Sách hướng dẫn học tập Toán chuyên ngành
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
===== =====
SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP
TOÁN CHUYÊN NGÀNH
(Dùng cho sinh viên ngành ĐT-VT hệ đào tạo đại học từ xa)
Lưu hành nội bộ
HÀ NỘI - 2006
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP
TOÁN CHUYÊN NGÀNH
Biên soạn :
Ts. LÊ BÁ LONG
LỜI NÓI ĐẦU
Tiếp theo chương trình toán học đại cương bao gồm giải tích 1, 2 và toán đại số. Sinh viên
chuyên ngành điện tử-viễn thông còn cần trang bị thêm công cụ toán xác suất thống kê và toán kỹ
thuật.
Để đáp ứng nhu cầu học tập của sinh viên chuyên ngành điện tử viễn thông của Học viện,
chúng tôi đã biên soạn tập bài giảng Toán kỹ thuật từ năm 2000 theo đề cương chi tiết môn học
của Học viện. Qua quá trình giảng dạy chúng tôi thấy rằng cần hiệu chỉnh và bổ sung thêm để
cung cấp cho sinh viên những công cụ toán học tốt hơn. Trong lần tái bản lần thứ hai tập bài giảng
được nâng lên thành giáo trình, nội dung bám sát hơn nữa những đặc thù của chuyên ngành viễn
thông. Chẳng hạn trong nội dung của phép biến đổi Fourier chúng tôi sử dụng miền tần số f thay
cho miền ω . Dựa vào tính duy nhất của khai triển Laurent chúng tôi giới thiệu phép biến đổi Z
để biểu diễn các tín hiệu rời rạc bằng các hàm giải tích. Tuy nhiên do đặc thù của phương thức
đào tạo từ xa nên chúng tôi biên soạn lại cho phù hợp với loại hình đào tạo này.
Tập giáo trình bao gồm 7 chương. Mỗi chương chứa đựng các nội dung thiết yếu và được
coi là các công cụ toán học đắc lực, hiệu quả cho sinh viên, cho kỹ sư đi sâu vào lĩnh vực viễn
thông. Nội dung giáo trình đáp ứng đầy đủ những yêu cầu của đề cương chi tiết môn học đã được
Học viện duyệt. Trong từng chương chúng tôi cố gắng trình bày một cách tổng quan để đi đến các
khái niệm và các kết quả. Chỉ chứng minh các định lý đòi hỏi những công cụ vừa phải không quá
sâu xa hoặc chứng minh các định lý mà trong quá trình chứng minh giúp người đọc hiểu sâu hơn
bản chất của định lý và giúp người đọc dễ dàng hơn khi vận dụng định lý. Các định lý khó chứng
minh sẽ được chỉ dẫn đến các tài liệu tham khảo khác. Sau mỗi kết quả đều có ví dụ minh hoạ.
Cuối cùng từng phần thường có những nhận xét bình luận về việc mở rộng kết quả hoặc khả năng
ứng dụng chúng. Tuy nhiên chúng tôi không đi quá sâu vào các ví dụ minh hoạ mang tính chuyên
sâu về viễn thông vì sự hạn chế của chúng tôi về lãnh vực này và cũng vì vượt ra khỏi mục đích
của cuốn tài liệu.
Thứ tự của từng Ví dụ, Định lý, Định nghĩa, được đánh số theo từng loại và chương. Chẳng
hạn Ví dụ 3.2, Định nghĩa 3.1 là ví dụ thứ hai và định nghĩa đầu tiên của chương 3… Nếu cần
tham khảo đến ví dụ, định lý, định nghĩa hay công thức nào đó thì chúng tôi chỉ rõ số thứ tự của ví
dụ, định lý, định nghĩa tương ứng. Các công thức được đánh số thứ tự theo từng chương.
Hệ thống câu hỏi ôn tập và bài tập của từng chương có hai loại. Loại trắc nghiệm đúng sai
nhằm kiểm tra trực tiếp mức độ hiểu bài của học viên còn loại bài tập tổng hợp giúp học viên vận
dụng kiến thức một cách sâu sắc hơn.
Vì nhận thức của chúng tôi về chuyên ngành Điện tử Viễn thông còn hạn chế nên không tránh
khỏi nhiều thiếu sót trong việc biên soạn tài liệu này, cũng như chưa đưa ra hết các công cụ toán học
cần thiết cần trang bị cho các cán bộ nghiên cứu về chuyên ngành điện tử viễn thông. Chúng tôi rất
mong sự đóng góp của các nhà chuyên môn để chúng tôi hoàn thiện tốt hơn tập tài liệu này.
Tác giả xin bày tỏ lời cám ơn tới PGS.TS. Lê Trọng Vinh, TS Tô Văn Ban, đã đọc bản thảo
và cho những ý kiến phản biện quý giá và đặc biệt tới KS Nguyễn Chí Thành người đã giúp tôi
biên tập hoàn chỉnh cuốn tài liệu.
Chương 1: Hàm biến số phức
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ sự cám ơn đối với Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu
Chính Viễn Thông, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thông 1 và bạn bè đồng nghiệp đã
khuyến khích, động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành tập tài liệu này.
Hà Nội 5/2006
Tác giả
4
Chương 1: Hàm biến số phức
CHƯƠNG I: HÀM BIẾN SỐ PHỨC
PHẦN GIỚI THIỆU
Giải tích phức là một bộ phận của toán học hiện đại có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật.
Nhiều hiện tượng vật lý và tự nhiên đòi hỏi phải sử dụng số phức mới mô tả được. Trong chương
này chúng ta tìm hiểu những vấn đề cơ bản của giải tích phức: Lân cận, giới hạn, hàm phức liên
tục, giải tích, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent… Để nghiên cứu các
vấn đề này chúng ta thường liên hệ với những kết quả ta đã đạt được đối với hàm biến thực. Mỗi
hàm biến phức w = f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) tương ứng với hai hàm thực hai biến
u(x, y) , v(x, y) . Hàm phức f (z) liên tục khi và chỉ khi u(x, y) , v(x, y) liên tục. f (z) khả vi
khi và chỉ khi u(x, y) ,v(x, y) có đạo hàm riêng cấp 1 thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Tích
phân phức tương ứng với hai tích phân đường loại 2 …Mỗi chuỗi số phức tương ứng với hai
chuỗi số thực có số hạng tổng quát là phần thực và phần ảo của số hạng tổng quát của chuỗi số
phức đã cho. Sự hội tụ hay phân kỳ được xác định bởi sự hội tụ hay phân kỳ của hai chuỗi số thực
này.
Từ những tính chất đặc thù của hàm biến phức chúng ta có các công thức tích phân
Cauchy. Đó là công thức liên hệ giữa giá trị của hàm phức tại một điểm với tích phân dọc theo
đường cong kín bao quanh điểm này. Trên cơ sở công thức tích phân Cauchy ta có thể chứng
minh được các kết quả: Mọi hàm phức giải tích thì có đạo hàm mọi cấp, có thể khai triển hàm
phức giải tích thành chuỗi Taylor, hàm giải tích trong hình vành khăn được khai triển thành chuỗi
Laurent.
Bằng cách tính thặng dự của hàm số tại điểm bất thường cô lập ta có thể áp dụng để tính các
tích phân phức và tích phân thực, tính các hệ số trong khai triển Laurent và phép biến đổi Z
ngược.
Dựa vào tính duy nhất của khai triển Laurent ta có thể xây dựng phép biến đổi Z.Phép biến
đổi Z cho phép biểu diễn dãy tín hiệu số rời rạc bằng hàm giải tích.
Để học tốt chương này học viên cần xem lại các kết quả của giải tích thực.
NỘI DUNG
1.1. SỐ PHỨC
1.1.1. Dạng tổng quát của số phức
Số phức có dạng tổng quát z = x + iy , trong đó x, y là các số thực; i2 = −1.
x là phần thực của z , ký hiệu Re z . y là phần ảo của z , ký hiệu Im z .
Khi y = 0 thì z = x là số thực; khi x = 0 thì z = iy gọi là số thuần ảo.
Số phức x −iy , ký hiệu z , được gọi là số phức liên hợp với số phức z = x + iy .
5
Chương 1: Hàm biến số phức
Hai số phức z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo
của chúng bằng nhau.
x = x
⎧
⎨
⎩
1
2
z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 ; z1 = z2 ⇔
(1.1)
y1 = y2
Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu ꢀ.
1.1.2. Các phép toán
Cho hai số phức z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 , ta định nghĩa:
a) Phép cộng: Số phức z = x + x + i y + y được gọi là tổng của hai số phức z1 và
(
)
)
1
2
1
2
z2
, ký hiệu z = z1 + z2 .
b) Phép trừ: Ta gọi số phức −z = −x −iy là số phức đối của z = x + iy .
Số phức z = z + (−z ) = x − x + i y − y được gọi là hiệu của hai số phức z1 và z2 ,
(
)
)
1
2
1
2
1
2
ký hiệu z = z1 − z2 .
c) Phép nhân: Tích của hai số phức z1 và z2 là số phức được ký hiệu và định nghĩa bởi
biểu thức:
z = z z = x + iy x + iy = x x − y y + i x y + y x .
1 )2
(1.2)
(
)
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 2
1
d) Phép chia: Nghịch đảo của số phức z = x + iy ≠ 0 là số phức ký hiệu
mãn điều kiện zz−1 =1. Vậy nếu z−1 = x'+ iy' thì
hay z−1, thỏa
z
xx'− yy ' =1
yx'+ xy ' = 0
⎧
⎨
⎩
x
−y
x2 + y2
⇒ x' =
, y ' =
.
(1.3)
x2 + y2
x1x2 + y1y2
x22 + y22
y1x2 − x1y2
x22 + y22
Số phức z = z1z2−1
=
+ i
được gọi là thương của hai số phức z1 và
z1
z2 , ký hiệu z =
( z2 ≠ 0).
z2
2
Ví dụ 1.1: Cho z = x + iy , tính z , zz .
2
Giải: z2 = x + iy = x2 − y2 + i 2xy , zz = x2 + y2 .
(
)
(
)
(
)
Ví dụ 1.2: Tìm các số thực x, y là nghiệm của phương trình
5 x + y 1+ i − x + 2i 3+ i = 3−11i .
(
)(
) (
Giải: Khai triển và đồng nhất phần thực, phần ảo hai vế ta được
2x + 5y + 2 = 3
⎧
⎨
⎩
7
5
⇒ x = −3, y =
.
4x + 5y − 6 = −11
6
Chương 1: Hàm biến số phức
z + iw =1
⎧
⎨
⎩
Ví dụ 1.3: Giải hệ phương trình
.
2z + w =1+ i
Giải: Nhân i vào phương trình thứ nhất và cộng vào phương trình thứ hai ta được
1+ 2i 2 −i
5
)
1+ 2i
2 + i
4 + 3i
5
2 + i z =1+ 2i ⇒ z =
=
=
,
(
)
−1+ 3i
3+ i
5
⎛
⎝
⎞
⇒ w = i z −1 = i
= −
.
(
)
⎜
⎟
⎠
5
Ví dụ 1.4: Giải phương trình z2 + 2z + 5 = 0.
2
2
2
Giải: z2 + 2z + 5 = z +1 + 4 = z +1 − 2i = z +1− 2i z +1+ 2i .
( ) )(
(
)
(
)
(
)
Vậy phương trình có hai nghiệm z1 = −1+ 2i , z2 = −1− 2i .
1.1.3. Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức
Xét mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn
Oxy , có véc tơ đơn vị trên hai trục tương ứng là
y
JG
JG
i và j . Mỗi điểm M trong mặt phẳng này hoàn
toàn được xác định bởi tọa độ (x; y) của nó thỏa
JJJJG
JG
JG
y
JJG
j
mãn OM = x i + y j .
Số phức z = x + iy cũng hoàn toàn được
xác định bởi phần thực x và phần ảo y của nó.
JJG
O
i
Vì vậy người ta đồng nhất mỗi điểm có tọa độ
(x; y) với số phức z = x + iy , lúc đó mặt phẳng
này được gọi là mặt phẳng phức.
y
1.1.4. Dạng lượng giác của số phức
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn
JJG
Oxy , nếu ta chọn Ox làm trục cực thì điểm
M (x; y) có tọa độ cực r;ϕ xác định bởi
M
y
JJG
j
(
)
r
JJG JJJJG
ϕ
r = OM , ϕ = Ox,OM
(
JJG
x
x
O
i
x = r cosϕ
⎧
⎨
⎩
thỏa mãn
y = r sinϕ
Ta ký hiệu và gọi
z = r = OM = x2 + y2
Argz = ϕ + k2π , k ∈ ꢁ
là mô đun và argument của số phức z = x + iy .
(1.4)
(1.5)
7
Chương 1: Hàm biến số phức
Góc ϕ của số phức z = x + iy ≠ 0 được xác định theo công thức sau
tg ϕ = y/x
⎧
⎪
(1.6)
(1.7)
⎨
cosϕ = x/ x2 + y2
⎪
⎩
Giá trị của Argz nằm giữa − π và π được gọi là argument chính, ký hiệu arg z . Vậy
−π < arg z ≤ π .
Từ công thức (1.4) ta có
z = x + iy = r cosϕ + isinϕ
)
gọi là dạng lượng giác của số phức.
Sử dụng khai triển Maclaurin có thể chứng minh được công thức Euler
eiϕ = cosϕ + isinϕ
(1.8)
(1.9)
eiϕ + e−iϕ
eiϕ − e−iϕ
Do đó
cosϕ =
,
sinϕ =
.
2
2i
Từ (1.7)-(1.8) ta có thể viết số phức dưới dạng mũ
z = z eiϕ
(1.10)
(1.11)
Các tính chất của số phức
⎛
⎜
⎞
⎟
z1
z
z1
z1 + z2 = z1 + z2 ; z1z2 = z1 z2 ;
=
.
z2
⎝ 2 ⎠
z + z
2
z − z
2i
Re z =
; Im z =
. z ∈ꢂ ⇔ z = z .
(1.12)
(1.13)
⎧ z = z
⎧ z = z
⎪
⎪
1
2
1
2
z1 = z2 ⇔
⇔
⎨
⎨
arg z = arg z
Argz = Argz + k2π
1 2
⎪
⎩
⎪
⎩
1
2
1
z
z
z 2
z1 z1z2
zz = z 2 ,
=
=
,
=
.
(1.14)
2
z
z2
zz
z2
z
z
1
1
z z = z z ,
=
, z + z ≤ z + z .
(1.15)
(1.16)
1 2
1
2
1
2
1
2
z
z
2
2
⎛
⎜
⎞
⎟
z
1
Arg z z = Argz + Argz , Arg
= Argz − Argz
1 2
(
)
1 2
1
2
z
⎝ 2 ⎠
⎧ x ≤ z
⎪
z = x + iy ⇒
và z ≤ x + y
(1.17)
⎨
y ≤ z
⎪
⎩
8
Chương 1: Hàm biến số phức
Ví dụ 1.5: a) Tập các số phức z thỏa mãn z − 2 = 3 tương ứng với tập các điểm có khoảng
cách đến I(2;0) bằng 3, tập hợp này là đường tròn tâm I bán kính 3.
b) Tập các số phức z thỏa mãn z − 2 = z + 4 tương ứng với tập các điểm cách đều
A(2;0) và B(−4;0) đó là đường trung trực của đoạn AB có phương trình x = −1.
1.1.5. Phép nâng lũy thừa, công thức Moivre
n
Lũy thừa bậc n của số phức z là số phức z = zz"z
ꢀ ꢁ
n lÇn
Từ công thức (1.15)-(1.16) ta có công thức Moivre:
zn = z n cosnϕ + isin nϕ , Argz = ϕ + k2π .
(1.18)
(
)
Đặc biệt, khi z =1 ta có
n
cosϕ + isinϕ = cos nϕ + isin nϕ
(1.18)'
(
)
)
10
)
Ví dụ 1.6: Tính −1+ 3i
.
(
2π ⎤10
20π
3
20π
3
10
)
⎡
2π
3
⎛
⎝
⎞
⎛
⎝
⎞
Giải: −1+ 3i = 2 cos
+ isin
2π
= 210 cos
+ isin
(
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎢
⎥
3
⎠
⎣
⎦
⎛
⎞
2π
1
3
⎛
⎞
= 210 cos
+ isin
= 210 − +
i = −29 + i 329 .
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎜
⎟
3
3
2
2
⎝
⎝
⎠
1.1.6. Phép khai căn
Số phức ω được gọi là căn bậc n của z , ký hiệu ω = n z , nếu ωn = z .
Nếu viết dưới dạng lượng giác: z = r(cosϕ + isin ϕ), ω = ρ(cosθ + isin θ) thì
n
⎧
⎪
⎨
ρ = r
n
⎧
⎪ ρ = r
z = ωn
⇔
⇔
.
(1.19)
⎨
ϕ + k2π
⎪
nθ = ϕ + k2π , k ∈ ꢁ
θ =
⎪
⎩
n
⎩
Vì Argument của một số phức xác định sai khác một bội số nguyên của 2π nên với mỗi số
phức z ≠ 0 có đúng n căn bậc n . Các căn bậc n này có cùng mô đun là n r , Argument nhận
ϕ k2π
các giá trị θ =
+
ứng với k = 0, 1, ..., n −1, vì vậy nằm trên đỉnh của n-giác đều nội tiếp
n
n
y
n
trong đường tròn tâm O bán kính r .
i
Ví dụ 1.7: Giải phương trình z4 +1 = 0
Giải: Nghiệm của phương trình là căn bậc 4
của −1 = cosπ + isin π tương ứng là:
z
1
z
0
π
4
1
x
O
9
z
z
2
3
Chương 1: Hàm biến số phức
π
4
π 1+ i
z0 = cos + isin
=
,
4
2
P
−1+ i
(S )
z1 = iz0 =
,
2
−1− i
•
ω
z2 = −z0 =
z3 = −iz0 =
,
2
1− i
.
O
y
2
•
x
z
1.1.7. Các khái niệm cơ bản của giải tích phức
1.1.7.1. Mặt cầu phức
Trong 1.1.3 ta đã có một biểu diễn hình học của tập các số phức ꢀ bằng cách đồng nhất
mỗi số phức z = x + iy với điểm M có tọa độ (x; y) trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy . Mặt
khác nếu ta dựng mặt cầu (S ) có cực nam tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại O, khi đó mỗi điểm z
thuộc mặt phẳng Oxy sẽ tương ứng duy nhất với điểm ω là giao điểm của tia Pz và mặt cầu
(S ) , P là điểm cực bắc của (S ) .
Vậy mỗi điểm trên mặt phẳng Oxy được xác định bởi một điểm trên mặt cầu (S ) ngoại trừ
điểm cực bắc P.
Ta gán cho điểm cực bắc này số phức vô cùng ∞ . Tập hợp số phức ꢀ thêm số phức vô
cùng được gọi là tập số phức mở rộng ꢀ . Như vậy toàn bộ mặt cầu (S ) là một biểu diễn hình
học của tập số phức mở rộng.
z
Quy ước:
= ∞ (z ≠ 0), z∞ = ∞ (z ≠ 0), z + ∞ = ∞, ∞ − z = ∞ .
0
1.1.7.2. Lân cận, miền
a. Lân cận
Khái niệm ε − lân cận của z0 ∈ꢀ được định nghĩa hoàn toàn tương tự với ε − lân cận
trong ꢂ2 , đó là hình tròn có tâm tại điểm này và bán kính bằng ε .
Bε
BN
z0
)
=
z ∈ꢀ z − z0 < ε
(1.23)
N −lân cận ∞ ∈ꢀ :
∞
)
=
z ∈ꢀ z > N
∪
∞
}
(1.23)’
b. Điểm trong, tập mở
Giả sử E là một tập các điểm của mặt phẳng phức hoặc mặt cầu phức. Điểm z0 được gọi
là điểm trong của E nếu tồn tại một lân cận của z0 nằm hoàn toàn trong E .
Tập chỉ gồm các điểm trong được gọi là tập mở.
10
Chương 1: Hàm biến số phức
c. Điểm biên
Điểm z1 , có thể thuộc hoặc không thuộc E , được gọi là điểm biên của E nếu mọi lân cận
của z1 đều có chứa các điểm thuộc E và các điểm không thuộc E .
Tập hợp các điểm biên của E được gọi là biên E , ký hiệu ∂E .
Hình tròn mở
z ∈ꢀ z − z0 < r
và phần bù của hình tròn mở
z ∈ꢀ z − z0 > r
là các
tập mở có biên lần lượt là
z ∈ꢀ z − z0 = r
và
z ∈ꢀ z − z0 = r
∪
∞ .
}
Hình tròn đóng
z ∈ꢀ z − z ≤ r
không phải là tập mở vì các điểm biên z − z0 = r
0
không phải là điểm trong.
d. Tập liên thông, miền
Tập con D của mặt phẳng phức hay mặt cầu phức được gọi là tập liên thông nếu với bất kỳ
2 điểm nào của D cũng có thể nối chúng bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong D .
Một tập mở và liên thông được gọi là miền.
Miền D cùng biên ∂D của nó được gọi là miền đóng, ký hiệu D = D ∪ ∂D . Miền chỉ có
một biên được gọi là miền đơn liên, trường hợp ngược lại gọi là miền đa liên.
Ta qui ước hướng dương trên biên của miền là hướng mà khi ta đi trên biên theo hướng đó
thì miền D ở bên tay trái.
Miền D được gọi là bị chặn nếu tồn tại R > 0 sao cho z ≤ R, ∀z ∈ D .
1.2. HÀM BIẾN PHỨC
1.2.1. Định nghĩa hàm biến phức
Định nghĩa 1.1: Một hàm biến phức xác định trên tập con D của ꢀ hoặc ꢀ là một quy
luật cho tương ứng mỗi số phức z ∈ D với một hoặc nhiều số phức w , ký hiệu w = f
(
z
)
, z ∈ D .
Nếu với mỗi z chỉ cho tương ứng duy nhất một giá trị w thì f
Trường hợp ngược lại f được gọi là hàm đa trị.
z
( )
được gọi là hàm đơn trị.
Hàm số w = f
z
)
= z2 + 3 là một hàm đơn trị, còn hàm số w = f
)
z = z là một hàm đa
trị.
Tập D trong định nghĩa trên được gọi là tập xác định. Ta chỉ xét tập xác định D là một
miền, vì vậy D được gọi là miền xác định.
Thông thường người ta cho hàm phức bằng công thức xác định ảnh f
(
z
)
, khi đó miền xác
định D là tập các số phức z mà f
(
z
)
có nghĩa.
z
Hàm số w = f
(
)
z =
có miền xác định là D = z z ≠ ±i .
z2 +1
Ta có thể biểu diễn một hàm phức bởi hai hàm thực của hai biến (x, y) như sau:
11
Chương 1: Hàm biến số phức
u = u
x, y
)
⎧
⎨
⎩
z = x + iy và w = f
là phần thực, v x, y
Hàm số w = z2 + 3 = (x + iy)2 + 3 = (x2 − y2 + 3) + i2xy có
z
)
= u + iv thì
(1.24)
v = v
(
x, y
)
Gọi u
(
x, y
)
(
)
là phần ảo của hàm f (z).
2
2
⎧
⎪
u = x − y + 3
v = 2xy
.
⎨
⎪
⎩
Trường hợp miền xác định D ⊂ ꢂ thì ta có hàm phức biến số thực, ta ký hiệu w = f
biến số là t thay cho z .
Trường hợp miền xác định D là tập số tự nhiên ꢃ thì ta có dãy số phức zn = f
t có
)
(
n
)
, n∈ꢃ,
∞
ta thường ký hiệu dãy số là
1.2.2. Giới hạn
(
zn
)
n∈
hay
zn
)
.
ꢃ
n=1
∞
Định nghĩa 1.2: Dãy số
(
zn
)
hội tụ về z0 = x0 + y0 , ký hiệu lim zn = z0 , nếu
n=1
n→∞
∀ε > 0, ∃N > 0 : n ≥ N ⇒ zn − z0 < ε
(1.25)
(1.26)
(1.27)
∞
Dãy số
(
zn
)
có giới hạn là ∞ , ký hiệu lim zn = ∞ , nếu
n=1
n→∞
∀ε > 0, ∃N > 0 : n ≥ N ⇒ zn > ε
Từ (1.17) suy ra rằng
lim xn = x0
⎧
⎪
⎨
n→∞
lim zn = z0 = x0 + iy0
n→∞
⇔
lim yn = y0
n→∞
⎪
⎩
Định nghĩa 1.3: Ta nói hàm phức w = f
z
)
xác định trong một lân cận của z0 có giới hạn
là L khi z tiến đến z0 , ký hiệu lim f
z
)
= L, nếu với mọi lân cận Bε tồn tại lân cận
( )
L
z→z0
Bδ
(
z0
)
sao cho với mọi z ∈ Bδ
(
z0
)
, z ≠ z0 thì f
z
)
∈ Bε
L
)
.
Trường hợp z0 , L∈ꢀ định nghĩa trên được viết dưới dạng cụ thể sau:
lim f
z
)
= L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀z, 0 < z − z0 < δ ⇒ f
(
z
)
− L < ε
(1.28)
(1.29)
z→z0
Từ (1.17), (1.24), tương tự (1.27) ta có:
lim
u(x, y) = u0
v(x, y) = v0
⎧
⎪ (x,y)→(x0,y0 )
lim f
z→z0
(
)
z = L ⇔
⎨
lim
(x,y)→(x0,y0 )
⎪
⎩
trong đó z0 = x0 + iy0 , L = u0 + iv0 .
12
Chương 1: Hàm biến số phức
1.2.3. Liên tục
Định nghĩa 1.4: Hàm phức w = f
z
)
xác định trong miền chứa điểm z0 được gọi là liên
tục tại z0 nếu lim f
(
z
)
= f
(
z0
)
. Hàm phức w = f liên tục tại mọi điểm của miền D được
( )
z
z→z0
gọi là liên tục trong D .
Từ (1.29) suy ra rằng một hàm phức liên tục khi và chỉ khi hai hàm thực hai biến (phần
thực, phần ảo) xác định bởi (1.24) là liên tục. Do đó ta có thể áp dụng các tính chất liên tục của
hàm thực hai biến cho hàm phức.
1.2.4. Hàm khả vi, điều kiện Cauchy-Riemann
Định nghĩa 1.5: Giả sử z = x + iy là một điểm thuộc miền xác định D của hàm phức đơn
trị w = f
(
)
z . Nếu tồn tại giới hạn
f
z + Δz
)
− f
z
( )
lim
(1.33)
Δz→0
Δz
thì ta nói hàm w = f
z
)
khả vi (hay có đạo hàm) tại z , còn giới hạn đó được gọi là đạo hàm tại
z , ký hiệu f '
(
z
)
hoặc w'
(
)
z .
Ví dụ 1.8: Cho w = z2 , tính w'
(
)
z .
Δw
Δz
2
Giải: Δw =
(
z + Δz
)
− z2 = 2zΔz + Δz2
⇒
= 2z + Δz ,
Δw
Δz→0 Δz
Do đó w'
(
z
)
= lim
= lim
(
2z + Δz
)
= 2z .
Δz→0
Định lý 1.1: Nếu hàm phức w = f
x, y và phần ảo v x, y
Riemann
z
)
= u
x, y
)
+ iv
x, y khả vi tại z = x + iy thì phần thực
)
u
(
)
(
)
có các đạo hàm riêng tại (x, y) và thỏa mãn điều kiện Cauchy-
∂u
∂x
∂u
∂y
∂v
∂y
⎧
(
(
x, y
x, y
)
)
=
(
x, y
)
⎪
⎪
(1.34)
⎨
⎪
∂v
∂x
= −
(
x, y
)
⎪
⎩
Ngược lại, nếu phần thực u
(
x, y
)
, phần ảo v
x, y
)
khả vi tại (x, y) và thỏa mãn điều kiện
Cauchy-Riemann thì w = f khả vi tại z = x + iy và
( )
z
∂u
∂x
∂v
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
f '
(
z
)
=
(
x, y
)
+ i
(
x, y
)
=
(
x, y
)
− i
(
x, y
∂v
)
.
(1.35)
∂u
∂x
∂u
∂y
⎧
= 2x =
⎪
⎪
∂y
Ví dụ 1.8: Hàm w = z2 = x2 − y2 + i2xy ở Ví dụ 1.7 có
, do đó hàm khả vi
⎨
⎪
∂v
∂x
= −2y = −
⎪
⎩
tại mọi điểm và w'
(
)
z = 2x + i2y = 2z .
13
Chương 1: Hàm biến số phức
∂u
∂x
∂v
∂y
Ví dụ 1.9: Hàm w = z = x − iy có
= 1,
= −1 không thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann,
do đó hàm không khả vi tại bất kỳ điểm nào.
1.2.5. Hàm giải tích
Định nghĩa 1.6: Hàm đơn trị w = f
tích tại z . Nếu f khả vi tại mọi điểm của D thì ta nói f
trong D nếu nó giải tích trong một miền chứa D .
z
)
khả vi trong một lân cận của z được gọi là giải
(
z
)
z
)
giải tích trong D. f
(
)
z giải tích
Khái niệm khả vi và đạo hàm của hàm phức được định nghĩa tương tự như trường hợp hàm
thực. Vì vậy các tính chất và quy tắc tính đạo hàm đã biết đối với hàm thực vẫn còn đúng đối với
hàm phức.
f (z) ± g(z) ' = f '(z) ± g '(z).
(
(
)
f (z)g(z) ' = f '(z)g(z) + f (z)g '(z) .
(1.38)
)
'
⎛
⎞
f (z)
g(z)
f '(z)g(z) − f (z)g '(z)
=
, g(z) ≠ 0 .
⎜
⎝
⎟
⎠
2
g(z)
(
)
'
(
f
(
u(z))) = f '(u).u'(z) .
1.2.6. Các hàm phức sơ cấp cơ bản
1.2.6.1. Hàm lũy thừa w = zn , n nguyên dương ≥ 2.
Hàm số xác định và giải tích với mọi z , đạo hàm w = nzn−1
Nếu z = r cosϕ + isin ϕ cosnϕ + isin nϕ
thì w = rn
.
(
)
)
.
Vậy ảnh của đường tròn z = R là đường tròn w = Rn . Ảnh cúa tia Arg z = ϕ + k2π là
2π
tia Arg w = nϕ + k'2π . Ảnh cúa hình quạt 0 < arg z <
là mặt phẳng w bỏ đi trục thực dương.
n
y
v
2π
n
O
x
u
Z
w
14
Chương 1: Hàm biến số phức
1.2.6.2. Hàm căn w = n z
Hàm căn bậc n : w = n z là hàm ngược của hàm lũy thừa bậc n .
Mọi số phức khác 0 đều có đúng n căn bậc n, vì vậy hàm căn là một hàm đa trị.
1.2.6.3. Hàm mũ w = ez
Mở rộng công thức Euler (1.12) ta có định nghĩa của hàm mũ
w = ez = ex+iy = ex
cos y + isin y
)
(1.39)
(1.40)
♦
♦
w = ex , Argw = y + k2π .
'
Hàm mũ giải tích tại mọi điểm và ez = ez
ez
ez
1
2
n
z1 z2
1
2
1
2
♦
e e = ez +z
,
= ez −z , ez = enz , ez+ik2π = ez .
π
2
i
0
iπ
♦ e =1 , e = i, e = −1 .
♦
Qua phép biến hình w = ez , ảnh của đường thẳng x = a là đường tròn w = ea , ảnh
của đường thẳng y = b là tia Argw = b + k2π .
Ảnh của băng 0 < y < 2π là mặt phẳng w bỏ đi nửa trục thực dương.
v
y
x = a
b
y = b
a
u
e
O
x
O
W
Z
1.2.6.4. Hàm lôgarit
Hàm ngược của hàm mũ được gọi là hàm lôgarit. w = Ln z ⇔ z = ew
w = Ln z = u + iv ⇔ z = ew = eu+iv = eu
cosv + isin v
)
⎧ Rew = ln z
Vậy
w = Lnz ⇔
(1.41)
⎨
Imw = arg z + k2π
⎩
15
Chương 1: Hàm biến số phức
Điều này chứng tỏ hàm lôgarit phức là hàm đa trị. Ứng với mỗi z có vô số giá trị của w ,
những giá trị này có phần thực bằng nhau còn phần ảo hơn kém nhau bội số nguyên của 2π. Với
mỗi k = k0 cố định ta được một nhánh đơn ta trị của hàm w = Ln z .
w = ln z + i
arg z + k0 2π
)
Nhánh đơn trị ứng với k = 0 được gọi là nhánh đơn trị chính và được ký hiệu ln z .
ln z = ln z + iarg z
trong đó ln ở vế trái là hàm biến phức, còn ở vế phải là hàm biến thực.
Một số tính chất của hàm lôgarit.
Ln
(
−1
)
= ln −1 + i
(
arg(−1) + k2π
)
=
( )
2k +1 πi ⇒ ln
−1
( )
= iπ
⎛
⎞
z1
z
, Ln zn = nLn z .
⎜
⎟
⎟
Ln
(
z1z2
)
= Ln z1
(
)
+ Ln
(
z2
)
, Ln
= Ln z1 − Ln
(
)
(
z2
)
⎜
⎝ 2 ⎠
Các nhánh đơn trị của hàm lôgarit giải tích trên nửa mặt phẳng phức Z bỏ đi nửa trục thực
âm (x < 0).
1.2.6.5. Các hàm lượng giác phức
Mở rộng công thức (1.12) cho các đối số phức ta được các hàm lượng giác phức
eiz + e−iz
eiz − e−iz
2i
cos z =
tg z =
, sin z =
; ∀z ∈ꢀ
cos z
(1.42)
2
sin z
π
, z ≠
(
2k +1
)
; cotg z =
; z ≠ kπ.
cos z
2
sin z
Các hàm lượng giác phức còn giữ được nhiều tính chất của hàm lượng giác thực.
Hàm cos z, sin z tuần hoàn chu kỳ 2π, hàm tg z, cotg z tuần hoàn chu kỳ π.
Các hàm lượng giác phức giải tích trong miền xác định
1
−1
sin2 z
'
'
'
'
(
sin z
)
= cos z ,
(
cos z
)
= −sin z ,
(
tg z
)
=
,
(
cotg z
)
=
.
cos2 z
cos2 z + sin2 z =1; ∀z ∈ꢀ
Các công thức cộng góc, hạ bậc, tổng thành tích, tích thành tổng vẫn còn đúng.
Tuy nhiên có những tính chất của hàm lượng giác thực không còn đúng đối với hàm lượng
giác phức. Chẳng hạn hàm lượng giác thực bị chặn nhưng hàm lượng giác phức không bị chặn (ta
có thể chứng minh điều này bằng cách áp dụng định lý Louville):
e−n + en
e−n − en
2i
cos x ≤ 1, sin x ≤ 1 , ∀x ∈ꢂ nhưng cosni =
>1, sin ni =
>1.
2
16
Chương 1: Hàm biến số phức
1.2.6.6. Các hàm lượng giác hyperbolic phức
ez + e−z
ez − e−z
sh z
ch z
ch z
sh z
ch z =
, sh z =
, th z =
, coth z =
(1.43)
2
2
Các hàm lượng giác hyperbolic phức giải tích trong miền xác định
1
ch2z
−1
sh2z
'
'
'
'
(
sh z
)
= ch z ,
(
ch z
)
= sh z ,
(
th z
)
=
,
(
coth z
)
=
.
ch z + sh z = ez , ch z − sh z = e−z , siniz = ish z, cosiz = ch z .
ch2z − sh2z =1, sh 2z = 2ch zsh z, ch 2z = ch2z + sh2z .
1.3. PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC
Nhiều vấn đề trong khoa học và thực tiễn (ví dụ bài toàn nổ mìn, bài toán thiết kế cánh máy
bay…) đưa đến bài toán: Tìm phép biến hình bảo giác biến miền D thành miền Δ nào đó mà ta đã
biết hoặc dễ dàng khảo sát hơn. Trong mục này ta đưa ra vài nguyên lý và phương pháp tìm phép
biến hình trong những trường hợp đơn giản.
1.3.1. Định nghĩa phép biến hình bảo giác
Định nghĩa 1.7: Phép biến hình w = f
điều kiện sau:
z
)
được gọi là bảo giác tại z nếu thoả mãn hai
i. Bảo toàn góc giữa hai đường cong bất kỳ qua điểm z ( kể cả độ lớn và hướng).
ii. Có hệ số co dãn không đổi tại z , nghĩa là mọi đường cong đi qua điểm này đều có hệ
số co dãn như nhau qua phép biến hình.
Phép biến hình w = f
của miền này.
Định lý sau đây cho điều kiện đủ của phép biến hình bảo giác.
Định lý 1.2: Nếu hàm w = f khả vi tại z và f ' ≠ 0 thì phép biến hình thực hiện bởi
hàm w = f bảo giác tại điểm z , đồng thời arg f ' là góc quay và f '
(
z
)
được gọi là bảo giác trong miền D nếu nó bảo giác tại mọi điểm
(
z
)
z
( )
(
z
)
z
)
(
)
)
z là hệ số co giãn tại
điểm z của phép biến hình đó.
Từ định lý này ta suy ra rằng nếu w = f
một phép biến hình bảo giác trong D.
z
)
giải tích trong D và f '
z
≠ 0, ∀z ∈ D thì nó là
1.3.2. Phép biến hình tuyến tính w = az + b, a ≠ 0
Phép biến hình này bảo giác trong toàn miền ꢀ vì w'
)
z = a ≠ 0, ∀z .
Nếu a = a eiϕ thì w = a eiϕz + b . Điều này chứng tỏ phép biến hình tuyến tính là hợp của
ba phép biến hình sau:
Phép vị tự tâm O tỷ số k = a ,
Phép quay tâm O, góc quay ϕ ,
17
Chương 1: Hàm biến số phức
Phép tịnh tiến theo véc tơ b .
Vậy phép biến hình tuyến tính là một phép biến hình đồng dạng (hợp của một phép vị tự,
phép quay, phép tịnh tiến). Nó biến một hình bất kỳ thành một hình đồng dạng với nó. Đặc biệt
biến một đường tròn thành một đường tròn, biến một đường thẳng thành một đường thẳng, một đa
giác thành một đa giác đồng dạng.
Ví dụ 1.10: Tìm phép biến hình bảo giác biến tam giác vuông cân có các đỉnh A
− 3+ 2i , C − 5 + 4i thành tam giác vuông cân có các đỉnh A 2i , B1 , C1 1+ i
Giải: Hai tam giác vuông cân bất kỳ đều đồng dạng với nhau nên tồn tại một phép đồng
(
)
− 7 + 2i
)
,
B
(
)
(
)
)
(
0
)
(
.
1
dạng w = az + b, a ≠ 0 biến ΔABC thành ΔA B C . Phép biến hình này biến A thành A1 ,
1 1 1
biến B thành B1 , do đó a, b thỏa mãn hệ phương trình
i
⎧
a = −
⎪
⎪
2i = a
(
− 7 + 2i
)
+ b
⎧
⎨
⎩
i
3
2
⇒
⇒ w = − z −1− i .
⎨
⎪
0 = a
(
− 3 + 2i
)
+ b
3
2
2
b = −1− i
⎪
⎩
2
i
3
Thay z = −5 + 4i ta có w = − (−5+ 4i) −1− i =1+ i .
2
2
y
v
A
C
1
2i
4i
2i
i
C
A
1
B
− 7
− 3
B
1
u
x
1
W
Z
1
1.3.3. Phép nghịch đảo w =
z
1
Phép biến hình w = có thể mở rộng lên mặt phẳng phức mở rộng ꢀ bằng cách cho ảnh
z
của z = 0 là ∞ và ảnh của z = ∞ là w = 0 .
−1
Đạo hàm w'
(
z
)
=
≠ 0, ∀z ≠ 0, ∞ nên phép biến hình bảo giác tại mọi điểm z ≠ 0, ∞ .
z2
Hai điểm A, B nằm trên một tia xuất phát từ tâm I của đường tròn
là liên hợp hay đối xứng qua
nếu IA.IB = R2 .
C
)
bán kính R được gọi
C
( )
18
Chương 1: Hàm biến số phức
1
1
Vì Arg = −Arg z = Arg z nên z và w =
cùng nằm trên một tia xuất phát từ O.
z
z
1
1
Ngoài ra z.
=1, do đó z và w =
đối xứng nhau qua đường tròn đơn vị.
z
z
1
Vậy phép biến hình nghịch đảo w = là hợp của phép đối xứng qua đường tròn đơn vị và
z
phép đối xứng qua trục thực. Phép biến hình này biến:
Một đường tròn đi qua O thành một đường thẳng.
Một đường tròn không đi qua O thành một đường tròn.
Một đường thẳng đi qua O thành một đường thẳng qua O.
Một đường thẳng không đi qua O thành một đường tròn đi qua O.
1
Nếu ta xem đường thẳng là một đường tròn (có bán kính vô hạn) thì phép biến hình w =
z
biến một đường tròn thành một đường tròn.
1
Ảnh của đường tròn z = R là đường tròn w = , ảnh của hình tròn z < R là phần ngoài
R
1
của hình tròn w > . Ảnh của M trên tia OB là N trên tia OB', B' là đối xứng của B qua trục
R
thực và OM.ON = 1.
v
y
B
M
•
O
O
u
x
B'
•
N
Z
W
az + b
cz + d
3.4. Phép biến hình phân tuyến tính w =
; c ≠ 0, ad − bc ≠ 0
az + b
Ta có thể mở rộng hàm phân tuyến tính w =
lên mặt phẳng phức mở rộng ꢀ bằng
cz + d
d
a
cách cho ảnh của z = − là ∞ và ảnh của z = ∞ là w =
.
c
c
19
Chương 1: Hàm biến số phức
ad − bc
d
Đạo hàm w'
(
z
)
=
≠ 0, ∀z ≠ − , ∞ nên phép biến hình bảo giác tại mọi điểm
2
c
(
cz + d
)
d
z ≠ − , ∞ .
c
az + b acz + bc
a
(
cz + d
)
+ bc − ad
a
c
bc − ad
1
w =
=
=
=
+
⋅
.
cz + d
c
(
cz + d
)
c
(
cz + d
)
c
cz + d
Do đó phép biến hình phân tuyến tính là hợp của 3 phép biến hình:
♦
♦
Phép biến hình tuyến tính:
Phép nghịch đảo:
z 6 cz + d ,
1
cz + d 6
,
cz + d
1
bc − ad
1
a
c
♦
Phép biến hình tuyến tính:
6
⋅
+
.
cz + d
c
cz + d
Vì các phép biến hình tuyến tính và nghịch đảo biến một đường tròn thành một đường tròn
và bảo toàn tính đối xứng của 2 điểm đối xứng qua đường tròn, nên phép biến hình phân tuyến
tính cũng có tính chất đó.
az + b
cz + d
Phép biến hình w =
, c ≠ 0 có thể viết lại
a
c
b
z +
a1z + b1
z + d1
z + b2
z + d2
c
d
w =
=
hoặc w = k
(1.44)
z +
c
vì vậy chỉ phụ thuộc 3 tham số. Do đó một hàm phân tuyến tính hoàn toàn được xác định
khi biết ảnh w , w , w của 3 điểm khác nhau bất kỳ z1, z2, z3 . Để xác định 3 tham số
1
2
3
a1, b1, d1 ta giải hệ phương trình sau đây.
a1z3 + b1
z3 + d1
a1z1 + b
z1 + d1
a1z2 + b
z2 + d1
w1 =
1 , w2 =
1 , w3 =
(1.45)
(1.46)
Hoặc hàm phải tìm có thể xác định bởi phương trình
w − w1 w2 − w1 z − z1 z2 − z1
⋅
=
⋅
w − w3 w2 − w3 z − z3 z2 − z3
Đặc biệt nếu w
z0
)
= 0 và w
(
z1
)
= ∞, theo (1.44) ta có
z − z0
w = k
(1.47)
z − z1
20
Tải về để xem bản đầy đủ
246 trang
23360
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sách hướng dẫn học tập Toán chuyên ngành", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- sach_huong_dan_hoc_tap_toan_chuyen_nganh.pdf
