Tài liệu ôn tập cuối kỳ môn Phương pháp tính
ÔN TẬP CUỐI KỲ
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
I. Số gần đúng và sai số:
Sai số tương đối:
Sai số tuyệt đối: a
a
=
a . | a |
log ( 2 a )
Số chữ số đáng tin: k
Sai số luôn luôn làm tròn lên (bất kể quá bán hay không).
y f (x1, x2 ,..., xn )
n
f
xi
x , x ,..., x x
n
y
1
2
i
i1
II. Phương pháp trình phi tuyến:
1. Sai số tổng quát:
| f (x*) |
| x*x |
| f '(x) | m 0
m
2. Phương pháp chia đôi:
| b a |
| x*x |
[a,b]
2n1
3. Phương pháp lặp đơn:
[a,b] g (x)
| g’(x) | ≤ q ; 0 ≤ q < 1 : hệ số co ( + x : lấy a , - x : lấy b )
Sai số:
qn
x
| xn – | ≤
| x1 – x0 | (công thức tiên nghiệm)
| xn – xn-1 | (công thức hậu nghiệm)
1 q
=> xác định số lần lặp n
q
| xn –
x
| ≤
1 q
Tính sai số và nghiệm:
A = ( q )
B = ( x0 )
A
C = g (B) :
(C – B) : B = C
1 A
Tính nghiệm:
( x0 ) =
g (Ans) =
Tính số lần lặp:
log qnx1 x0
n
log q
4. Phương pháp Newton :
Điều kiện: f ‘(x) ≠ 0 trên [a,b]
f (x) f ’’(x)> 0
f ’(x) f ’’(x) < 0 => x0 = a
f ’(x) f ’’(x) > 0 => x0 = b
ATGroup
Page 1
Tổng quát:
f (xn1 )
xn = xn-1
–
f '(xn1 )
| f '(x) | m 0
Tính nghiệm:
f (Ans)
( x0 ) =
Ans -
=
f '(Ans)
Tính sai số và nghiệm:
A = ( x0 )
f (A)
f (B)
B = A -
:
: A = B
f '(A)
m
III. Phương pháp Jacobi và phương pháp Gauss:
1. Phương pháp Jacobi:
Khi n = 3:
A = ( x1 ) B = ( x2 ) C = ( x3 )
0
0
0
1
D =
E =
F =
( b1 – a12 B – a13 C ) :
( b2 – a21 A – a23 C ) :
( b3 – a31 A – a32 B ) :
a11
1
a22
1
a33
A = D : B = E : C = F
Sai số:
a12
a11
a13
a11
a
0
||T ||
|| x(m) x ||
|| x(m) x(m1) ||
a21
a22
a31
a33
23
1 ||T ||
T
0
a22
||T ||m
|| x(m) x ||
|| x(1) x(0) ||
a32
a33
0
1 ||T ||
2. Phương pháp Gauss – Serdel:
Khi n = 3:
B = ( x2 ) C = ( x3 )
0
0
1
D =
E =
F =
( b1 – a12 B – a13 C ) :
a11
1
( b2 – a21 D – a23 C ) :
a22
1
( b3 – a31 D – a32 E ) :
a33
B = E : C = F
ATGroup
Page 2
Sai số:
T = (D – L )-1 U . Công thức sai số như trên.
0 a
a
a
0
0
0
12
13
11
U 0
0
0
a23
D L a21 a22
0
0
a31 a32 a33
=> (D-L)-1 (bấm máy)
IV. Nhân tử LU:
a31a12
a11
a21a12
a11
a32
a22
a21
a11
l32
l21
u1 j a1 j
lii 1
a31
a11
a21a13
a11
a21a12
a11
l31
u22 a22
u23 a23
a31a12
a11
a21a
13
a
a
32
23
a11
a31a13
u33 a33
a21a12
a11
a22
a11
u21 = u31 = u32 = 0
V. Phương pháp Choleski:
a221
a21
a31
b21
b31
b22 a22
b a11
11
a11
a11
a11
a31a
a11
21
a
32
b32
b a b2 b2
a221
b b b23 0
31
33
33
32
12
13
a22
a11
VI. Chuẩn vectơ và chuẩn ma trận:
||A||1 : max tổng cột
||A||∞ : max tổng dòng.
k(A) = ||A|| ||A-1|| : số điều kiện
k càng gần 1 : càng ổn định
k càng xa 1 : càng không ổn định.
VII. Đa thức nội suy Largrange, Newton, Spline:
1. Đa thức nội suy Largrange:
Bài toán: cần tìm 1 đa thức Ln(x) có bậc ≤ n thỏa
n = số điểm – 1
ATGroup
Page 3
Lập bảng:
x
x0
x1
…
…
…
…
…
xn
Dk = tích theo hàng
x0 (x – x0) (x0 – x1)
x1 (x1 – x0) (x – x1)
(x0 – xn)
(x1 – xn)
…
D0
D1
…
…
…
…
xn (xn – x0) (xn – x1)
(x – xn)
Dn
w(x)
n
(x xk )
w(x) =
k0
n
yk
D
Ln(x) = w(x)
k0
k
Sai số:
Mn+1 = |max[f(n+1)(x)]| ; x
[x0, xn]
M n1
|f(x) – Ln(x)| ≤
|w(x)|
(n 1)!
2. Đa thức nội suy Newton:
Tổng quát: trường hợp các điểm nút cách đều với bước h:
Δyk = yk+1 – yk
Δpyk = Δp-1yk+1 – Δp-1yk
n y0
2 y0
y0
N(1) (x) = y0 +
q +
q(q – 1) +…+
q(q – 1)…(q – n + 1) ;
n
1!
n!
2!
x x0
q =
(công thức Newton tiến)
h
2 yn2
n y0
n!
yn1
N(2) (x) = yn +
p +
p(p + 1) +…+
p(p+1)…(p + n – 1) ;
n
1!
2!
x xn
p =
(công thức Newton lùi)
Cách làm: lập bảng => N
h
xk yk
x0 y0
x1 y1
… …
Δ
Δ2
Δ0= y1 – y0
Δ1= y2 – y1
…
Δ2 = Δ1 – Δ0
0
…
…
Chú ý: với cùng 1 bảng số: Ln(x) = N(1) (x) = N(2) (x) . Tuy nhiên, nếu bảng
n
n
số có tăng thêm hay giảm bớt biến, ta chỉ cần thêm hoặc bớt sô hạng cuối
trong Nn(x) thay vì làm lại từ đầu đối với Ln(x).
3. Spline bậc 3 tự nhiên:
Trường hợp 3 số:
a1 y1
a0 y0
ATGroup
Page 4
3 y y
3 y y
1
0
2
1
x2 x1
x1 x0
c1
c0 c2 0
2 x x
0
2
y2 y1 2c1(x2 x1)
y1 y0 c1(x1 x0 )
b
b0
d0
1
x2 x1
c1
3
x1 x0
3
c1
d1
3(x1 x0 )
3(x2 x1)
g0(x) = a0 + b0(x –x0) + c0(x-x0)2 + d0(x-x0)3
g1(x) = a1 + b1(x –x1) + c1(x-x1)2 + d1(x-x1)3
x
x
[x0, x1]
[x1, x2]
VIII. Phương pháp bình phương bé nhất:
1. Tổng quát: cần tìm hàm F(x) “xấp xỉ tốt nhất bảng số đã cho”
n
(F(x ) y )2 min
g(f) =
k
k
k1
Điểm dừng:
g
A
g
B
g
C
.........
.........
.........
=> chuyển vế => giải hệ phương trình 3 ẩn (A, B, C)
Cách bấm máy:
n
n
n
n
n
x4
x2 sin y
x2 y
sin2 x
y sin x
k k
Ví dụ: ta cần tính các giá trị:
k
k
k
k
k
k
k1
k1
k1
k1
k1
A=A+X4:B=B+X2sinY:C=C+X2Y:D=D+(sinX)2:E=E+YsinX
CALC
- Lần đầu nhập A, B, C, D, E là 0 để khởi tạo giá trị.
- Khi thấy X? và Y? thì sẽ nhập xk và yk tương ứng.
- Lần 2 bỏ qua khi được hỏi A? B? C? D? E?
2. Cách sử dụng máy tính đối với 1 số hàm:
Bước 1: chọn chế độ clear all
. shift_9_3 đối với 570ES
. shift_mode_3 đối với 570MS
Bước 2:
. chọn chế độ STAT : mode 3 đối với 570ES
. chọn chế độ REG : mode_mode_2 đối với 570MS
ATGroup
Page 5
Bước 3: chọn dạng của F(x)
Dạng F(x)
Phím ấn
570ES
570MS
Lin
Quad
Log
Exp
không có
Pwr
F(x) = A+Bx
2
3
4
5
6
7
8
F(x) = _+Cx2 = A +B + Cx2
F(x) = ln(A + Bx)
F(x) = AeBx
F(x) = A.Bx
F(x) =A.xB
Inv
1
F(x) =
A Bx
Bước 4: nhập bảng giá trị
. nhập vào bảng như trong màn hình đối với 570ES
. nhập xk , yk (dấu , ) M+ cho đến khi hết bảng đối với 570MS
Bước 5: tính giá trị A, B
. shift_1_7_1(tính A)/2(tính B) đối với 570ES
. shift_2 _►_►_1 (tính A) / 2 (tính B) đối với 570MS
IX. Tính gần đúng đạo hàm:
1. Bảng 2 điểm:
Sai phân tiến (x0, x0+h)
f (x0 h) f (x0 )
f '(x)
h
Sai phân lùi (x0-h, x0)
f (x0 ) f (x0 h)
f '(x)
h
Sai số :
M2h
M2 max f ''(x)
x[a,b]
2
2. Bảng 3 điểm:
Đạo hàm cấp 1
Sai phân tiến (x0, x0+h, x0+2h)
3 f (x0 ) 4 f (x0 h) f (x0 2h)
f '(x)
2h
Sai phân hướng tâm (x0-h, x0, x0+h)
f (x0 2h) f (x0 )
f '(x)
2h
Sai phân lùi (x0-2h, x0-h, x0)
f (x0 ) 4 f (x0 h) 3 f (x0 2h)
f '(x)
2h
Sai số :
M3h2
M3 max f '''(x)
x[a,b]
6
ATGroup
Page 6
Đạo hàm cấp 2
f (x0 h) 2 f (x0 ) f (x0 h)
f ''(x)
h2
Sai số:
M4h2
M4 max f (4) (x)
x[a,b]
12
X. Công thức hình thang (xấp xỉ tích phân):
b
I f (x)dx
. Bài toán cần xấp xỉ tích phân
a
b a
n
h
. Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia
. Ta
có công thức sau:
h
I [y0 2(y1 y2 ... yn1) yn ]
2
Sai số:
M2h2
M2 max f ''(x)
(b a)
x[a,b]
12
XI. Công thức Simpson (xấp xỉ tích phân):
b
I f (x)dx
. Bài toán: cần xấp xỉ tích phân
a
. Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n = 2m đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia
b a
h
. Ta có công thức sau:
2m
h
I [y0 4(y1 y3 ... y2m1) 2(y2 y4 ... y2m2 ) y2m ]
3
Sai số:
M4h4
(4)
M 4 max f (x)
(b a)
x[a,b]
180
XII. Công thức Euler với hệ phương trình vi phân xấp xỉ:
1. Bài toán: tìm yk và sai số.
y' f (x, y)
y(x0 ) y0
x a,b
2. Công thức Euler:
b a
h
yk1 yk hf (xk , yk )
n
y(x )
Có nghiệm chính xác là
.
k
ATGroup
Page 7
| y(x ) y |
Khi đó sai số :
k
k
Bấm máy:
A = (x0)
B = (y0)
y(xkA) – B : B = B + h y’(A, B) : A = A + h
3. Công thức Euler cải tiến:
b a
1
h
yk1 yk k k
2
2
1
n
k hf x , y
k hf x h, y k
k
1
1
k
2
k
k
y(x )
Có nghiệm chính xác là
.
k
| y(x ) y |
Khi đó sai số :
k
k
Bấm máy nghiệm và sai số:
A = (x0) B = (y0)
1
y(xkA) – B : C = h y’(A, B) : D = h y’(A+h, B+C) : B = B + (C+D) : A = A + h
2
x''(t) f (t)x'(t) g(t)x(t) h(t)
t a,b
Trường hợp:
x(t0 ) x0
x'(t0 ) x'0
x(t) x(t ) hx'(t )
0
0
Cách giải:
x'(t) x'(t0 ) hx''(t0 )
XIII. Công thức Range – Kutta bậc 4 với phương trình vi phân cấp 1
Cách giải: Trường hợp xấp xỉ tại x1 = x0 + h ( n = 1)
K hf x , y
0
h
1
0
K
1
K2 hf x0 , y0
2
2
h
K
2
K hf x , y
3
0
0
2
2
K hf x h, y K
3
4
0
0
1
y(x0 h) y1 y0 K 2K 2K K
6
4
1
2
3
Cách bấm máy:
Tính K1:
A = hf(X, Y)
Tính K2:
► thay A bằng B CALC
Tính K3:
► thay B bằng C CALC
Tính K4:
► thay C bằng D CALC
Tính y1:
CALC
X? (nhập x0)
=
=
=
=
Y? (nhập y0) =
Y? (nhập y0+A/2)
Y? (nhập y0+B/2)
Y? (nhập y0+C)
X? (nhập x0+h/2)
X? (nhập x0+h/2)
X? (nhập x0+h)
=
=
=
=
y0 + 1/6(A + 2B + 2C + D)
ATGroup
Page 8
XIV. Bài toán biên tuyến tính cấp 2:
1. Bài toán: tìm hàm y = y(x):
p(x)y''(x) q(x)y'(x) r(x)y(x) f (x)
y(a) ; y(b) ;a x b
2. Cách giải: chia [a,b] thành n đoạn
Đặt y(x0) = y(a) = α = y0
y(xn) = y(b) = β = yn
pk = p(xk); qk = q(xk); rk = r(xk); fk = f(xk)
Công thức:
p
qk
pk
h2
p
qk
k
k
yk1 r 2
yk
yk1 fk
k
h2 2h
h2 2h
Giải hệ phương trình tìm ra các giá trị y1,…..,yn-1
XV. Phương trình Elliptic:
a x b
c y d
1. Bài toán: tìm hàm u = u(x,y) xác định trên miền D
thỏa:
2
2
u u
f ( x, y ) ( x, y ) D
x 2 y 2
u (a , y ) ( y ); u (b , y ) ( y )
1
2
u ( x, c ) 1 ( x ); u ( x, d ) 2 ( x )
b a
x
n
2. Cách giải: chia đều đoạn [a,b] thành n đoạn với
b a
y
m
chia đều đoạn [c,d] thành m đoạn với
Đặt uij là giá trị xấp xỉ của hàm u(xi, yj): uij
Công thức tổng quát:
u(xi, yj) i 0,n;j 0,m
u
i1, j 2ui, j ui1, j ui, j1 2ui, j ui, j1
fij
hx2
hy2
i 1,n 1;
j 1,m 1
Trường hợp ∆x = ∆y = h
4ui, j ui1, j ui1, j ui, j1 ui, j1 h2 fij
i 1,n 1;
j 1,m 1
Giải hệ tính được giá trị của các ui,j.
XVI. Phương trình Parabolic:
1. Bài toán: cần xấp xỉ hàm u = u(x,t); x là biến không gian; t là biến thời gian xác định
trong miền D = {a ≤ x ≤ b, t > 0} thỏa
ATGroup
Page 9
2u
x2
u
t
2
f (x,t)
(x,t) D
u(b,t) 2 (t)
x[a,b]
u(a,t) (t);
t 0
1
u(x,0) (x)
b a
x
2. Cách giải: chia đều [a,b] thành n đoạn với
n
0;
tj j t
chọn bước thời gian
đặt uij = u(xi, tj); fij = f(xi, tj);
Sơ đồ hiện:
t
t2
2x
u
i, j1 ui1, j (1 2)ui, j ui1, j t fij
j 0,1,2,.....;
i 1,2,...,n 1
Sơ đồ ẩn:
ui1, j (1 2)ui, j ui1, j t fij ui, j1
j 1,2,...;
i 1,2,...,n 1
Giải hệ tính được giá trị của các ui,j
XVII. Các đạo hàm cấp cao (phụ lục):
(n1)
1
n 1 !an
ln ax b
f (n)
n
ax b
n
1 ann!
1
f (n)
n1
ax b
ax b
2
f (n) sin ax an sin ax n
1
1 1
1
1
n
f (n) ax b
1
2 ... n 1 ak ax b
k
k
k k
k
k
ATGroup
Page 10
10 trang
26660
Free
Bạn đang xem tài liệu "Tài liệu ôn tập cuối kỳ môn Phương pháp tính", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- tai_lieu_on_tap_cuoi_ky_mon_phuong_phap_tinh.pdf
