det(A ) = 1 det(A) 0



Giả sử det(A) 0. Khi đó



T

A A  A

A₂₁A₂₂ A





_1n

11

12



1

A^1 P_A

²ⁿ

, với

P_A

A









A A  A



_nn

n1

n2

II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

*









a a  a



_j1



j1

A 

*



a a  a

_i1

i1





*





| A|, i  j





0, i  j



a A  a A  a A 

i1 j1

i2 j2

in jn

*









a a  a



_j1

j1



B 

*

a a  a

_j1

j1









*

II. Tính chất của định thức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của ma trận nghịch đảo

1

det(A^1) 

1.

det(A)

det(P_A)  (det(A))^n1

2. Nếu A khả nghịch, thì

Chứng minh.

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức - Đặng Văn Vinh